2019-2020学年河南省洛阳市高一下期末考试数学试卷有答案
洛阳市高一年级质量检测
数 学 试 卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}0,5,10A =，集合{}
22,1B a a =++，且{}5A B =I ，则满足条
件的实数a 的个数有
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个 2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是
A.2sin y x =+
B. cos y x =
C. ln y x =
D. x
x
y e e -=-
3.已知平行四边形ABCD 中，60,1,2ABC AB BC ∠===o
,则BA BD ⋅=u u u r u u u r
A. 1
B. 2
C. 13+
D.2-
4.执行如图所示的程序框图，若输入a,b 的分别为78,182，则输出的a = A. 0 B. 2 C. 13 D. 26
5.为了了解某服装厂某种服装的年产量x （单位：千件）对价格y （单位：千元/千件）的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计情况如下表：
如果y 关于x 的线性回归方程为ˆ12.386.9y
x =-+，且1270,65y y ==，则345y y y ++= A. 50 B. 113 C. 115 D. 238
6.设直线32120x y --=与直线4310x y ++=交于点M,若一条光线从点()2,3P 射出，经y 轴反射后过点M,则入射光线所在直线的方程为
A.10x y --=
B.10x y -+=
C.50x y --=
D.50x y +-= 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 12 B. 9 C. 6 D. 36 8.已知曲线11:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛
⎫
==+ ⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是
A. 把1C 上个点的横坐标缩短为原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把所得的
曲线向左平移
23
π
个单位长度，得到曲线2C
B.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3
π
个单位长度，得到曲线2C
C.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23
π
个单位长度，得到曲线2C
D. 把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3
π
个单位长度，得到曲线2C
9.在直三棱柱111ABC A B C -中，,6,8AB BC AB BC ⊥==若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为
A. 624
B.576
C. 672
D.720
10.一位同学家里定了一份报纸，送报人每天都在早上6:20—7:40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00——8:00之间出发上学，则该同学在离开家之前能拿到报纸的概率为 A.
16 B. 13 C. 23 D.5
6
11.在平面直角坐标系xoy 中，已知()150,0,,04O A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，曲线C 上任一点M 满足4OM AM =，点P 在直
线)1y x =
-上，如果曲线C 上总存在两点到P 的距离为2，那么点P 的横坐标t 的范围是
A. 13t <<
B. 14t <<
C. 23t <<
D. 24t << 12.已知两条直线()122
:3,:261
l y l y m m ==
≤≤-，1l 与函数2log y x =的图象从左到右交于A,B 两点，2l 与函数2log y x =的图象从左到右交于C,D 两点，若,AC AB BD CD a B AB CD
⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，当m 变化时，b
a 的
范围是
A. 352,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 3
52,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 172,32⎡⎤⎣⎦
D.()17
2,32
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若1
cos ,02
απα=--<<，则角α= .（用弧度表示）
14.某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了一些客户，得到了满意度评分的茎叶图，则这组评分数据的中位数为 .
15.执行如图所示的程序框图，如果输入9x =时，29
9
y =
，则整数a 的值为 . 16.已知锐角,αβ满足()()sin cos 2cos sin αββαββ+=+，当α取得最大值时，
tan 2α= .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）
已知点()()8,3,3,6-在函数()log ,0
2,0
a x x x f x
b x >⎧=⎨-≤⎩的图象上.
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求不等式()0f x >的解集.
18.（本题满分12分）
已知向量2cos ,1,cos ,cos ,66a x b x x x R ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
r r ，函数().f x a b =⋅r r
（1）求函数()f x 的图象的对称中心； （2）若,42x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦，求函数()f x 的最大值和最小值，并求出()f x 取得最值时x 的大小.
19.（本题满分12分）
学校高一数学考试后，对90分（含90分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在120—130分的学生人数为30人.
（1）求这所学校分数在90—140分的学生人数； （2）请根据频率分布直方图估计这所学校学生分
数在90—140
分的学生的平均成绩；
（3）为进一步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数子啊90—100分和120—130分的学生中抽出5人，从抽取的学生中选出2人分别做问卷A 和问卷B,求90—100分的学生做问卷A,120—130分的学生做问卷B 的概率.
20.（本题满分12分）
3,BP BC == 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AB PC ⊥,其中
（1）点,E F 分别为线段,BP DC 的中点，求证：//EF 平面
APD ；
（2）设G 为线段BC 上一点，且2BG GC =，求证：PG ⊥平
面
ABCD .
21.（本题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x B A x R π
ωϕωϕ⎛
⎫=++>><∈ ⎪⎝
⎭在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调，当2
x π
=
时，()f x 取得最大值5，当32
x π
=
时，()f x 取得最小值-1. （1）求()f x 的解析式；
（2）当[]0,4x π∈时，函数()()()1212x x g x f x a +=-+有8个零点，求实数a 的取值范围.
22.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足22
16PA PB +=u u u r u u u r ，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一
点Q 向圆()2
2
2
2:0C x y r
r +=>做两条切线，切点分别为,M N ，且60.
