两向量的内积

定义1.3.1 两向量a，b的内积，记为a b，规定为一个实数：
a b | a || b | cos (a, b),
其中(a, b)是a与b的夹角，且0 (a, b) .
若a、b中有一个是零向量，则a b 0.
由定义易知 | a | a a; 当a 0, b 0时，cos (a, b) a b . | a || b |
z
0 ,
•M
o x
0 ,
0 .
y
z
设
r OM (x, y, z)
由图分析可知
o
•M(x, y, z)
y
x | r | cos
向 量
y | r | cos 的
x
方
z | r | cos 向
余
弦
方向余弦通常用来表示向量的方向.
向量方向余弦的坐标表示式
当 x2 y2 z2 0 时，
(1) a b b a,
(2) (a) b (a b),
(3) (a b) c a c b c, (4) a a 0,等号当且仅当a=0时成立.
证明：(1), (2), (4)由定义容易证明，下只证（3）：
若a,b, c中有零向量，则等式成立.下设a,b, c皆为非零向量.
如图：设OA=a，OB=b，OC=c，OD=a b. (OA,OC) ,
cos
x
,
x2 y2 z2
cos
y
,
x2 y2 z2
cos
z
.
x2 y2 z2
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
e
r
r
|r |
x r
,
y , r
z r
(cos , cos , cos ).
上式表明，以向量 r 的方向余弦 为坐标的向 量就是与 r 同方向的单位向量er .
如果{O; e1, e2, e3}是直角标架，则有
1 ei ej 0
i j i j.
故由上式得：
3
a b aibi. i 1
定理1.3.1 在直角坐标系中，两向量的内积等于
它们的对应坐标的乘积之和.
向量的模与空间两点间距离公式
z
r OM
OP OQ OR
R(0,0, z)
由 勾股定理
r
r OM
o
OP
2
OQ
2
OR
2
x
P( x,0,0)
由 OP xi , OQ yj, OR zk.
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0)
N
有 OP x , OQ y , OR z ,
r
x2 y2 z2
向量模的坐标表示式
设 A( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 )
二 用坐标计算向量的内积
取仿射标架{O; e1, e2, e3},设向量a=(a1, a2, a3), b (b1, b2, b3), 则有
3
3
3
a b=( ai ei ) ( bi ei ) aibj ei ej .
i 1
i 1
i, j1
可见，只要知道坐标向量e1, e2, e3之间的内积，就可以求出任意 两个向量的内积，这九个数称为仿射标架{O; e1, e2, e3}的度量参数.
空间两点间距离公式
三 方向角与方向余弦
向空a 间量 0两a,与向b向量量 的0,夹b 的角夹的概角念：
b
a
(a,b)
(b,
a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时， 规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
非零向量与 三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量 r 的方向角：、 、
§1.3 两向量的内积
一 向量内积的定义和性质 二 用坐标计算向量的内积 三 方向角和方向余弦
实例
F
M1
s
M2
到W点|M一F2物|，| s体以| c在oss表常 示力(其位F中移作，用为则下F力沿与F直s 的所线夹作从角的点)功M为1移动
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
一 向量内积的定义和性质
A
a
由BO AC,得b (c a) 0,
以上两式相加，可得a (c b) 0.
O
c
b
所以OA BC，即：ABC中BC边上 C
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的高通过O点，证明了三高交于一点.
例 用向量法证明余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC.
证明：如图，
c AB AC CB a b
c c (a b) (a b) a a b b 2a b
故 c2 a2 b2 2ab cosC.
A
c
b
a
B
C
例
证明向量c 与向量(a
c )b
(b
c )a 垂直.
证
[(a c)b (b c)a] c
[(a c )b c (b c )a c]
(c b)[a c a c]
0
[(a c)b (b c)a]c
命题 1.3.1 若a与b互相垂直当且仅当a b 0.
证
()
a
b
0,
|
a
|
0,
| b | 0,
cos 0, , ab.
当a或b有一个是零向量时，2 由于零向量的
方向是任意的, 故显然是垂直的。
()
ab, a b |
a || b
, 2
| cos
cos
0.
0,
对任意的向量a,b, c及实数，向量的内积满足以下规律：
为空间两点.
d AB ?
z A( x1 , y1 , z1 )
B( x2 , y2 , z2 )
d AB
o
y
由 AB OB OA x
( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 ) ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 ),
AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
(OB,OC) , (OD,OC) .过点A, B, D分别向OC所在
直线作垂线，垂足分别是A', B ', D '，则
(a b) c | a b | | c | cos | c || OD ' |
a c b c | c | (| a | cos | b | cos ).
由平面几何知识易证：
| a b | cos | a | cos | b | cos ,
因而(a b) c a c b c
D B
A
B 'O D 'A' C
例 证明三角形的三条高交于一点。
证明：设ABC边AB, CA上的高交于O点，以O为始点，以
A, B,C为终点的向量分别记为a，b，c.
由CO BA,得c (a b) 0,