2019年高考数学模拟试卷及详细答案解析45
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学模拟试卷(4月份)+答案
2019年天津市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1．（5分）设全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＝0}，B ＝{0，﹣2}，则B ∩（∁U A ）＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣2，0}C ．{﹣1，﹣2}D ．{0}2．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x+2x−1＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −y −1≤02x −y +4≥0，则目标函数z ＝﹣2x ﹣y 的最大值为（ ） A ．16B ．0C ．﹣2D ．不存在4．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）A ．21B ．58C ．141D ．3185．（5分）抛物线y 2＝ax （a ＞0）的准线与双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则a 的值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．26．（5分）函数y ＝sin （2x +π3）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（−π12，0）中心对称（ ） A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π6D ．向右平移π67．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （3﹣x ）＝f （3+x ），且对任意x 1，x 2∈（0，3）都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，若a =2−√3，b ＝log 23，c ＝e ln 4，则下面结论正确的是（ ）A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B ．f （c ）＜f （a ）＜f （b ）C ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （c ）＜f （b ）8．（5分）边长为2的菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ．若∠BAD ＝60°，则BE →⋅EF →=（ ） A ．1B ．14C ．3√310D ．2120二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9．（3分）设复数z =2ii+1，则z +z = ．10．（3分）已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为 ． 11．（3分）已知直线l ：y ＝kx （k ＞0）为圆C ：(x −√3)2+y 2=1的切线，则k 为 ． 12．（3分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝0，当x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＞0，则不等式f(x)x ＞0的解集是 ．13．（3分）已知a ＞1，b ＞1，若log a 2+log b 16＝3，则log 2（ab ）的最小值为 ． 14．（3分）已知函数f （x ）={xlnx ，x ＞0x +1x+2，x ＜0，若方程[f(x)]2+af(x)+14e 2=0有八个不等的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos （π﹣B ）=23，c ＝1，a sin B =√6c sin A ． （Ⅰ）求边a 的值；（Ⅱ）求cos （2B +π3）的值．16．点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为23和13，每人限点一餐，且100%中奖．现有A 公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X 、Y 表示，记ξ＝XY ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1．（Ⅰ）若M 为PC 的中点，求证DM ∥面P AB ； （Ⅱ）求证：面P AB ⊥面PBC ； （Ⅲ）求AC 与面PBC 所成角的大小．18．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =(−1)n−14n2+4n−1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T 2n ；（Ⅲ）若对于∀n ∈N *，T 2n ＜λ2−2λ−2恒成立，求λ范围． 19．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于G ，H 两点，|GH |＝3，△F 1GH 的周长为8．过A 点作直线l 交椭圆于第一象限的M 点，直线MF 2交椭圆于另一点N ，直线NB 与直线l 交于点P ；（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若△AMN 的面积为18√27，求直线MN 的方程； （Ⅲ）证明：点P 在定直线上．20．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣x 2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y＝f（x）与y＝m在[1e，e]内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．2019年天津市高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1．【解答】解：解一元二次方程x 2+x ﹣2＝0得：x ＝﹣2或x ＝1， 即A ={−2，1}，∁U A ={−1，0，2}，又B ＝{0，﹣2}， 则B ∩（∁U A ）={0}，故选：D ．2．【解答】由|x ﹣2|＜1知，1＜x ＜3．故A ＝{x |1＜x ＜3}． 由x+2x−1＞0，知x ＞1或x ＜﹣2．故B ＝{x |x ＞1或x ＜﹣2}．因为A ⊆B ，所以答案为充分不必要条件． 故选：A ．3．【解答】解：画出不等式组{x +y −1≥0x −y −1≤02x −y +4≥0表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z ＝﹣2x ﹣y 得y ＝﹣2x ﹣z ，平移直线y ＝﹣2x ﹣z ，由图象知当直线y ＝2x ﹣z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x ﹣z 的截距最小，此时z 最大；由{x +y −1=02x −y +4=0，解得A （﹣1，2）， 所以z 的最大值为﹣2×（﹣1）﹣2＝0． 故选：B ．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝0，k ＝1不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝1，k ＝2 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝6，k ＝3 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝21，k ＝4 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝58，k ＝5 不满足条件k ＞5，执行循环体，S ＝141，k ＝6 满足条件k ＞5，退出循环，输出S 的值为141． 故选：C ．5．【解答】解：抛物线y 2＝ax 的准线为x =−a4， 双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线为y ＝±√22x ， 可得两交点为（−a4，√28a ），（−a4，−√28a ）， 即有三角形的面积为12•a 4•√24a ＝2√2，解得a ＝8， 故选：A ．6．【解答】解：假设将函数y ＝sin （2x +π3）的图象平移ρ个单位得到：y ＝sin （2x +2ρ+π3）关于点（−π12，0）中心对称∴将x =−π12代入得到：sin （−π6+2ρ+π3）＝sin （π6+2ρ）＝0∴π6+2ρ＝k π，∴ρ=−π12+kπ2，当k ＝0时，ρ=−π12 故选：B ．7．【解答】解：根据题意，定义在R 上的函数f （x ）满足f （3﹣x ）＝f （3+x ），则函数f （x ）关于直线x ＝3对称，c ＝e ln 4＝4，f （c ）＝f （4）＝f （2）， 又由对任意x 1，x 2∈（0，3）都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则函数f （x ）在（0，3）上为减函数， 若a =2−√3=3，b ＝log 23，则有0＜a ＜1＜b ＜2，则f （c ）＜f （b ）＜f （a ）， 故选：C ．8．【解答】解：设AF →=λAD →+（1﹣λ）AC →，又AE →=12AD →+12AO →=12AD →+14AC →，且存在实数t 使得 AF →=t AE →，∴λAD →+（1﹣λ）AC →=12tAD →+14t AC →， ∴{λ=12t 1−λ=14t，∴λ=23，∴AF →=23AD →+13AC →， ∴EF →=AF →−AE →=16AD →+112AC →，∴BE →•EF →=（AE →−AB →）•EF →=（AD →+DE →−AB →）•EF →=（AD →+14DB →−AB →）•（16AD →+112AC →）＝（AD →+14AB →−14AD →−AB →）•（16AD →+112AC →）＝（34AD →−34AB →）•（14AD →+112AB →）=316AD →2−116AB →2−18AB →•AD →=316×4−116×4−18×2×2×12 =14故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9．【解答】解：∵z =2ii+1=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ， ∴z =1−i ，则z +z =2． 