社会研究方法：统计分析-1

第十讲 统计分析的基本概念与方法（1）
一、描述性统计分析 二、样本分布 三、推断性统计的基本概念 四、假设检验 五、相关分析 六、回归分析
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
(一)百分比、相对比与图表
1. 百分比(Percentage) 表1.某单位职工婚姻状况分布 婚姻状况 单身 已婚 离婚 人数 1000 700 200 百分比(%) 50 35 10
A
B
◆基尼系数值总是介于0，1之间，数值越
大，表明分配越不均等。
基尼系数的计算--洛论茨曲线法： X轴——人口百分比， Y轴——收入百分比。 收入等级 占家庭总收 入的百分比 累计占家庭 收入百分比
最低20%
次低20% 中间20% 次高20% 最高20%
6
12 17 24 41
6
18 35 59 100
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
按S计算例1的结果:
次数 1
2 12
3 7 11
4 3 13
5 10 14
6 5 15
7 30 14
8 15 13
9 24 14
10 6 14
A B
8
12 10
A公司的平均值:12分钟 B公司的平均值:13分钟 SA=8.74 SB =1.56 故B公司比A公司的送餐速度稳定的多(即你估计B 公司送餐到你家的时间的误差比A公司小的多)
方差:即把每个离散值先平方,计算总和,再除以样 本总数.
1 ( - )2 S = Xi X N
2
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
标准差:
标准差即方差的平方根。
1 S= Xi - X N
(
)
2
即以平均数来估计变量中每一个值所犯的错误平均 是S.该值越大,变量的分布面就越大.它显示变量分 布的离散程度.
正态分布曲线的数学表达式为
1 Y= e 2
2. 二项分布
将某随机试验重复进行n次，若各次试验 结果互不影响， 即每次试验结果出现的概率 都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次 试验是独立的。 对于n次独立的试验，如果每次试验结果出 现且只出现对立事件A与（－Ａ）之一，在每 次试验中出现A的概率是常数p(0<p<1),因而出 现对立事件（－Ａ）的概率是1-p=q，则称这 一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称 贝努利试验(Bernoulli trials )。
=
k=0,1,2…，n
若把上式与二项展开式
(q p) n =
k Cn p k q n-k k =0 n
相比较就可以发现，在n重贝努利试验中， 事件A发生k次的概率恰好等于展开式中 的第k+1项，所以也把它称作二项概率公 式。
二项分布的意义及性质 二项分布定义如下： 设随机变量x所有可能取的值为零和正整 数：0,1,2,…，n，且有
在社会科学研究中，我们经常碰到的 一类离散型随机变量，如n个人参加投票 的人数等，可用贝努利试验来概括。 在n重贝努利试验中，事件A可能发生 0，1，2，…，n次，现在我们来求事件A 恰好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发 生2次的方式有以下种：
◆二项分布的平均值和标准差
μ=np
σ= npq
二.概率分布
3.正态分布 ◆正态分布(normal distribution )是一种很重要的连续 型随机变量的概率分布。社会现象中有许多变量是 服从或近似服从正态分布的，如人的身高、体重、 学习成绩、收入分布等。许多统计分析方法都是以 正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概 率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因 此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实 际应用中，均占有重要的地位。 ◆正态分布对于描述统计有一定重要性,对推断统计则 极为重要
◆基尼系数计算公式
对收入分配X=（ x1, x2,… xn ）而言， 用每一对xi ,xj的差的绝对值的合计除以 收入，来反映不平等的程度。 1
G(x)= 2n2 μ
xi -xj |
◆联合国有关组织规定：
若低于0.2表示收入绝对平均；0.2-0.3 表示比较平均；0.3-0.4表示相对合理； 0.4-0.5表示收入差距较大；0.6以上表示 收入差距悬殊。
A1 A2 －A3 －A4 A1 －A2 A3 －A4 A1 －A2 －A3 A4 －A1 A2 A3 －A4 －A1 A2 －A3 A4 －A1 －A2 A3 A4
其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验发生； － Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验不发生。由于 试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 P(A1A2－A3－A4)=P(A1－A2A3－A4)=… = P(A1)·(A2)·(－A3)·(－A4)= p 2 q 4 －2 P P P
