巧用数形结合思想解题
巧用数形结合的方法解题
为（ 一 １， １ ） 。
４
＝
例 ３ 设厂 （ ） 、 （ ） 分别是 定义在Ｒ上 的奇 函数 和偶 函数 ， 当ｘ ＜ ０ 时， 厂 （ ） ｇ （ ｘ ） ＋ ） （ ） ＞ ０ ， 且 （ 一 ３ ） ０ ， 则不等式 ） （ ） ＜ ０ 的解集 为（ ）
①
思 路 方 法
巧 用数形 结合 的 去解 题
■ 张 爱 洁
摘 要： 本文阐述 了数形结合思想在 中学数学教 学 中的应用 ，通过实例体会数形结合在 函数 、定积 分、 复数及圆锥 曲线 中的应用 。 关键词 ： 数形结合 发散思维 解题 新课程标准指出 ： “ 教师应激 发学生学 习的积极 性， 向学 生提供充分从事数学活动的机会 ， 帮助他们 在 自主探索和合作交流的过 程中真正理解 和掌握基 本 的数学知识与技能 、 数学思想和方法 ， 获得广泛 的 数学活动经验 。 ” 不管是从新课程标准对“ 双基 ” 的要 求、 思维能力的要求及教学 内容 的特点 ， 还是从 高考 题设计背景来看 ， 数形结合 思想都是不可替代 的。 函 数这 一章 明确提 出 ： 通过观察 图像 ， 对 函数是否具有 某种性质 ， 作 出一种猜想 ， 然 后通过推理 的办法 ， 证 明这种猜想的正确性 ，并指 出这是发现和解决 问题 的一种常用数 学方法 。 以“ 形” 的直观启迪 思路 ， 导致 发现 ； 以“ 数” 的严谨表述来论证发现的正确 ， 从而使 新教材把高中数学教学 引导到一个更高的境界 。著 名数学家华罗庚说 ： “ 数 与形本是相倚依 ，怎能分做 ●， ● ■， 两边飞 数缺形时少直觉 ， 形少数 时难入微 。 ” 他还风 趣地说 ： “ 数形结合 百般好 ， 割裂分家万事非。” 并亲 切地教导我们不要 得意忘“ 形” 。 数形结合包含“ 以形 助数” 和“ 以数辅形 ” 两个方面 ， 其应用大致可 以分为 两种情形 ：或者是借助形 的生动 和直观性来 阐明数 之间 的联 系 ， 即以形作为手段 ， 数 为 目的 ， 比如应用 函数 图像来直观地说明函数的性 质 ；或者是借 助于 数 的精 确性和规范严 密性 来 阐明形 的某 些属性 ， 即 以数作为手段 ， 形作为 目的， 如应 用曲线 的方程来精 确地 阐明曲线 的几何性质。 解题经验告诉我们 ， 当寻 找解题思路发生困难的时候 ，不妨从 数形结合 的观 点去探索 ； 当解题过程 的复杂运算使人望而生畏 时， 不妨从数形结合 的观点去开辟新路 ；当需 要经验的 正确性时 ， 不妨从数形结合 的观点去验证 。 数形结合 的方法给数学 的解题带来很大的方便 ，下面通 过几 个数学实例来说 明它在教学 中的重要作用。 例１ 已知 方程 ｓ 一 ３ ｘ 一 １ 一 ｍ＝ ０ 有 三个不 等实根 ， 求ｍ的取值范围。 分析 ： 把方程 ３ — ３ ｘ 一 １ 一 ｍ＝ ０ 有 三个不等实根铮方 程 ， 一 ３ 一 １ ＝ ｍ有三个不等 实根 。令方程左边 为 ） ， 右边为ｇ （ ｘ ） ， 方程有 三个不 等实 根等价 于 函数厂 （ ） 与ｇ （ ｘ ） 的图像 有三个 不同交点 ， 先用 导数 的知识画 出 函数 ） 的近似 图像 ， 然 后平移 直线ｙ ＝ ｍ， 易求 ｍ 的取值范围为［ 一 ３ ， １ ］ 。 例２ 实 系数一元 二次方 程 ０ ＋ 似＋ ２ ６ ＝ ０ 的一根 域 中的点 （ ａ ， ｂ ） 与点（ １ ， ２ ） 的连线 的斜 率 ， 易得结 果
“数形结合”巧计算
“数形结合”巧计算数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。
比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。
对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下．方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（+nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（+nn．图1方案二：设计图形如图2所示．图2因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。