故答案为：2．10．【解答】解：∵正方体的内切球体积为36π， 设内切球的半径为r ，则43πr 3=36π，得r ＝3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6， ∴正方体的体对角线长为√62+62+62=6√3．故答案为：6√3．11．【解答】解：根据题意，圆C ：(x −√3)2+y 2=1的圆心为（√3，0），半径r ＝1， 若直线l ：y ＝kx （k ＞0）即kx ﹣y ＝0与圆C ：(x −√3)2+y 2=1相切，则有√1+k 2=1，解可得：k ＝±√22， 又由k ＞0，则k =√22， 故答案为：√22． 12．【解答】解：依题意，f （1）＝0 由xf '（x ）﹣f （x ）＞0，得函数g （x ）=f(x)x 在（0，+∞）上为增函数 又由g （﹣x ）=f(−x)−x =f(x)x =g （x ），得函数g （x ）在R 上为偶函数 ∴函数g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数 且g （1）＝0，g （﹣1）＝0 由图可知f(x)x＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．13．【解答】解：∵log a 2+log b 16＝3； ∴1log 2a+4log 2b=3；又a ＞1，b ＞1； ∴log 2a ＞0，log 2b ＞0；∴log 2（ab ）＝log 2a +log 2b =(log 2a +log 2b)(13log 2a +43log 2b )=13+log 2b 3log 2a +4log 2a 3log 2b +43≥53+43=3； ∴log 2（ab ）的最小值为3． 故答案为：3．14．【解答】解：设t ＝f （x ），则方程方程[f(x)]2+af(x)+14e 2=0可化为：t 2+at +14e2=0，设此方程有两根t ＝t 1，t ＝t 2， [f(x)]2+af(x)+14e 2=0有八个不等的实数根等价于y ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数之和为8，由已知有：当x ＞0时，f （x ）＝xlnx ， 则f ′（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e时，f ′（x ）＜0，当x ＞1e时，f ′（x ）＞0， 即f （x ）在（0，1e）为减函数，在（1e，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数之和为8， 则x 1，x 2∈（−1e，0），得{a 2−4×14e 2＞0−1e ＜−a 2＜0g(−1e )＞0g(0)＞0， 解得：1e＜a ＜54e， 故答案为：（1e，54e）三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15．【解答】解：（Ⅰ）由cos（π﹣B）=23，得cos B=−23，………………………………（1分）∵c＝1，由a sin B=√6c sin A，得ab=√6ca，∴b=√6，……………………（3分）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得3a2+4a﹣15＝0，解得a=53，或a＝﹣3，（舍）∴a=5 3．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=−23，得sin B=√53，………………………………………………（7分）∴sin2B＝2sin B cos B=−4√59，cos2B＝2cos2B﹣1=−19，………………………………………………（10分）∴cos（2B+π3）＝cos2B cosπ3−sin2B sinπ3=4√15−118．…………………………（13分）16．【解答】（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i＝0，1，2，3，4．则由P（A i）=C4i(13)i(23)4−i⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）得P=P(A0)+P(A1)=C40(13)0(23)4+C41(13)1(23)3=1681+3281=4881．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6 分）P(ξ= 0)=P(A0)+P(A4)=C40(13)0(23)4+C44(13)4(23)0=1781，（8分）P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)=C41(13)1(23)3+C43(13)3(23)1=4081，…（10分）P(ξ=4)=P(A2)=C42(13)2(23)2=2481，………（11分）∴随机变量ξ的分布列为：ξ034P178140812481…………………………（12分）ξ的数学期望E(ξ)=0×1781+3×4081+4×2481=83．………（13分）17．【解答】证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且MN=12BC，AD∥BC且AD=12BC，则MN∥AD且MN＝AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，DM⊄面P AB，AN⊂面P AB，所以DM∥面P AB．（Ⅱ）BC⊥AB，BC⊥P A，AB∩P A＝A，所以BC⊥面P AB，又BC⊆面PBC，所以面P AB⊥面PBC．解：（Ⅲ）AN⊥PB，AN⊥BC，PB∩BC＝B，所以AN⊥面PBC，所以∠ACN即为所求．AN=√2，AC=2√2，sin∠ACN=12，所以AC与面PBC所成角的大小为30°．18．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S 22=S 1S 4，解得a 1＝1， a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）由于a n ＝2n ﹣1．所以：b n =(−1)n−1+(−1)n−1(12n−1+12n+1)T 2n =0+1+13−13−15+⋯−14n−1−14n+1=1−14n+1． （Ⅲ）由于：T 2n =1−14n+1＜1， 故：λ2﹣2λ﹣2≥1； ∴λ≥3或λ≤﹣1．19．【解答】解：（Ⅰ）|GH|=2b 2a=3，4a =8，解得：a =2，b =√3；所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．（Ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），①当直线MN 斜率k 存在时：设MN 方程为y ＝k （x ﹣1），联立得：（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，△＝144（k 2+1）＞0，x 1+x 2=8k24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3；∴|MN|=12(k 2+1)4k 2+3；A （﹣2，0）到MN 直线kx ﹣y ﹣k ＝0的距离为d =√k +1，∴S =18⋅|k|⋅√k 2+14k 2+3=18√27⇒17k 4+k 2−18=0⇒k =±1； 当k ＝﹣1时，MN 直线方程过F 2（1，0）直线MN 与椭圆的交点不在第一象限（舍）； 所以MN 方程为x ﹣y ﹣1＝0．②当直线MN 斜率k 不存在时，S =12⋅2b 2a ⋅(a +c)=92≠18√27（舍）．综上：直线MN 方程为：x ﹣y ﹣1＝0证明（Ⅲ）设AM ：y ＝k 1（x +2）（k 1＞0），与椭圆联立：(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0，∵{x A x M =16k 12−124k 12+3x A =−2∴x M =6−8k 124k 12+3，y M =12k 14k 12+3同理设BNy ＝k 2（x ﹣2）（k 2＞0），可得x N =8k 22−64k 22+3，y N =−12k 24k 22+3，所以MN 的方程为：y−y M x−x M=y N −y M x N −x M，以及MN 方程过F 2（1，0），将F 2，M ，N 坐标代入可得：（4k 1k 2+3）•（k 2﹣3k 1）＝0， ∵k 1k 2＞0，∴k 2＝3k 1．又因为AM 与NB 交于P 点，即{y p =k 1(x p +2)y p =k 2(x p −2)，x p =2(k 1+k 2)k 2−k 1，将k 2＝3k 1代入得x P ＝4，所以点P 在定直线x ＝4上 MN 方程为x ﹣y ﹣1＝020．【解答】解：（Ⅰ）f ′(x)=2x −2x =2−2x 2x，则f '（2）＝﹣3，且切点坐标为（2，2ln 2﹣4）， 所以所求切线方程为：3x +y ﹣2﹣2ln 2＝0； （Ⅱ）f ′(x)=2−2x 2x=0⇒x =±1（﹣1舍去）， 所以f （x ）在(1e ，1)为增函数，在（1，e ）为减函数， ∴f(1e )=−2−1e2，f （1）＝﹣1，f （e ）＝2﹣e 2； 所以m ∈[2−e 2，−2−12)∪{−1}； （Ⅲ）证明：g （x ）＝2lnx ﹣x 2﹣nx ，g ′(x)=2x −2x −n ， 假设g '（x 0）＝0，则有{2lnx 1−x 12−nx 1=0①2lnx 2−x 22−nx 2=0②x 1+x 2=2x 0，③2x 0−2x 0−n =0④，①﹣②得：2ln(x1x 2)−(x 12−x 22)−n(x 1−x 2)=0，∴n =2⋅ln(x1x 2)x 1−x 2−2x 0，由④得n =2x 0−2x 0，∴ln(x1x 2)x 1−x 2=1x 0；即ln(x 1x 2)x 1−x 2=2x 1+x 2；即ln(x1x 2)=2x1x 2−2x 1x 2+1⑤； 令t =x1x 2，u(t)=lnt −2t−2t+1，(0＜t ＜1)，则u ′(t)=(t−1)2t(t+1)2＞0∴u(t)在0＜t ＜1上增函数．u （t ）＜u （1）＝0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g '（x 0）≠0．。
2019年天津市高考数学模拟试卷及参考答案