MQN ∠=o （1）求点P 的轨迹方程和；
（2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求OCD ∆面积最小时点Q 的坐标.。
2019-2020学年洛阳名校高一(下)第一次联考数学试卷(含解析)
2019-2020学年洛阳名校高一(下)第一次联考数学试卷题号 一 二 三 总分 得分一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设α是第二象限角，则点P(sin(cosα),cos(sinα))在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知两点A (2,−1),B (5,3)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是( )A. (35,−45)B. (35,45)C. (45,35)D. (45,−35)3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，DF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 23B. −23C. 43D. −434. 将函数y =5sin3x 的图象向左平移π3个单位，得到的图象的解析式是( )A. y =5sin(3x +π3) B. y =5sin(3x −π3) C. y =5sin3xD. y =−5sin3x5. 已知向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，c ⃗ =(2,1)，且(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，则实数k 的值为 ( )A. −92B. 0C. 3D. 1526. 函数f (x )=Asin (ωx +φ)(其中A >0，ω>0)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到y =g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A. 函数g(x)为奇函数B. 函数g (x )的图象的对称轴为直线x =kπ+π6(k ∈Z ) C. 函数g (x )为偶函数D. 函数g (x )的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k ∈Z)7. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个互相垂直的单位向量，则(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −4b ⃗ )=( )A. −3B. −2C. 2D. 38. 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为( )A. 13 B. 16 C. 23 D. 19. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PBC 与△ABC 的面积的比为( ) A. 13B. 12C. 23D. 3410. 正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 直线√2ax +by =1与圆x 2+y2=1相交于A,B 两点(其中a,b 是实数)，且ΔAOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a,b )与点(0,1)之间距离的最小值为( )A. 0B. √2C. √2−1D. √2+112. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y =3相邻两个交点的距离为2π3，若f(x)>1对任意x ∈(−π12,π6)恒成立，则φ的取值范围是( )A. (−π2,−π4) B. (0,π4) C. (π4,π2) D. [π4,π2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos(2π3−α)=23，则sin(π6−α)=______ ．14.已知sin(θ−π6)=34则cos(θ−2π3)=______．15.若关于x的不等式x2+mx+m2>0恒成立，则实数m的取值范围是__________16.下列关于函数f(x)=2sin(12x+5π6)的图象或性质的说法中，错误的是______①函数f(x)的图象关于直线x=8π3对称②将函数f(x)的图象向右平移π3个单位所得图象的函数为y=2sin(12x+π2)③函数f(x)在区间(−8π3,π3)上单调递增④若f(x)=a，则cos(12x+π3)=a2三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知sinα=2cosα，求：(1)sinα−3cosα5sinα+2cosα．(2)sin2α+2sinαcosα−cos2α.18.已知向量m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角为45∘，则|m⃗⃗⃗ |=1,|n⃗|=√2，又a⃗=2m⃗⃗⃗ +n⃗,b⃗ =−3m⃗⃗⃗ +n⃗．(1)求a⃗与b⃗ 的夹角；(2)设c⃗=t a⃗−b⃗ ,d⃗=2m⃗⃗⃗ −n⃗，若c⃗//d⃗，求实数t的值．19.设函数f(x)=cosx⋅cos(x−θ)−12cosθ，θ∈(0,π).已知当x=π3时，f(x)取得最大值．(1)求θ的值；(2)设g(x)=2f(32x)，求函数g(x)在[0,π3]上的最大值．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，D是A1C的中点．(Ⅰ)求BD的长；(Ⅱ)求证：平面ABB1⊥平面BDC．21.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，cos(φ+π4)=0，其中ω>0，|φ|<π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．22.已知点A(1,1)，B(−1,3)．(1)求以AB为直径的圆C的方程；(2)若直线x−my+1=0被圆C截得的弦长为√6，求m值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查三角函数的应用，熟悉象限角的定义是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于基础题．由α所在的象限分析可得−1<cosα<0，分析可得cosα为第四象限的角，即可得答案． 解：∵α是第二象限角，∴−1<cosα<0，故cosα为第四象限角， ∴sin(cosα)<0，cos(cosα)>0， 故点P(sin(cosα),cos(cosα))在第二象限， 故选B ．2.答案：B解析：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．由条件求得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，再根据与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 求得结果． 解：∵已知点A(2,−1),B(5,3)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)−(2,−1)=(3,4)， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9+16=5，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(35,45) ． 故选B ．3.答案：A解析：本题考查向量的数量积，向量的坐标运算，属于基础题． 根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求解本题． 解：以D 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点， ∴D(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，C(2,0)，E(2,1)， ∵DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴F(43,0)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗=(−23,−2)， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43+2=23， 故选A ．4.答案：D解析：解：将函数y =5sin3x 的图象向左平移π3个单位，得到的图象的解析式为y =5sin3(x +π3)=−5sin3x ， 故选：D ．根据题意以及函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再利用诱导公式可得结论． 本题主要考查诱导公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 利用(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅c ⃗ =0⃗ 即可建立方程求解． 解：∵2a ⃗ −3b ⃗ =(2k −3,−6).又(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，∴(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅c ⃗ =0⃗ ，即(2k −3)×2+(−6)=0，解得k =3． 故选C ．6.答案：D解析：本题考查了正弦型函数的解析式的求法、对称性、奇偶性、单调性，考查分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．先确定函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式，再根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的平移，得到g(x)，然后逐项分析即可．解：依题意，A=3，3T4=5π12+π3=3π4，所以T=π，所以ω=2，又3=3sin(2×5π12+φ)，所以φ=2kπ−π3，(k∈Z)，所以f(x)=3sin(2x−π3).将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得g(x)=3sin(2x+π3).奇偶性，显然g(x)不是奇函数也不是偶函数，A，C错．对称性，由2x+π3=π2+kπ得，x=π12+kπ2，(k∈Z)故B错．单调性，由2x+π3∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，得g(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)D对．故选D．7.答案：A解析：本题考查平面向量数量积的运算和向量垂直，属于基础题．运用数量积的运算可得结果．解：根据题意得，(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−4b⃗ )=a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅b⃗ −4b⃗ 2=1−0+0−4=−3故选：A．8.答案：A解析：解：由三视图判断几何体为三棱锥，如图：由已知中侧视图是一个等腰直角三角形，宽为1，∴棱锥的高H=1；底面△的高也为1，又由俯视图为等腰直角三角形，且底面斜边长为2， ∴底面面积S =12×2×1=1， 则几何体的体积V =13×1×1=13． 故选A ．由正视图、侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，可判定几何体为三棱锥，我们根据三视图的数据求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征，进而求出底面面积，高是解答本题的关键．