高等数学课件6-6
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大一高数课件第六章
洛必达法则
当一个函数的导数在某点的极限存在 时，该函数在该点的极限也存在，并 且等于导数在该点的极限。
等价无穷小代换法
在求复杂函数的极限时，可以使用等 价无穷小代换简化函数表达式，从而 更容易地计算极限。
03
知识点二：导数的概念与性质
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具，是微积分中的基本概 念之一。
导数的计算方法
总结词
求函数的导数有多种方法，包括基本初 等函数的导数公式、链式法则、乘积法 则、商的导数公式等。
VS
详细描述
基本初等函数的导数公式是求导的基础， 包括指数函数、对数函数、幂函数、三角 函数和反三角函数的导数公式。链式法则 用于计算复合函数的导数，公式为 (uv)' = u'v + uv'。乘积法则用于计算两个函 数的乘积的导数，公式为 (uv)' = u'v + uv'。商的导数公式用于计算两个函数的 商的导数，公式为 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。此外，还有幂函数的导数公式、参 数方程表示的函数的导数、隐函数的导数 等计算方法。
02
有界性
如果数列或函数的极限存在，那 么这个数列或函数必定是有界的
。
04
局部有界性
如果函数在某点的极限存在，那 么在该点附近，函数必定有界。
极限的计算方法
直接代入法
对于简单的数列或函数，可以直接代 入自变量趋近的值来计算极限。
分解法
将复杂的数列或函数分解为若干个简 单的数列或函数，然后分别计算极限。
04
知识点三：微积分基本定理
微积分基本定理的表述
高等数学经济类6-6
构造Lagrange函数
L( x, y, ) U ( x, y) (M xPX yPY )
效用函数取得极大值的必要条件为
U x
Ux
PX
0
U x
Ux
PX
0
U
M
xPX
yPY
0
解得 Ux PX 即效用函数取得极大值的必要条件是
U y PY
例3 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品 的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广 告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）之间的关 系有如下的经验公式：
EPA Q
Q PA
PA Q
0
例如轿车和汽油 ,作为整体变贵了.
需求的(自)价格弹性与需求的交叉价格弹性统称需求 对价格的偏弹性.
需求量Q对收入Y的偏弹性
Q Y EY Q Y Q
称为需求的收入弹性,也称需求对收入的偏弹性. 它的 符号取决于商品的品质: 如果商品G是优等品,即需求 随着收入上升而上升（例如北京烤鸭等美味食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
如果商品G是劣等品,即需求将随着收入上升而下降 （例如麦当劳、肯德基等快餐食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
例1 给定消费者对于市场上某种商品G的需求函数
Q 500 3P 2PA 0.01Y
式子中，P 20, PA 30 , Y 5000. 求: （1）需求的价格弹性； （2）需求的交叉弹性;其他商品是替代性还是互补性？ （3）需求的收入弹性;这种商品G是优等品还是劣等品？
解： 由 S(x, y) 0.005x2 y及约束条件 x 2y 150
得 S 0.005x2 (75 0.5x)
dS 0.005x(150 1.5x) dx
L( x, y, ) U ( x, y) (M xPX yPY )
效用函数取得极大值的必要条件为
U x
Ux
PX
0
U x
Ux
PX
0
U
M
xPX
yPY
0
解得 Ux PX 即效用函数取得极大值的必要条件是
U y PY
例3 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品 的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广 告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）之间的关 系有如下的经验公式：
EPA Q
Q PA
PA Q
0
例如轿车和汽油 ,作为整体变贵了.
需求的(自)价格弹性与需求的交叉价格弹性统称需求 对价格的偏弹性.