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
◆基尼系数
是描述一组数据的分散程度的另一个 相对指标。常用于作为描述不平等的指标。
20世纪初意大利经济学家基尼(C．Gini)，根 据洛伦茨曲线找出了判断分配平等程度的指标 （如下图），设实际收入分配曲线和收入分配绝 对平等曲线之间的面积为A，实际收入分配曲线 右下方的面积为B。并以A除以A+B的商表示不 平等程度。这个数值被称为基尼系数或称洛伦茨 系数。
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
(二)变量的集中/中心趋势(Central tendency) 的测量 1.众数（mode） 2.中位数(median) 3.平均数(mean)
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
1.众数 在一个变量分布中出现频率最高的变量值
寡居 合计
100 2000
5 100
寡居 5% 离婚 10% 单身 50% 已婚 35% 单身 已婚 离婚 寡居
图1.某单位职工婚姻状况分布
60 50 40 30 20 10 0 单身 已婚 离婚 寡居 10 5 50 35 百分比
图1.某单位职工婚姻状况分布
120 100 80 60 40 20 0
例1：前面“婚姻状况”例子中，单身人数最多 ，众数是单身者。 例2：变量值分布为 2、3、3、3、3、4、4、6、7 众数是3 ▲众数可以有两个： 2、3、3、3、3、4、4、5、5、5、5、6、7
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
2.中位数 指一个变量分布的中间点 例1：变量值分布为 2、3、3、3、4、6、7 例2：变量值分布为 2、4、4、4、6、7、8、9 中位数为： （4＋6）/ 2=5
=> 还需对变量的离散趋势(Dispersion)进行测量
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
(三)变量的离散趋势(Dispersion)的测量 1.极差/全距(Range) 极差=变量最高值 – 最低值 例1: RA=30 – 3 =27 RB=15 – 10 =5 ▲但极差仅反映了变量最高值和最低值的差异, 对变量分布中的其他值未加以考虑(浪费了许 多信息) => 变量的平均离散值/平均偏差(Average Deviation)
二项分布的特征
二项分布由n和p两个参数决定： 1、当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随 着n的增大 ，分布逐渐趋于对称，如图所示；
n值不同的二项分布的比较
2、当p值趋于0.5时，分布趋于对称，如图所示；
P值不同的二项分布的比较
3、对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增 加并达到其极大值，以后又下降。 此外，在n较大，p、q 较接近时，二项分 布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极 限分布是正态分布。
二、概率分布
1.随机变量 ◆离散型随机变量 如果变量x，其可能取值至多为可列出的若干个， 且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x为离 散型随机变量 (discrete random variable)。 ◆连续型随机变量 如果变量x，其可能取值为某范围内的任何数值， 且x在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率 是确定的，则称x为连续型随机变量(continuous random variable)。
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
▲虽然变量的集中趋势提供了变量分布的描述,但 仅知其集中趋势是不够的. 例1:清华附近2家送快餐公司的送餐速度: A:平均送到家的时间为12分钟,但最快3分钟到,最 慢30分钟到; B:平均送到家的时间为13分钟,但最快10分钟到, 最慢15分钟到. Q:你愿意选哪家?
基尼系数的计算-----洛论茨曲线法： X轴——人口百分比， Y轴——收入百分比。
◆基尼系数与洛伦茨曲线
当将收入分配X=（x1, x2,… xn）,按照 x1≦ x2≦… ≦xn 排列时，基尼系数是洛伦 茨曲线与完全平等曲线所围的面积的两倍。 ∵ G(x) =A/（A+B)= A/（1/2） =2A
1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
学龄 儿童 入学 率
图2. 各年代学龄儿童入学率
一、描述性统计(Descriptive Statistics)
◆百分比、相对比与图表仅仅给出了变量分
布的直观信息，若想对变量分布的特征有 更进一步的把握，还需对其分布的结构做 进一步处理。
Pn (k ) Cnk p k q n-k
=
其中p ＞ 0 ， q ＞ 0 ， p+q=1，则称随机变 量x服从参数为n和p的二项分布 (binomial distribution),记为 x～B(n,p)。