2019年天津市高考数学模拟试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. B. C. D.2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C.D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log 23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. B.C. D.8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）若M为PC的中点，求证DM∥面PAB；（Ⅱ）求证：面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）求AC与面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁UA=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.【答案】A【解析】由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】A【解析】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.【答案】2【解析】解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】【解析】解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【解析】解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.【答案】3【解析】解：∵loga 2+logb16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据loga 2+logb16=3即可得出，从而得出log2（ab）=可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.【答案】【解析】解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=xlnx，则f′（x）=lnx+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.【答案】解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）【解析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cosB的值，利用正弦定理化简已知等式可求b的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6分），（8分），…（10分），………（11分）∴随机变量ξ的分布列为：ξ034Pξ的数学期望．………（13分）【解析】，由此利用n次（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.【答案】证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，AD∥BC且，则MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，DM⊄面PAB，AN⊂面PAB，所以DM∥面PAB．（Ⅱ）BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥面PAB，又BC⊆面PBC，所以面PAB⊥面PBC．解：（Ⅲ）AN⊥PB，AN⊥BC，PB∩BC=B，所以AN⊥面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与面PBC所成角的大小为30°．【解析】（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB．（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC．（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC 与面PBC所成角的大小．本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．【解析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k 1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN 斜率k 存在时：设MN 方程为y=k （x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k 的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM ：y=k 1（x+2）（k 1＞0），与椭圆联立，求出点M 的左边，同理求出点N 的坐标，将F 2，M ，N 坐标代入可得：（4k 1k 2+3）•（k 2-3k 1）=0，即可求证点P 在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.【答案】解：（Ⅰ），则f '（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x +y -2-2ln2=0； （Ⅱ）（-1舍去），所以f （x ）在为增函数，在（1，e ）为减函数， ∴，f （1）=-1，f （e ）=2-e 2； 所以；（Ⅲ）证明：g （x ）=2ln x -x 2-nx ，，假设g '（x 0）=0，则有，①-②得：， ∴， 由④得，∴；即； 即⑤； 令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2lnx-x2-nx，，假设g'（x）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科)-含详细解析
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|y=ln（x-1）}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.若复数z=，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. z的虚部为B.C. 为纯虚数D. z的共轭复数为3.执行如图所示的程序框图，若输入a的值为-1，则输出的S的值是（）A.B.C.D.4.若变量x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A. B. 1 C. 2 D.5.函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）=f（1-x），若f（1）=9，则f（2019）=（）A. B. 9 C. D. 06.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若sin x=3sin（x-），则cos x cos（x+）=（）A. B. C. D.8.如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为（）A.B.C.D.10.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为11.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y=，|MF1|-|MF2|=4，点N在圆x2+y2-4y=0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A. B. 5 C. 6 D. 712.已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程x lnx+（3-a）x+a=0有唯一实数解，则a所在的区间是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．14.（2x+y）（x-2y）5的展开式中，x2y4的系数为______．（用数字作答）15.如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．16.在△ABC中，记=-3，=，若 ⊥ ，则sin A的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等差数列{a n}的公差为正数，a1=1，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=12，b2+S3=10．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n+，求数列{c n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，AB=，AD=2，AP=3．（Ⅰ）求证：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角E-AB-D的余弦值．19.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50），第二组[50，55），…第六组[70，75），得到如图（1）所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率．（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b，c的值；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的概率分布列和数学期望；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ=60，σ2=25．若P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x=3相交于点B，求证：∠AFB的大小为定值．21.已知函数f（x）=x-a ln x+a-1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点M的直角坐标为（1，0），直线l的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a=b=1时，解不等式f（x）＞x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），求≥1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，B={x|y=ln（x-1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z==，∴z的虚部为-1，|z|=，z2=（1-i）2=-2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得a=-1，S=0，k=1满足条件k＜5，执行循环体，S=-1，a=1，k=2满足条件k＜5，执行循环体，S=-，a=3，k=3满足条件k＜5，执行循环体，S=，a=5，k=4满足条件k＜5，执行循环体，S=，a=7，k=5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由变量x，y满足作出可行域如图，化z=2x+y为2x+y-z=0，由图可知，当直线y=-2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z=．