2021年湖南省中考数学复习题及答案 (72)
2023年湖南省中考数学专练方程及其解法(含解析)
2023年湖南省中考数学专练：4方程及其解法一．选择题（共12小题）1．（2021•安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且b =45a +15c ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞aC ．a ﹣b ＝4（b ﹣c ）D ．a ﹣c ＝5（a ﹣b ）2．（2022•定远县校级模拟）新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x 人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则x 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．73．（2022•肥东县校级模拟）春节期间，阜阳市商务局组织举办了“皖美消费，乐享阜阳”﹣2022年跨年迎新购物季”列促销活动，某超市对一款原价位a 元的商品降价x %销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x %，此时售价共降低了b 元，则（ ） A ．b ＝a （1﹣2x %） B ．b ＝a ﹣a （1﹣x %）2 C ．b ＝a （1﹣x %）2D ．b ＝a ﹣a （1﹣2x %）4．（2022•蜀山区校级三模）当b +c ＝1时，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣c ＝0的根的情况为（ ） A ．有两个实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根5．（2022•长丰县校级模拟）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（a ﹣2）x +4＝0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣2或6D ．﹣6或26．（2022•和县二模）已知三个实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，ac +b +1＝0（c ≠1），则（ ） A ．a ＝1，b 2﹣4ac ＞0 B ．a ≠1，b 2﹣4ac ≥0C ．a ＝1，b 2﹣4ac ＜0D ．a ≠1，b 2﹣4ac ≤07．（2022•定远县校级模拟）已知关于x ，y 的方程组{4x −y =−5ax +by =−1和{3x +y =−93ax +4by =18有相同的解，那么√a +b 的平方根是（ ） A ．0B ．±1C ．±√2D ．±28．（2022•南谯区校级模拟）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x y 的值为（ ）A ．1B ．8C ．9D ．﹣89．（2022•定远县二模）下列变形正确的是（ ） A ．若ac ＝bc ，则a ＝b B ．若a ＝b ，则a c=bcC ．若ca=cb ，则a ＝bD ．若3﹣4b ＝3﹣4a ，则a ＝b10．（2022•合肥模拟）一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（ ） A ．2400元B ．2200元C ．2000元D ．1800元11．（2022•裕安区校级一模）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x 天可以铺好这条管线，则可列方程为（ ） A ．12x +24x ＝1 B ．（112+124）x ＝1C ．12x+24x=1 D ．（12+24）x ＝112．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a ）x 2+ax ﹣8＝0是关于x 的一元一次方程，那么a 的值是（ ） A ．0B ．7C ．8D ．10二．填空题（共8小题）13．（2022•安徽）若一元二次方程2x 2﹣4x +m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝ ． 14．（2022•定远县模拟）一元二次方程x 2﹣px +q ＝0的两根分别为x 1＝1和x 2＝2，那么将x 2+px +q 分解因式的结果为 ．15．（2022•合肥模拟）定义新运算“*”，规则：a *b ={a(a ≥b)b(a ＜b)，如1*2＝2，（−√5）*√2=√2．若x 2+x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1*x 2＝ ．16．（2022•肥西县模拟）设a、b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，则a3+2022b﹣2021＝．17．（2022•凤阳县一模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．18．（2022•芜湖一模）为推进“书香芜湖”建设，让市民在家门口即可享受阅读和休闲服务，某社区开办了社区书屋.2021年9月份书屋共接待了周边居民200人次，11月份共接待了648人次，假定9月至11月每月接待人次增长率相同设为x，则可列方程．19．（2022•镜湖区校级一模）关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．20．（2022•安徽二模）一小船由A港到B港顺流需要6小时，由B港到A港逆流需要8小时，小船从上午7时由A港到B港时，发现一救生圈在中途落水，立即返航，1小时后找到救生圈，救生圈是时掉入水中的．三．解答题（共11小题）21．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额+出口额．（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020x y5202021 1.25x 1.3y（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？22．（2022•定远县校级模拟）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程有一个根是1，求k的值及方程的另一个根．23．（2022•定远县校级模拟）如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共块瓷砖，第一竖列共有块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．24．（2022•来安县二模）为进一步提高某届学生的阅读量，学校积极开展课外阅读活动，目标将该届学生人均阅读量从刚上七年级的80万字增加到八年级结束时的115.2万字．（1）求该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率；（2）若按这两年中每年的平均增长率增长，学校能否实现九年级结束时该届学生人均阅读量达到140万字的目标，请计算说明．25．（2022•定远县模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2−2√3x+1=0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，令t＝n2﹣4m2，试求t的最大值．26．（2022•蜀山区校级模拟）我国南宋数学教杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？（请你利用所学知识解决以上问题）27．（2022•博望区校级一模）已知实数a1，a2，…，a n，（其中n是正整数）满足：{ a 1=13(1×2×3)=2a 1+a 2=13(2×3×4)=8a 1+a 2+a 3=13(3×4×5)=20⋯⋯a 1+a 2+⋯⋯+a n−1=13(n −1)n(n +1)a 1+a 2+⋯⋯+a n−1+a n =13n(n +1)(n +2) （1）求a 3，的值；（2）求a n 的值（用含n 的代数式表示）； （3）求2022a1+2022a2+2022a3+⋯+2022a2021的值．28．（2022•肥东县二模）《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？“大意是：甲袋中装有9枚重量相等的黄金，乙袋中装有11枚重量相等的白银，两袋重量相等．两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？29．（2022•肥东县校级模拟）《增删算法统宗》是清代珠算书，明程大位原编纂，清梅敏增删，共十卷，成书于1760年．其中有这样一道题，原文如下：有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，问他第一天读了多少个字？ 请解答上述问题．30．（2022•埇桥区校级模拟）寒假期间，小亮同学想跟着父母一起从合肥乘坐高铁去宣城，已知普通快车从合肥站到宣城站全程的平均速度为70km /h ，刚开通的高铁从合肥站到宣城站全程的平均速度为140km /h ，行完全程高铁比普通快车节省了90min ．求合肥站到宣城站的距离为多少千米？31．（2022•马鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．2023年湖南省中考数学专练：4方程及其解法参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b=45a+15c，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c）D．a﹣c＝5（a﹣b）【解答】解：∵b=45a+15c，∴5b＝4a+c，在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．故选：D．2．（2022•定远县校级模拟）新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则x的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：依题意得：（1+x）2＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．故选：D．3．（2022•肥东县校级模拟）春节期间，阜阳市商务局组织举办了“皖美消费，乐享阜阳”﹣2022年跨年迎新购物季”列促销活动，某超市对一款原价位a元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x%，此时售价共降低了b元，则（）A．b＝a（1﹣2x%）B．b＝a﹣a（1﹣x%）2C．b＝a（1﹣x%）2D．b＝a﹣a（1﹣2x%）【解答】解：根据题意得，b＝a﹣a（1﹣x%）2，故选：B．4．（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵b+c＝1，∴c ＝1﹣b ，∴Δ＝b 2﹣4×（﹣c ）＝b 2+4（1﹣b ）＝（b ﹣2）2≥0， ∴方程有两个实数解． 故选：A ．5．（2022•长丰县校级模拟）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（a ﹣2）x +4＝0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣2或6D ．