高数二课堂
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基于高校特色培养目标的“第二课堂成绩单”内容建设与实施 ——以石家庄邮电职业技术学院为例
HigherEducationResearch 高教研究Cutting Edge Education 教育前沿 73基于高校特色培养目标的“第二课堂成绩单”内容建设与实施——以石家庄邮电职业技术学院为例文/祁科豪摘要：实施共青团“第二课堂成绩单”制度是推动高校思想政治工作改革创新, 提升人才培养工作质量的积极举措。
石家庄邮电职业技术学院（以下简称“学院”）以学生诊改为契机，基于“两种素质、两种能力”培养目标，通过构建科学完善的第二课堂育人体系课程项目，制定“第二课堂成绩单”学分认定及实施办法，不断推动第二课堂成绩单信息管理平台的建设与维护，将第二课堂活动情况充分融入学生综合测评评价体系中，使第二课堂成绩单制度真正实现了可记录、可评价、可测量、可呈现的效果。
关键词：特色培养目标；第二课堂成绩单1 “两种素质 两种能力”下第二课堂育人体系课程项目构建1.1 “两种素质 两种能力”的培养目标介绍“两种素质、两种能力”是石家庄邮电职业技术学院在总结多年来育人工作经验基础上，提炼出来的具有自身特色的人才培养目标，“两种素质、两种能力”包括品格素质、专业素质、实践能力和综合能力。
品格素质维度包括政治思想、道德品质、邮政情结、遵纪守法、诚信感恩。
专业素质维度包括目标明确、热爱专业、学习合格、证书达标、发展后劲。
实践能力维度包括实习实训、创新创业、实操技能、社会实践、志愿服务。
综合能力维度包括组织协调、团队协作、交流沟通、文体艺术、身心健康。
根据共青团中央相关制度文件，结合学院第二课堂活动特色，学院第二课堂育人体系课程项目分为思想成长、实践训练、创新创业、志愿公益、社会工作、文体艺术、身心健康等七个模块。
1.2 培养目标维度与第二课堂育人体系关系分析一方面，第二课堂育人体系具有普遍性，各高校在开展第二课堂活动时课程模块名称与活动内容大体上较为类似；另一方面第二课堂课程体系在设计规划时完全可以与高校自身特色培养目标相契合，将本校开设特色培养活动纳入其中，突出第二课堂育人体系的个性和特点。
破解高中2年级高数难题的技巧
破解高中2年级高数难题的技巧破解高中2年级高数难题的技巧在高中二年级的数学课堂上，高等数学的挑战常常让许多学生感到无从下手。
面对那些看似复杂的函数、极限、导数等问题，许多学生可能会陷入迷茫。
解决这些难题，需要掌握一些有效的策略和技巧。
以下是一些有助于破解这些数学难题的建议，帮助学生们在数学的世界里找到正确的方向。
首先，建立扎实的基础是解答高数难题的关键。
高中二年级的高数知识包括函数、极限、导数等内容。
这些概念是后续学习的基石，因此必须首先确保对它们的理解是准确的。
学生应回顾函数的基本性质，掌握极限的定义以及计算方法，并熟悉导数的基本概念和规则。
通过多做基础题目，可以巩固对这些概念的理解，并为更复杂的问题打下坚实的基础。
其次，学会将复杂问题分解成简单问题。
高数题目往往涉及多个步骤和复杂的计算，直接面对一个大题目可能会感到无从下手。
这时，可以尝试将问题分解成若干个小问题，逐步解决每一个小问题。
例如，解决一个涉及多步计算的极限问题时，可以先计算其中的中间结果，然后逐步解决最后的结果。
通过这种方式，可以降低难度，提高解题的准确性。
此外，理解和应用公式是解决高数难题的另一个重要技巧。
在高等数学中，许多问题的解决都依赖于各种公式的运用。
例如，求导公式、积分公式以及常见的极限公式等都是解决问题的利器。
学生需要熟练掌握这些公式，并学会根据具体问题选择合适的公式进行计算。
公式的运用不仅能够提高解题速度，还能够避免因遗漏步骤而导致的错误。
逻辑思维也是破解高数难题的重要因素。
高等数学问题通常需要严谨的逻辑推理，学生在解题时应保持清晰的思路，并逐步推导出正确的答案。
遇到难题时，可以尝试从不同的角度思考问题，运用已知的数学知识进行推理。
例如，解决导数问题时，可以通过图形分析或应用数学定理来辅助解答，从而找到问题的突破口。
在解题过程中，做笔记和总结经验也是不可忽视的步骤。
每次解答难题后，可以将解题过程、思路以及遇到的难点记录下来。
大学数学高数微积分第七章线性变换第二节课堂讲义
2!