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的一般式，通过圆心到直线的距离，求解即可．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），又由f（1+x）=f（1-x），则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=-f（x），变形可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）=f（-1+505×4）=f（-1）=-f（1）=-9；故选：A．根据题意，由函数的奇偶性可f（-x）=-f（x），将f（1+x）=f（1-x）变形可得f（-x）=f （2+x），综合分析可得f（x+2）=-f（x），则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）=f（-1+505×4）=f（-1）=-f（1），即可得答案．本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，关键是分析函数f（x）的周期性．6.【答案】D【解析】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据线面平行的判定与性质定理可得：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．即可判断出关系．本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：sinx=3sin（x-）=-3cosx，解得：tanx=-3，所以：cosxcos（x+）=-sinxcosx==，故选：A．直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：对于①日成交量的中位数是26，故①错误，对于②因为日平均成交量为=，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故②错误，对于③认购量与日期不是正相关，故③错误，对于④10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，即10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．故④正确，综合①②③④得：正确个数为1，故选：B．先结合图象，再根据频率分布折线图逐一检验即可．本题考查了识图能力及频率分布折线图，属中档题．9.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R=，所以：V=．故选：A．首项被几何体的三视图转换为几何体进一步求出几何体的外接球半径，最后求出体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T=π，即ω=2，即f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin2x，易得：y=g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x=（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[-，2]，故选项D正确，故选：D．由三角函数图象的平移得：g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin2x，由三角函数图象的性质得：y=g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x=（k∈Z）对称的奇函数，由三角函数的值域得：当x时，2x∈[，]，函数g（x）值域为[-，2]，得解本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属中档题11.【答案】B【解析】解：由题意可得2a=4，即a=2，渐近线方程为y=±x，即有=，即b=1，可得双曲线方程为-y2=1，焦点为F1（-，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=4+|MF2|，由圆x2+y2-4y=0可得圆心C（0，2），半径r=2，|MN|+|MF1|=4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|==3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3-2=5．故选：B．求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由xlnx+（3-a）x+a=0，得，令f（x）=（x＞1），则f′（x）=．令g（x）=x-lnx-4，则g′（x）=1-=＞0，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）=1-ln5＜0，g（6）=2-ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）=0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（x0）=．∵x0-lnx0-4=0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C．把方程xlnx+（3-a）x+a=0有唯一实数解转化为有唯一解，令f（x）=（x＞1），利用导数研究其最小值所在区间得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，属中档题．13.【答案】32【解析】解：样本间隔为23-14=9，则第四个编号为14+2×9=14+18=32，故答案为：32根据条件求出样本间隔，即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．14.【答案】80【解析】解：∵（2x+y）（x-2y）5=（2x+y）（x5-10x4y+40x3y2-80x2y3+80xy4-32y5），∴x2y4的系数为2×80-80=80，故答案为：80．把（x-2y）5按照二项式定理展开，可得（2x+y）（x-2y）5的展开式中，x2y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】【解析】解：正方形的面积为e2，由lnxdx=（xlnx-x）|=1，由lnydy=1，=2，故S阴影故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16.【答案】【解析】解：∵在△ABC中，记=-3=--3=-4，==-，⊥，∴=-5•+4=0cosA===≥=，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A=1，所以sinA的最大值为．故答案为把给定的，用基础向量，来表示，借助余弦定理和基本不等式求出cosA的最小值，从而得sinA的最大值．本题考查向量的拆分，余弦定理，基本不等式的应用．属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，数列{b n}为等比数列，设公比为q，b1=2，且b2S2=12，b2+S3=10，可得2q（2+d）=12，2q+3+3d=10，解得q=2，d=1，则a n=1+n-1=n，b n=2n；（Ⅱ）c n=b n+=2n+=2n+2（），则前n项和T n=（2+4+…+2n）+2（1-+-+…+）=+2（1-）=2n+1-．【解析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得c n=b n+=2n+=2n+2（），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，CD=，AD=2，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD•CD cos∠ADC=12+3-2×=9，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC∩CD=C，∴CD⊥平面PCA，又CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD．解：（Ⅱ）E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，3，0），D（-，3，0），P（0，0，3），设E（x，y，z），=，（0≤λ≤1），则（x，y，z-3）=λ（0，3，-3），∴E（0，3λ，3-3λ），∵平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），∴sin45°=|cos＜，＞|=，解得λ=，∴点E的坐标为（0，1，2），∴=（0，1，2），=（，，），设平面EAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，-2，1），设二面角E-AB-D的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-AB-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AB-D的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于50公斤的概率为=0.02；所以a==0.004；在[50，55]上有13人，该组的频率为0.13，则b==0.065，所以2c==0.14，即c=0.07；（Ⅱ）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取1人，体重在[55，65）的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于3次独立重复实验，随机变量X服从二项分布B（3，0.7），则P（X=0）=•0.70•0.33=0.027，P（X=1）=•0.7•0.32=0.189，P（X=2）=•0.72•0.3=0.441，P（X=3）=•0.73•0.30=0.343；X数学期望为（）；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），其中σ=5；则P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）=P（50≤ξ＜70）=0.96＞0.9545，所以可以认为该校学生的体重是正常的．