﹣6或2【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（a ﹣2）x +4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（a ﹣2）2﹣16＝0， 即（a ﹣2）2＝16，开方得：a ﹣2＝4或a ﹣2＝﹣4， 解得：a ＝6或﹣2． 故选：C ．6．（2022•和县二模）已知三个实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，ac +b +1＝0（c ≠1），则（ ） A ．a ＝1，b 2﹣4ac ＞0 B ．a ≠1，b 2﹣4ac ≥0C ．a ＝1，b 2﹣4ac ＜0D ．a ≠1，b 2﹣4ac ≤0【解答】解：{a +b +c =0①ac +b +1=0②．由②﹣①，得ac ﹣a ﹣c +1＝0， 整理，得（a ﹣1）（c ﹣1）＝0． ∵c ≠1，∴a ﹣1＝0，即a ＝1．由ac +b +1＝0得到：b ＝﹣（ac +1）．则：b 2﹣4ac ＝[﹣（ac +1）]²﹣4ac ＝（ac ﹣1）²． 当b 2﹣4ac ＝0，即（ac ﹣1）²＝0时，ac ＝1． 由a ＝1得到c ＝1，与c ≠1相矛盾， 故a ＝1，b 2﹣4ac ＞0．方法二：{a +b +c =0①ac +b +1=0②．由②﹣①，得ac ﹣a ﹣c +1＝0，整理，得（a ﹣1）（c ﹣1）＝0． ∵c ≠1，∴a ﹣1＝0，即a ＝1．b 2﹣4ac ＝[﹣（ac +1）]²﹣4ac ＝（ac ﹣1）²． ∵a ＝1，c ≠1，∴b 2﹣4ac ＝（ac ﹣1）2＞0． 故选：A ．7．（2022•定远县校级模拟）已知关于x ，y 的方程组{4x −y =−5ax +by =−1和{3x +y =−93ax +4by =18有相同的解，那么√a +b 的平方根是（ ） A ．0B ．±1C ．±√2D ．±2【解答】解：根据题意得{4x −y =−53x +y =−9，解得{x =−2y =−3，把{x =−2y =−3代入含有a ，b 的两个方程得{−2a −3b =−1−6a −12b =18， 解得{a =11b =−7，则√a +b =2，2的平方根是±√2． 故选：C ．8．（2022•南谯区校级模拟）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x y 的值为（ ）A ．1B ．8C ．9D ．﹣8【解答】解：依题意得，x +8＝2+7，∴x ＝1∵1+y +5＝8+2+5， ∴y ＝9， 解得：{x =1y =9，∴x y ＝19＝1， 故选：A ．9．（2022•定远县二模）下列变形正确的是（ ） A ．若ac ＝bc ，则a ＝b B ．若a ＝b ，则a c=bcC ．若ca=cb ，则a ＝bD ．若3﹣4b ＝3﹣4a ，则a ＝b【解答】解：若ac ＝bc ，c ≠0，则a ＝b ，故A 错误，不符合题意； 若a ＝b ，c ≠0，则ac=bc ，故B 错误，不符合题意；若c a=cb，c ≠0，则a ＝b ，故C 错误，不符合题意；若3﹣4b ＝3﹣4a ，则a ＝b ，故D 正确，符合题意； 故选：D ．10．（2022•合肥模拟）一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（ ） A ．2400元B ．2200元C ．2000元D ．1800元【解答】解：设该商品原来的价格是x 元，依题意有： （1+20%）×（1﹣10%）x ＝2160， 解得x ＝2000．故该商品原来的价格是2000元． 故选：C ．11．（2022•裕安区校级一模）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x 天可以铺好这条管线，则可列方程为（ ） A ．12x +24x ＝1 B ．（112+124）x ＝1C ．12x+24x=1 D ．（12+24）x ＝1【解答】解：设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程：（112+124）x＝1．故选：B．12．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0B．7C．8D．10【解答】解：∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，∴7﹣a＝0且a≠0，解得：a＝7，故选：B．二．填空题（共8小题）13．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．14．（2022•定远县模拟）一元二次方程x2﹣px+q＝0的两根分别为x1＝1和x2＝2，那么将x2+px+q分解因式的结果为（x+1）（x+2）．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝p，x1•x2＝q，即1+2＝p，1×2＝q，∴p＝3，q＝2，∴x2+px+q＝x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．故答案为（x+1）（x+2）．15．（2022•合肥模拟）定义新运算“*”，规则：a*b={a(a≥b)b(a＜b)，如1*2＝2，（−√5）*√2=√2．若x2+x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝1．【解答】解：解方程x2+x﹣2＝0得：x1＝1，x2＝﹣2．∵a*b={a(a≥b) b(a＜b)，∴x1*x2＝1．故答案为：1．16．（2022•肥西县模拟）设a、b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，则a3+2022b﹣2021＝2022．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，∴a2＝a+2021，a+b＝1，∴a3+2022b﹣2021＝a（a+2021）+2022b﹣2021＝a2+2021a+2022b﹣2021＝a+2021+2021a+2022b﹣2021＝2022（a+b）＝2022×1＝2022．故答案为：2022．17．（2022•凤阳县一模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜94．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，解得k＜9 4，即k的取值范围为k＜9 4．故答案为：k＜9 4，18．（2022•芜湖一模）为推进“书香芜湖”建设，让市民在家门口即可享受阅读和休闲服务，某社区开办了社区书屋.2021年9月份书屋共接待了周边居民200人次，11月份共接待了648人次，假定9月至11月每月接待人次增长率相同设为x，则可列方程200（1+x）2＝648．【解答】解：依题意得：200（1+x）2＝648．故答案为：200（1+x）2＝648．19．（2022•镜湖区校级一模）关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣1 ．【解答】解：①当k ＝0时，﹣2x ﹣1＝0，解得x =−12；②当k ≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x 的方程kx 2+3x ﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k ×（﹣1）≥0，解得k ≥﹣1；由①②得，k 的取值范围是k ≥﹣1．故答案为：k ≥﹣1．20．（2022•安徽二模）一小船由A 港到B 港顺流需要6小时，由B 港到A 港逆流需要8小时，小船从上午7时由A 港到B 港时，发现一救生圈在中途落水，立即返航，1小时后找到救生圈，救生圈是 12 时掉入水中的．【解答】解：设小船按水流速度由A 港漂流到B 港需要x 小时，由题意得：16−1x =18+1x ， 解得：x ＝48．经检验，x ＝48是原方程的解，且符合题意．即小船按水流速度由A 港漂流到B 港需要48小时．设救生圈是在y 点钟落下水中的，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的148， 由题意得：（7+6﹣y ）（16−148）＝1×（18+148），解得：y ＝12．即救生圈是在中午12点钟掉下水的，故答案为：12．三．解答题（共11小题）21．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额+出口额．（1）设2020年进口额为x 亿元，出口额为y 亿元，请用含x ，y 的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元2020x y 520 2021 1.25x 1.3y 1.25x +1.3y（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？【解答】解：（1）由表格可得，2021年进出口总额为：1.25x +1.3y ，故答案为：1.25x +1.3y ；（2）由题意可得，{x +y =5201.25x +1.3y =520+140， 解得{x =320y =200， ∴1.25x ＝400，1.3y ＝260，答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．22．（2022•定远县校级模拟）如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若方程有一个根是1，求k 的值及方程的另一个根．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根， ∴Δ≥0，且k ≠0，∴（2k +1）2﹣4k 2≥0，∴k ≥−14，∴k 的取值范围k ≥−14且k ≠0；（2）把x ＝1代入k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0中，可得k 2﹣（2k +1）+1＝0解得：k ＝2，或k ＝0当k ＝0时方程为一元一次方程，不符合题意∴k ＝2∴原方程为4x 2﹣5x +1＝0，解方程得：x 1＝1，x 2=14综上所述k ＝2，x 2=14．23．（2022•定远县校级模拟）如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有（n+2）块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．【解答】解：（1）每﹣横行有（n+3）块，每﹣竖列有（n+2）块；故答案为：（n+3），（n+2）块；（2）y＝（n+3）（n+2）；（3）由题意，得（n+3）（n+2）＝506，解之n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．答：此时n的值为20；（4）当黑白砖块数相等时，有方程n（n+1）＝（n2+5n+6）﹣n（n+1）．整理得n2﹣3n﹣6＝0．解之得n1=3+√332，n2=3−√332．由于n1的值不是整数，n2的值是负数，故不存在黑砖白块数相等的情形．24．（2022•来安县二模）为进一步提高某届学生的阅读量，学校积极开展课外阅读活动，目标将该届学生人均阅读量从刚上七年级的80万字增加到八年级结束时的115.2万字．（1）求该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率；（2）若按这两年中每年的平均增长率增长，学校能否实现九年级结束时该届学生人均阅读量达到140万字的目标，请计算说明．【解答】解：（1）设该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率为x，依题意得：80（1+x ）2＝115.2，解得：x 1＝﹣2.2（不符合题意，舍去），x 2＝0.2＝20%．