9.答案：A解析：由题意作出图形，由三角形的相似和面积公式可得．本题考查平面向量基本定理，涉及三角形的面积和相似，属基础题． 解：在线段AB 上取D 使AD =23AB ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 过A 作直线l 使l//BC ，在l 上取点E 使AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ，则由平行四边形法则可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设△PBC 的高线为h ，△ABC 的高线k ， 由三角形相似可得h ：k =1：3， ∵△PBC 与△ABC 有公共的底边BC ， ∴△PBC 与△ABC 的面积的比为1：3， 故选A ．10.答案：C解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．连接AC 、BD ，交于点O ，连接PO ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE 与PC 所成的角． 解：连接AC 、BD ，交于点O ，连接PO ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点， ∴OA =OB =√3+32=√62， OP =√2−64=√22， ∴A(√62,0，0)，P(0,0，√22)， E(√64,0，√24)，B(0,√62,0)，C(−√62,0，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√64,−√62,√24)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,0，−√22)， 设异面直线BE 与PC 所成的角为θ， 则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√2×√2=12， ∴θ=π3，∴异面直线BE 与PC 所成的角为π3． 故选：C ．11.答案：C解析：根据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，因为ΔAOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又|OA|=|OB|=1，根据勾股定理得|AB|=√2，∴|OC|=12|AB|=√22．∴圆心到直线的距离为1√2a2+b2=√22，即2a2+b2=2，即a2=−12b2+1≥0．∴−√2≤b≤√2.则点P(a,b)与点(0,1)之间距离d=√(a−0)2+(b−1)2=√a2+b2−2b+1=√12b2−2b+2.设f(b)=12b2−2b+2=12(b−2)2，此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，∴当−√2≤b≤√2时，函数为减函数．∵f(√2)=3−2√2，∴d的最小值为√3−2√2=√(√2−1)2=√2−1.故C正确．12.答案：D解析：本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．由题意可得函数的周期为2πω=2π3，由此求得ω，再结合题意可得sin(2x+φ)>0对任意x∈(−π12,π6)恒成立，求得φ的取值范围．解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为2π3，∴2πω=2π3，∴ω=3．若f(x)>1对任意x∈(−π12,π6)恒成立，则x∈(−π12,π6)时，sin(2x+φ)>0，∴{3⋅(−π12)+φ≥03⋅π6+φ≤π，求得π4≤φ≤π2，综合可得π4≤φ<π2．故选D．13.答案：−23解析：解：∵cos(2π3−α)=23，则sin(π6−α)=sin[(2π3−α)−π2]=−cos(2π3−α)=−23，故答案为：−23．观察得到(π6−α)=(2π3−α)−π2，利用诱导公式即可求得答案．本题三角函数的化简求值，着重考查诱导公式的应用，属于中档题．14.答案：34解析：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．由已知结合cos(θ−2π3)=cos[(θ−π6)−π2]，再由诱导公式化简求值．解：∵sin(θ−π6)=34，∴cos(θ−2π3)=cos[(θ−π6)−π2]=cos[π2−(θ−π6)]=sin(θ−π6)=34．故答案为： 34．15.答案：(0,2)解析：若不等式x2+mx+m2>0恒成立，则判别式Δ=m2−4×m2<0，解得0<m<2．16.答案：①②③解析：此题主要考查正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．根据正弦函数的对称性、单调性逐一判断可得．解：①当x=8π3时，，即①错误；②函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到，即②错误；③，k ∈Z ， 则，k ∈Z ，显然，k ∈Z ，即③错误；④若f(x)=a ，则sin (12x +5π6)=a2， 所以，即④正确．故答案为①②③．17.答案：解：(1)∵sinα=2cosα，∴tanα=2，∴sinα−3cosα5sinα+2cosα=tanα−35tanα+2=2−310+2=−112．(2)sin 2α+2sinαcosα−cos 2α=sin 2α+2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanα−1tan 2α+1=4+4−14+1=75．解析：由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)m →·n →=|m →|·|n →|·cos45°=1，∵|a →|=|2m →+n →|=√(2m →+n →)2=√4+4+2=√10， |b →|=√(−3m →+n →)2=√5，a →·b →=(2m →+n →)·(−3m →+n →)=−6m →2+n →2−m →·n →=−5， 则cos <a →,b →>=a →·b→|a →|·|b →|=52=−√22，即夹角为3π4．(2)c →=t (2m →+n →)−(−3m →+n →)=(2t +3)m →+(t −1)n →∵c →//d →，∴存在实数λ满足c →=λd →则{2t +3=2λt −1=−λ，解得t =−14．解析：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及模的运算，还考查了向量平行的问题，属于基础题．(1)由题意求得m →·n →的值，可得a →·b →,|a →|,|b →| 的值，再根据cos <a →,b →>=a →·b→|a →|·|b →|的值，求得a ⃗ 与b ⃗ 的值．(2)由条件求得 c →=t (2m →+n →)−(−3m →+n →)=(2t +3)m →+(t −1)n →，再利用两个向量共线的性质求得求得t 的值．19.答案：解：(1)由三角函数公式化简可得：f(x)=cosx(cosxcosθ+sinxsinθ)−12cosθ=cos 2xcosθ+sinxcosxsinθ−12cosθ=1+cos2x 2cosθ+12sin2xsinθ−12cosθ =12cos2xcosθ+12sin2xsinθ =12cos(2x −θ) 由[f(x)]max =f(π3)=12可得cos(2π3−θ)=1 又∵θ∈(0,π)，∴θ=2π3；(2)由(1)知f(x)=12cos(2x −2π3)，∴g(x)=2f(32x)=cos(3x −2π3)∵0≤x ≤π3，所以−2π3≤3x −2π3≤π3， ∴当3x −2π3=0，即x =2π9时，[g(x)]max =1解析：(1)由三角函数公式化简可得f(x)=12cos(2x −θ)，由三角函数的最值可得； (2)由(1)知f(x)=12cos(2x −2π3)，可得g(x)=2f(32x)=cos(3x −2π3)，由0≤x ≤π3和三角函数的最值可得．本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．20.答案：(Ⅰ)解：取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥平面ABC ，在Rt △BDO 中，BO =√22，DO =12，∴BD =√12+14=√32；(Ⅱ)证明：∵∠ABC =90°， ∴BC ⊥AB ，∵BB 1⊥BC ，BB 1∩AB =B ， ∴BC ⊥平面ABB 1， ∵BC ⊂平面BDC ， ∴平面ABB 1⊥平面BDC ．解析：(Ⅰ)取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥平面ABC ，利用勾股定理，即可求BD 的长； (Ⅱ)证明BC ⊥平面ABB 1，即可证明平面ABB 1⊥平面BDC ．本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面垂直的性质，属于中档题．21.答案：解：(1)∵cos(φ+π4)=0，∴φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，∴φ=kπ+π4(k ∈Z)，又∵|φ|<π2，∴φ=π4． ∵相邻两条对称轴间的距离为π3， ∴T2=π3，∴T =2π3，∴ω=2πT=3，∴f(x)=sin(3x +π4).(2)f(x)的图象向左平移m 个单位后，得g(x)=sin[3(x +m)+π4]=sin(3x +3m +π4)， 若g(x)是偶函数，当且仅当3m +π4=kπ+π2(k ∈Z)， 即m =kπ3+π12(k ∈Z)，当k =0时，正实数m 取得最小值π12，从而，最小正实数m 为π12．解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．(1)根据三角函数的性质求出ω和φ，即可求函数f(x)的解析式；(2)利用三角函数的图象变换规律，结合三角函数的奇偶性即可得到结论．22.答案：解：(1)根据题意，点A(1,1)，B(−1,3)，则线段AB 的中点为(0,2)，即C 的坐标为(0,2)； 圆C 是以线段AB 为直径的圆，则其半径r =12|AB|=√(1+1)2+(1−3)2=√2， 圆C 的方程为x 2+(y −2)2=2，(2)根据题意，若直线x −my +1=0被圆C 截得的弦长为√6， 则点C 到直线x −my +1=0的距离d =(√62)=√22，又由d =√1+m 2，则有2=√22， 变形可得：7m 2−8m +1=0， 解可得m =1或17．解析：本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题． (1)根据题意，有A 、B 的坐标可得线段AB 的中点即C 的坐标，求出AB 的长即可得圆C 的半径，由圆的标准方程即可得答案；(2)根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C 到直线x −my +1=0的距离d =(√62)=√22，结合点到直线的距离公式可得√1+m 2=√22，解可得m 的值，即可得答案．。
2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)