【解析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算a、b、c的值；（Ⅱ）用由题意知随机变量X服从二项分布B（3，0.7），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），计算P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）的值，再判断学生的体重是否正常．本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期望的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a2=3，b2=2，c2=1，∴椭圆C的方程为+=1．证明（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，联立，得（3k2+2）x2+6kmx+3m2-6=0△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）=0，得m2=3k2+2，设A（x1，y1），则x1=-=-=-，∴y1=kx1+m=-+m==，∴A（-，），∵点B为（3，3k+m），右焦点F（1，0），∴=（--1，），=（2，3k+m），∴•=--2++2=0，∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值．【解析】（Ⅰ）由题意可知，解得a2=3，b2=2，即可求出椭圆C的方程，（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，联立，根据直线l与椭圆相切，利用判别式可得m2=3k2+2，求出点A，B的坐标，根据向量的运算可得可得•=0，即∠AFB=90°，故∠AFB的大小为定值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1-=，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a=0时，∵x≥1，∴f（x）=x-1≥0恒成立，故a=0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）=a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）=e a-a，∵p′（a）=e x-1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）=1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min=f（e a）=e a-a2+a-1，设q（a）=e a-a2+a-1（a＞0），则q′（a）=e a-2a+1，q″（a）=e a-2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）=3-2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）=0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）；转换为直角坐标方程为：x-y-1=0，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．转换为直角坐标方程为：y2=2x．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）；代入y2=2x，得到：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，t1•t2=-4，则：===1．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1时，f（x）=|x-1|+|x+1|＞x+2，（i）当x＜-1时，不等式可化为：-2x＞x+2，即x＜-，故x＜-1，（ii）当-1≤x≤1时，不等式可化为：2＞x+2，即x＜0，故-1≤x＜0，（iii）当x＞1时，不等式可化为2x＞x+2，即x＞2，故x．2，综上，不等式的解集是{x|x＞2或x＜0}；（Ⅱ）证明f（x）=|x-a|+|x+b|≥|a+b|，∵f（x）的值域是[2，+∞），故a+b=2，故a+1+b+1=4，故=（+）=（2++）当且仅当=，即a=b=1时取“=”，即≥1．【解析】（Ⅰ）代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出a+b=2，根据绝对值不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
【水印已去除】2019年黑龙江省大庆一中高考数学四模试卷(文科)
2019年黑龙江省大庆一中高考数学四模试卷（文科）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅2．（5分）复数z＝的虚部为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．23．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a≤﹣3C．a≥﹣1D．a≥14．（5分）等比数列{a n}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是（）A．±4B．4C．±D．5．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b6．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）7．（5分）设椭圆的左焦点为F，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B 两点，则|AF|+|BF|的值是（）A．2B．C．4D．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B．C．6D．9．（5分）设不等式组，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P（x，y），则P点的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知向量＝（2cos2x，），＝（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y＝f（x）的性质的描述正确的是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为2πD．y＝f（x）在上是增函数11．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＞0时，有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2018）2f（x+2018）+4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2016）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2018）D．（﹣2016，0）12．（5分）已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]二．填空题，（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（m，4），＝（3，﹣2），且∥，则m＝．14．（5分）若运行如图所示的程序框图，输出的n的值为127，则输入的正整数n的所有可能取值的个数为15．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．16．（5分）给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．其中真命题的序号为三．解答题：共70分17．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n＝2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．18．海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其产量都属于区间[25，50]，按如下形式分成8组，第一组：[25，30），第二组：[30，35），第三组：[35，40），第四组：[40，45），第五组：[45，50]，得到如下频率分布直方图：定义网箱产量在[25，30）（单位：kg）的网箱为“低产网箱”，箱产量在区间[45，50]的网箱为“高产网箱”．（1）若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；（2）按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数；（3）若在（2）抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别m，n，求|m﹣n|＞10的概率；19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，PB⊥P A，PB＝P A，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝10，M是P A的中点．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求三棱锥B﹣CDM的体积．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C 的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|．（1）求p的值；（2）已知点T（t，﹣2）为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM 和直线TN的斜率之和为，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标．