2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.1.
简单多面体
学 习 目 标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义. 2.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 3.明确棱柱、棱锥、棱台的分类.
思 维 脉 络
1.多面体 我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱 锥、棱台是简单多面体.
做一做1 下列关于多面体的说法正确的是 .(填序号) ①多面体只包括边界,不包括内部,是平面围起来的“壳”; ②多面体一定有体对角线; ③半球体是多面体; ④圆台为多面体; ⑤长方体为多面体. 解析:多面体为“实心”的体,①错误;四面体没有体对角线,②错误;半 球体由曲面围成,不是多面体,③错误;同样④错误;⑤正确. 答案:⑤
且各侧面全等,就称作正棱锥.
做一做3 下列说法正确的是( ) A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥 B.四面体是四棱锥 C.侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥 D.侧棱长相等,各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥 解析:有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体不一定是 棱锥,故A错;四面体是三棱锥,故B错;侧棱与底面所成的角相等且 底面必须是正多边形的棱锥才是正棱锥,故C错.故选D. 答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一多面体的概念及特征 【例1】给出下列几个命题: ①棱柱的侧面都是平行四边形; ②棱锥的侧面都是三角形,且所有三角形都有一个公共顶点; ③多面体至少有四个面; ④棱台的侧棱所在直线均相交于一点. 其中假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
探究一
探究二
4.棱台 (1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和 上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的 侧棱.如图所示.
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记 作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是 全等的等腰梯形.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:将函数解析式化为 f(x)=√������ 2 + 22 + (5-������ )2 + 32 ,构造长方 体 ABCD-A'B'C'D',其中 AB=2,BC=3,BB'=5,E 为 BB'上一点,如图所 示. 设 BE=x,则 AE=√������ 2 + 22 ,EC'= (5-������ )2 + 32 ,所以 f(x)=AE+EC'. 这样问题就转化为在长方体 ABCD-A'B'C'D'的棱 BB'上找一点 E,使折线 AEC'的长度最短,沿 AA'展开侧面,连接 AC',可得 AC'=5√2, 即函数 f(x)=√������ 2 + 4 + ������ 2 -10������ + 34的最小值为 5√2.
做一做4 如图所示的几何体中是棱台的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:①③⑤是棱柱,②是多面体,④为圆柱,⑦为棱锥,⑥为棱台. 所以答案为A. 答案:A
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体就是棱柱. ( ) (2)每个面都是三角形的几何体就是棱锥. ( ) (3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥. ( ) (4)棱台的侧棱可以与底面垂直. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)错误.角形,例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形. (2)正确.在三棱锥中,共有4个面,每一个面均可作为底面,每一个 顶点均可作为棱锥的顶点. (3)错误.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一 个棱锥和一个棱台. (4)错误.任何一个棱台,将其所有侧棱延长后一定相交于同一点.
做一做2 下列说法正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 D.棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等 解析:A,B都不能保证棱柱的侧棱互相平行这个结构特征.对于D,由 棱柱的结构特征可知侧棱都相等.最简单的棱柱是三棱柱,有五个 面、六个顶点、九条棱.故选C. 答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
分析:根据棱柱的定义、结构特征及性质进行判断. 解:(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,且是四棱柱.因为平面ABCD 与平面A1B1C1D1平行,且其余各面都是四边形,且AA1,BB1,CC1,DD1 互相平行. (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平 行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且每相邻两个 四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符 号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与 平面DCND1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共 边互相平行,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱 柱ABMA1-DCND1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练3 下列三种叙述,其中正确的个数为 . ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:①中的平面不一定平行于底面,故①错误.②③可用反例去 检验,如图所示,故②③错误.
答案:0
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:作出正四棱台 ABCD-A1B1C1D1,如图所示,OO1 为棱台的高, 其长为√3. 连接 O1A1,OA,则四边形 O1A1AO 为直角梯形,由正四棱台两底 面的面积分别为 4 和 16,知 A1B1=2,AB=4, ������ ������ ������������ 所以 A1O1= 1 1 = √2,AO= =2√2, 作 A1E⊥AO 于点 E, 在 Rt△A1AE 中,AE=√2,A1E=O1O=√3, 所以 A1A= ������1 ������ 2 + ������������ 2 = √5,即侧棱长为√5. 答案:√5
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究二棱柱的结构特征 【例2】 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还 是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由(提 示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理,可以证明 BC������MN).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究三棱锥、棱台的结构特征 【例3】 判断下列说法是否正确? (1)棱锥的侧面不可能是正三角形; (2)三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点,任何一个面都可 作为棱锥的底面; (3)棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台; (4)棱台的所有侧棱延长后可以不交于同一点.
