2018学年高中数学选修2-3课件：1.3 第1课时 组合 组合数公式 精品
(1)化简 C34＋C35＋C36＋…＋C32 016的值为________． (2)解方程 3Cxx－ －73＝5A2x－4； (3)解不等式 C4n＞C6n. 【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式． 【自主解答】 (1)C34＋C35＋C36＋…＋C32 016 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 016－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 016－1＝… ＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1. 【答案】 C42 017－1
3．方程 C1x4＝C21x4－4的解为________. 【导学号：29440009】
【解析】
由题意知x2＝x－2x4－≤41，4， x≤14
或x2＝x－144－ ≤124x，－4， x≤14，
解得 x＝4 或 6.
【答案】 4 或 6
4．从 3,5,7,11 这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为
(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·x－x－73！！4！＝5·xx－ －46！ ！， 则34x－！3＝x－5 6，即为(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0， 解得 x＝11 或 x＝－2. 经检验知 x＝11 是原方程的根，x＝－2 是原方程的增根． ∴方程的根为 x＝11.
2．男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30
种不同的选法，其中女生有________人． 【解析】 设男生有 n 人，则女生有(8－n)人，由题意可得 C2nC18－n＝30，解
得 n＝5 或 n＝6，代入验证，可知女生有 2 人或 3 人． 【答案】 2 或 3 3．C58＋C68的值为________． 【解析】 C58＋C68＝C69＝6！9×！3！＝93× ×82× ×71＝84. 【答案】 84
阶
阶
段
段
一
三
1.3 组合
第 1 课时 组合 组合数公式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解组合的意义．(重点) 2．掌握组合数的计算公式及其推导过程，并会用组合数公式求 值．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 1 组合与组合数的概念 阅读教材 P19，完成下列问题． 1．组合 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素__并__成__一__组__，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合． 2．组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的__所__有__组__合__的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号_C_mn__表示．
【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与 顺序有关．
【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先 谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军 是不一样的，是有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为 3 个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为 3 个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．
1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票 票价的种数是________种．
【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票 价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为 C23＝3×2 2＝3.
【答案】 3
2．C26＝________，C1187＝________. 【解析】 C26＝6×2 5＝15， C1187＝C118＝18. 【答案】 15 18
[再练一题] 3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________； (2)已知 C7n＋1－C7n＝C8n，求 n 的值． 【解析】 (1)原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0. 【答案】 0 (2)根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n， 变形可得 C7n＋1＝C8n＋C7n， 由组合数的性质，可得 C7n＋1＝C8n＋1，故 8＋7＝n＋1， 解得 n＝14.
1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题， 先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序 有关的是排列，与顺序无关的是组合．
2．区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两 个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有 顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (2)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的 个数为 C23.( ) (3)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查，有多 少种不同的选法是组合问题．( ) (4)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，有 3 种不同的选法．( ) (5)现有 4 枚 2015 年抗战胜利 70 周年纪念币送给 10 人中的 4 人留念，有多 少种送法是排列问题．( )
【解析】 (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何， 都是相同的组合．
(2)√ 由组合数的定义可知正确． (3)× 因为选出 2 名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题． (4)√ 因为从甲、乙、丙 3 人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共 3 个组 合，即有 3 种不同选法． (5)× 因为将 4 枚纪念币送与 4 人并无顺序，故该问题是组合问题． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
4．6 个朋友聚会，每两人握手 1 次，一共握手________次． 【解析】 每两人握手 1 次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手 C26＝ 15 次． 【答案】 15
5．已知 C4n，C5n，C6n成等差数列，求 Cn12的值． 【解】 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n， 所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！ －6！， 整理得 n2－21n＋98＝0， 解得 n＝7 或 n＝14， 要求 Cn12的值，故 n≥12，所以 n＝14， 于是 C1142＝C214＝142× ×113＝91.
[构建·体系]
1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________(填序号)． (1)从 1,2,3,4 中选出 2 个构成的集合； (2)由 1,2,3 组成两位数的不同方法； (3)由 1,2,3 组成无重复数字的两位数． 【解析】 由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问 题． 【答案】 (1)
C
m n
＝
Amn Amm
＝
nn－1n－m2！…n－m＋1计算．
2．涉及字母的可以用阶乘式 Cnm＝m！nn！ －m！计算．
3．计算时应注意利用组合数的性质 Cnm＝Cnn－m简化运算．
[再练一题] 2．求等式C5n－C1＋n3－C3 n3－3＝159中的 n 值. 【导学号：29440010】 【解】 原方程可变形为CCn5n3－－31＋1＝159，C5n－1＝154C3n－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此二次方程，得 n ＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求．
0≤38－n≤3n， 0≤3n≤21＋n，
即 1029≤≤nn≤≤22318，，
∴129≤n≤221.
