北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》复习学案
第四章因式分解
学习目标：
知道因式分解的意义。
明白因式分解与整式乘法的关系。
会用提取公因式
法分解因式。
清楚添括号法则。
会用平方差公式分解因式。
会用完全平方公式分
解因式。
初步会综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题。
重点与难点：
重难点：会综合运用因式分解知识解决数学问题。
知识点1 基本概念
把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式。
如：
（）
ma+mb+mc m(a+b+c)
（）
·提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式
叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc= 就是把ma+mb+mc分解成两个
因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式
是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2– x = x（ )，
8a2b-4ab+2a = 2a( )
·公式法
(1)平方差公式：a2-b2=( )( ).
例如：4x2-9=( )2-（）2=( )( ).
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=( )2
例如：4x2-12xy+9y2=（）2
A 层练习
1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨”，•不是的打
“×”）：
（1）（x+3）（x-3）=x 2-9； （ ）; （2）x 2+2x+2=（x+1）2+1；（ ）
（3）x 2-x-12=（x+3）（x-4）；（ ）; （4）x 2+3xy+2y 2=（x+2y ）（x+y ）；（ ）
（5）1-21x =（1+1x ）（1-1x ）；（ ）; （6）m 2+1m +2=（m+1m
）2；（ ） （7）a 3-b 3=（a-b ）（a 2+ab+b 2）．（ ）
B 层练习
2、检验下列因式分解是否正确？
(1)2ab 2+8ab 3=2ab 2 (1 + 4b) （ ）
(2) 2x 2-9= (2x+3)(2x-3) （ ）
(3) x 2-2x-3=(x-3)(x+1) ( )
(4) 36a 2-12a-1= (6a-1) 2 （ ）
C 层练习
1.若 x 2+mx-n 能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 。
2．x 2-8x+m=(x-4)( ),且m= 。
知识点2 基本方法
因式分解的方法：1、
2、 ○
1 ○
2 3、
1.公因式确定
系数、字母、相同字母指数
2.变形规律：
（1）x-y= (y-x) (2) -x-y= (x+y)
(3) (x-y)2= (y-x)2 (4) (x-y)3= (y-x)3
知识点3 一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
挑战自我
将下列各式分解因式：
(1) 3am²-3an²
(2) 3x³+6x²y+3xy²
(3) 18a²c-8b²c
（4） m4- 81n4
知识点4 拓展应用
1.简化计算
(1)562+56×44 (2)1012 - 992
2.解方程
x³-9x=0
3.多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)=
变式：20052+2005能被2006整除吗？
课堂小结：
通过这节课的复习你有哪些新的收获与感受?说出来与大家一起分享！
达标检测
1、因式分解
(1) -24x3–12x2 +28x (2) m(a-3)+2(3-a)
(3) 4x2-9y2(4) 1-x2+2xy-y2
2．多项式x2n－x n提取公因式x n后另一个因式是（）
A．x n－1 B．x n C．x2n－1－1 D．x2n－1
3．若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=( )
A.2
B.4
C.6
D.8
4．计算：210+（－2）11的结果是（）
A．210B．－210C．2 D．－2
5．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
6．计算：7.6×199.8+4.3×199.8-1.9×199.8
7．计算：9992+999．
8．已知x=56，y=44，求代数式1
2
x2+xy+
1
2
y2的值．
9．（拔高题）已知x+y=1，xy=-1，则x2+y2=_______
已知x-y=1,xy=2，则 x3y-2x2y2+xy3=_______.。
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解 小结与复习
四、公式法 —— 完全平方公式 1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2 2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_平__方__和__
的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的_乘__积___
考点三 利用提公因式法求值
例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
考点五 完全平方公式分解因式
例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
练一练
5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值.