21．已知f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当a＝2，且x≥1时，f（x）≤e x﹣1﹣2恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2019年黑龙江省大庆一中高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部为﹣3．故选：B．3．【解答】解：由题意知：p：|x+1|＞2可化简为{x|x＜﹣3或x＞1}；q：x＞a∵“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，∴q是p的充分不必要条件，即q⊊p∴a≥1故选：D．4．【解答】解：设a4与a8的等比中项是x．由等比数列{a n}的性质可得，∴x＝±a6．∴a4与a8的等比中项x＝±a6＝＝±4．故选：A．5．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．6．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．7．【解答】解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨＝丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF＝BF2．∴|AF|+|BF|＝丨BF丨+丨BF2丨＝2a＝4，故选：C．8．【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体是三棱锥P﹣ABC 如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，则：，，所以最长棱为6．故选：C．9．【解答】解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），与圆x2+y2＝2的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在圆x2+y2＝2内的概率概率为＝，故选：A．10．【解答】解：f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，当x＝时，sin（2x+）＝sin≠±1，∴f（x）不关于直线x＝对称；当x＝时，2sin（2x+）+1＝1，∴f（x）关于点（，1）对称；f（x）得周期T＝＝π，当x∈时，2x+∈（﹣，），∴f（x）在在上是增函数．故选：D．11．【解答】解：设g（x）＝x2f（x），因为f（x）为R上奇函数，所以g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x），即g（x）为R上奇函数对g（x）求导，得g'（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]，而当x＞0时，有2f（x）+xf′（x）＞x2≥0故x＞0时，g'（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）在R上单调递增不等式（x+2018）2f（x+2018）+4f（﹣2）＜0（x+2018）2f（x+2018）＜﹣4f（﹣2），（x+2018）2f（x+2018）＜4f（2）即g（x+2018）＜g（2）所以x+2018＜2，解得x＜﹣2016故选：A．12．【解答】解：f（x）＝2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）＝﹣1得ωx﹣＝﹣+2kπ，或ωx﹣＝+2kπ，∴x＝+，或x＝+，k∈Z，设直线y＝﹣1与y＝f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则x A＝，x B＝，∵方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．故选：B．二．填空题，（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：向量＝（m，4），＝（3，﹣2），且∥，可得12＝﹣2m，解得m＝﹣6．故答案为：﹣6．14．【解答】解：令2n﹣1＝127，得n＝7，故输入n＝7符合题意；当输入的n满足n＞7时，输出的结果总是大于127，不合题意；当输入n＝6，5，4时候，输出的n的值为26﹣1＝63，25﹣1＝31，24﹣1＝15，均不合题意；当输入n＝3或n＝2时，输出的n＝127，符合题意；当输入n＝1时，进入死循环，不合题意．故输入的正整数n的所有可能取值为n＝2，3，7，共3个．故答案为：3．15．【解答】解：设双曲线C：，焦点F（c，0），对称轴y＝0，由题设知＝4a，b2＝2a2，c2﹣a2＝2a2，c2＝3a2，∴e＝＝．故答案为：．16．【解答】解：命题①是线面平行的判定定理，正确；命题②因为垂直同一平面的两条直线平行，所以空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；命题③平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；命题④因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确．故答案为：①②④．三．解答题：共70分17．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n＝2n2+n+k，k∈R．令n＝1时，，n＝2时，，n＝3时，，由于2a2＝a1+a3，所以，解得k＝﹣1．由于＝（2n﹣1）（n+1），且n+1≠0，则a n＝2n﹣1；（2）由于＝＝＝，所以S n＝+…+＝+n＝＝．18．【解答】解：（1）样本中的100个网箱的产量的平均数：，（2）各组网箱数分别为：12，20，32，28，8，要在此100 箱中抽25箱，所以分层抽样各组应抽数为：3，5，8，7，2；（3）由（2）知低产箱3箱和高产箱共5箱中要抽取2箱，设低产箱中三箱编号为1，2，3，高产箱中两箱编号为4，5，则一共有抽法10种，样本空间为：{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，满足条件|m﹣n|＞10的情况为高低产箱中各取一箱，{（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5）}共6种，所以满足事件A：|m﹣n|＞10的概率为．19．【解答】证明：（1）取PD中点N，连接MN，NC，∵MN为△P AD的中位线，∴MN∥AD，且，又∵BC∥AD，且，∴MN∥BC，且MN＝BC，则BMNC为平行四边形，∴BM∥NC，又∵NC⊂平面PCD，MB⊄平面PCD，∴BM∥平面PCD．解：（2）过M作AB的垂线，垂足为M′，取AB中点P'，连结PP'，又∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，MM′⊂平面P AB，∴MM′⊥平面ABCD．∴MM′为三棱锥M﹣BCD的高，∵P A＝PB，P'为AB中点，∴PP'⊥AB，∵AB＝8，∠BP A＝90°，∴△P AB为等腰直角三角形，PP'＝4，∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，PP′⊂平面P AB，∴PP′⊥平面ABCD．∴MM'∥PP'，∵M为P A的中点，∴，过C作CH⊥AD，交AD于点H，∴AB∥CH，∵BC∥AD，∴ABCH为平行四边形，∴CH＝AB＝8，，∴三棱锥B﹣CDM的体积为：．20．【解答】解：（1）设Q（x0，4），由抛物线定义，又|QF|＝2|PQ|，即，解得将点代入抛物线方程，解得p＝4．（2）证明：由（1）知C的方程为y2＝8x，所以点T坐标为设直线MN的方程为x＝my+n，点，由得y2﹣8my﹣8n＝0，则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，所以＝，解得n＝m﹣1，所以直线MN方程为x+1＝m（y+1），恒过点（﹣1，﹣1）．21．【解答】解：（1）：f′（x）＝﹣a．（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，f′（x）＝，若0＜x＜，则f′（x）＞0；若x＞，则f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．综上所述：当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞），证明（2）当x∈[1，+∞）由（1）可知当a＝2时，f（x）在[1，+∞）上单调减，f（x）≤f（1）＝﹣1，再令g（x）＝e x﹣1﹣2，∴g′（x）＝e x﹣1＞0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）＝﹣1，∴当a＝2，且x≥1时，f（x）≤e x﹣1﹣2恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．所以：ρ2cos2θ＝8ρsinθ，即：x2＝8y，所以曲线C表示焦点坐标为（0，2），对称轴为y轴的抛物线．（2）直线l过抛物线焦点坐标（0，2），且参数方程为：（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程，得：，所以，t 1t2＝﹣20，所以|MN|＝|t1﹣t2|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当a＝5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x﹣5|+5x≥5x+1，即|2x﹣5|≥1，即2x﹣5≤﹣1，或2x﹣5≥1．求得x≤2，或x≥3，故原不等式的解集为{x|x≤2，或x≥3}．（Ⅱ）∵a＞0，不等式f（x）≤0，即①，或②．解①可得≤x＜，故①无解；解②可得x≤，故原不等式的解集为{x|x≤}．再根据已知原不等式的解集为{x|x≤﹣1}，可得＝﹣1，∴a＝﹣3．。
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。
2019年最新全国高考数学(理)模拟题及答案带解析(20200421222234)
A． 110 B ． 116 C ． 118 D ． 120
答案 D
解析 如图，过点 A作 AP⊥ CD，AM⊥ EF，过点 B作 BQ⊥CD，
BN⊥ EF，垂足分别为 P，M，Q，N，连接 PM，QN，将一侧的几
何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为
1 2×10×3＝
15. 棱柱的高为 8，体积 V＝15×8＝ 120. 故选 D.