2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线方程为y=−√3x+2，则直线的倾斜角为()A. 2π3B. 3π4C. π4D. π32.一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n”，则算过关，则某人连过前三关的概率是()A. 100243B. 50243C. 49243D. 982433.若函数f(x)={−2x 2+ax−2,x≤1x−1,x>1的值域为R，则实数a的取值范围是()A. [−4,5]B. [−4,4]C. (−∞,−4]∪[5,+∞)D. (−∞,−4]∪[4,+∞)4.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()A. 只有一条B. 无数条C. 是平面α内的所有直线D. 不存在5.已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30～7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45～7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是()A. 12B. 16C. 19D. 1126.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为()A. 7，8B. 5，7C. 8，5D. 8，77.函数y=sin x(x∈R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C. 直线y=xD. 直线x=π2 8.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的值满足A. B. C.D.( )9.已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，则cos∠POQ =A. 3365B. −3365C. −3465D. 346510. 已知一个球的内接正方体的体积为8，则这个球的体积为( )A. 4√3πB. 4π3C. 2√6π3D. 12π11. 如图，已知圆C 的方程为x 2+y 2=1，P 是双曲线x 24−y 29=1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( )A. [0,32]B. [32,+∞)C. [1,32]D. [32,92]12. 已知函数f(x)=sinx +cosx ，则关于f(x)说法正确的是( )A. f(x)的最大值是2B. f(x)的最小正周期是πC. f(x)的最大值是√2D. (0,π2)是f(x)的一个单调递增区间二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x +4y −5=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．15. 已知a ⃗ =(2,3),b⃗ =(−4,0)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为______．16. 已知函数为常数)，且，则____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)求值：(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2；(2)求值：(lg5)2+lg2×lg50．18. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩(满分：100分)汇总，得到如图所示的频率分布表．(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；成绩分组 频数 频率 [50,60] 100 (60,70](70,80] 800 (80,90](90,100] 200(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．19. 如图，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东a 角的射线OZ 方向航行，其中tana =13，在距离港口O 为3√13a(a 为正常数)海里北偏东β角的A 处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=√13，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正东方向m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科学考察船，该船沿BA 方向不变追赶科学考察船，并在C 处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ 与海岸线OB 围成三角形OBC 的面积S 最小时，补给最合适．(1)求S 关于m 的函数关系式S(m)； (2)当m 为何值时，补给最合适？20. 如图，棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，C 1D 1的中点．(1)求证：AM//平面NED ；(2)求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．21. 已知f(x)=2sin(2x +π3)．(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x 值的集合． (2)求f(x)的单调递增区间．22. 已知点P 是圆x 2+y 2=2上的一个动点，过点P 且与x 轴垂直的直线交x 轴于点N ，动点M 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，记动点M 的轨迹为C ．(Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)若过点Q(1,0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求直线l 的方程．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵直线方程为y =−√3x +2，则直线的斜率为−√3， 故它的倾斜角为2π3， 故选：A ．由题意利用直线的方程求出它的斜率，可得它的倾斜角． 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．2.答案：A解析：解：(1)要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率=46=23；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件为不等式x +y ≤4的正整数解的个数，有C 42个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种， 过关的概率=1−66=56；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x +y +z ≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C 83=56=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=1−727=2027；∴连过三关的概率=23×56×2027=100243． 故选A ．分别求出第一、二、三关过关的概率，利用概率的乘法公式，可得结论．本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定基本事件的个数是关键．3.答案：D解析：解：当x >1时，f(x)=x −1>0， 函数f(x)={−2x 2+ax −2,x ≤1x −1,x >1的值域为R ，必须x ≤1时，f(x)=−2x 2+ax −2的最大值大于等于0， 二次函数的开口向下，对称轴为x =a4，当a4>1时，即a >4时，f(1)=−4+a ≥0，解得a ≥4； 当a4≤1时，即a ≤4时，f(a4)=−a 28+a 24−2≥0，解得a ≥4或a ≤−4，综上a ≤−4或a ≥4． 故选：D ．求出x >1时的最小值，与x ≤1时的最大值，列出不等式求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．4.答案：B解析：解：若直线a 与平面α不垂直，当直线a//平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a 是异面垂直直线； 当直线a ⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a 相交且垂直； 直线a 与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a 垂直． ∴若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线有无数条． 故选：B ．若直线a 与平面α不垂直，有三种情况：直线a//平面α，直线a ⊂平面α，直线a 与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a 垂直的直线的条数，能够得到结果．本题考查在平面α内与直线a 垂直的直线条数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．5.答案：D解析：解：由题意知本题是一个几何概型， 设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分， 则30≤x ≤60，45≤y ≤75，他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60． 则试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤5045≤y ≤50或{50≤x ≤5550≤y ≤55或{55≤x ≤6055≤y ≤60}，则他们能搭乘同一班公交车的概率是：p =5×5×330×30=112．故选：D ．由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分，则30≤x ≤60，45≤y ≤75，他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60.试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤5045≤y ≤50或{50≤x ≤5550≤y ≤55或{55≤x ≤6055≤y ≤60}，由此能求出结果． 本题考查几何概型，这类问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果，是中档题．6.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+y ，24，27， ∵甲组数据的中位数为17， ∴10+y =7，解得y =7． ∵乙组数据的平均数为17.4∴17.4=15(9+16+10+x +19+25)， 解得x =8． 故选：D ．利用中位数、平均数计算公式求解．本题考查中位数和平均数的求法及应用，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．7.答案：D解析：解：函数y =sin x (x ∈R) 其对称轴方程x =π2+kπ，k ∈Z ． 当k =0时，可得x =π2． 故选：D ．根据正弦函数的性质求解对称轴方程，即可得答案． 本题给出正弦型三角函数的图象即性质，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．解：输入x =0，y =1，n =1，故y =4x ， 故选D ．9.答案：B解析：本题考查平面向量的几何应用以及圆的方程，分别求出P ，Q 两点坐标，然后根据向量夹角公式求出结果，属于中档题．解：P 、Q 在单位圆O:x 2+y 2=1，分别位于第一象限和第四象限， P 的纵坐标为45，Q 的横坐标为513，∴P 的横坐标为：√1−(45)2=35，Q 的纵坐标为：−√1−(513)2=−1213，则P 点坐标为(35,45)，Q 点坐标为(513,−1213)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,45)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(513,−1213)， 则cos∠POQ =OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−33651=−3365故选B ．