an1 f (n1)(),
(n1)!
可知 Sa 实质上是 D 的多项式：
Sa =E + aD +
a2 D2 + … +
2!
a n1 D n -1 .
( n 1 )!
本若请本若请本若本节请想若单节想请若单本若本节请请本若想本内单结节请击想若本内请结若单若想本击节想请节本本内请单请请单结节 想若若容击若束单内返想本若结本请单若节本请若击容束想想节结返本内单结内本若若击节节击容束单请请单单本想内 结想本返想已若结若回击容节想束节本击单若想节想单内返请请本结已结内请回击束节容束本容节想想返返内内已本单单结击击击结节回堂结结容 束若本束想想按返请节返本内结本内已结内结击单单想若回击容堂束束容请结本单返按节内已已本请本内结结若回回堂击击容容结束束按课束本返返返束内想节本已本请结钮结单回内回节容束堂容束若容击束击结想按返返结已课单已本本束节内回击钮结容结容堂束束堂单想按按课返返本钮,本已已本束结内节堂回回回容结束.束击按容堂单按!想返返本已内已本课本已钮结束回回结束击,堂堂结容按返内束.已已束本本课结钮钮课击堂,.堂回回堂结!结束容课内已返钮本按按按本已束束 课!击回结回钮堂结堂结堂容,结.束按束返已按本课课钮束回结容堂堂!结束,..课课按按,返课本!已束束!回结.堂堂容钮钮钮按结束按,返课束课.本束课已束!结回钮!,.,钮.堂束按课课!,本,束已钮钮堂,结回!按束课课钮本钮已...!束!,,回堂,结束按.!..课!!,,钮堂课..结束!钮按!,,.堂.!结课按束钮!!,课.,束.钮!课束,钮.!,,.!.!
第二节 线性变换的运算
主要内容
线性变换的乘积 线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换
线性变换的多项式
an1 f (n1)(),
(n1)!
可知 Sa 实质上是 D 的多项式：
Sa =E + aD +
a2 D2 + … +
2!
a n1 D n -1 .
( n 1 )!
本若请本若请本若本节请想若单节想请若单本若本节请请本若想本内单结节请击想若本内请结若单若想本击节想请节本本内请单请请单结节 想若若容击若束单内返想本若结本请单若节本请若击容束想想节结返本内单结内本若若击节节击容束单请请单单本想内 结想本返想已若结若回击容节想束节本击单若想节想单内返请请本结已结内请回击束节容束本容节想想返返内内已本单单结击击击结节回堂结结容 束若本束想想按返请节返本内结本内已结内结击单单想若回击容堂束束容请结本单返按节内已已本请本内结结若回回堂击击容容结束束按课束本返返返束内想节本已本请结钮结单回内回节容束堂容束若容击束击结想按返返结已课单已本本束节内回击钮结容结容堂束束堂单想按按课返返本钮,本已已本束结内节堂回回回容结束.束击按容堂单按!想返返本已内已本课本已钮结束回回结束击,堂堂结容按返内束.已已束本本课结钮钮课击堂,.堂回回堂结!结束容课内已返钮本按按按本已束束 课!击回结回钮堂结堂结堂容,结.束按束返已按本课课钮束回结容堂堂!结束,..课课按按,返课本!已束束!回结.堂堂容钮钮钮按结束按,返课束课.本束课已束!结回钮!,.,钮.堂束按课课!,本,束已钮钮堂,结回!按束课课钮本钮已...!束!,,回堂,结束按.!..课!!,,钮堂课..结束!钮按!,,.堂.!结课按束钮!!,课.,束.钮!课束,钮.!,,.!.!