∴该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率为20%．（2）学校的目标不能实现，理由如下：按照（1）中的阅读量增长率，九年级结束时该届学生人均阅读量为115.2×（1+20%）＝138.24（万字），∵140＞138.24，∴学校的目标不能实现．答：（1）该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率为20%；（2）学校的目标不能实现．25．（2022•定远县模拟）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x 2+x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝﹣1，则方程x 2+x ＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x 2﹣x ﹣6＝0；②2x 2−2√3x +1=0．（2）已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值；（3）若关于x 的方程mx 2+nx +2＝0（m ，n 是常数，m ＞0）是“邻根方程”，令t ＝n 2﹣4m 2，试求t 的最大值．【解答】解：（1）①解方程x 2﹣x ﹣6＝0得：x ＝3或x ＝﹣2，∵3﹣（﹣2）＝5，∴x 2﹣x ﹣6＝0不是“邻根方程”；②解方程2x 2−2√3x +1=0得：x =2√3±√12−84=√3±12， ∵√3+12−√3−12=1， ∴x 2﹣x ﹣6＝0是“邻根方程”；（2）由方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0解得：x ＝m 或x ＝﹣1，由于方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，则m ﹣（﹣1）＝1或﹣1﹣m ＝1，解得m ＝0或﹣2；（3）解方程mx 2+nx +2＝0得：x =−n±√n 2−8m 2m ， ∵关于x 的方程mx 2+nx +2＝0（m ，n 是常数，m ＞0）是“邻根方程”，∴−n+√n 2−8m 2m −−n−√n 2−8m 2m =1，∴n 2＝m 2+8m ，∵t ＝n 2﹣4m 2，∴t ＝﹣3m 2+8m =−3(m −43)2+163， ∴当m =43时，t 有最大值163． 26．（2022•蜀山区校级模拟）我国南宋数学教杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？（请你利用所学知识解决以上问题）【解答】解：设矩形田地的宽为x 步，则长为（x +12）步，依题意得：（x +12）x ＝864，整理得：x 2+12x ﹣864＝0，解得：x 1＝24，x 2＝﹣36（不合题意，舍去），∴x +12＝24+12＝36．答：矩形田地的长为36步，宽为24步．27．（2022•博望区校级一模）已知实数a 1，a 2，…，a n ，（其中n 是正整数）满足： { a 1=13(1×2×3)=2a 1+a 2=13(2×3×4)=8a 1+a 2+a 3=13(3×4×5)=20⋯⋯a 1+a 2+⋯⋯+a n−1=13(n −1)n(n +1)a 1+a 2+⋯⋯+a n−1+a n =13n(n +1)(n +2)（1）求a 3，的值；（2）求a n 的值（用含n 的代数式表示）；（3）求2022a1+2022a2+2022a3+⋯+2022a2021的值．【解答】解：①∵a 1+a 2＝8，a 1+a 2+a 3＝20，∴（a 1+a 2+a 3）﹣（a 1+a 2）＝20﹣8＝12，∴a 3＝12；②a n =13（a 1+a 2+a 3+…+a n ）−13（a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1）=13n n （n +1）（n +2）−13（n ﹣1）n （n +1）=13n （n +1）[n +2﹣（n ﹣1）]＝n （n +1），即a n ＝n （n +1）；③2022a 1+2022a 2+2022a 3+•+2022a 2021 ＝2022×（11×2+12×3+13×4+⋯+12020×2021） ＝1−12+12−13+13−14+⋯+12020−12021=20202021．28．（2022•肥东县二模）《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？“大意是：甲袋中装有9枚重量相等的黄金，乙袋中装有11枚重量相等的白银，两袋重量相等．两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？【解答】解：设黄金每枚重a 两，白银每枚重b 两，根据题意列方程组：{9a =11b 8a +b =10b +a −13解得：{a =1434b =1174 答：黄金每枚重1434两，白银每枚重1174两．29．（2022•肥东县校级模拟）《增删算法统宗》是清代珠算书，明程大位原编纂，清梅敏增删，共十卷，成书于1760年．其中有这样一道题，原文如下：有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，问他第一天读了多少个字？ 请解答上述问题．【解答】解：设他第一天读了x 个字，根据题意得x +2x +4x ＝34685，解得x ＝4955，答：他第一天读了4955个字．30．（2022•埇桥区校级模拟）寒假期间，小亮同学想跟着父母一起从合肥乘坐高铁去宣城，已知普通快车从合肥站到宣城站全程的平均速度为70km/h，刚开通的高铁从合肥站到宣城站全程的平均速度为140km/h，行完全程高铁比普通快车节省了90min．求合肥站到宣城站的距离为多少千米？【解答】解：设合肥站到宣城站的距离为x千米，依题意得：x70−x140=9060，解得：x＝210．答：合肥站到宣城站的距离为210千米．31．（2022•马鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．【解答】解：设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，依题意得：6×（1+20%）x﹣28+4＝6x，解得：x＝20．答：该款奶茶线下销售价格为20元/杯．。
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷(附答案)
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 5．（3分）下列计算正确的是( )A ．164=±B ．0(2)1-=C ．257+=D ．393=6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是857．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A．B．C．D．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈)A．7.5米B．8米C．9米D．10米9．（3分）下列命题是真命题的是()A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120︒C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形10．（3分）不等式组1026xx+<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为()A．B．C．D．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 ．14．（3分）计算：11a a a-+= ． 15．（3分）因式分解：239a ab -= ．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留)π17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 棵．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A D-段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)++-++-．x y x y x y x x y20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB DE=，//BC EF．求AC DF，//证：ABC DEF∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90∆绕A点逆时针方AEB∠=︒，将Rt ABE向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BC=，求DH的长．BH=，1323．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm．经测量，得到表中数据．双层部分长度()x cm281420单层部分长度()y cm148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm，求L的取值范围．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是8-． 故选：A ．2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯【解答】解：7989900009.89910=⨯，故选：B ．3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 【解答】解：A ．235a a a ⋅=,故此选项不合题意；B ．12210a a a ÷=,故此选项不合题意；C ．326()a a =,故此选项符合题意；D ．32611()24a a =,故此选项不合题意； 故选：C ．5．（3分）下列计算正确的是( )A 4=±B ．0(2)1-=CD 3=【解答】解：16的算术平方根为44，故A 不符合题意；根据公式01(0)a a =≠可得0(2)1-=，故B 符合题意；≠，故C 不符合题意；3，故D 不符合题意；故选：B ．6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是85【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，A 、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；B 、数据的中位数为8385842+=，此选项正确，不符合题意； C 、数据的平均数为828283858692856+++++=， 所以方差为222221[(8585)(8385)2(8285)(8685)(9285)]126⨯-+-+⨯-+-+-=，此选项错误，符合题意；D 、由C 选项知此选项正确；故选：C ．7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：这个组合体的三视图如下：故选：A ．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈ )A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =米，3sin sin370.65BC BAC AB ∠==︒≈=， 5561033AB BC ∴≈=⨯=（米)， 故选：D ．9．（3分）下列命题是真命题的是( )A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【解答】解：A ．每个多边形的外角和都是360︒，故错误，假命题；B ．