需求量Q对收入Y的偏弹性
Q Y EY Q Y Q
称为需求的收入弹性,也称需求对收入的偏弹性. 它的 符号取决于商品的品质: 如果商品G是优等品,即需求 随着收入上升而上升（例如北京烤鸭等美味食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
如果商品G是劣等品,即需求将随着收入上升而下降 （例如麦当劳、肯德基等快餐食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
例1 给定消费者对于市场上某种商品G的需求函数
Q 500 3P 2PA 0.01Y
式子中，P 20, PA 30 , Y 5000. 求: （1）需求的价格弹性； （2）需求的交叉弹性;其他商品是替代性还是互补性？ （3）需求的收入弹性;这种商品G是优等品还是劣等品？
解： 由 S(x, y) 0.005x2 y及约束条件 x 2y 150
得 S 0.005x2 (75 0.5x)
dS 0.005x(150 1.5x) dx
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
《高等数学》 课件 高等数学第六章
x 1
y
Ce P(x)d x
Ce
2d x 1
x
C(x
1)2．
设所给微分方程的通解为y C(x) (x 1)2，则y C (x) (x 1)2 2C(x) (x 1， )
把y和y代入原方程得C (x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 (x 1)3， x 1
y
e
P(x)d
x
Q(x)
e
P(x)d
x
d
x
Ce
P(x)d x
（6 17）
上式中右端第二项恰好是方程式（6 11）所对应的齐次方程式（6 12）的通解，
而第一项可看做是通解公式（6 17）中令C 0得到的一个特解．
2 一阶微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 22 页
因此可知，一阶线性非齐次微分方程（6 11）的通解等 于它的一个特解与对应的齐次微分方程（6 12）的通解之和， 即解y y Y，其中y是方程式（6 11）的一个特解，Y 是方 程式（6 12）的通解．
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章
第 11 页
第二节：一阶微分方程
• 可别离变量的微分方程 • 一阶线性微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 12 页
一、可分离变量的微分方程
定义1 形如
d y f (x) g( y)（? 或y f (x) g( y)） dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
y C e P(x)d x C e 3x2 d x C e ， x3
即为所求方程的通解．
注：以后为了运算方便起见，可把 ln | y | 写成 ln y．
2 一阶微分方程
y
Ce P(x)d x
Ce
2d x 1
x
C(x
1)2．
设所给微分方程的通解为y C(x) (x 1)2，则y C (x) (x 1)2 2C(x) (x 1， )
把y和y代入原方程得C (x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 (x 1)3， x 1
y
e
P(x)d
x
Q(x)
e
P(x)d
x
d
x
Ce
P(x)d x
（6 17）
上式中右端第二项恰好是方程式（6 11）所对应的齐次方程式（6 12）的通解，
而第一项可看做是通解公式（6 17）中令C 0得到的一个特解．
2 一阶微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 22 页
因此可知，一阶线性非齐次微分方程（6 11）的通解等 于它的一个特解与对应的齐次微分方程（6 12）的通解之和， 即解y y Y，其中y是方程式（6 11）的一个特解，Y 是方 程式（6 12）的通解．
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章
第 11 页
第二节：一阶微分方程
• 可别离变量的微分方程 • 一阶线性微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 12 页
一、可分离变量的微分方程
定义1 形如
d y f (x) g( y)（? 或y f (x) g( y)） dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
y C e P(x)d x C e 3x2 d x C e ， x3
即为所求方程的通解．
注：以后为了运算方便起见，可把 ln | y | 写成 ln y．
2 一阶微分方程
高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 处有极大值；
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
中国矿业大学(北京)《高等数学》课件-第6章函数平面及其方程
一、直线方程的定义
方向向量的定义：
如果一非零向量平行
于一条已知直线，这个
向量称为这条直线的方
向向量．
x
z
s
L
M
M0
o
y
二、直线方程的类型
1.空间直线的对称式方程与参数方程
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
M L, M0M// s
s {m, n, p},
x
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
的图形
情形5
Ax By 0
特征 平面过 z 轴
左图为
x y 0 5
的图形
情形6
Ax Cz 0
特征 平面过 y 轴
左图为
x z 0 5
的图形
情形7 By Cz 0
特征 平面过 x 轴
左图为
y z 0 5
的图形
情形8 Ax By Cz 0
特征 平面过原点
左图为
2x y z 0 5
z y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7 和
3 x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,1},
高等数学6(6)曲面及其方程
用平面 z z1 ( z1 0)去截这曲面, 截痕为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
22
x y z（ p 与 q 同号） 双曲抛物面 2 p 2q (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项. 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y,
x z )0
2 2
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
) 称为
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz面上直线方程为
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
x 2 y 2 2 pz
旋 转 椭 球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y 2 2 pz 绕z轴.
旋转抛物面
9
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义
三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
20
(3) 用坐标面 yOz ( x 0)及平面 x x1 去截这曲面, 截痕为抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x
7
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
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3
9
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
x
1 3
x
cos
2
x
4 9
sin
2
x.
四、小结
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1x C2er2x y (C1 C2 x)er2x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
f ( x) e x Pm ( x)或
f ( x) e x[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x 的二阶常系数非齐次线性微分方程 求特解的方法：待定系数法
3b0 x 2b0 3b1 3 x 1
比较两端 x 的同次幂的系数，得
3b0 2b0
3 3b1
1
由此求得
b0
1, b1
1. 3
于是求得一个特解为 y x 1 3
例7
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1ex c2e2x ,
1,ex ,2ex ,ex 3都是它的解 .
四、 设圆柱形浮筒,直径为0.5m,铅直放在水中,当稍向
下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的周期为2s ,求浮 筒的质量 .
