福州市2020届高三理科数学4月质量检查卷含答案
14. 设数列 {an} 满足 a1 = 1 ， an+1 = 4an ，则 a1a2 ⋅ ⋅ ⋅ an =_______．
15. 已知两条抛物线 C : y2 = 2x ，= E : y2 2 px( p > 0 且 p ≠ 1) ，M 为 C 上一点（异于原点 O ）， 直线 OM 与 E 的另一个交点为 N ．若过点 M 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点，且 △ABN 的面积是 △ABO 面积的 3 倍，则 p =___．
+
1, （
ϕ
为参数
)
．以坐标原
5 sinϕ
点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求 C1 的极坐标方程； （2）若 C1 与曲线 C2 : ρ = 2sinθ 交于 A, B 两点，求 OA ⋅ OB 的值． 23.（本小题满分 10 分）选修 4 − 5 ：不等式选讲
已知函数 f ( x) = x − 1 + 2x − a ．
一项是符合题目要求的．
1．B
2．D
3．B
4．C
5．B
6．D
7．A
8．C
9．B
10．A
11．C
D． 72π 7
数学试题（第 3 页共 6 页）
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2020 年福州市普通高中毕业班质量检测
数学（理科）试题
第Ⅱ卷
注意事项： 用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 2x + y − 20,
的切线方程为
A． x − y =0
B． x − y − 2 =0 C． x + y − 2 =0 D． 3x − y − 2 =0
( ) 8.
已知双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
=
1(a
> 0,b
> 0)
的一条渐近线与圆
x2
+
y−2
2
3 = 4 相交于
A, B 两点，若 AB = 2 ，则 C 的离心率为
( ) （3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩 ξ 服从正态分布 N µ,σ 2 ．以
剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数 y 作为 µ 的估计值，用样本方差 s2 作为σ 2 的
估计值．试求该地区 5000 名考生中，物理成绩位于区间 (62.8,85.2) 的人数 Z 的数学期望．
附：①回归方程 yˆ=
2. 设复数 z 满足 z + 1 = z − i ， z 在复平面内对应的点为 ( x, y) ，则
A． x = 0
B． y = 0
C． x − y =0
D． x + y =0
3. 右图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的正视
图、俯视图，则该三棱锥的体积为
正视图
A． 81
B． 27
如图，在直三棱柱 ABC − A1B1C1 中，△ABC 是边长为 6 的
等边三角形， D, E 分别为 AA1, BC 的中点．
B1
（1）证明: AE ∥平面 BDC1 ；
（2）若异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为
3 ，求 DE 4
与平面 BDC1 所成角的正弦值．
B
A1
D
C1
A
E
C
19. （本小题满分 12 分）
③ 125 ≈11.2 ． 21. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) =(x + sin x − cos x)ex ．
（1）若 f ′(x) 为 f (x) 的导函数，且 g= ( x) f ′(x) − f (x) ，求函数 g ( x) 的单调区间；
（2）若 x 0 ，证明： f (x) x2 −1.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 4 − 4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程= 为 x y =
5
cosϕ
说明理由．
20. （本小题满分 12 分）
某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考试的数学成绩 ( x)
和物理成绩 ( y) ，绘制成如下散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A，B．经调查 得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使 分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：
枚金币，先赢 3 局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2 局，乙
赢了 1 局．问这 96 枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之
为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是
A．甲 48 枚，乙 48 枚
B．甲 64 枚，乙 32 枚
C．甲 72 枚，乙 24 枚
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
{ } { } 1. 已知集合= M x x24 = ，N x 2x < 4 ，则 M N =
A．{x x − 2}
B．{x − 2x < 2} C．{x − 2x2}
D．{x 0 < x < 2}
（一）必考题：共 60 分． 17. （本小题满分 12 分）
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，设 3bsin=A a (2 + cos B) ．
（1）求 B ； （2）若 △ABC 的面积等于 3 ，求 △ABC 的周长的最小值．
数学试题（第 4 页共 6 页）
18. （本小题满分 12 分）
A． −7
B． 5
C． 6
D． 7
6. 已知数列 {an} 为等差数列，若 a1 ，a6 为函数 f ( x) = x2 − 9x + 14 的两个零点，则 a3a4 =
A． −14
B． 9
C．14
D． 20
7. 已知函数 f (x) 为偶函数，当 x < 0 时， f (x) = x2 − ln(−x) ，则曲线 y = f (x) 在 x = 1 处
∑ ∑ ∑ ∑ ∑( ) ( ) 42
42
42
42
xi = 4641 ， yi = 3108 ， xi yi =350350 ，
xi − x 2 = 13814.5 ， 42
2
yi − y = 5250 ，
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
其中 xi , yi 分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩，=i 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, 42 ． y 与 x 的相关系数
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．除第 16 题外，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
准考证号
姓名
.