正六边形的内角和是720︒，每个内角是120︒，故正确，真命题；C ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；D ．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．故选：B ．10．（3分）不等式组1026x x +<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：解不等式10x +<得，1x <-,解不等式26x -得，3x -， ∴不等式组的解集为：31x -<-,在数轴上表示为：故选：A ．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，A ∴选项错误，彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，B ∴选项错误，根据概率的计算公式，C 选项中摸出红球的概率为37， C ∴选项错误， 200名学生中有85名学生喜欢跳绳，∴跳绳的占比为85100%42.5%200⨯=， 320042.5%1360∴⨯=（人)，D ∴选项正确，故选：D ．12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【解答】解：//PM CN ，PMN MNC ∴∠=∠，MNC PNM ∠=∠，PMN PNM ∴∠=∠，PM PN ∴=，NC NP =，PM CN ∴=，//MP CN ，∴四边形CNPM 是平行四边形，CN NP =，∴四边形CNPM 是菱形，故①正确；如图1，当点P 与A 重合时，设BN x =，则8AN NC x ==-，在Rt ABN ∆中，222AB BN AN +=，即422(8)2x x +=-，解得3x =，835CN ∴=-=，4AB =，8BC =， 2245AC AB BC ∴=+=，1252CQ AC ∴==， 225QN CN CQ ∴=-=，225MN QN ∴==，故②不正确；由题知，当MN 过点D 时，CN 最短，如图2，四边形CMPN 的面积最小，此时1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形， 当P 点与A 点重合时，CN 最长，如图1，四边形CMPN 的面积最大，此时15454S =⨯⨯=， 45S ∴正确，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 3x ．【解答】解：根据题意，得30x -，解得，3x ；故答案为：3x ．14．（3分）计算：11a a a-+= 1 ． 【解答】解：原式111a a -+==． 故答案为：1．15．（3分）因式分解：239a ab -= 3(3)a a b - ．【解答】解：239a ab -3(3)a a b =-，故答案为：3(3)a a b -．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 12π ．（结果保留)π【解答】解：圆锥的侧面积234212ππ=⨯⨯÷=．故答案为：12π．17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 500 棵．【解答】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树(125%)x +棵， 依题意得：600060003(125%)x x-=+，解得：400x =，经检验，400x =是原方程的解，且符合题意，(125%)500x ∴+=．故答案为：500．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为 (233)+ 厘米．【解答】解：由图分析易知：当点P 从O A →运动时，点Q 从O C →运动时，y 不断增大， 当点P 运动到A 点，点Q 运动到C 点时，由图象知此时3y PQ cm ==，23AC cm ∴=，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，132OA OC AC cm ===， 当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，2y BD cm ==，112OD OB BD cm ∴===， 在Rt ADO ∆中，2222(3)12()AD OA OD cm ++，2AD AB BC DC cm ∴====，如图，当点P 在A D -段上运动，点P 运动到点E 处，点Q 在C B -段上运动，点Q 运动到点F 处时，P 、Q 两点的最短，此时，31322OA OD OE OF AD ⋅⨯====， 2233342AE AF OA OE ==-=-=， ∴当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为：3(3)2233()2cm +⨯=+ 故答案为：(233)+．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)x y x y x y x x y ++-++-．【解答】解：原式22222(44)(4)(4)x xy y x y x xy =+++-+-222224444x xy y x y x xy =+++-+-23x =．20．（6分）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，AB DE =，//AC DF ，//BC EF ．求证：ABC DEF ∆≅∆．【解答】证明：//AC DF ，CAB FDE ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),又//BC EF ，CBA FED ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),在ABC ∆和DEF ∆中，CAB FDE AB DECBA FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABC DEF ASA ∴∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 64.8 度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：120%7%55%18%---=， ∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：36018%64.8︒⨯=︒，故答案为：64.8；（2）50020%100⨯=（吨)，1000.220⨯=（万元）， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；（3）由题意可列树状图：()82 123P∴==一男一女．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90AEB∠=︒，将Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BH=，13BC=，求DH的长．【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，Rt ABE Rt ADF∴∆≅∆，90AEB AFD∴∠=∠=︒，90AFH∴∠=︒，Rt ABE Rt ADF∆≅∆，DAF BAE∴∠=∠,又90DAF FAB∠+∠=︒，90BAE FAB∴∠+∠=︒，90FAE∴∠=︒，在四边形AFHE中，90FAE∠=︒，90AEB∠=︒，90AFH∠=︒，∴四边形AFHE是矩形，又AE AF =，∴矩形AFHE 是正方形；（2）设AE x =．则由（1）以及题意可知：AE EH FH AF x ====,7BH =,13BC AB ==, 在Rt AEB ∆中，222AB AE BE =+，即22213(7)x x =++,解得：5x =,5712BE BH EH ∴=+=+=,12DF BE ∴==,又DH DF FH =+，12517DH ∴=+=．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm ，单层部分的长度为y cm ．经测量，得到表中数据． 双层部分长度()x cm2 8 14 20 单层部分长度()y cm 148 136 124 112（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm ，求L 的取值范围．【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，由题知14821368k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2152k b =-⎧⎨=⎩， y ∴与x 的函数关系式为2152y x =-+；（2）根据题意知1302152x y y x +=⎧⎨=-+⎩， 解得22108x y =⎧⎨=⎩， ∴双层部分的长度为22cm ；（3）由题知，当0x =时，152y =， 当0y =时，76x =， 76152L ∴．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．【解答】（1）证明：连结OD ，如图所示：AB 是直径，90BDA ∴∠=︒，90BDO ADO ∴∠+∠=︒， 又OB OD =，CDA B ∠=∠， B BDO CDA ∴∠=∠=∠，90CDA ADO ∴∠+∠=︒，OD CD ∴⊥，且OD 为O 半径，CD ∴是O 的切线；（2）解：连结OE ，如图所示：30BDE ∠=︒，260BOE BDE ∴∠=∠=︒，又E 为BD 的中点，60EOD ∴∠=︒，EOD ∴∆为等边三角形，2ED EO OD ∴===，又120BOD BOE EOD ∠=∠+∠=︒，180********DOC BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，在Rt DOC ∆中，60DOC ∠=︒，2OD =，tan tan6032CD CD DOC OD ∴∠=︒== 23CD ∴= 25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．【解答】解：（1）过点A 作x 轴的垂线，交MN 于点E ，交OB 于点F ，由题意得：2OQ t =，3OP t =，63PB t =-，(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，3OF FB ∴==，4AF =，22345OA AB ==+，//MN OB ，OQM OFA ∴∠=∠，OMQ AOF ∠=∠，OQM AFO ∴∆∆∽， ∴OQ QM AF OF =， ∴243t QM =， 32QM t ∴=， ∴点M 的坐标是3(,2)2t t ． （2）//MN OB ，∴四边形QEFO 是矩形，QE OF ∴=，332ME OF QM t ∴=-=-， OA AB =，ME NE ∴=，263MN ME t ∴==-，MNP BNP MNBP S S S ∆∆∴=+四边形1122MN OQ BP OQ =⋅+⋅⋅11(63)2(63)222t t t t =-⋅+⋅-⋅ 2612t t =-+26(1)6t =--+，点P 到达点B 时，P 、Q 同时停止，02t ∴，1t ∴=时，四边形MNBP 的最大面积为6．（3）63MN t =-，63BP t =-，MN BP ∴=，//MN BP ，∴四边形MNBP 是平行四边形，∴平分四边形MNBP 面积的直线经过四边形的中心，即MB 的中点，设中点为(,)H x y ， 3(,2)2M t t ，(6,0)B ， 133(6)3224x t t ∴=⋅+=+， 202t y t +==． 