五、 在 R, L,C 含源串联电路中,电动势为E 的电源对 电容器 C 充电.已知 E 20 伏,C 0.2 微法, L 0.1 亨, R 1000 欧,试求合上开关 K 后的电 流 i(t) 及电压 uc (t) .
练习题
一、 求下列微分方程的通解:
1. y 4 y 0；
2.
4
d2 x dt 2
20
dx dt
25
x
0；
3. y 6 y 13y 0.
4. y a2 y ex；
5. y 3 y 2 y 3xex；
6. y 4 y x cos x；
7. y y sin2 x .
二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1.4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0； 2. y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3.
16
4
4. y [2 1 (1 1)x]ex x3 ex x2 ex；
e6 2e
62
5. y 1 sin 2x 1 x(1 sin 2x).
16
8
三、 y y 0. (提示: 1,ex 为两个之比不是常数的解)
四、 M 195kg.
五、 i(t ) 4 102e5103 t sin( 5 103 t()安), uc (t ) 20 20e5103 t[cos(5 103 t ) sin( 5 103 t](伏).
六、( x) 1 (cos x sin x ex ).
2
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
0 i 不是特征根 k 1 i 是特征根.
例8
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos2x (cx d)sin 2x,
代入方程，得
2 2i
2 2i
P( x)e( i ) x P( x)e( i ) x , y1 x kQme( i ) x ,
y2 xkQm (x)e(i )x xk Qm (x)e(i )x .
y xke x[Qmei x Qmei x ] xkex[Rm(1)( x)cosx Rm(2)( x)sinx],
(2) 若是特征方程的单根，
可设 Q( x) xQm ( x),
(3) 若是特征方程的重根，
可设 Q( x) x2Qm ( x),
综上讨论
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
例6
解 所给方程对应的其次方程为 它的特征方程为
由于 0 不是特征方程的根，所以特解为
y b0 x b1 把它代入所给方程，得
erx 0,
故有
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
有两个不相等的实根
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 er1x ,
y2 er2x ,
得齐次方程的通解为
有两个相等的实根
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 er1x ,
a
2
；
5.
y
C1e x
C2e2 x
e x ( 3 2
x2
3 x )；
6.
y
C1
cos
2
x
C2
sin
2
x
1 3
x
cos
x
2 9
sin
x
；
7.
y
C1e x
C 2e x
1 10
cos
2x
1. 2
二、1.
y
x
e2
(2
x)；
2. y e2x sin 3x.
3. y 1 (11 5e4x ) 5 x ；
代入初始条件 y x0 4 得 C2 2
y 1 2xe2x .
例5 解 特征方程为
解得 故所求通解为 y ex (C1 cos 5x C2 sin 5x).
三、二阶常系数非齐次线性方程解法
二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程
通解结构 y Y y,
的常见类型 Pm ( x), Pm ( x)ex ,
3. y 4 y 5 , y x0 1 , yx0 0；
4. y 2 y y xex ex, y x1 1 , yx1 1；
5. y 4 y 1 ( x cos 2x), 2
y x0 0 , yx0 0.
三、 求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x
x cos 2x
比较两端同类项的系数，得
3a 1,
3b 4c 0,
3c 0,
3d 4a 0,
解得 a 1 ，b 0, c 0, d 4 .
3
9
所求非齐方程特解为
y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u
(2r1
p)u
(
r2 1
pr1
q)u
0,
知 u 0,
则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为
有一对共轭复根
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x 的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x （重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
例3 解 特征方程为
解得 故所求通解为
y C1ex C2e3x .
例4 y x0 1, y x0 4的特解
解 特征方程为 解得
故所求通解为 y C1 C2 xe2x .
代入初始条件 y x0 1 得 C1 1
y 1 C2 xe2x .
对上式求导，得
y C2e2x 1 C2 x 2e2x C2 2 2C2 xe2x
六、 设函数 ( x)连续,且满足
( x) ex
x
t(t)dt x
x (t )dt ,
0
0
求 (x).
练习题答案
一、1. y C1 C2e4x；
2.
x
(C1
5t
C2t )e2
；
3. y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)；
4.
y
C1
cos
ax
C2
sin
ax
1
e
x
第六节 二阶常系数线性 微分方程
一、定义 二、二阶常系数齐次线性微分方程解法 三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 四、小结
一、定义
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
2 是单根，
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
B 1
原方程通解为
f ( x) ex[Pl cos x Pn sin x] 利用欧拉公式
e x[Pl
ei x
ei x 2
Pn
ei x
ei x ]
2i
( Pl Pn )e( i )x ( Pl Pn )e( i )x
Pm ( x)ex cos x,
Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1. f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为
代入原方程