10.答案：A解析：本题考查球的体积的求法，考查球的内接正方体、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．先求出正方体的棱长a =√83=2，从而这个球的半径r =√22+22+222=√3，由此能求出这个球的体积．解：∵一个球的内接正方体的体积为8， ∴正方体的棱长a =√83=2， ∴这个球的半径r =√22+22+222=√3，∴这个球的体积为V =43×π×(√3)3=4√3π． 故选：A ．11.答案：B解析：解：设PA 与PB 的夹角为2α，α∈(0,π6]. 则|PA|=PB|=1tanα，∴y =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos2α=1tan 2α⋅cos2α =1+cos2α1−cos2α⋅cos2α．记cos2α=u ，u ∈[12,1)则y =u(1+u)1−u=−3+(1−u)+21−u≥2√2−3，当且仅当u =√2−1时取等号，但是√2−1∉[12,1), 由双勾函数的性质可知，x ∈[12,1)，函数的增函数， 可得y ≥32，此时P 在双曲线的顶点位置．u →1时，y →+∞．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为：[32,+∞)． 故选：B ．由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长；利用向量的数量积公式表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．本题考查双曲线的简单性质，考查了圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 故f(x)的最大值是√2，故A 错误，C 正确； f(x)的最小正周期是2π，故B 错误； 当x ∈(0,π4)时，函数为增函数，当x ∈(π4,π2)时，函数为减函数，故D 错误； 故选：C ．由f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，分析函数的最值，周期性和单调性，可得答案． 本题考查的知识点三角函数的最值，周期性和单调性，难度中档．13.答案：3解析：解：tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=2sin 2θ+2sinθcosθ2cos 2θ+2sinθcosθ=tan 2θ+tanθ1+tanθ=9+31+3=3．故答案为：3．利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 本题考查三角函数化简求值，考查计算能力．14.答案：2解析：圆x 2+y 2=4的圆心O(0,0)到直线3x +4y −5=0的距离d ==1，弦AB 的长|AB|=2=2．15.答案：−2√1313解析：解：∵a ⃗ =(2,3),b ⃗ =(−4,0)，∴b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为： |b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√13⋅4=−2√1313． 故答案为：−2√1313．b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为：|b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |． 本题考查向量的投影的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.答案：．解析：试题分析：因为， 所以． 考点：函数的奇偶性．点评：解本小题最简算途径是求出是定值，因而可由f(5)求出f(−5)． 17.答案：解：(1)(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2 =(94)12−1−(278)−23+(23)2 =32−1−(827)23+49=12−49+49=12(2)解：(lg5)2+lg2×lg50=(lg5)2+lg2×(lg5+1)=(lg5)2+lg2×lg5+lg2=(lg5+lg2)×lg5+lg2=1×lg5+lg2=1．解析：(1)本题中各数都是指数幂的形式，故可以用有理数指数幂的运算法则将(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2化简求值，变形方向是把底数变为幂的形式，用积的运算法则化简． (2)本题中各数都是对数的形式，利用对数的运算法则将(lg5)2+lg2×lg50化简求值即可，首先将50变为25×2．18.答案：解：(1)完成题目中的频率分布表，如下；成绩分组 频数 频率[50,60] 100 0.05(60,70] 600 0.30(70,80] 800 0.40(80,90] 300 0.15(90,100] 200 0.10补全题目中的频率分布直方图，如下；(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，他被抽中的概率为1502000=0.075．解析：(1)根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表， 计算频率组距，补全频率分布直方图即可；(2)用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为1502000．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目． 19.答案：解：以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ 的方程为y =3x①，(1)设A(x 0,y 0)，∵cosβ=2√13，sinβ=3√13，则x 0=3√13asinβ=9a ，y 0=3√13acosβ=6a ，∴A(9a,6a)．又B(m,0)，则直线AB 的方程为y =6a 9a−m (x −m) ②由①、②解得，C(2am m−7a ,6am m−7a )，∴S(m)=S △OBC =12|OB||y c |=12×m ×6am m −7a =3am 2m −7a (m >7a);(2)S(m)=3am2m−7a =3a[(m−7a)+49a2m−7a+14a]≥84a2,当且仅当m−7a=49a2m−7a，即m=14a>7a时，等号成立，故当m=14a海里时，补给最合适．解析：本题主要考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用．考查函数的建模思想和转化思想．先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，(1)先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案; (2)根据(1)中S(m)的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．20.答案：(1)证明：连结ME----------(1分)∵M、E分别是A1B1、D1C1中点∴A1D1//ME，A1D1=ME又∵A1D1//AD，A1D1=AD∴ME//AD，ME=AD故得平行四边形ADEM-----------------------(4分)∴AM//DE又∵DE⊂平面NEDAM⊄平面NED∴AM//平面NED-----------------------(6分)(2)解：取AB中点F，连结B1F，则B1F//AM∴AM与平面BCC1B1所成角即为B1F平面BCC1B1所成角．∵AB⊥平面BCC1B1∴∠FB1B是直线AM与平面BCC1B1所成角---------------------------------(9分)∵BF=12AB=12BB1∴tan∠FB1B=FBBB1=12故直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为12-------------------------(12分)解析：(1)连结ME，证明ADEM为平行四边形，从而得到AM//DE，即可证明AM//平面NED；(2)取AB 中点F ，连结B 1F ，则B 1F//AM ，AM 与平面BCC 1B 1所成角即为B 1F 平面BCC 1B 1所成角，即可求出直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．本题考查证明线面平行的方法，求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值，属于中档题． 21.答案：解：(1)f(x)max =2，当f(x)=2时，有sin(2x +π3)=1，∴2x +π3=2kπ+π2(k ∈Z)，解得x =kπ+π12，∴f(x)取最大值时x 值的集合为{x|x =kπ+π12,k ∈Z}．(2)由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2,k ∈Z ，解得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ．解析：本题考查三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．(1)由正弦函数的性质得出函数的最值，再整体代换解出x 的值，写成集合形式；(2)将2x +π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x 的范围写成区间形式． 22.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得(0,y 0 )=√2(x −x0，y)， ∴{x 0=x y 0=√2y，代入x 02+y 02=2，得x 2+2y 2=2． (Ⅱ)依题意可设直线l 方程为：x =my +1 ①，把①代入x 2+2y 2=2得：(m 2+2)y 2+2my −1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2∵AQ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴(1−x 1,−y 1)=3(x 2−1,y 2)，⇒{y 1=−3y 2x 1+3x 2=4⇒{y 1=−3m m 2+2y 2=m m 2+2代入y 1y 2=−1m 2+2可得m =±1． ∴直线l 的方程为y =±x +1．解析：(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，由足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得到代入 x 02+y 02=2， (Ⅱ)直线l 与曲线G 联立方程可得x 1，x 2，结合AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可求得斜率k ，即可得直线l 的方程．本题考查定点轨迹方程的求法，考查向量的应用，属于中档题，。
河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期末考试+数学(文)答案