（在此卷上答题无效）
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2020 年福州市高中毕业班质量检测
数学（理科）试卷
（完卷时间：120 分钟；满分:150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第 Ⅱ卷 4 至 6 页． 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
n
∑( xi − x )( yi − y )
∑ aˆ + bˆx 中： bˆ = i=1 n ( xi − x )2
， aˆ=
i =1
y − bˆx ．
②若 ξ ～ N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ − σ < ξ < µ + σ ) ≈ 0.6826 ，P(µ − 2σ < ξ < µ + 2σ ) ≈ 0．9544．
( ) 已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2= b2
1(a > b > 0) 的焦距为 2
2 ，且过点
2,1 ．
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 l 与 C 有且只有一个公共点， l 与圆 x2 + y2 = 6 交于 A,B 两点，直线
OA,OB 的斜率分别记为 k1, k2 ，试判断 k1 ⋅ k2 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请
D．甲 80 枚，乙 16 枚
12. 已 知 二 面 角 P − AB − C 的 大 小 为 120° ， 且 ∠PAB = ∠ABC = 90° ， AB = AP ，
2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)及其详解
E A
C
PE ， FD ，ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9 分 P
又 B PE ， C FD ，所以 B ， C ，
所以 就是点 B,C, D 确定的平面， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10 分
所以
PBC
与平面
PAD
所成二面角的正弦值为
2
7 7
．
ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7
分
（2）因为
E
是棱
PB
的中点，由（1）可得
E
3 2
,
1 2
,1
.
假设棱 CD 上存在点 F ，使得 EF PD ，ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ8 分
2020 年福州市高中毕业班质量检测
数学（理科）参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数
分
又 a2 a1 2b1 4,b2 b1 2a1 5 ，
所以
a2 a1
b2 b1
45 3
3，
所以 an1 bn1 3 （ n N* ）， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ8 分 an bn
2020福州市高三毕业班质量检测理科数学
又AC AD2 CD2 13 ， 2
AC 2 AB2 BC 2 cos BAC
2AC AB
7 65 , 所以tan BAC 4
65
7
M D
解法三：依题意,过A作AD x轴于点D, 设AB与x轴的交
点为M ,因为f ( x)的周期T 2 2,所以DM 1 ,
2
CD 3 T 3 , AD 1, 42
只有政治、历史两个科目甲的成 绩低于年级平均分，故B正确；
甲的成绩从高到低的前3个科目应该是 依次化学、生物和地理，故C不正确；
4．2021年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即 除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中 选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科 目． 为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门 科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图． 甲同学
AB AC
32 2
7 65
5 13 65
2
又因为BAC为锐角,
所以 tan BAC 4 7
解法二：依题意,过A作AD x轴于点D, 设AB与x轴的交
点为M ,因为f ( x)的周期T 2 2,所以DM 1 ,
2
CD 3 T 3 , AD 1, 42
所以AM BM BC 1 1 5 , 则AB 5, 42
则曲线y f ( x)在x 1处的切线方程为( A )
A. x y 0
B. x y 2 0
C. x y 2 0
D. 3x y 2 0
当x 0时, x 0,因为f ( x)为偶函数, f ( x) f ( x) ( x)2 ln x x2 ln x,
f ( x) 2x 1 , f (1) 1, 又f (1) 1, x
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={−3,−1,0，1，2}，N={−1,0，1，3}，则M∩N=()A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，3}D. {−3,−1,0，1，2}⃗⃗⃗⃗⃗ ，O为坐标原点，则|z|为()2.己知复数z在复平面内对应的向量为OZA. 1B. √2C. √3D. 23.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2√5+4√2+10B. 43C. 83D. 1634.某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年级425名学生选课情况，在高一年级下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误的是()A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年级，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年级，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数5. (x 2+1)(x −1)5的展开式中的x 5的系数为( )A. 1B. −9C. 11D. 216. 已知{a n }为等差数列，若a 3+6=2a 5，则a 4+a 10=( )A. 12B. 24C. 30D. 327. 若函数f(x)=(a −1)x 3+ax 2+cos(π2x)为偶函数，则曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( )A. 3x −y −3=0B. 3x +y −3=0C. 4x −y −5=0D. 4x +y −5=08. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：x 2+(y −b)2=4与l 交于第一象限A 、B 两点，若∠ACB =π3，且|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为( )A. 2√133B. √133C. 2√135D. √2139. 已知函数f(x)=sin(π4+2x)sin(π4−2x)，则函数f(x)的图象( )A. 关于点(π4,0)对称 B. 关于点(π8,0)对称 C. 关于直线x =−π8对称D. 关于直线x =−38π对称10. △ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A. −2B. −32C. −43D. −111.图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为()A. 332B. 1564C. 532D. 51612.已知球O的表面积为128π，点M，N，P在球O的球面上，其中MN=8，二面角P−MN−O的大小为60°，则三棱锥O−PMN的外接球半径为()A. 4√33B. 8√33C. 2√3D. 4√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x,y满足约束条件{x−2y≥−3,x−y≤0,x≥1,则z=2x−3y的最小值为________．14.(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是________；(2)设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2a3…a n的最大值为________．15.已知抛物线C:x2=4y与直线y=12x+1相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=．16.函数f(x)=e x−xlnx+12ax3−(a−1)x2−ax(a>0)，若f(x)>0在(0,+∞)恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√2bcosC=acosC+ccosA．(1)求C；(2)若AB边上的中线CD长为1，求△ABC面积的最大值．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC=2√2，M，N分别为PD，BC的中点．(1)证明：MN//平面PAB;(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求平面PMN与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，圆O:x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2√2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断|PM|⋅|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．20. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图，如图所示．(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明(若r >0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：r =i −x)(y i −y)n i=2√∑(x i −x)i=1√∑(y i −y)i=1=i i −nxyn i=1√∑x i 2−nx 2n i=1√∑y i 2n i=1−ny2，b ̂=i −x)(y i −y)n i=1∑(x −x)2n=i i −nxyni=1∑x 2−nx2n ，a ̂=y −b̂x ．21. 已知函数f(x)=lnx +(a −1)x +a +1(a ∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当a ≤1时，e x −f(x)>0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1,y =2t+1t+1(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)射线θ1=β(0<β<π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP|的值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −a|(Ⅰ)若a =3，解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)若不等式f(x)≥6对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题题考查集合的交集运算，属于基础题．利用交集的定义即可得出．解：由题意得：M={−3,−1,0，1，2}，N={−1,0，1，3}，则M∩N={−1,0，1}，故选：A．2.答案：B解析：本题考查的是复数的模，复数的几何意义，属于容易题．由题意可得复数z的坐标为(1,1)，即可得到答案．解：由题意可得复数z的坐标为(1,1)，∴|z|=√12+12=√2，故选B．3.答案：C解析：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，然后由三棱锥的体积公式求解即可．解：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中三棱锥的高为2，底面三角形为直角三角形，两条直角边分别为4和2．∴这个几何体的体积是13×12×4×2×2=83．故选C．4.答案：D解析：本题主要考查利用图表信息进行简单的合情推理．对每个选项，分别进行分析．解：对于选项A，前 4 种组合中，选择生物学科的学生选择两理一文组合的学生有160人，选择一理两文组合的学生有101人，故A正确；对于选项B，前4种组合中，选择两理一文的人数为：284 ，选择两文一理的人数为：101 ，故选项B正确；对于选项C，整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数为311 ，显然多于选择其他任一学科的人数，故C正确；对于选项D，整个高一年段，选择物理学科的人数为198人，选择生物学科的人数为261 ，则选择物理学科的人数少于选择生物学科的人数，故D错误．故选D．5.答案：C解析：解：∵(x2+1)(x−1)5=(x2+1)(x5−5x4+10x3−10x2+5x−1)，故它的展开式中的x5的系数为10+1=11，故选：C．把(x−1)5按照二项式定理展开，可得(x2+1)(x−1)5的展开式中的x5的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查了等差数列的性质和通项公式，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．