第二节 线性变换的运算
主要内容
线性变换的乘积 线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换
线性变换的多项式
大学数学高数微积分二次型课堂讲义
an1 an2 ann xn
(
x1
,
x2
,,
xn
)
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a1n xn a2n xn
an1x1 an2 x2 ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX .
二、二次型的定义及矩阵表示
1. 定义
定义1 设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中
的 x1 , x2 , … , xn 二次齐次多项式 f(x1 , x2 , … , xn ) = a11x12 + a22x22 +…+annxn2
+ 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2an-1,nxn-1xn
B = CTAC .
这就是前后两个二次型的矩阵的关系.
2. 定义 定义 3 数域 P 上的 n n 矩阵 A，B 称为 合同的，如果有数域 P 上可逆的 n n 矩阵 C，使
B = CTAC .
3. 性质
合同是矩阵之间的一个关系，合同关系有以下 性质：
1) 反身性 A = ETAE ；
2) 对称性 若 B = CTAC，则 A = ( C-1 )TBC-1 ;
= YT( CTAC )Y . 又因为 ( CTAC )T = CTAT(CT)T = CTAC ， 一个二次型.
所以 f 还是
证毕
四、合同矩阵
1. 概念的引入
我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次
型还是变成二次型.
现在来讨论替换前后的二次型
大学数学高数微积分第二章行列式第五节课堂讲解
第五节 行列式的计算
主要内容
矩阵的定义 初等变换的定义 行阶梯形矩阵 行列式的计算方法
一、矩阵的定义
在上一节中，我们学习了行列式的性质，利
用行列式的性质可简化行列式的计算，特别是利
用运算 ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列式中许
多元素化为０.
计算行列式常用的一种方法就是
利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角行列式,从而
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列 变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统
称初等变换.
一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变
成了另一个矩阵.
矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵
B 时，记为
A B.
三、行阶梯形矩阵
定义 7 满足下面两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵:
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号;
素, aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
例如
5×2
1 2 矩阵
1
2
4
3
3i
0
9 8 4 2
5 1
2 0
9
5
8
i
1
3i
5
３×４矩阵
当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时
它就称为这一数域 P 上的矩阵.
一个是有理数域上的矩阵，一个是复数域上的.
上述两个矩阵
得到行列式的值.
为了便于叙述并考虑到以后的应
用 , 我们引进矩阵及矩阵的初等行变换的概念.
定义 5 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
主要内容
矩阵的定义 初等变换的定义 行阶梯形矩阵 行列式的计算方法
一、矩阵的定义
在上一节中，我们学习了行列式的性质，利
用行列式的性质可简化行列式的计算，特别是利
用运算 ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列式中许
多元素化为０.
计算行列式常用的一种方法就是
利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角行列式,从而
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列 变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统
称初等变换.
一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变
成了另一个矩阵.
矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵
B 时，记为
A B.
三、行阶梯形矩阵
定义 7 满足下面两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵:
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号;
素, aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
例如
5×2
1 2 矩阵
1
2
4
3
3i
0
9 8 4 2
5 1
2 0
9
5
8
i
1
3i
5
３×４矩阵
当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时
它就称为这一数域 P 上的矩阵.
一个是有理数域上的矩阵，一个是复数域上的.
上述两个矩阵
得到行列式的值.