334x y ∴=+， 化简得：443y x =-， ∴直线l 的解析式为：443y x =-． （4）OA AB =，AOB PBN ∴∠=∠，又OAP BPN ∠=∠， AOP PBN ∴∆∆∽，∴OA OP BP BN=， ∴535632t t t =-， 解得：1118t =．63MN t =-，AE AF OQ =-，332ME t =-， 112563186MN ∴=-⨯=， 112542189AE =-⨯=， 31125321812ME =-⨯=， 22222525125()()12936AM ME AE ∴=+=+=． 设点N 到OA 得距离为h ，1122AMN S MN AE AM h ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴125251125269236h ⋅⋅=⋅⋅， 解得：103h =． ∴点N 到OA 得距离为103．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±， 当2x =±时，42y x ==±， 故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）① “雁点”的横坐标与纵坐标相等， 故“雁点”的函数表达式为y x =，物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ， 则25ax x c x ++=，则△2540ac =-=，即4ac =，1a >，故4c <；②4ac =，则250ax x c ++=为2450ax x a++=， 解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =， 解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-， 故点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242()E M MH x x HE a a a =-=---==， 故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ， 过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++,3PN m =-,PM m t =-,223CM m m t =-++-, 90NPB MPC ∠+∠=︒,90MPC CPM ∠+∠=︒, NPB CPM ∴∠=∠,90CMP PNB ∠=∠=︒,PC PB =,()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得1m =1-或32，故点P 的坐标为，3)2或3(2，15)4或(1+，3)2．。
2021年中考数学复习-新定义型(解析版)
新定义型【典例1】对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a ⊗b=2a+b ，即可得到2⊗（﹣5）的值； （2）依据x ⊗（﹣y ）=2，且2y ⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y 的值． 【典例2】对于实数x ，规定[]x 表示不小于x 的最小整数，例如[]1.2=2，[]3=3，[]-2.5=-2，则（1）填空：①[]-=π ；②若[]x =-2，则x 的取值范围是 ．（2）已知x 为正整数，且x 132+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求x 的值．【解析】（1）①[﹣π]＝﹣3；②x 的取值范围是﹣3＜x ≤﹣2； （2）由x 132+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦知2＜x 12+ ≤3，解得：3＜x ≤5，∵x 取正整数， ∴x 的值为4或5．【典例3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？ 【解析】（1）设这一对“互换点”的坐标为M(m ，n) 和N(n ，m) ． ① 当mn=0时，它们不可能在反比例函数的图像上； ② 当mn ≠0 时，M 、N 两点均在反比例函数的图像上． 于是得到结论“不一定”．（2）M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n)，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；【解析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k ≠0) ． 把 M( m,n) ，N( n ，m) 代入 y = kx + b ，解得 k=-1，b=m + n ，∴ 直线 MN 的表达式为y=-x+m+n ． （3）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数2y x=-的图象上，直线AB 经过点P1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求此抛物线的表达式．【解析】 ( 3）因为点A 在反比例函数2y x=-的图象上， 故设A(m ，2m -) ，则B(2m-，m) ．由（2）的结论可得，直线AB 的表达式为y=-x+m2m-．将P 点坐标1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入可得2m 10m--=， 解得m=2或-1． 【典例4】对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6． （1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值． 【解析】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8，∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54, ∴k 的最大值为54．【解析】 （1）322x y x -+=+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-.试题分析：（1）根据题意列式并化为322x y x -+=+，根据定义作出判断. （2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6ax ky x +=-即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.【典例6】定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④【典例7】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)
2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)湖南省永州市2021年中考数学试卷一、多项选择题（每个子题3分，共24分）。
1.（3分）（2022？永州）A.B.的倒数是（）2021c．d．2021考点：倒数．分析：根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．解答：解：∵（）×（2021）=1，∴的倒数为2021．故选d．点评：本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．2．（3分）（2021?永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求键顺序正确的是（）a．c．．考点：计算器―数的开方分析：根据计算器上的键的功能，是先按最后按6，即可得出答案．解答：解：是先按，再按8，是先按2nd 键，再按则+的顺序先按，最后按6，，再按8，按+，按2nd键，按，最后按6，+的近似值b．，再按8，是先按2nd键，再按，故选a．点评：此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．3．（3分）（2021?永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）a、 B.c.d.试验场地：中心对称图；简单几何的三视图分析：首先判断每个图形的主视图，然后结合中心对称性的定义进行判断；b、主视图是一个三角形，它不是一个中心对称的图形，所以这个选项是正确的；c、主视图是一个圆形，是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；d、主视图是一个正方形，而正方形是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；所以选择B.评论：这个问题考察了三个视图的知识和简单几何的中心对称性。
判断中心对称图形就是找到对称中心，旋转180度后与原始图形重合。
4.（3点）（2022？永州）如图所示，在以下条件下可以确定L1‖L2线为（）∠1=∠2∠1+∠3=180°∠3=∠5a．c．d．考点：平行线的判定．分析：平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，根据以上内容判断即可．解答：解：a、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；b、∵∠5=∠3，∠1=∠5，∴∠1=∠3，即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；c、∵∠1+∠3=180°，∴l1∥l2，故本选项正确；d、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；故选c．点评：本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．5．（3分）（2021?永州）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）∠1=∠5b。
湖南省娄底市2021-2023三年中考数学真题分类汇编——解答题(基础题)知识点分类(含答案)