2
2
解：1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3＝ 1 ab(a2＋2ab＋b2)
最新北师大版八年级数学下册-第四章单元综合复习-《因式分解》复习教案
第四章因式分解●教学目标（一）教学知识点1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.2.熟悉本章的知识结构图.（二）能力训练要求通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.●教学重点复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.●教学难点利用分解因式进行计算及讨论.●教学方法引导学生自觉进行归纳总结.●教具准备投影片三张第一张（记作§4.6 A）第二张（记作§4.6 B）第三张（记作§4.6 C）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.Ⅱ.新课讲解（一）讨论推导本章知识结构图［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）［生］（二）重点知识讲解［师］下面请大家把重点知识回顾一下.1.举例说明什么是分解因式.［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式.［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.2.分解因式与整式乘法有什么关系?［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.3.分解因式常用的方法有哪些?［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c）a2－b2=（a+b）（a－b）a2±2ab+b2=（a±b）24.例题讲解投影片（§4.6 A）［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.（1）x 2+3x+4=（x+2）（x+1）+2（2）6x 2y 3=3xy·2xy 2（3）（3x －2）（2x+1）=6x 2－x －2（4）4ab+2ac=2a （2b+c ）［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.（2）不是因式分解,因为6x 2y 3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.（3）不是因式分解,而是整式乘法.（4）是因式分解.投影片（§4.6 B ） ［例2］将下列各式分解因式.（1）8a 4b 3－4a 3b 4+2a 2b 5;（2）－9ab+18a 2b 2－27a 3b 3;（3）41－91x 2; （4）9（x+y ）2－4（x －y ）2;（5）x 4－25x 2y 2;（6）4x 2－20xy+25y 2;（7）（a+b ）2+10c （a+b ）+25c 2.解:（1）8a 4b 3－4a 3b 4+2a 2b 5=2a 2b 3（4a 2－2ab+b 2）;（2）－9ab+18a 2b 2－27a 3b 3=－（9ab －18a 2b 2+27a 3b 3）=－9ab （1－2ab+3a 2b 2）;（3）41－91x 2=（21）2－（31x ）2 =（21+ 31x ）（21－31x ）; （4）9（x+y ）2－4（x －y ）2=［3（x+y ）］2－［2（x －y ）］2=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）=（5x+y）（x+5y）;（5）x4－25x2y2=x2（x2－25y2）=x2（x+5y）（x－5y）;（6）4x2－20xy+25y2=（2x）2－2·2x·5y+（5y）2=（2x－5y）2;（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2=（a+b）2+2·（a+b）·5c+（5c）2=［（a+b）+5c］2=（a+b+5c）2投影片（§4.6 C）［例3］把下列各式分解因式:（1）x7y3－x3y3;（2）16x4－72x2y2+81y4;解:（1）x7y3－x3y3=x3y3（x4－1）=x3y3（x2+1）（x2－1）=x3y3（x2+1）（x+1）（x－1）（2）16x4－72x2y2+81y4=（4x2）2－2·4x2·9y2+（9y2）2=（4x2－9y2）2=［（2x+3y）（2x－3y）］2=（2x+3y）2（2x－3y）2.［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?［生］可以.分解因式的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.Ⅲ.课堂练习1.把下列各式分解因式（1）16a 2－9b 2;（2）（x 2+4）2－（x+3）2;（3）－4a 2－9b 2+12ab;（4）（x+y ）2+25－10（x+y ）解:（1）16a 2－9b 2=（4a ）2－（3b ）2=（4a+3b ）（4a －3b ）;（2）（x 2+4）2－（x+3）2=［（x 2+4）+（x+3）］［（x 2+4）－（x+3）］=（x 2+4+x+3）（x 2+4－x －3）=（x 2+x+7）（x 2－x+1）;（3）－4a 2－9b 2+12ab=－（4a 2+9b 2－12ab ）=－［（2a ）2－2·2a·3b+（3b ）2］=－（2a －3b ）2;（4）（x+y ）2+25－10（x+y ）=（x+y ）2－2·（x+y ）·5+52=（x+y －5）22.利用因式分解进行计算（1）9x 2+12xy+4y 2,其中x=34,y=－21; （2）（2b a +）2－（2b a -）2,其中a=－81,b=2. 解:（1）9x 2+12xy+4y 2=（3x ）2+2·3x·2y+（2y ）2=（3x+2y ）2当x=34,y=－21时 原式=［3×34+2×（－21）］2 =（4－1）2=32=9（2）（2b a +）2－（2b a -）2 =（2b a ++ 2b a -）（2b a +－2b a -） =ab当a=－81,b=2时 原式=－81×2=－41. Ⅳ.课时小结1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.2.利用因式分解简化某些计算.Ⅴ.课后作业复习题 A 组Ⅵ.活动与探究求满足4x 2－9y 2=31的正整数解.分析:因为4x 2－9y 2可分解为（2x+3y ）（2x －3y ）（x 、y 为正整数），而31为质数.所以有⎩⎨⎧=-=+1323132y x y x 或⎩⎨⎧=-=+3132132y x y x 解：∵4x 2－9y 2=31∴（2x+3y ）（2x －3y ）=1×31∴⎩⎨⎧=-=+1323132y x y x 或⎩⎨⎧=-=+3132132y x y x 解得⎩⎨⎧==58y x 或⎩⎨⎧-==58y x 因所求x 、y 为正整数，所以只取x=8,y=5.●板书设计 §4.6回顾与思考一、1.讨论推导本章知识结构图2.重点知识讲解（1）举例说明什么是因式分解.（2）分解因式与整式乘法有什么关系? （3）分解因式常用的方法有哪些? （4）例题讲解例1、例2、例3（5）分解因式的一般步骤二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案(可编辑修改word版)