为了便于叙述并考虑到以后的应
用 , 我们引进矩阵及矩阵的初等行变换的概念.
定义 5 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
大学数学(高数微积分)专题五第2讲椭圆双曲线(课堂讲义)
热点分类突破
(2)设∠F1PF2＝θ，
本
由||PPFF11||－ ＝4|P|PFF2|2＝| 2a，
得|PF1|＝83a， |PF2|＝23a，
讲 栏 目
由余弦定理得cos θ＝17a82－a2 9c2＝187－98e2.
开
关 ∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤187－98e2<1，
|x|≥a
本
讲 栏
几
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
目 开
何 对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关 性 焦点
(±c,0)
x≥0
(0,0) 关于x轴对称
(p2，0)
质
长轴长2a，短轴 实轴长2a，
轴
长2b
虚轴长2b
主干知识梳理
几 离心率 e＝ac＝
1－ba22 e＝ac＝
1＋ba22 e＝1
本
3 2.
热点分类突破
∴|AC|＝|y2－y1|＝ 3.
因此菱形的面积S＝12|OB|·|AC|＝12×2× 3＝ 3.
(2)假设四边形OABC为菱形．
讲 栏 目
又 x1＋x2＝－43m，x1x2＝2m23－2，
开 关
∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝2m23－2－4m3 2＋m2＝m23－2.
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ， ∴P→F·M→Q＝0，
热点分类突破
又P→F＝(1－x1，－y1)，M→Q＝(x2，y2－1)， ∴P→F·M→Q＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2
5
高数 函数的单调性与极值(课堂PPT)
f(x)0
综上可知，无论 x 为什么值，总有 f(x)f(0)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立。
8
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法2：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
f(x)2arcx t1 a 2x x n 21 2x x22arcxtan 对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有
由 y x 1 1 0 ，所以函数 y y(x) 在 x 1
2 y 1
处有极小值 y 1 .
27
9、设函数 f ( x ) 在(a, ) 内连续，f ( x )在(a, )
内存在，且 f (x) 0，证明当x a时，函数
F(x) f(x)f(a) 单调增加。
xa
解 F(x)(xa)f(x)[f(x)f(a)] (xa)2
定义: 设函f(数 x)在 (a,b)内有,定 x0 义 (a,b), 若存x在 0的一个邻 ，在域 其中当 xx0 时,
(1) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极大点 , 称 f (x0)为函数的极大值 ;
(2) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极小点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
2xarcx tlan 1n (x2)2arctxan
式中 在 0 与 x 之间，由于 arctan与 x 同号，
则无论 x为什么值，总有 f (x)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立
9
例5 证明 f (x) (1 1)x 在 (0, ) 内单调增加。
x 证明 此函数为幂指函数，两边取对数
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法一：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
高等数学高数课件 12.3一般常数项级数
,
而
n1
1 2n
发散,
故
| un
n1
|
n1
n n2 +
1
发散.
于是级数
(1)n1
n1
n n2 + 1
是条件收敛的.
例9 判别下列级数的敛散性 .
(1)n
(1) n2 n + (1)n
(2)
(1)n
n2 n + (1)n
解: (1) (1)n (1)n n 1
n + (1)n
n 1 n 1
绝对收敛与条件收敛
根据这个定理, 我们可以将许多一般常数项级数的
收敛性判别问题转化为正项级数的收敛性判别问题.
为此先给出以下定义.
定义1 设 un 为一般常数项级数, 则
n1
(1) 当 | un |收敛时, 称 un为绝对收敛;
n1
n1
(2) 当 | un |发散, 但 un 收敛时, 称 un
解
这是一个交错级数,
令
un
(1)n
(
nn+1 n + 1)!
,
考察级数 | un | 是否绝对收敛, 采用比值审敛法:
n1
lim | un+1 | n | un |
lim1 n
+
1 n
n
e
1,
所以原级数非绝对收敛.