湖南省娄底市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•娄底）计算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°．2．（2022•娄底）计算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．二．分式的化简求值（共2小题）3．（2022•娄底）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．4．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．三．分母有理化（共1小题）5．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．四．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2021•娄底）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．五．一元一次不等式的应用（共1小题）7．（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙树苗的价格；（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？六．切线的判定与性质（共1小题）8．（2021•娄底）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，与⊙O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MB＝ME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．七．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B两点间的距离．八．条形统计图（共3小题）10．（2023•娄底）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图．（1）参与本次测试的学生人数为 ，m＝ ；（2）请补全条形统计图；（3）若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．11．（2022•娄底）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共 名；（2）a＝ ，b＝ ；（3）补全条形统计图．12．（2021•娄底）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径．学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：统计表：频数频率A文史类50mB科普类900.45C生活类n0.20D其它200.10合计（1）本次调查的学生共 人；（2）m＝ ，n＝ ；（3）补全条形统计图．湖南省娄底市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•娄底）计算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°．【答案】2．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣＝2．2．（2022•娄底）计算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．【答案】2．【解答】解：原式＝1+2+﹣1﹣2×＝1+2+﹣1﹣＝2．二．分式的化简求值（共2小题）3．（2022•娄底）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．【答案】，﹣1．【解答】解：原式＝（+）÷＝•＝，∵x≠0且x﹣2≠0，∴x≠0且x≠2，∴x＝1，则原式＝＝﹣1．4．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，由题意得：x≠1，x≠±3，当x＝2时，原式＝＝．三．分母有理化（共1小题）5．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．【答案】2．【解答】解：原式＝1++2﹣2×＝1+﹣1+2﹣＝2．四．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2021•娄底）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．【答案】（1）购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元；（2）共有7种购买方案，所花资金的最小值为770元．【解答】解：（1）设购买一个甲种纪念品需要x元，购买一个乙种纪念品需要y元，依题意得：，解得：．答：购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元．（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（100﹣m）个乙种纪念品，依题意得：，解得：53≤m≤60，又∵m为整数，∴m可以为54，55，56，57，58，59，60，∴共有7种购买方案．设购买总费用为w元，则w＝10m+5（100﹣m）＝5m+500，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝54时，w取得最小值，最小值＝5×54+500＝770．答：共有7种购买方案，所花资金的最小值为770元．五．一元一次不等式的应用（共1小题）7．（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙树苗的价格；（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，根据题意得：，解得：．答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵；（2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵，根据题意得：2×100（200﹣m）+3×100m≥50000，解得：m≥100，∴m的最小值为100．答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．六．切线的判定与性质（共1小题）8．（2021•娄底）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，与⊙O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MB＝ME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见解析过程；（2）AC2＝CN•AD，理由见解析过程．【解答】证明：（1）∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB，∴∠MBE+∠EBC＝90°，∴∠MBC＝90°，∴MB⊥BC，∴BM与⊙O相切；（2）AC2＝CN•AD，理由如下：∵∠ACD＝∠ABD，∠DBC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝DC，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD+∠DBC＝90°，∵AN∥BM，BM⊥BC，∴AN⊥BC，∴∠N+∠DCB＝90°，∴∠N＝∠DBC，∴∠N＝∠DBC＝∠DCA＝∠DAC，∴△DAC∽△ANC，∴，∴AC2＝CN•AD．七．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B两点间的距离．【答案】A、B两点间的距离为500米．【解答】解：过点A作AF⊥CD于点F，∴∠AFB＝90°，在Rt△ABF中，，∴设AF＝24x米，AB＝25x米，则由勾股定理得米，在Rt△AFE中，，∵BE＝20米，∴，解得x＝20，∴AB＝25x＝500米．答：A、B两点间的距离为500米．八．条形统计图（共3小题）10．（2023•娄底）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图．（1）参与本次测试的学生人数为 150 ，m＝ 30 ；（2）请补全条形统计图；（3）若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．【答案】（1）150，30；（2）详见解答；（3）3500．【解答】解：（1）60÷40%＝150（人），45÷150×100%＝30%，即m＝30，故答案为：150，30；（2）样本中成绩为“合格”的学生人数为150﹣45﹣60﹣5＝40（人），补全条形统计图如下：（3）5000×＝3500（人），答：全区该年级5000名学生中对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数大约有3500人．11．（2022•娄底）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共 200 名；（2）a＝ 30 ，b＝ 50 ；（3）补全条形统计图．【答案】（1）200；（2）30，50；（3）补全条形统计图见解析．【解答】解：（1）本次调查的学生共：10÷5%＝200（名），故答案为：200；（2）a＝×100＝30，b＝×100＝50，故答案为：30，50；（3）C类人数为200×15%＝30，补全条形统计图如图：12．（2021•娄底）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径．学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：统计表：频数频率A文史类50mB科普类900.45C生活类n0.20D其它200.10合计（1）本次调查的学生共 200 人；（2）m＝ 0.25 ，n＝ 40 ；（3）补全条形统计图．【答案】（1）200；（2）0.25，40；（3）见解析．【解答】解：（1）20÷0.10＝200（人），故答案为：200；（2）m＝50÷200＝0.25，n＝200×0.20＝40，故答案为：0.25，40；（3）补全条形统计图如下，。
2021年湖南省中考数学真题分类汇编专题5四边形(解析版)
2021湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题5 四边形一、选择题1．（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【答案】A.【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．二、填空题2．（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）．【答案】∠ABC =90°或 AC=BD ．【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：∠ABC =90°或 AC=BD ．故答案为：∠ABC =90°或 AC=BD ．3．（2019湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是 ．【答案】9．【解析】解：∵E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，∴DE = 12AD = 12BC ，DO =12BD ，AO=CO ， ∴OE =12CD ， ∵△BCD 的周长为 18，∴BD +DC +B=18，∴△DEO 的周长是 DE +OE +DO =12（BC +DC +BD ）=12×18=9， 故答案为：9． 4．（2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a =6，弦c =10，则小正方形ABCD 的面积是 .【答案】4．【解析】解：∵勾a ＝6，弦c ＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4.故答案是：4.5．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝．【答案】2．【解析】解：连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案为：2．6．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N 的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①②④．【解析】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①②④．三、解答题7．（2019湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．【答案】见解析．