利用等差数列通项公式求解即可．解：∵a3+6=2a5，∴a1+2d+6=2(a1+4d)，即a1+6d=6，则a4+a10=a1+3d+a1+9d=2(a1+6d)=12．故选A ．7.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性，导数的几何意义，属于基础题．根据函数的奇偶性可求出a的值，进而求出函数的解析式，求得导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得所求切线方程．解：因为函数f(x)=(a−1)x3+ax2+cos (π2x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，即，可得a−1=0，解得a=1，所以函数解析式为f(x)=x2+cos (π2x)，所以，所以f′(2)=4−0=4，f(2)=4−1=3，所以切点为(2,3)，斜率为4，所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y−3=4(x−2)，即4x−y−5=0．故选C．8.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离推出ab关系式，然后求解离心率即可．解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为：y=bax，圆C：x2+(y−b)2=4的圆心坐标为(0,b)，半径为2，由∠ACB=π3，∴三角形ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=2，OA=1，圆心到直线y=bax的距离为√3，在△OBC，△OAC中，由余弦定理得cos∠BOC=b2+1−42b =32+b2−46b，解得b2=7，由圆心到直线y=ba x的距离为√3，有abc=√3，∴ca =√7√3=√213．故选D．9.答案：B解析：解：原式化简，f(x)=sin(π4+2x)sin(π4−2x)=√22(cos2x+sin2x)⋅√22(cos2x−sin2x)=12(cos22x−sin22x)=12cos4x，由4x=kπ+π2可得x=14kπ+π8，k∈Z当k=0时，可得函数图象的一个对称点为(π8,0)故选：B．本题考查三角函数公式的应用，涉及三角函数图象的对称性，属基础题．化简可得f(x)=12cos4x，由三角函数的对称性可得．10.答案：B解析：【试题解析】本题考查向量的数量积，属于中档题．建立直角坐标系写出坐标，根据数量积转化为平方数进行解决．解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点， 则A(0,√3)，B(−1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,√3−y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,−y)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y)， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )=2x 2−2√3y +2y 2=2[x 2+(y −√32)2−34]， ∴当x =0，y =√32时，取得最小值2×(−34)=−32．故选B ．11.答案：D解析：本题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键，属于基础题． 小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为12，并且相互对立，最终落入③号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解． 解：设这个球落入③号球槽为事件A ， 落入③号球槽两次向右，三次向左，，所以P (A )=C 52(12)2(12)3=516．故选D ．12.答案：B解析：本题考查了球的表面积，二面角，考查学生的空间想象、逻辑推理能力以及数形结合思想，属于较综合的中档题．根据题意可得球O 的半径，设△MNP 所在截面圆的圆心为O 1，MN 的中点为D ，连接OD ，O 1D ，由二面角可得∠ODO 1=60°，进而可得△OMN 是等腰直角三角形，再根据勾股定理多次求解即可得三棱锥O −PMN 的外接球半径．解：依题意，4πr 2=128π，解得r =4√2，设△MNP 所在截面圆的圆心为O 1，MN 的中点为D ，连接OD ，O 1D ，则O 1O ⊥平面PMN ，因为OM=ON，所以OD⊥MN，由O1为△PMN外接圆圆心，所以O1D⊥MN，所以∠ODO1即为二面角P−MN−O的平面角，∠ODO1=60°，因为OM=ON=4√2，MN=8，所以△OMN是等腰直角三角形，∴OD=4，在Rt△ODO1中，由cos 60∘=O1D，得O1D=2，OD由勾股定理，得OO1=2√3，因为O1到M，N，P三点的距离相等，且OO1⊥平面PMN，所以三棱锥O−PMN外接球的球心E在射线OO1上，设三棱锥O−PMN外接球的半径为R，在Rt△O1NE中，O1N=√ON2−OO12=2√5，NE=R，O1E= |R−2√3|，由勾股定理可得O1N2+O1E2=NE2，即20+(R−2√3)2=R2，，解得R=8√33故选B．13.答案：−4解析：本题考查线性规划，解决问题的关键是做出可行域，结合截距型目标函数的几何意义求解最值．解：作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z =2x −3y 平移至点A 处时，z 取最小值． 由{x =1x −2y +3=0得{x =1y =2即A(1,2)， 所以z min =2×1−3×2=−4． 故答案为−4．14.答案：(1) 4；(2) 64解析：(1)本题考查等比数列的通项公式，根据条件联立求出q 2=4，即可求出a 6，属基础题． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 8=a 6+2a 4得： q 6=q 4+2q 2，q 4−q 2−2=0，解得q 2=2， 则a 6=a 2q 4=4；(2)本题考查等比数列的通项公式的应用，根据条件联立方程组求出首项和公比，从而得到a 1a 2a 3…a n =8n·(12)1+2+3+⋯+(n−1)=23n·2−n (n−1)2=2−n 2+7n2，即可得出结论，属中档题．解：因为a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，所以公比q =a 2+a 4a 1+a 3=12，所以a 1+a 1×14=10⇒a 1=8，a 1a 2a 3…a n =8n·(12)1+2+3+⋯+(n−1)=23n·2−n (n−1)2=2−n 2+7n2，所以当n =3或4时，取最大值64．15.答案：√5解析：本题考查抛物线与直线相交，三角形面积公式，韦达定理，点到直线的距离公式，属于一般题． 