基于突变理论的小煤窑采空区失稳判据及应用

[7] [8] 2
稳定性分析，开辟了煤柱 –顶板系统研究的新思路。 贺广零等 [9]将采空区顶板视为弹性板，将煤柱等效为 连续均匀分布的弹簧， 利用板壳理论和非线性动力学 理论对采空区煤柱 –顶板系统失稳机理进行了分析。 由但于榆神府矿区小煤窑采空区形成年代久远 ( 不具 备井下实测条件 ) ，采掘资料缺失，现有的勘探手段 难以查清各个残留煤柱的几何尺寸及空间分布， 使得 基于突变理论在规则开采条件下的研究结论难以在 该矿区废弃的小煤窑采空区稳定性计算中推广应用。 本文将以笔者所承担的榆林 —神木高速、 包西铁 路、锦界工业园区等大型工程建设下伏的 30 多个小 煤窑采空区勘察设计与施工项目为依托， 采用工程地 质分析、数理推导分析方法，揭示此类隐蔽灾害的成 灾条件及致灾机理， 构建小煤窑采空区顶板与残留煤 柱岩石力学系统， 采用突变理论求解数学判据并进行 工程应用。
第4期
n
刘小平 : 基于突变理论的小煤窑采空区失稳判据及应用
E1 A 4abk h
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(6)
良好，不会发生整体切冒式破坏。
系统非线性动力失稳 顶板发生整体切冒破坏时， 其边缘则从采空区边 界帮底脱落下来， 四周固定的弹性顶板演化为矿山压 力作用下并受到煤柱支撑的自由边界的刚性平板， 顶 板等效荷载完全由残留煤柱承担， 可得此条件的力学 公式：
第 42 卷 第 4 期 2014 年 8 月
煤田地质与勘探
COAL GEOLOGY & EXPLORATION
Vol. 42 No.4 Aug. 2014
文章编号 : 1001-1986(2014)04-0055-04
基于突变理论的小煤窑采空区失稳判据及应用
刘小平 1,2
(1. 中煤科工集团西安研究院有限公司，陕西 西安 710077； 2. 西安理工大学岩土工程研究所，陕西 西安 710048)
Application of instability criteria of mined-out areas based on catastrophe theory
LIU Xiaoping1,2
(1. Xi′an Research Institute, China Coal Technology and Engineering Group Corp, Xi′an 710077, China; 2. Institute of Geotechnical Engineering, Xi′an University of Technology, Xi′an 710048, China) Abstract: Sudden collapse in goaf is one of serious geological hazards in Yushenfu mining area. Adopting engineering ecological analysis and mathematical derivation, this paper analyzed disaster-forming conditions and disaster –inducing mechanism in goaf, built rock mechanic system of roof and residual coal pillar, and deduced mechanical instability criterion based on cusp catastrophe model. Taking Zaoshaogou coal mine as an example, the results show that the criterion is simple and practical, the reliable results could be acquired, providing a new approach for quantitative stability evaluation of goaf. Key words: catastrophe theory; goaf; roof and coal pillar system; instability criterion; rate of residual coal pillar
3.2
kw q0
3.3
图2
Fig.2
(9)
系统突变判据
为了既能满足实际工程的精度需要， 又能在数学
顶板 –煤柱系统力学模型简图
The simplified mechanic model of coal pillar and roof system
上有一定的简化，秦四清等 [8]使用三次非线性软弹簧 模 型 的 ε 曲 线 近 似 拟 合 煤 柱 应 力 – 应 变 关 系
第 42 卷
1
基于突变理论的灾害演化分析
突变理论是研究系统的状态随外界控制参数的
2.2
突发性垮塌演化机制