2
则 z－ z ＝ (
)
A． i B ．2－ i C ．1－ i D ． 0
答案 D
2
2
－
解析 因为 z－ z ＝ 1＋ i － 1＋ i ＝ ＋
－ －1
＋ i ＝1－ i － 1＋i ＝ 0，故选 D.
π1
3．[2017 ·福建质检 ] 已知 sin x＋ 3 ＝ 3，则 cos x＋ cos(
π
差的等差数列， ∴ bn－ 1＝－ n－ 1，∴ bn＝ n＋ 1. 故 b ＝ 2017 2018.
15．[2017 ·河北正定统考 ] 已知点 A(0,1) ，抛物线 C： y2＝ ax( a>0) 的焦点为 F，连接 FA，与抛物线 C 相交于点 M，
延长 FA，与抛物线 C的准线相交于点 N，若 | FM| ∶ | MN| ＝1∶
y＋ 1 如果目标函数 z ＝ x－ m的取值范围为
[0,2) ，则实数 m的取值范围为 ( )
1 A. 0，2
1 B. －∞， 2
1 C. －∞， 2
D． ( －∞， 0]
答案 C
解析 由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，
y＋ 1 而目标函数 z＝ x－ m的几何意义为可行域内的点 ( x，y) 与 A( m，
【精选五套高考模拟卷】2019年山东省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
2019年山东省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．62．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．23．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．75．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣810．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．在2019年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？2019年山东省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．6【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a﹣1+2，解得a=2．故选：B．2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．2【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．【解答】解：∵集合={2}，∴集合A的真子集只有一个为∅．故选：C．3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），即f（a）=，若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），综上a的值等于或﹣，故选：A．4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，则组距为=40；所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为=7．故选：D．5．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．【考点】直线的斜率．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，棱锥的高： =2，∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．故选：D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1， =﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8【考点】基本不等式．【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜8，解得m＞﹣10，故选：A．10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11 ．【考点】循环结构．【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a＜10，故输出11 故答案为1112．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为20 ．【考点】计数原理的应用．【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；若十位为0，则有C21•C21=4个；若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4=20个，故答案为：20．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于﹣15 ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab即可．【解答】解：∵|2x+a|＜b，∴﹣b＜2x+a＜b，∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，∴﹣＜x＜，由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，则，解得：a=﹣5，b=3则ab=﹣15，故答案为：﹣15．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于﹣1 ．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），可知m=﹣2，n=，函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log [（x+1）2+3]≤﹣1．函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．故答案为：﹣1．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=， =2，求得M（3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得=，即p=，=2，即b=2a①又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，解得x0=3，将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②由①②解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+ =cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵f（+）=，故有： sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin（θ+）= cosθ=，∴可解得：cosθ=，∵0＜θ＜，sinθ==，∴tanθ===．（2）∵f（x）=sin（2x﹣），∴T==π．∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．在2019年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：p=+=．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）=，EX==．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE 与BF所成角的大小为60°．【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF，又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，∵，且=λ，∴AB=（）λ，∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），∵直线AE与BF所成角的大小为60°，∴cos60°==，由λ＞0，解得λ=1，∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由于数列{a n}的前n项和S n=a n+，可得a1+a2=a2+﹣2，解得a1．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．（2）b n=，可得b2n﹣1==．b2n=．即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n=a n+，∴a1+a2=a2+﹣2，解得a1=3．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，解得a n﹣1=n+1．∴a n=n+2，当n=1时也成立．∴a n=n+2．（2）b n=，∴b2n﹣1===．b2n==．∴数列{b n}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得2=2，解得m=±，可得直线的方程为y=x±；②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，综上可得m的范围是（﹣2，2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•=•=•，|CD|=2=，即有λ==•=•，由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．则λ的取值范围是[，+∞）．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，故实数a的取值范围是a≤12；（2）f′（x）=﹣=，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴解得：a≥12，由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，=ln[]+a[]，=ln[]+a[]，=ln（）+a（），=，=3，解得a=9，但不满足a＞12，所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．2019年7月18日数学高考模拟试卷（理科） 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
山东省2019届高三4月高考模拟训练数学(理)试卷附答案解析
山东省2019年高三4月模拟训练数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.详解：由题意或，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A.的虚部为B.C.为纯虚数D.的共轭复数为【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案 【详解】∵z ，∴z 的虚部为﹣1，|z |，z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i 为纯虚数，z 的共轭复数为1+i ．，故选：AC ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知函数 ，则（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.4. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积，所以由几何概型知，所求事件概率，故选A．考点：几何概型．【此处有视频，请去附件查看】5.如图，在中，是边上的高，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，•（）••；⊥；•||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．【详解】•（）•••＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×44；故选：C．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，同时考查了线性运算，属于中档题．6.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 最低气温低于的月份有个B.月份的最高气温不低于月份的最高气温C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份D. 每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关【答案】A【解析】【分析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.如图正方体，点为线段的中点，现用一个过点的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（）A.尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.9.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图像为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求.【详解】∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4x+15≥25＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，∴a＝2，b＝1，,排除BC.此时g（x）＝2|x+1|，此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键。
