第3章控制系统的时域分析34
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《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
第三章 控制系统稳定性的时域分析
i 1 k 1 q r
（3-1）
式中
dk nk 1 2
式（3-1）表明 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim C (t ) ，系统是 t 不稳定的。
t
该系统就是稳定的。 系统稳定的充要条件？ 设系统的闭环传递函数为
bm s m bm1 s m1 ... b0 ( s ) a n s n a n 1 s n 1 ... a0
特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实 数根 i 和r对共轭复数根 k nk j nk 1 2 ,则在 单位脉冲函数 (t ) 的作用下，系统输出量为
C ( s) K r (s Z j )
j 1 2 2 ( s P ) ( s 2 s nk ) i k nk i 1 k 1 q r m
an s n an1 s n1 ... a0 0
1
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
C (t ) i e it e k nkt ( k cos dk t C k sin dk t )
e2
计算劳斯表的各系数
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1
……
a n1a n2 a n a n3 b1 a n1
bi
系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c , d, … …e , f , g各行的系数。
（3-1）
式中
dk nk 1 2
式（3-1）表明 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim C (t ) ，系统是 t 不稳定的。
t
该系统就是稳定的。 系统稳定的充要条件？ 设系统的闭环传递函数为
bm s m bm1 s m1 ... b0 ( s ) a n s n a n 1 s n 1 ... a0
特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实 数根 i 和r对共轭复数根 k nk j nk 1 2 ,则在 单位脉冲函数 (t ) 的作用下，系统输出量为
C ( s) K r (s Z j )
j 1 2 2 ( s P ) ( s 2 s nk ) i k nk i 1 k 1 q r m
an s n an1 s n1 ... a0 0
1
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
C (t ) i e it e k nkt ( k cos dk t C k sin dk t )
e2
计算劳斯表的各系数
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1
……
a n1a n2 a n a n3 b1 a n1
bi
系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c , d, … …e , f , g各行的系数。
《自控》第3章
响应称为单位抛物线响应。
C(s )
(s )
R(s )
(s )
1
s3
单位抛物线的时间响应为
c(t )
L1(s )
1
s
3
抛物线信号可模拟以恒定加速度变化的物理量
4. 单位脉冲信号及其时间响应
脉冲信号可看作一个持续时间极短的信号。
0
r(t
)
H
t 0,t 0t
若令脉宽ε→0，则称其为单位理想脉冲函数
号、脉冲信号、正弦信号等。它们的典型时间响应是指初始状态为零的系
ห้องสมุดไป่ตู้
统在典型输入信号作用下输出量的动态响应。
1.单位阶跃信号的时间响应 L[1(t)] L[1] 1
s
控制系统在单位阶跃信号作用下的时间响应称为
单位阶跃响应。
C(s )
(s )
R(s )
(s )
1
s
c(t )
L1(s )
1
s
在时域分析中，阶跃信号用得最为广泛。如实际应用中电源的突然接通、
响应
响应
微分
微分
微分
响应
5. 正弦信号及其时间响应 正弦信号的数学表达式为
r(t )
0
A
sin t
t 0 t 0
L r(t )
L[A
sin t]
A s2 2
正弦信号主要用于求系统的频率响应。在实际控制过程中，电源及
振动的噪声、海浪对船舶的扰动力等，均可近似为正弦信号作用。
C(s )
(s )
R(s )
(s )
A
s2 2
c(t )
L1(s )
s
控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析
⑵ 无阻尼 0 无阻尼时，二阶系统的特征根为两个共轭纯虚根，根 s1,2 jn 如图所示。
无阻尼状态下的闭环极点
故 h t 1 cos nt
n 2 1 1 s H s 2 s n 2 s s s 2 n 2
第三章 控制系统的时域分析
在建立了系统数学模型（动态微微分方程、传递函数） 的基础上，就可以分析评价系统的动静（暂、稳） 态特性，并进而寻求改进系统性能的途径。 经典控制理论中，时域分析法、根轨迹法、频率特性 法是分析控制系统特性常用的三种方法，其中的时 域分析法适用于低阶次（三阶以下）系统，比较准 确直观，又称直接分析法，可提供输出响应随时间 变化的全部信息。 时域分析法就是一种在给定输入条件下，分析系统输 出随时间变化的方法，通常用暂态响应性能指标来 衡量。
第三章 控制系统的时域分析
3.3 一阶系统的动态响应 用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一些控制 元部件及简单系统如RC网络、液位控制系统都可用 一阶系统来描述。 一阶系统的传递函数为：
C s 1 G s R s Ts 1
其中 T称为一阶系统的时间常数，它是唯一表征一阶 系统特征的参数，所以一阶系统时间响应的性能指 标与 密切相关。一阶系统如果作为复杂系统中的一 个环节时称为惯性环节。
当初始条件为零时，则有
上式表明，对系统的斜坡响应求导得系统的阶跃响应，对系统的阶跃响 应求导即为系统的脉冲响应。对于线形定常数系统上述结论均成立， 即系统对输入信号导数（或积分）的响应，等于系统对输入信号响应 的导数（或积分）。
第三章 控制系统的时域分析
3.4 二阶系统的动态响应
为了兼顾控制系统的稳定性和快速性相矛盾 的瞬态指标，我们总希望系统阶跃响
浙江大学自动控制理论课第三章控制系统的时域分析
➢稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信 号无关只取决其本身的结构和参数
➢用系统的单位脉冲响应函数 gt来 描述系统的稳定性
如果 lim gt 0 t
2020/8/15
则系统是稳定的
课件
图3-30 系统稳定、不稳 定时根的分布
23
自动控制理论
令rt t, Rs 1;闭环系统有q个实数极点,对其复数极点
Js2 F Kd s K p 0
图3-15 具有PD校正的二阶系统
3- 34
2020/8/15
课件
17
自动控制理论
对比式3 -33和3 -34,可知校正后的系统方程中增加了Kds项,它表示在电动机的
轴上加了一个量值为Kd
dc 的负转矩,从面增大了系统的阻尼,若令K dt
Kp ,则系统
校正前后的ωn 都为
（1）一个输入信号导数的时域响应高于该输入信号的时域响应的导数 （2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的时域响应的积分
结论：了解一种典型信号的响应，就可据知于其它信号作用下的响应。
2020/8/15
课件
7
自动控制理论