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△F AE≌△CDE（ASA），∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．8．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．【答案】见解析．【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．9．（2019湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．10．（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF ＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．【答案】（1）见解析；（2）12．【解答】解：（1）在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，△ABF面积＝△CBE面积＝12×4×1＝2．所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．11．（2019湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝12，∴BF＝12AD＝12BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝12，解得，FG＝2．12．（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝12，求正方形OEFG的边长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD ∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝12，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为2．13．（2019湖南郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）△DEF是等边三角形，理由见解析；（3）DG2+GF2＝GE2．【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，∴∠DEA1＝∠EHB1，∴△A1DE∽△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，∴△A1DE≌△A1DF（SAS），∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，∴∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，∴△DGG'是等边三角形，∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，∵∠DGF＝150°，∴∠G'GF＝90°，∴G'G2+GF2＝G'F2，∴DG2+GF2＝GE2，14．（2019湖南益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．【答案】（1）（2，3+2）；（2）OA＝3；（3）当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，cos∠OAD＝．【解析】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为（2，3+2）；（2）∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，12xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（负值舍去），∴OA＝3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM ＝∠ONM ＝90°，∠CMD ＝∠OMN ，∴△CMD ∽△OMN ，∴＝＝，即＝＝， 解得MN ＝，ON ＝，∴AN ＝AM ﹣MN ＝，在Rt △OAN 中，OA ＝＝， ∴cos ∠OAD ＝＝． 15．（2019湖南岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C ′处．点P 为直线EF 上一动点（不与E 、F 重合），过点P 分别作直线BE 、BF 的垂线，垂足分别为点M 和N ，以PM 、PN 为邻边构造平行四边形PMQN ．（1）如图1，求证：BE ＝BF ；（2）特例感知：如图2，若DE ＝5，CF ＝2，当点P 在线段EF 上运动时，求平行四边形PMQN 的周长；（3）类比探究：若DE ＝a ，CF ＝b ．①如图3，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，试用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，请直接用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程）【答案】（1）见解析；（2）2；（3）①QN ﹣QM ＝22a b -，证明见解析；②QM ﹣QN ＝22a b -．【解析】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴12•BF•EH＝12•BE•PM+12•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴12BE•PM﹣12•BF•PN＝12•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM。
湖南省怀化市2021年中考数学试卷(含解析)
2021年怀化市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a63．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×1044．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．95．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．68．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±29．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．1010．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．代数式有意义，则x的取值范围是．12．因式分解：x3﹣x＝．13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为分．14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝°．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（结果保留π）．16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．【分析】根据无理数的三种形式求解即可．解：﹣3，0，是有理数，是无理数．故选：D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a6【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案．解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，不符合题意；a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意；a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意．故选：B．3．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×104【分析】科学记数法的形式是：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．所以a＝3.5，n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以n＝6．解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106．故选：A．4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．5．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°【分析】首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得∠β的度数．解：∵∠α＝40°，∴∠1＝∠α＝40°，∵a∥b，∴∠β＝∠1＝40°．故选：D．6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数【分析】根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案．解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，故最应该关注的数据是中位数，故选：B．7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．6【分析】根据角平分线的性质即可求得．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，故选：A．8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．9．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据矩形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3【分析】根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得到x的取值范围．解：由图象可得，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．代数式有意义，则x的取值范围是x＞1．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．12．因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为72分．【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）故答案为：72．14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝130°．【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据平行线的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，故答案为：130．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是24π（结果保留π）．