可先根据已知抛物线C:x 2=4y 与直线y =12x +1有交点，联立可得到x 2−2x −4=0，可分别设出A 、B 两点坐标，可得到|AB|的值，根据点O 到直线的距离，得到三角形的高，进而根据三角形的面积公式得出即可． 解：联立{x 2=4y,y =12x +1得x 2−2x −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，x 1x 2=−4，则|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+14×√4+16=5，点O 到直线y =12x +1的距离d =√1+14=√5=2√55，所以S △OAB =12|AB|d =12×5×2√55=√5．故答案为√5．16.答案：(0,23(e +1))解析：本题考查利用导函数求函数的最值，考查利用导函数处理不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．由题意f(x)>0在(0,+∞)恒成立，即e x x>lnx −12ax 2+(a −1)x +a 在x ∈(0,+∞)上恒成立，构造新函数g(x)=e xx，求出其导函数，利用导函数求解最值即可得a的范围．解：要使e x−xlnx+12ax3−(a−1)x2−ax>0，即e xx >lnx−12ax2+(a−1)x+a在x∈(0,+∞)上恒成立，设g(x)=e xx ，则g′(x)=exx2(x−1)，当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，且g(x)min=g(1)=e，设ℎ(x)=lnx−12ax2+(a−1)x+a则ℎ′(x)=(1−x)(ax+1)x，当x∈(0,1)，ℎ′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，则ℎ(x)max=ℎ(1)=3a2−1，所以只需3a2−1<e，则0<a<23(e+1)，故答案为：(0,23(e+1))．17.答案：解：(1)根据正弦定理得，即，．∵0<C<π，∴C=π4．(2)根据余弦定理c2=a2+b2−√2ab①，在△ACD与△CBD中，由余弦定理得2a2+2b2=c2+4②，由①②得a2+b2=4−√2ab⩾2ab，∴ab⩽42+√2(当且仅当a=b时取“=”)，△ABC面积．解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得√2sinBcosC=sinB，结合sinB≠0，可求，结合范围C∈(0,π)，可求C的值；(2)△ABC 中，c 2=a 2+b 2−√2ab①，在△ACD 与△CBD 中，由余弦定理得2a 2+2b 2=c 2+4②，由①②，基本不等式可求ab 的最大值，根据三角形面积公式即可计算得解．18.答案：(1)证明：取AD 的中点O ，连接MO ，NO ，∵M 为PD 的中点， ∴OM//PA ，又∵OM ⊄平面PAB ，故OM//平面PAB 同理ON//平面PAB ， 又OM ∩ON =O ， ∴平面MNO//平面PAB ， ∵MN ⊂平面OMN ， ∴MN//平面PAB ； (2)∵AC ⊥AD ， ∴AC ⊥平面PAD ，以A 为坐标原点，以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y 轴的正方向，过A 垂直于平面ACD 的直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系，在Rt △ACD 中，AC =2,CD =2√2， ∴AD =2，∴P(0,1,√3),D (0,2,0),M (0,32,√32)， B (1,−1,0),C (2,0,0),N (32,−12,0)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−2,−√32)， 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z )，∴{x −2y −√3z =0x +y =0, 取x =1，∴y =−1,z =√3，即n →=(1,−1,√3)， 同理可得平面PMN 的法向量m ⃗⃗⃗ =(5,3,√3)， 设平面PMN 与平面PBC 所成角为θ，．∴平面PMN 与平面PBC 所成角的余弦值为√18537．解析：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线面平行、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． (1)取PC 中点O ，可证面NOM//面PAB ，得MN//面PAB ；(2)建立合适的坐标系，求出平面PMN 和平面PBC 的法向量，由此利用平面PMN 与平面PBC 法向量所成角的余弦值求出即可．19.答案：解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为√22知，b =c, a =√2b ， ∴椭圆C 的方程可设为x 22b2+y 2b 2=1，求得A(√2,0)，∴点(√2,√2)在椭圆上， ∴22b 2+2b 2=1，解得{a 2=6b 2=3，∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1；(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =√2， 由(Ⅰ)知，M(√2,√2),N(√2,−√2)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√2)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OM ⊥ON ．当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y =kx +m ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴√k 2+1=√2，即m 2=2(k 2+1)．联立直线和椭圆的方程得x 2+2(kx +m)2=6，∴(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0，得{ Δ=(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，∴OM ⊥ON ． ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km2k 2+1+m 2 =(1+k 2)(2m 2−6)−4k 2m 2+m 2(2k 2+1)2k 2+1=3m 2−6k 2−62k 2+1=3(2k 2+2)−6k 2−62k 2+1=0，综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ⊥ON ． 在Rt △OMN 中，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|⋅|PN|=2为定值．解析：本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运算一起考查，考查计算能力，属于难题．