小煤窑采空区稳定性主控因素为覆岩结构类型、
连续改变而发生不连续变化的数学理论， 用来阐述灾 害系统如何从连续渐变走向系统性质的突变。 Zeeman 提出的尖点突变模式简单、实用，是 7 个初 等突变模型中应用最为广泛的。 尖点突变模式的势函 数是一个二参数函数 [10]，即：
V ( x) x 4 ux 2 vx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
残留煤柱几何尺寸及强度、 地面工程荷载及地下采空 区内部条件 (地下水、氧化等 )。 如图 1 所示， 采空区中的残留煤柱在长期的矿山 压力、地下水浸泡软化及冲刷、氧化等不良因素的共 同作用下，煤柱 1 将会逐渐发生煤壁剥落、煤柱分叉 等破坏，使煤柱强度降低。当煤柱强度降低至煤柱中 应力值时，该煤柱破坏，丧失了对顶板的支撑力，应 力拱从 A 扩大到 B，引起相邻煤柱 2 应力急剧增大。 当增加后应力值超过该煤柱强度时将引起煤柱 2 破 坏，矿山压力继续向相邻的煤柱 3 传导，煤柱之间 顶板的跨度成倍增大，顶板应力也随之增大，以此 类推 。随着煤柱破坏范围及煤柱之间顶板跨度 的快速增大，当顶板剪应力大于其强度值时，顶板将 从尚未破坏煤柱的边缘脱落，发生整体切冒破坏，破 裂后顶板内部变形能在短暂时间内全部释放，采空区 上方岩层剧烈变形及破坏， 地表形成大范围的塌陷坑。
将式 (10)代入式 (9)得到三次方程：
w3 w 0
(11)
式中
其中参数：
上方岩柱两侧壁上摩擦力和黏聚力，kN；p 为主动土 压力，kN；φ 为上覆岩层内摩擦角加权平均值，(°)；c 为上覆岩层黏聚力加权平均值， kPa； H 为采空区的 深度， m。
煤矿采空区上方进行工程开发建设时， 首先要搞 清采空区稳定性问题。对于中、大型煤矿长壁式或房 柱式开采形成的采空区已有较为深入的研究[1-5]，但小 煤窑采空区研究甚少。 榆神府矿 区 煤炭资源 丰 富， 20 世纪 80–90 年 代，该 矿区 煤炭资源 遭 受小煤窑 无 序开采而 破 坏。 据不完全 统 计，截至 2012 年底，小煤窑采空 区 达 154 km ，地表突发性垮塌破坏是主要失稳形式。 小煤窑采空区主要为地方煤矿采用房柱式、 巷柱 式开采形成的，采空区中残留煤柱支撑上覆岩层，顶 板呈悬空状态， 由顶板与残留煤柱共同构成了复杂的 岩石力学系统。 国内外学者采用突变理论对规则开采 的顶板 –煤柱系统平衡状态进行了深入研究。章梦涛 等 [6] 建立了煤柱 – 顶板系统失稳的突变模型，对系统 损伤扩展耗散能量进行分析。潘岳 、秦四清等 取 一个煤柱及其上部顶板作为一个单元进行了非线性
板呈悬空状态，残留煤柱支撑覆岩，地表变形轻微。 一旦采空区系统失稳，地表发生突发性塌陷，一次性
计算模型 采空区几何区域近似为矩形区域， 则顶板视为边 [9] 界固定的弹性矩形平板 。设采空区矩形区域长为 2a，宽为 2b，厚为 h，顶板弹性模量为 E，泊松比为 ν，体密度为 ρ，覆岩对顶板上表面压力为等效载荷 q0 。 采 空 区 面 积 A0=4ab ， 周 长 L0=2(a+b) ， 则 ： 2L0/A0=(a+b)/ab。将每个煤柱视为均匀分布的、尺寸 相同的受压弹性直杆，总数目为 n，横截面积为 A， 高度为 h，弹性模量为 E1，如图 2。将这些弹性直杆 近似地等效成连续分布的温克尔弹性基础， 记等效弹 性系数为 k， 即：
(1)
(u，v)所在平面为控制平面，(x，u，v)所在空间 为相空间。对势函数 V(x) 求一次导数，得突变流形 M(褶皱曲面 )，即：
V ( x) 4 x3 2ux 2 v (2) x 对势函数 V(x)求二次导数，得奇点方程，即：
V ( x)
2 2
x 由式 (2)和式 (3)消去 x 可得系统突变时分叉集方
G T (7) 4ab G 为采空区上方岩柱的重量，kN；T 为采空区 q0
0
Weibull 分布模型的 ε 曲线。他们将煤柱连续分布
的弹性基础转化为三次非线性软弹簧弹性基础， 其弹 性基础的等效弹性系数 [9]为：
k k ( w) k1 k3 w2
~
~
(10)
3 4 E1 n E1 A n E3 A k1 0 其中 k1 ， k3 4 abh 4abh3 27h 2 [ m ]2
3 3.1
小煤窑采空区力学系统与失稳判据
2 2.1
小煤窑采空区突发性垮塌机制
榆神府矿区小煤窑采空区地质采矿条件 a. 形成时间 20 世纪 80–90 年代，煤炭资源整 合之前。 b. 地质条件 开采浅部的侏罗系 2–1 煤、2–2 煤或 3–1 煤，采深在 150 m 以浅。采空区顶板为较完整的砂岩。 c. 采矿条件 单层开采、采高 1.5~5 m、房柱式 或巷柱式开采，留设的煤柱尺寸不规则，差异性大。 d. 岩层移动与地表变形 未失稳前，采空区顶
Fig.1
图1
采空区残留煤柱渐进破坏示意图
Schematic diagram of progressive damage of residual coal pillar in goaf