第三节 二阶系统的时域响应
一、传递函数的导求
图3 - 7中:
Ve K p r c
2020/8/15
课件
22
自动控制理论
第六节 线性定常系统的稳定性
稳定的充要条件
➢设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它 在瞬间受到某一扰动而偏听偏离了原有的平衡 状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调 节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回 到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反 之，则称为不稳定。如图3-30所示。
2n s n2
自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
控制系统的时域分析
L-1
1 s3
其中：A
-
[
T +T2 s2 s
1 s3( Ts
- T3 Ts + 1
1 ) s3 ]s=0
1
1 2
t2
- Tt + T 2 - T 2e -t/T
d
1
B ds [ s3(Ts 1 )
s3
]s=0
T
s1,2,3 0
C
1 {
( 3 1 )
d 31 ds 31
[
1 s3( Ts 1 )
=- 1 T
s(Ts
+
1)
(Ts
+
1)
p2
=
-
1 T
=
1
= -T
红河学院自动化系
T
自动控制原理
单位阶跃
慣性
拉氏反变换：
c(t) = L-1 C(s)
=
L-1
1 s
-
s
1 + 1/T
=
1
-
-t
eT
一阶系统没有超调，
c(t)
系统的动态性能指标为 调节时间:
ts = 3T (±5%)
单位阶跃响应曲线
一、时域分析法及其特点
时域分析法——控制系统在一定输入作用下，根 据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬 态过程性能和稳态误差。 特点：
(1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观、 准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
红河学院自动化系
自动控制原理
二、常用的典型输入信号
红河学院自动化系
自动控制原理 三、线性系统时域性能指标 总要求
简明教程第三章控制系统的时域分析法
§第三章 控制系统的时域分析法
§3.3 二阶系统的时域分析
d 2 y (t ) dy(t ) T1 T2 y (t ) x(t ) 2 dt dt
Y ( s) 1 (s) X ( s ) T1S 2 T2 S 1
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
n C ( s) (s) 2 R( s ) S 2 n n 2
2
（3-18）
T2 2 T1
2 n
T2 T1
n 2
1 T1
n
1 T1
n －自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
§第三章 控制系统的时域分析法
§3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统的动态特性，可以用 和 n 加以描述,二阶系统的特征方程：
S 2 2 n S n 0
S1, 2 n n 2 1
1 T
t0
t s 3T ５％
§第三章 控制系统的时域分析法
§3.2 一阶系统的时域分析
§3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
当
1 R(s) 2 S
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 TS 1 S 1 TS S S
例1 R-L-C 串连电路
ui u R u L u0
u R Ri di ul L dt 1 u 0 idt C
d 2u0 du LC RC 0 u 0 u i dt dt 2
d 2 y (t ) dy(t ) T1 T2 y (t ) x(t ) 2 dt dt
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
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因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统 不稳定，有两个正实部根。
两种特殊情况：
• 劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余 各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计 算下一行第一元素时出现无穷现象。
解决的办法是以一个很小的正数 代替为零的该项 ，继续劳斯表的列写。若劳斯表第一行的系数符号 有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面 上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方 程有一对共轭虚根(complex-conjugate root)存在 ，相应的系统也属不稳定。
• 若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不 能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某 一有限区域内运动，则称系统临界稳定。
临界稳定marginally stable/critical stable
• 稳定性是表征系统在 扰动撤消后自身的一 种恢复能力，因而它 是系统的一种固有的 特性。
• 指系统在扰动消失后 ，由初始偏差状态恢 复到原平衡状态的性 能。
不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统， 其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳 定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系 统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系 统稳定的必要条件，而非充分条件。
3.4.3 劳斯稳定判据 (Routh’s stability criterion)
• 由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具 有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特 征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部 的问题。
第3章控制系统的时域分 析34
2020年4月22日星期三
➢一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须 是稳定的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、 稳定措施是控制系统的重要内容。
➢本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性 ，分析系统参数变化对稳定性的影响。
线性控制系统稳定性的定义为：
• 线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随 时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工作 点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定； • 若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散 ，则称系统不稳定；