由 lim |un+1 | 1, n |un |
可知当 n 充分大时,
有 |un+1||un |,
可知当 n 充分大时,
有 |un+1||un |,
故
lim
n
un
大学数学高数微积分二次型课堂讲义
写出二次型的矩阵 A.
解 设 f = XTAX , 则
A
1 2
12
,
X
x y
.
例 2 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42
2x1x2 4x1x3 6x1x4
写出二次型的矩阵 A.
8x2 x3 4x2 x4,
解 设 f = XTAX , 则
a11x1 a12 x2 a1n xn
(x1, x2 ,
, xn ) a21x1 an1x1
a22 x2
an2 x2
a2n xn
ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX .
这即为二次型的矩阵表示形式. 应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j
的矩阵都是对称矩阵.
令
x1
X
x2 xn
,
因为
a11 a12
X
T AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
a11 a12
X
T
AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
c2n yn
,
(4)
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由 x1 , x2 , … , xn 到 y1 , y2 , … , yn 的一个线性
解 设 f = XTAX , 则
A
1 2
12
,
X
x y
.
例 2 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42
2x1x2 4x1x3 6x1x4
写出二次型的矩阵 A.
8x2 x3 4x2 x4,
解 设 f = XTAX , 则
a11x1 a12 x2 a1n xn
(x1, x2 ,
, xn ) a21x1 an1x1
a22 x2
an2 x2
a2n xn
ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX .
这即为二次型的矩阵表示形式. 应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j
的矩阵都是对称矩阵.
令
x1
X
x2 xn
,
因为
a11 a12
X
T AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
a11 a12
X
T
AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
c2n yn
,
(4)
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由 x1 , x2 , … , xn 到 y1 , y2 , … , yn 的一个线性
大学数学(高数微积分)专题一第2函数基本初等函数的图像性质(课堂讲义)
本 讲 栏 目 开 关
主干知识梳理
5．与周期函数有关的结论 (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一 个周期是T＝|a－b|.
本 讲 栏 目 开 关
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期 是T＝2a. 1 1 (3)若f(x＋a)＝ 或f(x＋a)＝－ ，则f(x)是周期函数， fx fx 其中一个周期是T＝2a. 提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x a＋b ＝ 对称. 2
热点分类突破
解析
(1)f(log23)＝f(log23＋3)
log2 24 2 ＝f(log224)＝ ＝24.
(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
本 2 讲 ＝log2 3x＋6log3x＋6＝(log3x＋3) －3， 栏 目 2 因为 1 ≤ x ≤ 9 ，且 1 ≤ x ≤9，所以1≤x≤3， 开 关
3 1 1 － ＝f ＝－ . 4 2 2
热点分类突破
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性
本 讲 栏 目 开 关
以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换 函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据 函数的性质解决问题．
热点分类突破
(1)(2013· 天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函 数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋
热点分类突破