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河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {1,2}2. 函数f (x )=e x +x −2的零点所在的一个区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =log 12x B. y =2−|x | C. y =x 2−1 D. y =x −14. 已知直线x +a 2y +6=0与直线(a −2)x +3ay +2a =0平行，则a 的值为( )A. 0或3或−1B. 0或3C. 3或−1D. 0或−15. 已知a =0.65.1，b =5.10.6，c =log 0.65.1，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b6. 已知四面体ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，球O 的半径为2，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB =√2，则四面体ABCD 体积的最大值为( )A. 7√26B. 73C. 2√2D. 27. 给出函数f(x)={(12)x ,(x ≥4)f(x +1),(x <4)，则f(log 23)等于( )A. 124B. 111C. −238D. 1198. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若n//m ，n ⊥α，则m ⊥αC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m//α，n ⊥β，m//n ，则α//β9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n ，则{a n }的通项公式是( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n −1D. a n =2n−1+110. 若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x +y 0y =4与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离11.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 253π B. 252π C. 833π D. 832π12.若圆x2+y2−6x−4y−5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax+by−a=0的距离为2√2，则直线ℓ倾斜角的取值范围是：()A. [π12,π4] B. [π12,5π12] C. [π6,π3] D. [0,π2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x3−y2=1在y轴上的截距是___________．14.若函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞,1]上为增函数，则实数a的取值范围____．15.圆C：(x−1)2+y 2=1关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有__________条．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？18.已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素)．(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)？19.在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=√10，PD=3，PD⊥CD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD；(2)求二面角C−PE−D的正切值．20.已知定义在R上的函数f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数．(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不用给证明)；(2)t为实数，且f(x−t)+f(x2−t2)≥0对一切实数x都成立，求t的值．21.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点(1)证明：AC//平面DMN；(2)若DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，求三棱锥B−ACE的体积．22.已知动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1．2(I)求动点P的轨迹方程；(II)若点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(−4,2)，是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的并集运算，比较基础．根据交集的定义求解即可．解：集合A={1,2,3}，B={1,3,4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选A．2.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．3.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性及单调区间，属于基础题．利用偶函数的定义，再利用函数的单调性得结论．解：A.函数y=log12x的定义域(0,+∞)不关于原点对称，故函数y=log12x为非奇非偶函数；B.函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，函数y=2−x在(0,+∞)单调递减；C.函数y=x2−1为偶函数，在(0,+∞)单调递增；D.函数y=x−1为奇函数，在(0,+∞)单调递减．综上所述，只有B符合题意．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查了两直线平行充要条件的应用，属于基础题.解决此题的关键是根据两直线平行的条件建立关于a的方程求解，注意排除重合的情况．解：∵直线x+a2y+6=0与直线(a−2)x+3ay+2a=0平行，∴1×3a−a2(a−2)=0，即a(a2−2a−3)=0，解得a=0或a=−1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D．5.答案：B解析：解：∵a=0.65.1∈(0,1)，b=5.10.6>1，c=log0.65.1<0，∴c<a<b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，∴a2+b2=14，∴14≥2ab，∴ab≤7∴四面体ABCD体积V=√23×12ab≤7√26，∴四面体ABCD体积的最大值为7√26，故选：A．设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．推导出f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3=(12) log23+3，由此能求出结果．解：∵函数f(x)={(12)x (x ≥4)f(x +1)(x <4)∴f(log 23)=f(log 23+1)=f(log 23+2)=f(log 23+3)=(12)log 23+3=13×18=124．故选A ．8.答案：B解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中的位置关系，熟练掌握空间中线面关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案． 解：对于A ，m//α，n//α，m ，n 有异面和相交的可能，A 错误，对于B ，根据定理可知，两平行直线中的一条与一平面垂直，另一条也与该平面垂直，B 正确， 对于C ，m//α，n//β，m ⊥n ，两平面有平行的可能，C 错误， 对于Ｄ，m//α，n ⊥β，m//n ，两平面有相交的可能，Ｄ错误， 故选Ｂ，9.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式的求解． 解：因为a n+1=2a n ，所以a n+1a n=2，所以{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−1．故选A ．10.答案：D解析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为P 为圆内一点，所以P 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离． 解：圆心到直线的距离d =√x 0+y 0，由于点P(x 0,y 0)在圆内，所以x 02+y 02<4，所以d =√x 0+y>√4=2，即圆心到直线的距离大于半径，故直线与圆相离． 故选D ．11.答案：D解析：解：∵AB =BC =√15，AC =6， ∴cosC =√15，∴sinC =√6√15， ∴△ABC 的外接圆的半径=√152⋅√6√15=5√64，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为d ，则R 2=d 2+(5√64)2=(2−d)2+(5√64)2， ∴该三棱锥的外接球半径为R 2=838，表面积为：4πR 2=4π×838=832π，故选：D ．根据已知条件得出△ABC 的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．12.答案：B解析：解：圆x 2+y 2−6x −4y −5=0的圆心C(3,2)，r =12√36+16+20=3√2，∵圆x 2+y 2−6x −4y −5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax +by −a =0的距离为2√2， ∴圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于等于√2， 即d =|3a+2b−a|√a 2+b 2≤√2，b =0时，不符合，∴b ≠0， ∴d =√a 2+b 2=|2ab +2√a 2b2+1|≤√2，∴(ab )2+4⋅ab +1≤0.∴−2−√3≤ab ≤−2+√3.即2−√3≤k ≤2+√3，∴倾斜角的范围为[π12,5π12]. 故选：B ．由题意得到圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于√2，由此能求出倾斜角的范围． 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.答案：−2解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． 解：直线x3−y2=1，令x =0，解得y =−2， ∴在y 轴上的截距是−2， 故答案为−2．14.答案：[1,2)解析：本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．令u =x 2−2ax +3，则由题意可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3≥0，解得a 的范围． 解：令u =x 2−2ax +3，则y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减． 由f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞,1]上 为增函数，可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0， 可得{a ≥11−2a +3>0，解得1≤a <2，故答案为[1,2)．15.答案：(x +1)2+y 2=1解析：解：∵圆 C ：(x −1)2+y 2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1， ∴已知圆关于直线l ：x =0对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，因此，所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1．故答案为(x+1)2+y2=1：.求出圆C:(x−1)2+y2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．