∵n∈N*，∴n＝10，
∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131 ＝302× ×219＋31＝466.
关于组合数计算公式的选取
1．涉及具体数字的可以直接用公式
________个． 【解析】 【答案】
从四个数中任取两个数的取法为 C24＝6. 6
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
教材整理 2 组合数公式及性质
阅读教材 P20～P22，完成下列问题． 1．组合数公式：Cmn ＝_AA__mnmm_＝m！nn！ －m！＝ nn－1n－2…n－m＋1 ___________m_！_____________. 2．组合数的性质：
(1)Cmn ＝__C_nn_－_m_；(2)Cmn＋1＝_C_mn___＋_C__mn_－_1 _.
(3)由 C4n＞C6n，得
4！nn！－4！＞6！nn！－6！ n≥6
⇒nn≥2－69，n－10＜0，
⇒－ n≥1＜ 6. n＜10， 又 n∈N*， ∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
1．性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组 合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由 Cnm中的 m∈N*， n∈N*，且 n≥m 确定 m，n 的范围，因此求解后要验证所得结果 是否适合题意．
[再练一题] 1．从 5 个不同的元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个，写出所有不同的组合． 【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺 序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
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高中数学北师大版选修2-3：1.3组合(一)+课件
第一章 计数原理 §1.3 组合(一)
高二数学备课组
[学习目标]
1．理解组合及组合数的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式 解决简单的组合问题．
导
问题1 某城市有3个大型体育场A,B,C,需要 选择2个体育场承办一次运动会，有多少种选择 方案？？ 分析 利用枚举法 我们把所有可能都列出来，一共有AB,AC,BC3种， 因此有3中选择方案. 问题2 从a，b，c，d4个元素中取出2个 元素，共有多少种可能？
分析 设取法的总数为C，其中每一种取 法是a，b，c，d中的2个元素，如a，b. 这2个元素，可以组成2种不同的排列. 这样，就可以分两步来计算“从4个不同元 素中，任取2个元素”的排列问题. 第一步：先从4个元素中取出2个元素， 总数为C. 第二步：将取出的2个元素进行排列，排列 数为2. 根据乘法原理，A42=C×2，从而 2 A4 43 C 6. 2 2
m n
我们规定：Cn 1.
0
例1 计算（1）C104 ; (2)C73
10 9 8 7 解 (1)C 210. 4 3 2 1
4 10
7 65 (2)C 35. 3 2 1 例2 平面内有12个点，任何3个点不在同 一条直线上，以每3点为顶点画一个三角形， 一个可以画多少个三角形？
思
上面这些问题有什么共同特征？ 它们与排列问题有什么不同吗？
展
组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n) 个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.我们把求有关组合的个数的 问题叫作组合问题. 说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题
高二数学备课组
[学习目标]
1．理解组合及组合数的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式 解决简单的组合问题．
导
问题1 某城市有3个大型体育场A,B,C,需要 选择2个体育场承办一次运动会，有多少种选择 方案？？ 分析 利用枚举法 我们把所有可能都列出来，一共有AB,AC,BC3种， 因此有3中选择方案. 问题2 从a，b，c，d4个元素中取出2个 元素，共有多少种可能？
分析 设取法的总数为C，其中每一种取 法是a，b，c，d中的2个元素，如a，b. 这2个元素，可以组成2种不同的排列. 这样，就可以分两步来计算“从4个不同元 素中，任取2个元素”的排列问题. 第一步：先从4个元素中取出2个元素， 总数为C. 第二步：将取出的2个元素进行排列，排列 数为2. 根据乘法原理，A42=C×2，从而 2 A4 43 C 6. 2 2
m n
我们规定：Cn 1.
0
例1 计算（1）C104 ; (2)C73
10 9 8 7 解 (1)C 210. 4 3 2 1
4 10
7 65 (2)C 35. 3 2 1 例2 平面内有12个点，任何3个点不在同 一条直线上，以每3点为顶点画一个三角形， 一个可以画多少个三角形？
思
上面这些问题有什么共同特征？ 它们与排列问题有什么不同吗？
展
组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n) 个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.我们把求有关组合的个数的 问题叫作组合问题. 说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题
高中数学选修2-3优质课件：组合与组合数公式
第十五页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
1.3 第一课时 组合与组合数公式 课件(北师大选修2-3)
的子集有多少个？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有 多少种不同的可能？ (3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有 多少种不同的可能？
返回
(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若 选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？ (5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有 多少种分配方法？
(3)C38 n＋C3n＋n. 3n 21 [思路点拨] [精解详析] 用组合数公式和组合数的性质解决．
4 (1)原式＝C10－A3 7
10×9×8×7 ＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1
返回
100×99 98 199 2 1 (2)C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200 2 ＝4 950＋200＝5 150.