巧用数形结合解难题
（ ，） ， １ ２ 时 要使 ｙ＜ ， ２只需使 ｌ ≥ （ —１ 即 ａ ２ ｏ ＆２ ２ ） ， ≤ ．
综上可知 ， 当 １ 。 ２时 ， 等 式 （ 一 １。 １ 对 ｌ∈ （ ， ） ＜ ≤ 不 ｚ ）＜ ｏ ＆ ｚ １２
恒成立 ；
填空 中更显其优势． 下面通过举 例来说 明数形结 合思想
解题 方法 与技巧 ＨＮ ＸＥ Ｊ ＯＵ Ａ ＫＯ ＺＯ ＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ Ａ
巧
用
数
形
结
合
解
难
题
青海黄 南 州 中学（ １ ３ ０ 包永海 ８１０ ）
数形结合 ， 实质是将抽象 的数 学语言 与直观的 图形 结合起来 ， 使抽象思维和形象思维 结合起来 ， 通过“ 以形 Nhomakorabea一
、
一
解 ：‘ 。 ． 一厂 ｚ 是定义在 Ｒ上 的奇 函数 ，‘ （ ， ） （） ． 点 ０ ｏ ． 是其对称 中心． 。 ｆ ｘ ２ 一 一厂（ ） 厂 一 ） 即 又 ． （４ ） 。 － ｚ 一－（ ，
－ １ ｚ 一厂 １ ） ．直 线 ｚ １ 厂 ＋Ｉ （ ） （一ｚ ，‘ ． 一 是 一厂 ｚ 的对 称 轴 ， （）
ｚ 一－ １ ｘ ， ） 厂 － ）当一ｌ ≤ｏ时 ，（） （ ≤ 厂 一一寺 ， （．） 则厂８６
（ 任编辑 责
金
铃）
３ ９
ｋ ｘ ３ｌ ｃ １ ¨ 。 ｌ
中学 教 学 参 考
解 题方 法与技 巧
ｘ １２时 ， Ｅ（ ，） 不等式 （ 一１ ｏｏ ｚ ）￣ｌｇ ｘ恒不成立
（ ） ． Ａ． ． ０５ Ｂ． ０ ５ 一 ． Ｃ． ． １５ Ｄ． １ ５ 一 ．
巧用“数形结合”来解题
解析式为 ｙ —ｘ ＋ ２ ， 再由一 ｘ ＋ ２ ＞０解得 Ｘ ＜２ 。 由题 意在坐标 系中画出该直线 （ 如 图所示 ） ， 观察 图象 ， 则“ 当 的 Ｘ ＜２时 Ｙ ＞０ ” 显得非常直观。 即使 我们把条件 中的 Ｂ点坐标改 为（ １ ３ ３ ， １ ３ ） ， 其中 ， Ｉ Ｔ Ｉ ＜ ２ ， ｎ＞０同样 可以得到 Ｘ ＜２ 。 而如 果利 用 上 面代 数方 法解 不 等式 的 话， 很难想象有多少 同学能求准确 ｙ ＝ — 旦 ｘ 一 — 兰 这个解析式 ，更不用谈 解对
而如果利用上面代数方法解不等式的话很难想象有多少同学能求准确ynm2x2nnm2x2n从这个例子我们可以看出若将数与形割裂开来不能有机结合渗透一味在数上埋头苦干虽有寥寥走到成功彼岸者但更多的是浅尝辄止望洋兴叹者
总第 ７ ３ ０期
教海探航
巧 用“ 数形结合 ” 来解题
缪 亚 军
（ Ｌ ＂ ｒ － 阴市暨阳中学 ， 江 苏省 ２ １ ４ ４ ０ ０ ）
ｍ － ｍ －
—
、 ／ ， 、 ／ ｉ ， 、 ／ 是 一个 三角形 的三条边 的长 ， 求 这个 三角形 面积 。（ 用含 ｍ， ｎ 的代 数式表示 ） 。我们 同样可 以 由勾股 定理联 想到利用上面 的构造方法 ， 如 图构造 ：
所以Ｅ Ｆ ＝ 、 ／ ｍ ＋ ｎ ， Ｂ Ｆ ＝ 、 ／ ４ ｍ ２ ＋ ｎ ， Ａ Ｂ ＝ 、 ／ ｍ ｎ
旦 ｘ 一 — 兰 ＿ ＞ ｎ ０ 这个不等式了。
Ｙ Ｊ ｇ ＿ ＋例子我们可以看 出， 若将 “ 数” 与“ 形” 割裂开来 ， 不能有机 结合渗透， 一味在“ 数” 上埋头苦干 ， 虽有寥寥“ 走到成功彼岸 ” 者， 但更
拓学生 的思维视野 ， 培养他们解决问题的能力 。 位 富翁买进 的湖泊 和土地共有多少亩吗？（ 如 图所示 ） 我原来是 利用海伦公式求得三角形面积 的， 因为湖泊都为正方形 ， 参考文献 ： ［ １ ］ 漫谈 一次函数 的教 学， 中学数学教 学参考 ， ２ ０ ０ ７ ． １ ２ Ａ Ｂ ＝ 、 ／ １ ８， Ｂ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ６， Ａ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ０， 所以 ＡＡＢ Ｃ周长的一半 ［ ２ ］ 中学数 学思想方法概论 ， 广州暨南大学出版社 ， ２ ０ ０ ４ ． ４ ． ｓ ： 堕 ０＿ ＿ ［ ３ ］ 数学课程标 准解读 ， 北京师范大学 出版社 ， ２ ０ ０ ２ ． ５ ｓ 一： 二 ： 、 ／ ；