∴AO= 3 ×8=
2√6 3
√3
8√3 3
,
2 8√3 3 2
∴VO= ������������2 -������������2 = (2√6) 即高等于 答案:
2√6 3
=
2√6 3
,
.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
利用多面体的侧面展开图解决有关最值问题 典例求函数 f(x)=√������ 2 + 4 + ������ 2 -10������ + 34的最小值. 思路点拨:这是一道利用立体几何的有关知识求函数的最小值 的综合性题目,解题时,将函数 f(x)=√������ 2 + 4 + ������ 2 -10������ + 34转化为 f(x)=√������ 2 + 22 + (5-������ )2 + 32 ,以及构造长方体 ABCD-A'B'C'D'是关 键,这样求函数的最小值就转化为在长方体的棱 BB'上找一点 E,使 折线 AEC'的长度最短.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练2 下列关于棱柱的性质,正确的是( ) A.只有两个面相互平行 B.所有棱都相等 C.所有面都是四边形 D.各侧面都是平行四边形 解析:棱柱的两个底面一定是平行的,但在棱柱中并不是只有两个 面相互平行,故A错;棱柱所有的侧棱长都相等,但它们不一定等于 底面多边形的边长,故B错;棱柱的侧面都是四边形,但底面可以不 是四边形,故C错;棱柱的所有侧面都是平行四边形,故D正确,选D. 答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正 方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体ACB1D1;②错误,如图所示,底面三 角形ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边 三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥; ③错误,必须是相邻的两个侧面;④错误,如果有两条侧棱和底面垂 直,那么它们不相交,不可能;⑤错误.当底面是菱形时,此说法不成立. 故填①. 答案:①
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
4
必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
8
必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
2016_2017学年高中数学第一章立体几何初步章末高效整合课件
(2)因为 ABCD 是边长为 2 的菱形，且∠BAD＝60° ， 所以 BE⊥AD.又因为 PE⊥AD，PE∩BE＝E， 所以 AD⊥平面 PEB. 因为 AD∥BC，所以 BC⊥平面 PEB. (3)由(2)知 AD⊥PB， 又因为 PA＝AB 且 N 为 PB 的中点， 所以 AN⊥PB，又 AD∩AN＝A， 所以 PB⊥平面 ADMN. 又 PB 平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 ADMN.
易求得圆锥高 h＝ 52－42＝3(cm)， 1 20＋3π·42· 3＝336π(cm3)， ∴体积 V＝π·4 ·
2
表面积 S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5 ＝196π(cm2)． ∴该几何体的体积为 336π cm3，表面积为 196π cm2.
共点、共线、共面问题 1．证明共面问题，一般有两种证法．一是由某些元素确定一个平面，再证明 其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面 重合． 2．证明空间三点共线，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某 两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两 个平面的交线上． 3． 证明空间三线共点， 先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上的问题．
11．几何体的体积公式 (1)柱体的体积 V 柱体＝Sh(其中 S 为柱体的底面面积，h 为高)． 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积 V 圆柱＝πr2h. 1 (2)锥体的体积 V 锥体＝3Sh(其中 S 为锥体的底面面积，h 为高)． 1 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆锥的体积 V 圆锥＝3πr2h.
3．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面 图形留下的影子与平面图形的形状和大小是全等的， 三视图包括主视图、 左视图、 俯视图． 4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.1.2 简单多面体课件 北师大版必修2
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)错误.棱锥的侧面一定是三角形,可以是等腰三角形,也可以 是正三角形,例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形.
(2)正确.在三棱锥中,共有4个面,每一个面均可作为底面,每一个 顶点均可作为棱锥的顶点.
(3)错误.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一 个棱锥和一个棱台.
4.棱台 (1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和 上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的 侧棱.如图所示.
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记 作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是 全等的等腰梯形.
锥的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,故命题④
为真命题.故选A. 答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1 下列说法中正确的是
.
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4
个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:解答本题可先根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行详细
分析,再结合已知的各个命题具体条件进行具体分析.显然命题① ②③均是真命题.对于命题④,棱台的侧棱所在的直线就是截得原
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.7.1 简单几何体的再认识课件 北师大版必修
(2)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上底长为4,下底长为
10,高等于4的等腰梯形,则该圆台的侧面积等于
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分析:(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长, 求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)由三视图获知该圆台的 上、下底面半径和高,求出母线长然后套用公式可求侧面积.