返回
n m－1 m 4．证明：Cn ＝ Cn－1 . m
n－1！ n m－1 n 证明：∵m· n－1 ＝m· C m－1！[n－1－m－1]！ n！ ＝ [m· m－1！]n－m！ n！ ＝ ＝Cm， n m！n－m！ n m－1 m ∴Cn ＝ Cn－1 成立. m
4 解：由已知，得2C5 ＝Cn＋C6 ， n n
n！ n！ n！ 所以2· ＝ ＋ ， 5！n－5！ 4！n－4！ 6！n－6！ 整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14. 要求C12的值，故n≥12，所以n＝14， n 14×13 12 2 于是C14＝C14＝ ＝91. 2×1
(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性
质化简，再用组合数的阶乘形式证明．
返回
2．计算：①C6＝________；②3C2－2C2＝________. 8 5 4
高中数学选修2-3 1.3.1组合与组合数公式课件(共17张PPT)
少个三位数?
1.组合的概念
无序
一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素合
成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合。
组合数与组合数公式
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合
数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念及性质
，
可得：
C34
=
A34 A 33
组合
123 124 134 234
排列
123 213 312 132 231 321
124 214 412 142 241 421
134 314 413 143 314 431
234 324 423 243 342 432
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求 3可分两步考虑： 4
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
例1：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的
线段共有多少条?
C120 =45
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的
有向线段共有多少条?
A120 =45
例2
解：（1）C1300 161700 (2)C21 C928 9506
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
高中数学苏教版选修2-3：1.3 第1课时 组合与组合数公式
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
6
体健康，学业有成，金榜题名！
组合数与组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有组 组合数
合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 定义
的组合数
表示法
用符号 Cmn 表示
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
7
体健康，学业有成，金榜题名！
乘积形式 组合数
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
28
体健康，学业有成，金榜题名！
2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组 合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数， 而是具体的一件事；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如， 从 3 个不同元素 a，b，c 中每次取出两个元素的组合为 ab，ac， bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有 3 个，则组合数 为 3.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
3
体健康，学业有成，金榜题名！
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素 并成 一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
4
体健康，学业有成，金榜题名！
从 1,3,5,7 中任取两个数相除． 问题 1：可以得到多少个不同的商？ 提示：A42＝4×3＝12 种． 问题 2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？ 提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为 C42，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有 A22种 排法．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
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典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3课件：1.2.2 第一课时 组合与组合数公式
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(五)” (单击进入电子文档)
关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用n－n mCmn－1＝n－n m· m！nn－－11－！m！＝m！nn！－m！＝Cnm进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cmn ＝m！nn！－m！计算． (3)计算时应注意利用组合数的性质 Cmn ＝Cnn－m简化运算．
(×)
2．C2n＝10，则 n 的值为
A．10
B．5
C．3
() D．4
答案：B 3．从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，不同选
法有
()
A．504 种
B．729 种
C．84 种
D．27 种
答案：C
4．计算 C82＋C83＋C29＝________．
答案：120
组合的概念 [典例] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中含有 3 个 元素的有多少个？ (2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？ 多少种票价？ (3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得 1 本，有几种 分配方法？
3．证明下列各等式． (1)Cnm＝mn＋＋11Cmn＋＋11； (2)Cn0＋C1n＋1＋C2n＋2…＋Cmn＋－m1－1＝Cmn＋－m1．
解：(1)右边＝mn＋＋11·m＋1！[nn＋＋11！－m＋1]！ ＝mn＋＋11·m＋1n！＋1n！－m！ ＝m！nn！ －m！＝Cmn ＝左边，∴原式成立．
解：(1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球， 取法种数是 C83＝83× ×72× ×61＝56． (2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球中 再取出 2 个，取法种数是 C72＝72× ×61＝21． (3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取 出 3 个球，取法种数是 C37＝73××62××51＝35．
北师大版高中数学选修2-3课件：1.3 组合(共62张PPT)
考点类析
考点一 组合数性质的应用 10
考点类析
[答案] (1)B (2)D
考点类析
考点类析
考点类析
考点类析
考点二 简单的组合应用题 [导入] 从17人中任选11人参加一项活动,这是 组合 问题,其方法有
种.
考点类析
例2 如果一名足球教练要从 17名队员中任选1名守门员和 10名队员参加一场足球比赛, 那么这名足球教练有多少种 不同的安排方案?