2019年高考数学一模试卷含解析
2019年高考数学一模试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= ．2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．已知实数x，y满足，则的最小值是．7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．8．设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ．9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．11．在△ABC中，已知，，则的最大值为．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk ，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC 面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b xx；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O 于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B={﹣1} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．6．已知实数x，y满足，则的最小值是．【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．8．设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．（S△EFG【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，）max=，（S△EFG∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．11．在△ABC中，已知，，则的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k都是等边三角形，则△A10B10A11+1的边长是512．【考点】数列的求和．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC 面积的最大值为．【考点】余弦定理．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，﹣ +c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB ＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…又C∈（0，π），所以．…（2）因为，所以，所以，又，所以．…又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…=．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…则．…18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G 为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a ＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a ＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a ＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h （x ）=（x ﹣3）lnx ，h′（x ）=lnx ﹣+1，h″（x ）=+＞0恒成立，∴h′（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴存在x 0，h′（x 0）=0，即lnx 0=﹣1+，h （x ）在（0，x 0）上单调递减，（x 0，+∞）上单调递增，∴h （x ）min =h （x 0）=﹣（x 0+）+6，∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x 0∈（1，2），∴h （x ）不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h （x ）有解．20．若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、q 、d ，使得无穷数列{a n }满足则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．（1）若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3． ①当q=0时，求b xx ；②当q=1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【分析】（1）①方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差可得b xx =0×b xx =0，再由b xx =b xx +3，b xx =b xx +3即可；方法二：根据{b n }的首项、段长、段比、段差，⇒b 1=1，b 2=4，b 3=7，b 4=0×b 3=0，b 5=b 4+3=3，b 6=b 5+3=6，b 7=0×b 6=0，…⇒b n }是周期为3的周期数列即可； ②方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差，⇒b 3n +2﹣b 3n ﹣1=（b 3n +1+d ）﹣b 3n ﹣1=（qb 3n +d ）﹣b 3n ﹣1=[q （b 3n ﹣1+d ）+d ]﹣b 3n ﹣1=2d=6，⇒{b 3n ﹣1}是等差数列，又∵b3n+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n ﹣2方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，b3n+1（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，当m∈N*时，b km+2则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b xx=0×b xx=0，∴b xx=b xx+3=3，∴b xx=b xx+3=6．…方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b xx=b6=6．…②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，+2}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，∴{b3n﹣1又∵b3n+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）﹣2+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…∵，∴，设，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…方法二：∵{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b 3n +1=b 3n ，∴b 3n +3﹣b 3n =b 3n +3﹣b 3n +1=2d=6，∴{b 3n }是首项为b 3=7、公差为6的等差数列， ∴，易知{b n }中删掉{b 3n }的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…以下同方法一．（2）方法一：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ， 则等比数列{b n }的公比为，由等比数列的通项公式有，当m ∈N *时，b km +2﹣b km +1=d ，即bq km +1﹣bq km =bq km （q ﹣1）=d 恒成立，… ①若q=1，则d=0，b n =b ；②若q ≠1，则，则q km 为常数，则q=﹣1，k 为偶数，d=﹣2b ，； 经检验，满足条件的{b n }的通项公式为b n =b 或．… 方法二：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ， ①若k=2，则b 1=b ，b 2=b +d ，b 3=（b +d ）q ，b 4=（b +d ）q +d ， 由，得b +d=bq ；由，得（b +d ）q 2=（b +d ）q +d ， 联立两式，得或，则b n =b 或，经检验均合题意．… ②若k ≥3，则b 1=b ，b 2=b +d ，b 3=b +2d ，由，得（b +d ）2=b （b +2d ），得d=0，则b n =b ，经检验适合题意． 综上①②，满足条件的{b n }的通项公式为b n =b 或．…数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，PA ，PB 分别交半圆O 于点D ，C ．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…又因为AB是半圆O的直径，故，…则在三角形PDB中有．…[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【考点】特征向量的定义．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…解得m=0，λ=﹣4．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…则圆C的圆心到直线l的距离为，…所以．…[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（2）由题意得，．…所以X的概率分布表为：X012345P…所以，X的数学期望为．…26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．【考点】组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n ﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…②==．…（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n ﹣1x=．…令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…xx2月1日24926 615E 慞# 35558 8AE6 諦36366 8E0E 踎26989 696D 業h40385 9DC1 鷁o39492 9A44 驄34218 85AA 薪32794 801A 耚31093 7975 祵。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
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2019年高考数学模拟试卷及详细答案解析 2019.6 姓名：__________班级：__________考号：__________
△注意事项： 1.填写答题卡请使用2B 铅笔填涂 2.提前5分钟收答题卡 一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.设数列}{n a 满足11=a ,且对任意的*∈N n ,点),(n n a n P 都有)2,1(1=+n n P P ,则数列}{n a 的通项公式为( ) A ．12-n B ．n C ．12+n D ．12-n 2.已知，，且，则的最大值是( ) A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5 3.若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有 A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0 C 、C ≠0 D 、A 2＋B 2=0 4.设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的 取值范围为 ( ) (A)),21(2+∞
-a a (B))21,(2
a a --∞(C)),21(2a a a - (D)),[+∞a 5.0cos300= A 、12 B 、12- C 、 D 6.（09年湖南师大附中月考文）若A x ∈，则A x ∈1，就称A 是伙伴关系集合，集合}3,2,1,21
,31,0,1{-=M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ( )
A ．7
B ． 8
C ．15
D ．16 x y +∈R 115x y x y +++=x y +姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------
--线------
--------内------
-------
-请-------
-------不--------------
要--------------答--------------题-------------------------●。