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案1 因式分解【知识与技能】使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.【过程与方法】认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.【情感态度】培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【教学重点】因式分解的概念.【教学难点】难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.一.情景导入，初步认知下题简便运算怎样进行？问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.二.思考探究，获取新知问题：(1)993-99 能被99 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99 能被99 整除.(2)993-99 能被100 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99- 1）= 99×98×100所以993-99 能被100 整除.想一想：（1）在回答993-99 能否被100 整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据.（3）993-99 还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？【教学说明】老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99 化成了怎样的形式？【归纳结论】以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.可以了解:993-99 可以被98、99、100 三个连续整数整除.将99 换成其他任意一个大于 1 的整数,上述结论仍然成立吗?学生探究发现：用a 表示任意一个大于1 的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)① 能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？② 这样变形是为了达到什么样的目的？【教学说明】经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.【归纳结论】把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.三.运用新知，深化理解1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；（3）a2－4=（a+2）(a－2）；（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.答案：（2）（3）是因式分解.2.试将下列各式化成几个整式的积的形式（1）3x2-2x= - (2)m2-4n2 =答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)3.分解因式.4m2-4m= 2a3+2a= y2+4y+4=答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2 4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2 的值为.答案：210.5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b 的值是（）A.0B.2C.5D.8答案：D.6.9993-999 能被998 整除吗？能被1000 整除吗？解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998 所以9993- 999 能被998 整除，能被1000 整除。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
因式分解 北师大版数学八年级下册期末复习
(选做题)1.观察下列各式：3²-1²=8×1, 5²-3²=8×2,7²-5²=8×3，……，探索以上式子的规律， 试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写 式子的正确性.
解：规律：(2n+1)²-(2n-1)²=8n 验证： (2n+1)²-(2n-1)²
1、整式乘法与分解因式的概念易混 2、分解因式要彻底
3.(x 5)(x 3)是多项式x2 px 15分解因式的结果， 则5. p的值是 8 .
6.多项式 a(a x)(x b) ab(a x)(b x) 的公因式是（ B ）
A.－a B. a(a x)(x b) C. a(a x) D. a(x a)
7.若 mx 2 kx 9 (2x 3)2 ，则m，k的值分别是（ C ）
=3a(a+2b)
(2)原式=[(x²-5)+1]² (3)原式=(x²+y²)²-4(x²+y²)+4
=(x²-4)²
=[(x²+y²)-2]²
=[(x+2)(x-2)]²
=(x²+y²-2)²
=(x+2)²(x-2)²
2．已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
2．下列各式中：①x2﹣6x+9； ②25a2+10a﹣1； ③x2﹣4x+4； ④a2+a+ ．其中能用完全平方公式
因式分解的个数为（ C ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.因式分解（1）a²-4a-b²+4=_(_a_-_2_+_b_)_(_a_-_2_-_b)