(1)函数 y＝xln(－x)与 y＝xln x 的图象关于 ( A．直线 y＝x 对称 B．x 轴对称 ( C．y 轴对称 D．原点对称 log2|x| (2)函数 y＝ x 的大致图象是
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十一、设 f n ( x )( n = 0,1,2......)在[0,1]上有定义 f 0 ( x ) = 1
f1 ( x ) = x
f n+1 ( x ) = 2 xf n ( x ) − f n −1 ( x ) ( n = 1 , 2 ,L)
则f n ( x ) = cos( nα )
及
f ( x − a ) = f (− x − a )
证明： f n ( x ) = cos( n arccos x )
证明：令α = arccos x
用二重数学归纳法。
∴ f ( x + 4a ) = f [a + ( 3a + x )]
= f [a − ( 3a + x )]
（1）当n = 0和 n = 1时，结论显然成立
= f (−2a − x)
证明： Q
f (− x ) = − f ( x ) 及 f (1 − x ) = f (1 + x )
若a > 0, 由于 0 ≤ x ≤ 1
有 b ≤ ax + b ≤ a + b 而 0 ≤ ax + b ≤ 1
∴ f ( x + 4) = f [1 + ( 3 + x )] = f [1 − ( 3 + x )] = f ( −2 − x ) = − f (2 + x ) = − f (1 + (1 + x )) = − f (1 − (1 + x )) = − f (− x ) = f ( x)
= 2 cos α cos kα − (cos α cos kα + sin α sin kα ) = cos( k + 1)α
∴ f ( x )是周期函数。
因此结论成立。
1
十二、求函数 f ( x ), 使对任一 x ，总成立 f ( 2 + x ) + 2 f (1 − x ) = x 解：令x = −1 − t
= f [ − a − ( a + x )]
= f [ − a + ( a + x )] = f ( x )
（2）设n = k − 1和n = k时结论成立
（3）f k +1 ( x ) = 2 xf k ( x ) − f k −1 ( x )
= 2 cosα cos kα − cos( k − 1)α
则 即 f (1 − t ) + 2 f ( 2 + t ) = ( −1 − t ) 2 f (1 − x ) + 2 f ( 2 + x ) = ( −1 − x ) 2 ⇒ f (1 − x ) + 2[ x 2 − 2 f (1 − x )] = ( −1 − x ) 2 2 1 ⇒ f (1 − x ) = x 2 − ( x + 1) 2 3 3 令 1− x = u
所求反函数为：
⎧ x − 1, x > 1, ⎪ y = ⎨ 0, x = 0, ⎪ − − x − 1, x < −1 . ⎩
八、已知函数 f ( x )和 f ( ax + b )是两个不同的函数， 但它们有相同的定义域 [0，]，求常数 a和 b. 1
解：
九、设 f ( x )是 ( −∞ , +∞ )上的奇函数，曲线 y = f ( x )有 对称轴 x = 1, 试证明函数 f ( x )必是周期函数。
所以， b = 0, a = 1
但 f ( x ) = f (ax + b) 故舍去
若a < 0, a ≤ ax ≤ 0
a + b ≤ ax + b ≤ b 而 0 ≤ ax + b ≤ 1
有 b = 1, a = −1
故原函数为周期函数。
十、若函数 f ( x + a )和 f ( x − a )( a > 0 )都是偶函数， 证明f ( x )是周期函数。 证明： Q f ( x + a ) = f ( − x + a )
1 + g( x ) f( )的反函数。 1 − g( x )
2 1 1 则f ( u) = (1 − u) 2 − ( 2 − u) 2 = ( u 2 − 2) 3 3 3 1 于是 f ( x ) = ( x 2 − 2) 3
2
2
十三、已知
f ( x )和g ( x )互为反函数，求函数
解： 令
1 + g( x ) ) 1 − g( x ) 由于f ( x )和g ( x )互为反函数， y= f( g( y ) − 1 1 + g( x ) = g( y ) 即 g( x ) = g( y ) + 1 1 − g( x ) g( y ) − 1 所以 x = f ( ) g( y ) + 1 g( x ) − Байду номын сангаас y= f( ) 因此所求反函数为 g( x ) + 1 则有
七、求函数
f ( x ) = (1 + x 2 ) ⋅ sgn x 的反函数.
⎧ 1 + x2, x > 0 y 解： = f ( x ) = ⎪ 0 , x = 0 ⎨ ⎪− (1 + x 2 ), x < 0 ⎩
自测题(8学分) 自测题(8学分)
练习一（选讲）
⎧ y − 1, y > 1 ⎧ x 2 = y − 1, y > 1 ⎪ ⎪ ⇒ x=⎨ 0, y = 1 x=0 ,y=0 ⇒⎨ ⎪ − − y − 1, y < −1 ⎪ x 2 = − y − 1, y < −1 ⎩ ⎩