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,
侧棱长为4,因此其侧面积S1=3×2×4=24,其两个底面的面积
S2=2×
3 4
×22=2
3 ,于是其表面积S=S1+S2=24+2
3 ,故选C.
(2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成
Rt△POE.
的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
答案:A
12345
4.长方体的对角线长为 2 14,长、宽、高的比为 3∶2∶1,那么它的
表面积为
.
解析:设长,宽,高分别为 3x,2x,x,则对角线长为 9������2 + 4������2 + ������2 =
14x=2 14,∴x=2.
∴表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
A.4
B.4 5
22 + 12 = 5,
C.4( 5+1) D.8 1 2×2× 5
4.几何体的表面积 几何体的表面积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧 面积与其底面的面积之和,也称为全面积.
做一做3 一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积
2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步学业分
【讲堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学第一章立体几何初步学业分层测评 2 直观图北师大版必修 2( 建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．如图 1-2-9所示是水平搁置的三角形的直观图，A′ B′∥ y′轴，则原图中△ABC是()图 1-2-9A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随意三角形【分析】∵ A′ B′∥ y′，因此由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ ABC是直角三角形．【答案】 B2．利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，正确的选项是图中的()【分析】正方形的直观图是平行四边形，且平行于x 轴的边长为3，平行于y轴的边长为 1.5.【答案】 C3．如图 1-2-10为一平面图形的直观图的大概图形，则此平面图形可能是()图 1-2-10【分析】依据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于 y′轴的边与底边垂直．【答案】 C4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，此中有一边长为4，则此正方形的面积为()A． 16B． 64C． 16 或 64D．没法确立【分析】若该边长平行于x 轴或与 x 轴重合，则正方形的边长为4，面积为 16，若该边长平行于y 轴或与 y 轴重合，则正方形的边长为8，面积为64.【答案】 C5．如图 1-2-11所示是水平搁置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点 B 的坐标为 (4,4) ，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，极点B′到 x′轴的距离为()【导学号： 10690005】图 1-2-112A. 2B. 2C． 2 2 D． 2【分析】由斜二测画法例则画出直观图以下图，作B′ E⊥ x′轴于点 E，在Rt△ ′′中，′ ′＝ 2，∠′ ′＝45°，′＝′ ′sin 45 °＝ 2×2＝ 2.B EC B C B C E BEBC 2【答案】 A二、填空题6．如图 1-2-12 ，平行四边形O′P′ Q′ R′是四边形OPQR的直观图，若O′ P′＝3，O′ R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．图 1-2-12【分析】由四边形 OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，因此原四边形 OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.【答案】107．如图 1-2-13 ，四边形OABC是上底为 2，下底为 6，底角为 45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图 O′ A′ B′ C′，在直观图中梯形的高为________．图 1-2-13【分析】由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠ COD＝45°，则 CD＝2，则直观图中的高h′2 2＝C′ D′sin 45°＝1×2＝2.2【答案】28．(2016 ·潍坊高一检测) 如图 1-2-14 ，正方形O′ A′B′ C′的边长为1 cm，它是水平搁置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________cm.图 1-2-14【分析】由斜二测画法的规则知，与x 轴平行的线段长度不变，以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为2，在平面图中对应的长度为 2 2，其本来的图形以下图，＝ 2 2＋ 12＝ 3，因此周长为 2×(3AB＋1) ＝ 8 cm.【答案】 8三、解答题9．画出水平搁置的四边形OBCD(如图1-2-15所示)的直观图．图 1-2-15【解】①过点 C作 CE⊥ x 轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、 y′轴，使∠ x′ O′y′＝45°，如图(2)所示．②如图 (2) 所示，在x′轴上取点B′， E′，使得O′ B′＝ OB， O′ E′＝ OE；在 y′轴1 1上取一点 D′，使得 O′ D′＝2OD；过 E′作 E′ C′∥ y′轴，使 E′ C′＝2EC.③连结 B′ C′， C′ D′，并擦去x′轴与 y′轴及其余一些协助线，如图(3) 所示，四边形 O′ B′ C′ D′就是所求的直观图．10．用斜二测画法画底面半径为 1 cm，高为 3 cm 的圆锥的直观图．【解】画法以下：(1)画 x′轴和 y′轴，两轴交于点 O′，使∠ x′ O′ y′＝45°；(2)分别在 x′轴、 y′轴上以 O′为中心，作 A′ B′＝2 cm， C′ D′＝1 cm，用曲线将A′， C′， B′， D′连起来获得圆锥底面( 圆 ) 的直观图；(3) 画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3 cm， S 为圆锥的极点，连结SA′， SB′.(4)擦去协助线，得圆锥的直观图．[ 能力提高 ]1．如图 1-2-16所示，△ A′ O′ B′表示水平搁置的△AOB的直观图， B′在 x′轴上，A′ O′和 x′轴垂直，且A′O′＝2，则△ AOB的边 OB上的高为()A．