数学北师大版八年级下册第四章 因式分解复习课教案
(a b) (a b) 2 2ab 3 3 2 (2)
2
39
（五）课后检测
3ab 1、多项式 12a 2 b 3ab 各项的公因式是___________ ；
2、一个长方形面积是（x2－9）米2，其长（x+3）米. (x-3) 米． 用含有x 的整式表示它的宽为_______
2、若 a b 3, ab 2, 求a 3 a 2 b ab 2 b 3 的值。 解： a b 3, ab 2
a a b ab b
3 2 2
2 2
3
a ( a b) b ( a b) (a b)(a b )
2 2
2 14 abc 7 ab 49 ab c （2 ）
（3）xx y y y x （4） 9a b 16a b
2
2
3 2 2 （5 ） 3 x 12 x y 12 xy
10、设n为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除. 证明： (2n 1) 2 25
2
(m n)(m 2)
(2n 1) 5
2
2
(2n 1 5)(2n 1 5) (2n 6)(2n 4) 4(n 3)(n 2)
所以（2n+1）2－25能被4整除
（四）合作提升
1、求证：无论x、y为何值，4 x 2 12 x 9 y 2 30 y 35 的值恒为正。
（三）训练
1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ B ） A、 (3 x)(3 x) 9 x 2 B、m 3 n 3 (m n)(m 2 mn n 2 )
八年级下册数学北师大版第四单元复习 教学设计 教案
第4单元 因式分解复习教案一、复习目标1．复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式。
2．通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、课时安排1课时三、复习重难点重点：复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.难点：利用分解因式进行计算及讨论.四、教学过程（一）知识梳理1. 分解因式，就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.2. 公因式 在多项式中，如果每一项都含有相同的因式，就把这个因式称为公因式. 多项式各项的公因式的确定应该符合以下三条：（1）所含的字母或因式是每一项都共有的.（2）同一字母或因式的指数是它在各项中是最低的.（3）各项系数为整数时，公因式的系数是它们的最大公约数.3. 公式法①平方差公式：))((22b a b a b a -+=-②完全平方公式：,)(2222b a b ab a +=++.)(2222b a b ab a -=+-运用公式分解因式要根据多项式的形式和特点，正确的选择公式，值得注意的是公式中的b a 、可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式.如何正确选用分解因式的方法？由于多项式的形式多种多样，所以因式分解的方法也有多种.要迅速选择恰当的方法，必须注意从多项式的项数、各项符号、各项之间的关系几方面综合分析.一般地可遵循下列步骤进行：（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；（2）提公因式后或各项无公因式，再看多项式的项数：①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解因式；②若多项式为三项，可考虑用完全平方公式；③若多项式有四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法.（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行.（4）检查分解后的每个因式是否是质因式.要分解到多项式的每个因式在要求的数的范围内都不能再分解为止.（二）题型、方法归纳考点一：分解因式的概念例1 请指出下列式子中，属于分解因式的是（ ）A. 22(3)69t t t +=++ )11(44422aa a a -=- 24(2)(2)x x x -=+- )64(642-=-x x x x解析：（1）因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形的过程.如：22(3)69t t t +=++是整式乘法.反过来，2269(3)t t t ++=+则是因式分解.（2）分解因式的结果中的几个因式必须是整式.而)11(44422aa a a -=-.结果虽然是乘积的形式，但a1不是整式，所以其结果不能算是分解因式. （3）分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是1.而)64(642-=-x x x x .结果中的因式64-x 中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是)32(2642-=-x x x x .故C 是正确答案.考点二：提取公因式法例2 把2234()5()7()m n n m m n -+---分解因式.分析:()m n -与()n m -各项符号都相反，可以通过添括号化为同一因式，[]222()()()n m m n m n -=--=- 解:[]()22322322 4(-)5(-)-7(-)4(-)5(-)-7(-)(-)(45-7(-)(-)9-77m n n m m n m n m n m n m n m n m n m n +=+=+=+考点三：公式法例3 把44161a b -+分解因式.分析：观察题中两项符号正好是相反，可以考虑运用平方差公式.先变换两项位置，使之与公式一致，从而得以利用公式.解：44222222161(14)(14)(14)(12)(12)a b a b a b a b ab ab -+=+-=++-考点四：因式分解的拓展例4 求满足4x 2－9y 2=31的正整数解.分析:因为4x 2－9y 2可分解为（2x+3y ）（2x －3y ）（x 、y 为正整数），而31为质数.所以有⎩⎨⎧=-=+1323132y x y x 或⎩⎨⎧=-=+3132132y x y x 。
八年级数学下册 第四章 因式分解复习导学案(新版)北师大版
八年级数学下册第四章因式分解复习导学案(新版)北师大版学生活动（自主参与、合作探究、展示交流）学习目标1使学生了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系。