(Ⅰ)根据离心率得到a =√2b ，代入椭圆方程，根据题意得知点(√2,√2)在椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出b 的值，进而得出a 的值，从而求出椭圆C 的方程； (Ⅱ)对圆O 在点P 处的切线的斜率是否存在进行分类讨论．一是斜率不存在时，可得出点M 、N 的坐标，从而求出|PM|⋅|PN|的值；二是斜率存在时，设该切线方程为y =kx +m ，设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由直线MN 与圆O 相切得出m 与k 之间所满足的关系式，并将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得出OM ⊥ON ，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|⋅|PN|，于是证出结论．20.答案：解：(1)因为x =2+4+5+6+85=5，y =3+4+5+6+75=5，∑(5i=1x i −x)(y i −y)=(−3)×(−2)+(−1)×(−1)+0×0+1×1+3×2=14，∑(x i −x)25i=1=(−3)2+(−1)2+02+12+32=20， ∑(y i −y)25i=1=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，所以相关系数r =5i=1i −x)(y i −y)√∑(i=1x i −x)2√∑(i=1y i −y)2=√20×√10=7√210>0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系； (2)b ∧=5i=1i −x)(y i −y)∑(x −x)25=1420=0.7，那么a ∧=y −−b ̂x −=5−5×0.7=1.5，所以回归方程为y ∧=0.7x +1.5， 当x =12时，y ∧=0.7×12+1.5=9.9，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．解析：本题考查散点图，考查相关系数、回归直线方程、回归分析的初步应用，考查分析与计算能力，属于中档题．(1)利用数据计算得相关系数r =7√210>0.75，即可得到答案；(2)由题计算得回归方程为y ∧=0.7x +1.5，计算求解即可得到答案．21.答案：解：(1)f ′(x)=1x +a −1=1+ax−xx，x >0，①当a≥1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，②当a<1时，由f′(x)=0得x=11−a，当x∈(0,11−a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(11−a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上讨论得：①当a≥1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，②当a<1时，f(x)在(0,11−a)上单调递增，在(11−a,+∞)上单调递减；(2)当a=1时，(a−1)x+a+1=2，当a<1时，y=(a−1)x+a+1在x>0上单调递减，(a−1)x+a+1<a+1<2，综上当a≤1时，(a−1)x+a+1≤2，要证e x>f(x)，即证e x>lnx+(a−1)x+a+1，而lnx+(a−1)x+a+1≤lnx+2，只要满足e x>lnx+2成立即可，令ℎ(x)=e x−lnx，则ℎ′(x)=e x−1x，令H(x)=e x−1x ，则H′(x)=e x+1x2>0，则H(x)在(0,+∞)单调递增，即ℎ′(x)在(0,+∞)单调递增，而ℎ′(12)=√e−2<0，ℎ′(1)=e−1>0，故方程e x−1x =0有唯一解x0，且x0∈(12,1),从而e x0=1x，，当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,x0)递减，x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(x0,+∞)递增；，∴e x>lnx+2，故当a≤1时，e x−f(x)>0．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题的证明，属于较难题．(1)对f(x)求导得f ′(x)=1+ax−x x ，分a ≥1时，和a <1讨论，利用导数判断函数的单调性即可；(2)当a ≤1时要证e x >f(x)只需让e x >lnx +2，令ℎ(x)=e x −lnx ，求导研究ℎ(x)的单调性和最值即可．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =t t+1,y =2t+1t+1(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x −y +1=0． 曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为极坐标方程为ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于ρ=4cosθ，设点P(4cosβ,β)，由于直线C 1的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ+1=0．得到Q(1cosβ+sinβ,π2+β)，所以S △POQ =12×4cosβ×1cosβ+sinβ=1，解得cosβ=sinβ，所以β=π4，所以|OP|=4cosβ=2√2．解析：本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点的极坐标和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)若a =3，不等式f(x)≥6，即|x +1|+|x −3|≥6．根据绝对值的意义，|x +1|+|x −3|表示数轴上的x 对应点到−1、3对应点的距离之和， 而数轴上−2和4对应点满足对应点到−1、3对应点的距离之和正好等于6，故|x +1|+|x −3|≥6的解集为(−∞,−2]∪[4,+∞)．(Ⅱ)根据绝对值的意义，|x +1|+|x −a|表示数轴上的x 对应点到−1、a 对应点的距离之和， 它的最小值为|a +1|，若不等式f(x)≥6对任意的实数x 恒成立，则|a +1|≥6，求得a ≥5，或a ≤−7，故实数a的取值范围为(−∞,−7]∪[5,+∞)．解析：(Ⅰ)若a=3，不等式即|x+1|+|x−3|≥6，根据绝对值的意义求得|x+1|+|x−3|≥6的解集．(Ⅱ)根据绝对值的意义，|x+1|+|x−a|的最小值为|a+1|，由|a+1|≥6，求得实数a的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
2020届福建省广东省高三4月联考数学(理)试题(解析版)
【解析】（1）由题知 ，当 时， ，则 ，代入得展开式中 的系数；
（2）设 的系数的绝对值最大，则 ，求解得 ，即可计算得到展开式中系数的绝对值最大的项的系数.