2B． 4C．2 2D．4 2【分析】由直观图与原图形中边OB长度不变，1 1得 S 原图形＝22S直观图，得2·OB·h＝ 22×2×2·O′B′，∵ OB＝O′ B′，∴ h＝4 2.【答案】 D2．如图 1-2-17 ，矩形O′A′B′C′是水平搁置的一个平面图形的直观图，此中O′ A′＝6 cm ，O′C′＝ 2 cm，则原图形是()图 1-2-17A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【分析】如图，在原图形OABC中，应有 OD＝2O′ D′＝2×22＝42 cm，CD＝ C′ D′＝2 cm，∴ ＝2＋2＝ 2 2＋ 22＝ 6 cm，OC OD CD∴OA＝OC，故四边形 OABC是菱形．【答案】 C3．一个水平搁置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图1-2-18所示，∠ ABC＝45°，AB＝ AD＝1， DC⊥ BC，原平面图形的面积为________．图 1-2-18【分析】过 A 作 AE⊥ BC，垂足为E，又∵ DC⊥ BC且 AD∥ BC，∴四边形 ADCE是矩形，∴ EC＝ AD＝1，由∠ ABC＝45°， AB＝ AD2 2＝1知BE＝2 ，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和 1＋2，高为2，∴原平面图形的面积为1 2 2×1＋ 1＋×2＝ 2＋ .2 2 2【答案】2＋2 24. 在水平搁置的平面α 内有一个边长为 1 的正方形′ ′ ′ ′，如图 1-2-19 ，此中ABCD的对角线A′C′在水平地点，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真切图形并求出其面积．图 1-2-19【解】四边形 ABCD的真切图形以下图，∵A′ C′在水平地点， A′ B′ C′D′为正方形，∴∠ D′ A′ C′＝∠ A′ C′ B′＝45°，∴在原四边形 ABCD中，DA⊥ AC， AC⊥ BC.∵DA＝2D′ A′＝2， AC＝A′ C′＝2，∴ S 四边形ABCD＝ AC· AD＝2 2.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯 形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE=sin���3������0��� °=4(cm).
思考 1 斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解?
提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.
2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 圆柱
圆锥
侧面积公式
S 圆柱侧=2πrl r 为底面半径 l 为侧面母线长
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课程目标
1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法——侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积.
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球》_6
圆柱、圆锥、圆台和球教学目标：1．能根据几何结构特征理解空间旋转体形成过程；2．认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；3．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系．教材先让学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的生成规律，然后给出它们的定义，让学生初步理解“旋转体”的概念．教学中可结合实物模型或计算机演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程，引导学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；也可以类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征；类比圆的定义得出球面的定义．教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台和球的概念．教学难点：难点是区分一个旋转体由哪些基本几何体构成．教学方法：观察、发现、探究．探究学习为主，发挥同学之间合作关系。
教学过程：一、问题情境1．复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念．小结：移——缩——截．2．旋转会产生什么样的结果呢？仔细观察下面的几何体，它们有什么共同特点或生成规律？二、学生活动通过观察、思考、交流、讨论得出结论．三、建构数学1．圆柱、圆锥、圆台的概念；2．圆柱、圆锥、圆台的相关概念（轴、高、底面、母线）；思考：圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（引导学生从概念的形成和结构特征来分析三者之间的关系）3．球面及球的概念；半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体．球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合4．球的相关概念（球心、球半径、球的表示）；5．旋转面、旋转体的概念（引导学生总结）．四、数学运用1．例题．例1 将直角梯形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是有哪些简单的几何体构成的？例2 以下几何体是由哪些简单几何体构成的？例3（课本P12例1）把一个圆锥截成一个圆台，已知圆台的上下底面半径是1∶4，母线长为 4cm ，求圆锥的母线长．2．练习．（1)①如图1将平行四边形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？AB C D图1 图2②如图2钝角三角形ABC绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？（图1） （图2）（2）下列命题中的说法正确的有________①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．⑤在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念；2．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；3．圆柱、圆锥、圆台和球的应用．第二课时教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念。
2016-2017学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.