(3-52) 表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳 定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数 收敛是一致的。
• 如果 则系统是不稳定的。 • 如果 则系统是临界稳定的。
(3-53) (3-54)
由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统 的复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏 变换。
综上所述，线性系 统稳定的充分必要条 件是：
闭环系统特征方程 的所有根均具有负实 部。或者说，闭环传 递函数的极点均严格
位于s左半平面。
勇于开始，才能找到成 功的路
右半平面 right-half plane 左半平面 left-half plane
• 注意：
• 对于稳定的线性系统，当输入信号有界时 ，系统输出必为有界函数。
• 对于不稳定的线性系统而言，在有界输入 信号作用下，系统的输出信号将随时间的推 移而发散。
3.4.2 系统稳定的必要条件
令系统的特征方程为
(3-57)
如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数 根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零 系数。
稳定的必要条件（依系数判稳） ：
在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数 。
• 若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的 共轭复根，式(3-53)成立，系统不稳定；
• 若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特 征根具有负实部，式(3-54)成立，系统临界稳定。
虚部 imaginary part 负实部 negative real part 复数根 complex root 实根 real root
系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上
的具体分布，其结论是：
(1) 如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征
方程式的根都在s的左半平面(left-half plane)，相
应的系统是稳定的。
(2) 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系 统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的
根在的s右半平面(right-half plane)上的个数。
• 由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希 望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征方 程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符 号（间接的方法）。
ห้องสมุดไป่ตู้
设系统的特征方程式为 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行 各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的 规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列
例3-2 已知三阶系统特征方程为
判断系统稳定的充要条件。 解：列劳斯表为
根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均 为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零
，且bc>ad。
例3-3 设系统特征方程为 使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出 该特征方程的正实部根的数目。 解：列劳斯表如下
设–P1、–P2、…为实数根。 、 、…为复数 根。其中，P1、P2、…和 、 、…都为正值，则
式(3-57)改写为
即 (3-58)
因为上式等号左方所有因式的系数都为正值 ，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有 系数为零项。
反之，若方程式中有一个根为正实根，或一 对实部为正的复数根，则由式(3-58)可知， 对于方程式s的各次项的系数不会全为正值， 即一定会有负系数项或缺项出现。
勇于开始，才能找到成 功的路
3.4.1 线性系统稳定的充要条件 （sufficient and necessary condition)
由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动 情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统 本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描 述。 如果脉冲响应函数是收敛的，即有
令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数
极点，则其传递函数可写为
(3-55)
式中，
式(3-55)用部分分式展开，得 对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应为
t≥0
(3-56)
由式(3-56)可见，
• 若系统的特征根全部为负实部(negative real part)根，则式(3-52)成立，系统稳定；
两种特殊情况：
• 劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余 各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计 算下一行第一元素时出现无穷现象。
解决的办法是以一个很小的正数 代替为零的该项 ，继续劳斯表的列写。若劳斯表第一行的系数符号 有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面 上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方 程有一对共轭虚根(complex-conjugate root)存在 ，相应的系统也属不稳定。
• 若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不 能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某 一有限区域内运动，则称系统临界稳定。
临界稳定marginally stable/critical stable
• 稳定性是表征系统在 扰动撤消后自身的一 种恢复能力，因而它 是系统的一种固有的 特性。
• 指系统在扰动消失后 ，由初始偏差状态恢 复到原平衡状态的性 能。
不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统， 其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳 定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系 统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系 统稳定的必要条件，而非充分条件。