本题给出圆C：(x−1)2+y2=1，求它关于定直线对称的圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16.答案：8解析：此题考查异面直线所成的角，利用异面直线所成角的概念，通过找平行线求解．解：在正方体中，与A1B所成角为45°的面对角线有A1B1，AB，C1D1，CD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故答案为8．17.答案：解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知BCsin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=sin(120°−θ)sin60°=cosθ+√33sinθ，…(4分)在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos(60°+θ)，…(8分)AD2=12+(cosθ+√33sinθ)2−2×1×(cosθ+√33sinθ)(12cosθ−√32sinθ)=1+43sin2θ+4√3 3sinθcosθ=53+43sin(2θ−30°)…(14分)当2θ−30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…(16分)解析：首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．18.答案：解：(1)y=200(1+1%)x．(2)令y=210，即200(1+1%)x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．解析：(1)利用指数型增长模型得出函数关系式；(2)令y=210，计算x即可．本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．19.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E为AB的中点，∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，且DE∩PD=D，DE⊂平面PDE，PD⊂平面PDE，∴CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴PE⊥CD．解：(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∴∠CHD是二面角C−PE−D的平面角．由PE⊥CD，AB//CD，可得PE⊥AB，∵E为AB中点，PA=√10，∴PE=3．又PD=3，DE=√3，在△PDE中，由余弦定理得cos∠DEP=√36，∴sin∠DEP=√336，∴DH=DE⋅sin∠PED=√3×√336=√112．在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=CDDH =4√1111．所以，二面角C−PE−D的正切值为4√1111．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出DE⊥CD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PDE，由此能求出PE⊥CD；(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH.由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∠CHD是二面角C−PE−D 的平面角，由此能求出二面角C−PE−D的正切值．20.答案：解：(1)∵f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数，∴f(0)=0，则1−a=0，解得a=1，即f(x)=2x−2−x=2x−(12)x，∵函数y=2x、y=−(12)x在定义域上是增函数，∴f(x)=2x−(12)x在R上单调递增；(2))∵f(x)是奇函数，且在R上是增函数，∴f(x−t)+f(x2−t2)≥0化为：f(x2−t2)≥−f(x−t)=f(−x+t)，∴x2−t2≥−x+t，则x2+x−t2−t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12−4×1×(−t2−t)≤0，则(2t+1)2≤0，解得t=−12，∴t的值是−12．解析：(1)根据奇函数的性质：f(0)=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f(x)的单调性；(2)由奇函数f(x)的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：证明：(1)∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点，∴MN//A1C1//AC，∵AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴AC//平面DMN．解：(2)∵DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，∴E到平面ABC的距离为d=12AA1=2，S△ABC=12×6×6×sin120°=9√3，∴三棱锥B−ACE的体积：V B−ACE=V E−ABC=13×S△ABC×d=13×9√3×2=6√3．解析：(1)推导出MN//A1C1//AC，由此能证明AC//平面DMN．(2)三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V E−ABC，由此能求出三棱锥B−ACE的体积．本题考查线面平行的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(I)设P(x,y)，则∵动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1，2∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x+4)2+(y−2)2=36，∴3x2+3y2+16x−12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x−3y+11=0，>2，圆心到直线4x−3y+11=0的距离d=115∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．解析：(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x−12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．。
【优质文档】2019-2020学年人教A版河南省洛阳市高一第一学期期末数学试卷含解析
参考答案
一、选择题
1．已知集合 A＝{ ﹣ 1， 0， 1， 2} ， B＝ { x|1 ≤ 2x＜ 4} ，则 A∩ B等于（
）
A． {0 ，1}
B． {1 ，2}
C． { ﹣ 1， 0， 1}
D．{0 ， 1， 2}
解：∵集合 A＝ { ﹣ 1， 0， 1， 2} ， B＝ { x|1 ≤ 2x＜ 4} ＝ { x|0 ≤x＜ 2} ，
C．若 m⊥n，则α∥β
D．若 m∥ n，则α∥β
9．已知光线每通过一块特制玻璃板，强度要减弱
20%，要使通过玻璃板的光线强度减弱到
原来的 以下，则至少需要重叠玻璃板块数为（参考数据：
lg 2≈ 0.3010 ）（
）
A． 4
B． 5
C． 6
D．7
10．已知圆的方程为（ x﹣ 1） 2+（ y﹣ 1） 2＝ 9，过该圆内一点 P（ 3，3）的最长弦和最短弦
22．在平面直角坐标系中， 已知 A（﹣ 1，0），B（ 1，0），动点 C（ x，y）满足 | CA| ＝ 3| CB| ． （ 1）若 y≠ 0，求△ ABC面积的最大值； （ 2）已知 D（ 1， 2），是否存在点 C，使得 | CA| 2+| CD| 2＝ 12？若存在，求点 C的个数； 若不存在，说明理由．
（ 1）证明： AC⊥ BD； （ 2）若 E 是 BD的中点，求二面角 B﹣ AC﹣ E 的大小．
20．已知函数
是定义在 R 上的奇函数．
（ 1）求函数 f （ x）的解析式，判断并证明函数 y＝ f （ x）的单调性； （ 2）若存在实数 t ∈ [1 ，4] ，使 f （ t 2+2t +k） +f （﹣ 2t 2+2t ﹣5）＞ 0 成立，求实数 k 的 取值范围． 21．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 中， E， F 分别是棱 DD1， C1D1 的中点． （ 1）证明： B1F∥平面 A1BE； （ 2）求三棱锥 F﹣ A1BE的体积．
2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学(理)试题及答案
2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学（理）试题及答案一、单选题1．直线310x +=的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A ．710B ．15C ．2πD ．3103．已知函数()ln f x x =+()f x 的定义域为（）A ．(0,1)B ．(1,2]C ．(0,4]D ．(0,2]4．已知直线,a b 与平面,,αβγ，下列条件中能推出//αβ的是（）A ．,a a αβ⊥⊥且B ．,αγβγ⊥⊥且C ．,,//a b a bαβ⊂⊂D ．,,//,//a b a b ααββ⊂⊂5．在区间[]1,1-上随机地取一个数x .则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（）.A ．23B ．2πC ．12D ．136．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A ．x x <甲乙，22S S >甲乙B ．x x >甲乙，22S S <甲乙C ．x x <甲乙，22S S <甲乙D ．x x >甲乙，22S S >甲乙7．已知sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b c a<<8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（）（参考数据：001.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A ．48B ．36C ．24D ．129．已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．10．已知体积为的三棱锥O ABC -的顶点A ，B ，C 都在球O 的表面上，且6AB =，BC =，AC =O 的表面积是（）A ．16πB ．32πC ．64πD ．72π11．若向量,,a b c 的模均为1，且0a b ⋅=，则342a b c +- 的最大值为（）A ．5+B ．3C ．5D ．712．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，max ()3f x ω=时，则ω的值最多有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．已知31cos 23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则tan α=_________．14390y -+=被圆222(2)(3)x y r -+-=，则r =__________．15．已知||1,||0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则mn等于．16．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________．三、解答题17．（1）已知2lg(2)lg lg x y x y -=+，求xy的值．