思考 3 画一个水平放置的正三角形的直观图,如何建系最合
理? 提示:如图所示,建系时一是要考虑正三角形的对称性,二是尽量使三个 顶点都落在坐标轴上.
思考 4 某个确定的几何体的直观图唯一吗 ?
提示:不唯一,作直观图时,由于建系不同画出的直观图也有所不同.
特别提醒 平面图形用其直观图表示时,一般说来,不变的
(4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤: ①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再作 Oz 轴,使∠xOz=90° ,∠yOz=90° . ②画出与轴 Ox,Oy,Oz 对应的轴 O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45° (或 135° ),∠x'O'z'=90° ,x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中,平行于 x 轴、 y 轴和 z 轴的线段,在直观图中分别画成平 行于 x'轴、y'轴和 z'轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知 图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平 行于 y 轴的线段,长度为原来的一半. ⑤擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(1)如图①,取 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点,建立直角坐标系, 画对应的坐标系 x'O'y',使∠x'O'y'=45° . (2)以 O'为中点在 x'轴上取 A'B'=AB,在 y'轴上取 O'E'= OE,以 E'为中点 画 C'D'∥x'轴,并使 C'D'=CD. (3)连接 B'C',D'A',并擦去辅助线 x'轴和 y'轴及 O'点、E'点,所得的四边 形 A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图,如图③.
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 棱柱、棱锥和棱
4.棱台 (1)棱台的概念. 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥 的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面;其他各面称为棱台的侧面; 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做 棱台的顶点;两底面间的距离叫做棱台的高. (2)棱台的表示法. 用表示上、下底面各顶点的字母表示棱台. (3)棱台的分类. 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)正棱台的概念. 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形, 这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.
(4)正棱锥的概念. 如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直 的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这 些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高.
思考 3 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是
棱锥吗?为什么?
提示:不一定,判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的 3 个本质特 征:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是三角形;(3)这些三角形有一个公 共顶点.这 3 个特征缺一不可,显然,这种说法不满足(3).反例如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一 棱柱的结构特征
判断一个几何体是棱柱的依据及关键点 (1)依据:判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义. (2)抓住三个关键点. ①底面:两个多边形全等且所在平面互相平行. ②侧面:都是平行四边形. ③侧棱:互相平行且相等. 以上三点缺一不可.
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:①④⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究二 棱锥、棱台的结构特征
高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图bb高一数学
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自我(zìwǒ)检测
1.如图,直观图表示的平面图形(túxíng)是( C ) (A)任意三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形
(D)钝角三角形
解析:平面图形的原图形与其直观图具有可逆性,可将此直观图还原为原图形,因为 A′B′∥y′轴,B′C′∥x′轴,所以还原后,仍保持(bǎochí)平行性不变,故原图形中AB⊥BC, 所以△ABC为直角三角形.
(2)画下底面.以 O 为中点,在 x 轴上取线段 EF,使得 EF=AB=6 cm,在 y 轴上取线段 GH,
使得 GH= 1 AB,再过 G、H 分别作 AB 2
EF,CD
EF,且使得 CD 的中点为 H,AB 的中点
为 G,这样就得到了正四棱台的下底面 ABCD 的直观图.
(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4 cm,过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy,使 ∠x′O1y′=45°,建立( jiànlì)坐标系x′O1y′,在x′O1y′中重复(2)的步骤画出上底面的直 观图A1B1C1D1.
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图1
(4)再连接(liánjiē)AA1、BB1、CC1、DD1,并擦去辅助线,将被遮部分改为虚线,得到的
图形就是所求的正四棱台的直观图(图2).
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图2
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类型(lèixín平g)三面图形(túxíng)的直观图与原图形(túxíng)之间的关系
解:(1)如图(1)所示,在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点O与y轴垂 直的是x轴,分别(fēnbié)过B、E作GB∥y轴,HE∥y轴,与x轴分别交于点G、H.画对应的轴O′x′、O′y′, 使∠x′O′y′=45°.