【详解】
因为 ，所以当 时， ，则 ；
令 ，得 ，所以 的系数为 .
设 的系数的绝对值最大，则 ，解得 ，因为 ， ，所以 ，故系数的绝对值最大的项的系数为 .
本题主要考查古典概型的计算，考查学生的应用意识与数学抽象的核心素养.
7．圆 被直线 截得的弦长的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求得直线恒过定点 ，当 时，弦长最小，结合勾股定理求得此时的弦长.
【详解】
直线 可化为 ，故直线 恒过点 .
圆 ： 的圆心为 ，半径为 当直线 垂直于直线 时，截得的弦长最短，此时弦长 .
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题可知四边形 为平行四边形，得 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，则平面 平面 得证；
（2）以 为坐标原点，以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，算出平面 的一个法向量 ，平面 的法向量 ，运用向量夹角公式即可求出二面角 的大小.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ， ，设双曲线的右焦点为 ，则 的周长 ，当且仅当 三点共线时，周长最小即可得 ，进而求得离心率.
【详解】
由题意知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，设双曲线的右焦点为 ，则 的周长 ，故 ， .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了双曲线的几何性质、双曲线的离心率的求解，考查学生运算求解能力.
12．在正方体 中， 分别为线段 的中点， 为四棱锥 的外接球的球心，点 分别是直线 上的动点，记直线 与 所成角为 ，则当 最小时， （）
2020年福州市高中毕业班质量检测(理科数学) 试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
{ } { } 1. 已知集合= M x x24 = ，N x 2x < 4 ，则 M N =
A．{x x − 2}
B．{x − 2x < 2} C．{x − 2x2}
D．{x 0 < x < 2}
准考证号
姓名
.
（在此卷上答题无效）
秘密★启用前
2020 年福州市高中毕业班质量检测
数学（理科）试卷
（完卷时间：120 分钟；满分:150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第 Ⅱ卷 4 至 6 页． 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
( ) 已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2= b2
1(a > b > 0) 的焦距为 2
2 ，且过点
2,1 ．
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 l 与 C 有且只有一个公共点， l 与圆 x2 + y2 = 6 交于 A,B 两点，直线
OA,OB 的斜率分别记为 k1, k2 ，试判断 k1 ⋅ k2 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请
2020年4月全国大联考2020届高三毕业班联考质量检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(理)试题(解析版)2020年4月注意事项：1.考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟，满分150分.3.本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】【分析】 求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意.故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5【答案】C【解析】【分析】 根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解.【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.已知随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=（ ） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=， 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B【点睛】此题考查根据正态分布密度曲线性质求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的相关性质，结合对称性求解.。
2020 年福建省高三毕业班质量检测理科数学(含详细答案)
水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替
概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在 8～12
吨的家庭个数 X 的数学期望是
A． 3.6
B． 3
C．1.6
D．1.5
6．在 △ABC 中， DC 2BD ，且 E 为 AC 的中点，则 DE
A． 2 AB 1 AC 36
B． 2 AB 1 AC 36
18．(12 分) 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ，点 E 在线段 BC 上，BE 2EC ．把△BAE
沿 AE 翻折至 △B1AE 的位置，B1 平面 AECD ，连结 B1D ，点 F 在线段 DB1 上，DF 2FB1 ， 如图 2．
（1）证明： CF∥平面 B1AE ； （2）当三棱锥 B1 ADE 的体积最大时，求二面角 B1 DE C 的余弦值．
2
其中正确结论的个数是