2使学生掌握分解因式的基本方法，会用这些方法进行多项式的因式分解。
3、因式分解的基本方法（1）提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有，首先。
（2）运用公式法：平方差公式：a2-b2= 完全平方公式：a22ab+b2= 注：这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。
（3）字相乘法：用这种方法能把某些二次三项式ax2+bx+c分解因式。
a x2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）就是说：a分解成a1、a2；c分解成c1、c2，将a1，a2，c1，c2排列成 a1 c1 a2 c2若按斜线交叉相乘，再相加正好得a1c2+a2c1=b，则ax2+bx+c分解因式为（a1x+c1）（a2x+c2）。
二、合作探究：把下列各式因式分解：1、23、4、5、6、归纳：因式分解的一般步骤把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先；（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用字相乘法来分解；（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能为止。
四、总结归纳：谈谈你本节课的收获？五、作业布置：习题重难点重点：因式分解的基本方法。
难点：因式分解的方法和技巧。
学生活动（自主参与、合作探究、展示交流）一、知识回顾：1、因式分解的概念：把一个多项化为的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
这一概念的特点是：（1）多项式因式分解的结果一定是的形式；（2）每个因式必须是。
（整式/分式）（3）各因式要分解到为止。
2、因式分解与整式乘法的区别和联系整式乘法是把几个整式相乘化为，而因分解是把一个多项式化为，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如: 整式乘法整式乘法m（a+b-c）ma+ab-mc （a+b）（a-b） a2-b2 因式分解因式分解整式乘法（ab）2 a22ab+b2 因式分解整式乘法（a1x+c1）（a2x+c2）a1a2x+(a1c2+a2c1)x+c1c2 因式分解。
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解培优说课教学复习课件
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)[n－(m－n)]
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)．
课堂小结
确定公因式的方法：三定，
公因式为
多 项 式
因 式
分 解
注
意
即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提
公因式
1.分解因式是一种恒等变形；
C．x＋y
D．x－y
导引：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转
化为＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，
由此可确定剩余的因式．
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一
个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练
把下列各式因式分解：
（1） x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．
(n是奇数）
(2) a+b与b+a 相等.
(a+b)n = (b+a)n
(n是整数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”
号，使等式成立：
－
(1) (a-b) =___(b-a);
北师大版教科书八年级下册第四章《因式分解——复习课》教学设计
《因式分解——复习课》教学设计【教材分析】本节课《因式分解——复习课》选自北师大版教科书八年级下册第四章回顾与思考，它既承接了前面学习的整式乘法的相关知识，也为后续学习分式方程、一元二次方程等奠定基础，在教材中起到了承上启下的作用。
【学情分析】学生已经学习了分解因式的两种方法，但对分解因式在实际中的应用认识还不够深刻,应用不够灵活。
在前面的学习过程中,学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法,获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础,同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.【教学目标】知识与技能:1、进一步加深对“因式分解”概念的理解;2、恰当运用掌握的方法因式分解;。
3、应用因式分解解决数学问题过程与方法:1、通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力。
2、在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.情感态度与价值观目标:1、通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力。
2、通过应用因式分解方法进行简便运算,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识,体会数学的魅力。
【教学重难点】教学重点：能准确、熟练、灵活地对多项式进行因式分解。
教学难点：因式分解的综合应用。
【教学过程】第一环节：梳理知识初成体系。
教学内容：播放提前收集的思维导图，挑选1份优秀学生作品，并让学生阐述自己设计思路。
设计意图：让学生用思维导图的形式基本梳理清楚本章的知识结构，培养了学生知识归纳的能力。
第二环节：纠错练习健全体系教学内容：教师从学生平时作业中截取易错片段，请学生改正. 设计意图：通过精选学生作业中常见错题，让学生分析错误原因，帮助学生进一步巩固因式分解的注意事项。
第三环节：典型例题提升能力例一．将下列各式因式分解（1）5a2-20b2（2）2a2b-ab-a3b（3）(2n+1)2-(n+2)2（4）(x2-4)2-10(x2-4)+25教学内容：学生用自己的语言归纳总结因式分解的步骤。