3.4.3 劳斯稳定判据 (Routh’s stability criterion)
• 由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具 有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特 征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部 的问题。
第3章控制系统的时域分 析34
2020年4月22日星期三
➢一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须 是稳定的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、 稳定措施是控制系统的重要内容。
➢本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性 ，分析系统参数变化对稳定性的影响。
线性控制系统稳定性的定义为：
• 线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随 时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工作 点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定； • 若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散 ，则称系统不稳定；
(3-52) 表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳 定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数 收敛是一致的。
• 如果 则系统是不稳定的。 • 如果 则系统是临界稳定的。
(3-53) (3-54)
由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统 的复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏 变换。
综上所述，线性系 统稳定的充分必要条 件是：
闭环系统特征方程 的所有根均具有负实 部。或者说，闭环传 递函数的极点均严格
位于s左半平面。
勇于开始，才能找到成 功的路
右半平面 right-half plane 左半平面 left-half plane
• 注意：
• 对于稳定的线性系统，当输入信号有界时 ，系统输出必为有界函数。
• 对于不稳定的线性系统而言，在有界输入 信号作用下，系统的输出信号将随时间的推 移而发散。
3.4.2 系统稳定的必要条件
令系统的特征方程为
(3-57)
如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数 根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零 系数。
稳定的必要条件（依系数判稳） ：
在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数 。
• 若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的 共轭复根，式(3-53)成立，系统不稳定；
• 若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特 征根具有负实部，式(3-54)成立，系统临界稳定。
虚部 imaginary part 负实部 negative real part 复数根 complex root 实根 real root
系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上
的具体分布，其结论是：
(1) 如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征
方程式的根都在s的左半平面(left-half plane)，相
应的系统是稳定的。
(2) 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系 统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的
根在的s右半平面(right-half plane)上的个数。
• 由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希 望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征方 程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符 号（间接的方法）。
ห้องสมุดไป่ตู้
设系统的特征方程式为 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行 各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的 规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列
例3-2 已知三阶系统特征方程为
判断系统稳定的充要条件。 解：列劳斯表为
根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均 为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零
，且bc>ad。
例3-3 设系统特征方程为 使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出 该特征方程的正实部根的数目。 解：列劳斯表如下
设–P1、–P2、…为实数根。 、 、…为复数 根。其中，P1、P2、…和 、 、…都为正值，则
式(3-57)改写为
即 (3-58)
因为上式等号左方所有因式的系数都为正值 ，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有 系数为零项。
反之，若方程式中有一个根为正实根，或一 对实部为正的复数根，则由式(3-58)可知， 对于方程式s的各次项的系数不会全为正值， 即一定会有负系数项或缺项出现。
勇于开始，才能找到成 功的路
3.4.1 线性系统稳定的充要条件 （sufficient and necessary condition)
由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动 情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统 本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描 述。 如果脉冲响应函数是收敛的，即有
令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数
极点，则其传递函数可写为
(3-55)
式中，
式(3-55)用部分分式展开，得 对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应为
t≥0
(3-56)
由式(3-56)可见，
• 若系统的特征根全部为负实部(negative real part)根，则式(3-52)成立，系统稳定；