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
利用数形结合思想方法巧解题
∑ ＋＋２ ＝＿Ａ 。 ＿ ｌ ／ ２ ＝Ｉ ＿ Ａ ＇ Ｂ Ｔ ．
：
三 ：
口２ｉ ＋２
１
问题是每次延长多长的距离呢？计算发现 ：
Ｑ
口２ ‘
¨
３４ ‘３ ３。 √ ‘ ３
从 ＡＡｉ 。２ 延长到 Ａｍ ， ： 只要 Ａ Ａｍ 一 ２
Ｊ
￣－． ｐＩ ｎ －
ｔ ｉ ｔ２ ＋１
２彳ｌ ｎ ＊ 一
使得 Ｂ 。 ，ｏ２ ； Ａ ＝ ＡＡ ＝１
延 长 ＡＡ 到 Ａ ， 得 ＡＡ ＝ａ ； ０２ 使 ２。 ３
延 长 ＡＡ 到 Ａ ， － ６ ； ０４ ６／ Ａ Ａ ＝ ［ ￣
依 次下去 ，
延 到 ２ 使 Ⅲ： ， ， 长 。 １ 得 ：： 穹 … ： ＋ ２
则 ／＋ 胁． －２ Ａ ２ １
ｔ ｎ／ Ａ２ ａ ｉ 。＝ ＝
＝ ＝ 音 ， 等＝ ， 南
＋ ＿ ２ ０ ）
延长 ＡＡ到 Ａｉ ， 厶４Ｂ ２ ＝ … ， ０２ ２ ２使得 ＋ ２ Ａ ２ …， ｆ 延长 ＡＡ 到 Ａ ２使得 厶４ Ｂ ２ ２ ２ １ ｏ ２ ， ＋ ２ Ａ ＝ ； ＋ ＋
延 长 ＡＡ ｏ 到 Ａ ： 使 得 Ａ ：＋ ：＋， ：Ａ ：＝
Ａ０ Ａ ＋ ２＝Ａ０ Ａ２ ＋ Ａ２ Ａ４ ＋ Ａ４ Ａ６＋ … ＋ ２ ２＋ ＋ … ＋ ‘ ‘２
， ｉ
Ａ２Ａ２ ＋ ２
＝ ＋ ＋ … ＋
ａ２ － ａ＋ ｌ＝
＋０ ， ３
Ｏ＇ ｎ ＋１ ２
＝９ ＋ －９ ２ 口 ２ 口 ｌ ａ ２＋．
又 Ａ ＋ ２ 是锐角 ， 则可记 Ａｆ Ｂ ２＝ … ２ ２Ａ ２ ＋ （ ＝１２， ，） ， … ，． １
巧用数形结合解最值问题
—
解得 ： ２ －
３ 。
≤ ≤
３
ｋ＋ｌ
２ ＋ 、 ／ 了， 所 以
一
的最小值 为２ 一 、 ／ 了 ， 最大值 为
Ｖ十
，
Ｉ ｙ ＋２
Ｃ Ａ 边 上分别取 一点Ｄ、 Ｅ、 Ｆ ，
设ｌ ＡＤＩ ＝ ０ ， Ｉ Ｄ Ｂｌ ＝ ｍ， Ｉ Ｂ Ｅｌ ： ｃ ． Ｂ
Ｉ ＥＣＩ －ｒ ， Ｉ Ｃ同 ＝６， Ｉ Ｉ ＝ ｎ。
‘
当 然 这 里 的ｋ 并 非 是 某 一 条直 线 的斜 率 ， 所 以 问题 比 上一题要复杂。 解： 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２ 则（ １ 一
生 问题 熟 悉 化 。
一
例３ ： 已知 ： 点Ｐ （ ， ｙ ） 是 圆 卅ｙ 的 最 大值 。
＝ ９ 上的一动点 ， 求
距。 画与直线ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ 平行的 、 ７ （ 、 、１ 直线系， 问题转化为： 求直 — ＝ ＝ ＿ ７ ＿
－
、
利 用 数 形 结 合 转化 为两 点 之 间的 距 离 问题
二、 利 用 数 形 结 合 转 过
程。
Ａ
例２ ： 已知 ＋ ≤１ ， 求 型 ± 的最值 。
’ —
ｙ ＋２
分析 ： 本 题 可 以 转化 为斜 率 问题 ， 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２
解 ：构 造 边 长 为ｋ 的 等 边 三 角形 Ａ Ｂ Ｃ ， 并 在 Ｂ、 Ｂ Ｃ、
２
＼
即： ａ ｎ ＋ ｃ ｍ ＋ ｂ ｒ ＜ Ｋ ２ 。
从 以上例子可以知道 ， 使用了数形结合 的方法 ， 很多 问题便迎刃而解了。可见巧妙运用数形结合 的 思想方法 ， 解决一些抽象的数学问题 ， 可起到事半功 倍 的效果 。利用数形结合 ， 不仅使问题更 直观 ， 而且 时也大大加快 了解题的速度。所 以我们要 注意培养