【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，且底面周长为：2π×2＝4π，∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．故答案为：24π．16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E ⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x 轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．【分析】按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减即可．解：原式＝＝＝＝．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．解：原式＝＝＝＝．∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，当x＝0时，分母不为0，代入：原式＝．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为72度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；故答案为：50，72；（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）名，答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；（4）列表如下：A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）【分析】设CB＝CD＝x，根据tan30°＝即可得出答案．解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，在Rt△ACD中，tan30°＝＝，解得x＝10+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，∴CD＝27，答：CD的高度为27米．21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC＝DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴AC•BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE＝，∴r＝＝＝4，∴⊙O的半径为4．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x＝12代入函数解析式求出结果即可．解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；（2）由题意得：，解得12≤x≤15，∵x为正整数，∴x＝12、13、14、15，共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台，乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x取最小值时，y有最大值，即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD ＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴，即AE•BF＝CF•CE，又CE＝CG，CF＝CG，∴AE•BF＝CG2．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；（4）连接AC，由CE＝CB可知∠B＝∠E，求出MC的解析式，设P（x，﹣x﹣3），然后根据△PEO相似△ABC，分成和讨论即可求解．解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），设直线BC的解析式为：y＝ax+b，代入C（0，﹣3），B（3，0）得：，解得，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，则＝＝，（其中x Q，x C，x B分别表示Q，C，B 三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，x B﹣x C＝3，故，其中0＜n＜3，当时，S△BCN有最大值为，此时点N的坐标为（），（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情况讨论：①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：线段DG的中点坐标为，即，线段BC的中点坐标为，即，此时DG的中点与BC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：线段DB的中点坐标为，即，线段GC的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：线段DC的中点坐标为，即，线段GB的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；（4）连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得，解得∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，则，，由题意知：△PEO相似△ABC，分情况讨论：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．。
2021年中考数学专题复习 专题49 中考数式图规律型试题解法(教师版含解析)
专题49 中考数式图规律型试题解法给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成为探索规律性问题。
主要采用归纳法解决。
1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．【例题1】(2019安徽合肥)观察下列各组式子：①26115 13133⨯-+==⨯；②1262111 353515⨯-+==⨯；③1263117 (575735)⨯-+==⨯ (1)请根据上面的规律写出第 4个式子；(2)请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】(1)1264123797963⨯-+==⨯；(2)()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+， 证明见解析．【解析】(1)1264123797963⨯-+==⨯ (2)()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+ 证明：等式左边122121n n =+-+， ()()()()()2212121?2121?21n n n n n n -+=+-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-=-+ ()()6121?21n n n ⨯-=-+ ∵等式右边为()()612121n n n ⨯--⨯+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+成立. 【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.【对点练习】(2019湖南益阳)观察下列等式：①3﹣2＝(﹣1)2，②5﹣2＝(﹣)2，③7﹣2＝(﹣)2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝(﹣)2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)．写出第6个等式为13﹣2＝(﹣)2．【例题2】(2019湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1，则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，即(﹣2)3n＝(22)12，∴(﹣2)3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)＝(﹣128)×3＝﹣384【对点练习】(2019湖南常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( )A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴(2019+1)÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．【点拨】本题属于数字规律探究的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年中考数学复习题
24．（10分）华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲乙
进价（元/件）2030
售价（元/件）2540（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍：甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【解答】解：（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，
根据题意得：20×2x+30x＝7000，
解得：x＝100，
∴2x＝200件，
答：该超市第一次购进甲种商品200件，乙种商品100件．
（2）（25﹣20）×200+（40﹣30）×100＝2000（元）
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润2000元．
（3）方法一：
设第二次乙种商品是按原价打y折销售
根据题意得：（25﹣20）×200+（40×y
10
−30）×100×3＝2000+800，
解得：y＝9
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
方法二：
设第二次乙种商品每件售价为y元，
根据题意得：（25﹣20）×200+（y﹣30）×100×3＝2000+800，解得：y＝36
3640×100%＝90%
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
方法三：
2000+800﹣100×3＝1800元
∴
1800−10003×100=6， ∴30+640×100%＝90%，
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
25．（10分）如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝58°，OD 平分∠AOC ，∠DOE ＝90°．
（1）求出∠BOD 的度数；
（2）请通过计算说明：OE 是否平分∠BOC ．
（3）与∠AOE 互补的角是 ∠BOE 和∠COE ；
【解答】解：（1）∵∠AOC ＝58°，OD 平分∠AOC ，
∴∠AOD ＝∠DOC ＝29°，
∴∠BOD ＝180°﹣529°＝151°；
（2）OE 平分∠BOC ，理由如下：
∵∠DOC +∠COE ＝90°，∠DOC ＝29°，
∴∠COE ＝61°．
∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝122°，
∴∠COE =12∠BOC ＝61°．
∴∠EOC ＝∠BOE ＝61°，
∴OE 平分∠BOC ．
（3）与∠AOE 互补的角是∠BOE 和∠COE ．。