A． 4
B． 3
C． 2
D．1
10．设抛物线 E：y2 6x 的弦 AB 过焦点 F ， AF 3 BF ，过 A ， B 分别作 E 的准线的垂
线，垂足分别是 A ， B ，则四边形 AABB 的面积等于
A． 4 3
B． 8 3
C．16 3
D． 32 3
11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古代
解法一：因为 B= x x≤ 2或x≥4 ，所以 A B=x x≤ 2或x≥1 ，
故 R (A B)=x 2 x 1，故选 C．
解法二：特殊值法，取 x 2 ，排除 A，D；取 x 2 ，排除 B，故选 C． 【错因分析】
选择 A 答案，求 A B 出现错误，得到 A B x x 2或x 1 ；
2020年福建质检-理数答案
3
3
6
（2）因为 D 是 AC 中点，所以 BD 1 BA BC ， 2
所以
2
BD
1
2
2
BA BC 2BA BC
，.....................................................................7 分
4
因为 BD BC a ，所以 4a2 c2 a2 2ac cos B ， ..............................................8 分
又因为 cos B a2 c2 b2 ，所以 4a2 c2 a2 a2 c2 b2 ， 2ac
所以 2a2 2c2 b2 ，....................................................................................................9 分
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．
13． 2 i
14． 9
15． 1 3
16．8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12
b 4cosC
即 cosC b ， ............................................................................................................9 分 4a
2020届福建省福州市高三毕业班4月质量检测理科综合试题(PDF版试卷+PDF版答案)
2020年福州市高中毕业班质量检测理科综合试卷（完卷时间：150分钟；满分：300分）｛此试卷上答题无效）可能用到的相对原子质量：H1 C 12 N 14 0 16 N a 23 Mg 24 Al 27 Br 80一、漳择.：本鹰共13小匾，每小踵6分，共78分。
在每小匾绘出的四个选项中，只有－项是符合擅自要求的。
l.冠状病毒是一类刚A病毒，其S蛋白白11(,()-1400个氨基酸组成，包含21-35个N－糖基化位点．。
S蛋白能特异性结合宿主细胞膜表面受体，诱导病毒－细胞膜融合，在病毒入侵过程中发挥着至关重要的作用。
下列说法正确的是A.宿主细胞核糖体可以独立合成S蛋白B.人类基因组中含有编码S蛋白的片段C.通过分析碱基种类可以区分冠状病毒的类型D.抑制S蛋白与宿主细胞受体的结合可能阻断病毒侵躲2.关于调查或实验结果的估算，下列说法正确的是A.人群中女性红绿色盲发病率大于该致病基因的频率B.把非分生区洋蕉根尖细胞列入统计，分裂期时长占比将偏小C.血细胞计数板计数室先注满摩母菌液后加盖玻片，种群密度估算误差减小D.位于样方边上的个体只统计相邻两边及其夹角，种群密度估算值将偏小3.疫苗研制须遵循严格程序，包含病原体分离确认、动物和人体实验等过程，下列有关说法正确的是A.研究该病原体的基因序列和蛋白质组成，有利于确定抗原的成分及结构B.对照组接种病原体、实验组接种疫苗，实验组血清检测到淋巴因子说明疫苗研制成功C.对照组不接种疫苗、实验组接种疫苗，实验组血清检测到相应的抗原说明疫苗研制成功D.若疫苗研制成功，接种后人体依靠产生相应的效应T细胞吞噬分解抗原4.腕蛋白酶能将血红蛋白水解为若子个多肤，比较镰刀型细胞贫血症患者和正常人的血红蛋白酶解产物，可发现两者间只存在某个多放首个氨基酸为籁基酸或谷氨酸的差异，下列分析正确的的是A.患者血红蛋白空间结构正常但运输氧气能力下降B.腕蛋白酶能水解血红蛋白任意两个氨基酸间的肤键C.血虹蛋白经腕蛋白酶水解的产物加入双缩服试剂仍能呈现紫色D.患者血红蛋白基因发生麟基替换导致mR N A提前出现终止密码子高三理科综合一1一（共14页）。
2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)含答案解析
A．1
B．2
C．3
D．4
数学试题（第 1 页 共 6 页）
4. 某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%，则
患该种疾病且血检呈阳性的概率为
A．0.495%
B．0.940 5%
C．0.999 5%
D．0.99%
5. 函数 f x ex x2 2x 的图象大致为
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17. （本小题满分 12 分）
已知数列 an 和bn 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ， a1 2 ， b1 1，且 an1 a1 2Tn ．
成角的余弦值为
．
15. 在 △ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 2sin2 A cos B 1 ，则 c 的取值 ba
范围为
．
16. 已知梯形 ABCD 满足 AB ∥CD,BAD 45 ，以 A, D 为焦点的双曲线 经过 B,C 两
点．若 CD 7 AB ，则 的离心率为
用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13. 已知向量 AB 1, 2 ， CB 2,5 ， MN t,1 ．若 AC ∥ MN ，则实数 t
．
14. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 BC1 中点， Q 为 A1D 中点，则异面直线 DP 与 C1Q 所