解：选正、副组长时要考虑顺序，所以是排列 问题，排列数是 A29＝72，所以正、副组长的选 法有 72 种．选代表参加会议不用考虑顺序问题， 所以是组合问题，组合数是 C29＝36，所以选代 表参加会议，不同的选法有 36 种．
备课素材
2．利用公式法计算和证明
m＋1 [例 2] 求证：Cmn ＝n－m·Cmn ＋1.
新课导入
[导入二]问题导入 在日常生活中，我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征？ 它们与排列问题有什么不同吗？ 问题一：从a，b，c，d这四个元素中任意取出两个，共有多少种取法？ 问题二：某次团代会，要从候选人a，b，c，d，e这5人中选出3人担任代 表，有多少种选法？
预习探究
知识点一 组合及其特点
备课素材
1．细解组合的定义 (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同 元素中进行m次不放回地抽取； (2)抽取的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组 合的本质．根据组合的定义，只要两个组合中的元素相同，不管元素的顺 序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是 不同的组合，这一点与两个集合相等有类似之处．
【拓展】若从4名男生和5名
2018版高中数学北师大版选修2-3课件：第一章 3 组合
1 5 2 4 所以共有 C6 ＋ C C ＋ C 6 4 6 4C6＝115(种)抽调方法.
解答
反思与感悟
(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一 样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分 步法或用间接法. (2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等 的确切含义，正确分类，合理分步. (3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处 理，即“正难则反”的策略.
跟踪训练2
空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无
三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
A.205
C.204 解析 方法二 方法一
B.110
D.200 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，
4 1 3 2 2 3 1 则得到所有的取法总数为C0 C ＋ C C ＋ C C ＋ C 5 5 5 5 5 5 5C5 ＝205.
跟踪训练1
男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派
5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 解 第一步：选3名男运动员，有 C3 6 种选法；
3 2 第二步：选2名女运动员，有 C2 种选法，故共有 C · C 4 6 4 ＝120(种)选法.
题型探究
类型一 有限制条件的组合问题
例1 去年7月23日，某铁路线发生特大交通事故，某医院从10名医疗专
家中抽调6名赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科 专家.问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ 解 分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有 C2 4 种选法，
2018年秋人教B版数学选修2-3课件：1.2.2.2 组合数的两个性质
1.掌握组合数的两个性质,并能运用组合数的性质进行化简或证 明. 2.进一步理解排列与组合的区别与联系,能够熟练地解决一些综 合问题.
组合数的性质:
������ (1)C������ = C������ ������ -������
.
������ -1
Hale Waihona Puke ������ ������ (2)C������ = C + C������ ������ +1
������
2������
(3������)! (3������)! =11· . (������+1)!(2������-1)! (������-1)!(2������+1)!
化简得 y2-5y=0,解得 y=0(舍去)或 y=5, ∴x=15. ������ = 15, ∴方程组的解为 ������ = 5.
)
88 D. C100
������ ������ ������ 解析:∵ C������ +1 = C������ + C������ ,∴ C������ +1 − C������ 90 89 90 ∴ C100 − C99 = C99 .
������ -1
������ -1
������ = C������ .
2������
题型一
题型二
题型三
题型四
(1) 解: ∵ C������ = C������ ,∴y=2y 或 y=x-2y. 若 y=2y,则 y=0,y-1<0,不合题意,舍去.
������ +1 ������ +1 ∴y=x-2y,即 x=3y,代入 3C������ =11C������ ,得 3C3������ =11C3������ ,即 3· ������ -1 ������ -1
组合数的性质:
������ (1)C������ = C������ ������ -������
.
������ -1
Hale Waihona Puke ������ ������ (2)C������ = C + C������ ������ +1
������
2������
(3������)! (3������)! =11· . (������+1)!(2������-1)! (������-1)!(2������+1)!
化简得 y2-5y=0,解得 y=0(舍去)或 y=5, ∴x=15. ������ = 15, ∴方程组的解为 ������ = 5.
)
88 D. C100
������ ������ ������ 解析:∵ C������ +1 = C������ + C������ ,∴ C������ +1 − C������ 90 89 90 ∴ C100 − C99 = C99 .
������ -1
������ -1
������ = C������ .
2������
题型一
题型二
题型三
题型四
(1) 解: ∵ C������ = C������ ,∴y=2y 或 y=x-2y. 若 y=2y,则 y=0,y-1<0,不合题意,舍去.
������ +1 ������ +1 ∴y=x-2y,即 x=3y,代入 3C������ =11C������ ,得 3C3������ =11C3������ ,即 3· ������ -1 ������ -1