（2）设1x 满足2ln 3x x +=，2x 满足ln(1)21x x --=求12x x +的值．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．19．已知123PP P 三个顶点的坐标分别为123(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )P P P ααββγγ，且1230OP OP OP ++=（O 为坐标原点）．（1）求12POP ∠的大小；（2）试判断123PP P 的形状．20．已知矩形ABCD 中，22AD AB ==，E ，F 分別为AD ，BC 的中点，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使二面角D EF B '--为60°．（1）求证EF AD '⊥；（2）求AC '与平面EFC D ''所成角的正弦值．21．已知函数()sin()0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移3π个单位长度．得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间；（2）当,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数22123y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域．22．已知动点M 到两定点11A (，)，()2,2B．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线:260l x y +-=夹角为30°的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值和最小值．数学（理）试题参考答案1-10.BDCAD .AACBC 11-12.DC 13.24-;14.2;15.3;16.[2,)+∞17.解：（1）由2lg(2)lg lg x y x y -=+得2lg(2)lg()x y xy -=，∴2(2)x y xy-=∴22540x xy y -+=，∴()(4)0x y x y --=，即1xy=或4．又0,0,20x y x y >>->，∴1x y =舍去，故4xy=．（2）由题意得()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，()()22ln 1213x x -+-=，令21x t -=，则2ln 3t t +=．∵()2ln f x x x =+在(0,)+∞单调递增，∴1t x =，∴121x x =+．18.解：⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示，分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示，则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==．19.解：（1）题意知1231OP OP OP ===∵123OP OP OP +=- ，∴()22123OP OP OP += ∴222121232OP OP OP OP OP +⋅+= ∴1221OP OP ⋅=- ，即1212OP OP ⋅=- ，∴1212121cos 2OP OP POP OP OP ⋅∠==-⋅ ，∴[]120,POP π∠∈，∴1223POP π∠=．（2）∵1221PP OP OP =-，∴12||PP ===同理：1323||||PP P P ==∴123PP P 是等边三角形．20.解：（1）∵ABCD 是矩形，且E ，F 分别为,AD BC 的中点，∴,EF AE EF D E '⊥⊥，又∵AE D E E '= ，∴EF ⊥平面AD E '，∵AD '⊂平面AD E '，∴EF AD '⊥．（2）取D E '的中点H ，连接,AH HC '由EF ⊥平面AD E '可知,AE EF D E EF '⊥⊥，∴D EA '∠为二面角D EF B '--的平面角．∴60D EA '∠=︒．∵1AE D E '==，∴AD E ' 为等边三角形，∴AH D E'⊥由（1）知平面EFC D ''⊥平面AD E '，且平面EFC D '' 平面AD E ED ''=，∴AH ⊥平面EFC D ''，∴AC H '∠为AC '与平面EFC D ''所成的角．在Rt AC H ' 中，3,22AH AC '==，∴362sin 42AH AC H AC '∠=='，即AC '与平面EFC D ''所成角的正弦值为64．21.解：（1）由图得31134632T πππ=-=，∴2T π=，∴21T πω==．由1106f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得11sin 06A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴112()6k k πϕπ+=∈Z ，∴112()6k k πϕπ=-∈Z ，∵02πϕ<<，∴6π=ϕ．由(0)2f =得sin 26A π=，∴4A =．∴()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴5()4sin 24sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．令5222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ．解得2()36k x k k ππππ-≤≤-∈Z ．∴()g x 的单调递增区间为2,()36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）224sin 2212342y f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4sin 2cos cos2sin44x x xππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22x x=-4sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,4412x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴sin 21,42x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴[4,y ∈-，即y 的值域为[4,-．22.解：（1）设(,)M x y=，化简得22222(1)2(1)(2)(2)x y x y -+-=-+-，∴224x y +=．即动点M 的轨迹C 的方程为224x y +=．（2）记圆C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，因为直线PQ 与直线l 夹角为30°，所以||2PQ d =．∵圆心()0,0C 到直线l5=，且圆C 的半径为2，∴max 6525d =+，min 6525d =-，∴max ||45PQ =+，min ||45PQ =-．。
2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若关于x 的不等式|x −1|+|x +m|>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−4)∪(2,+∞)B. (−∞,−4)∪(1,+∞)C. (−4,2)D. [−4,1]2.为了得到函数y =cos(3x −π4)的图象，只需把函数y =cos3x 的图象上所有点( )A. 向左平移π4个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位3.如果直线与直线(互相垂直，则( )A. B. C.，D.，，4.过点(−2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条5.将参加数学夏令营的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，求得间隔数k =100050=20，即每20人抽取一个人．在0001到0020中随机抽得的号码为0015，从0601到0785被抽中的人数为( )A. 8B. 9C. 10D. 116.已知平面向量a ⃗ =(2cos 2x,sin 2x)，b ⃗ =(cos 2x,−2sin 2x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，要得到y =√3sin2x +cos2x 的图象，只需要将函数y =f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位7.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. 12πB. 4πC. 3π8. 某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为( )A. 127B. 19C. 18D. 1369.设函数y =f(x)(x ∈R)的图象关于直线x =0及直线x =1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则f(−32)=( )A. 12B. 14C. 34D. 9410. 已知函数f(x)=cos(π6−2x)，把y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(π3)=√32B. g(x)的图象关于直线x =π2对称 C. g(x)的一个零点为(π2,0)D. g(x)的一个单调减区间为[−π12,5π12]11. 体积为2√153的三棱锥A −BCD 中，BC =AC =BD =AD =3，CD =2√5，AB <2√2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 20πB.613πC. 6112πD. 4912π12. 函数f(x)={e x +ax+ax+1,x >−1x 2+4x +3,x ≤−1，则关于x 的方程f[f(x)]=0的实数解最多有( )A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 15.已知直线过点且与圆相切，则该直线在轴正半轴上的截距等于___ ▲____；14. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则AD 1与B 1C 所成角的大小为______ ．15. 已知矩形ABCD ，AB =2，BC =1，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤ax 2+x −2,x >a 恰有一个零点，则a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知，，其中(1)求证：与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．18. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，ED ⊥平面ABCD ，EF//DB ，M 是线段AE 的中点，DE =EF =12BD =2．(1)证明：DM//平面CEF ； (2)求多面体ABCDEF 的表面积．19. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道．某小区有1200户家庭，全部居民在小区的8栋楼内，各家庭在过年时各自包有肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子三种味道的饺子(假设每个家庭包有且只包有这三种味道中的一种味道的饺子)． (1)现根据饺子的不同味道用分层抽样的方法从该小区随机抽样抽取n 户家庭，其中有10户家庭包的是素馅饺子，在抽取家庭中包肉馅饺子和蛋馅饺子的家庭分布在8栋楼内的住户数记录为如图1所示的茎叶图，已知肉馅饺子数的中位数为10，蛋馅饺子数的平均数为5，求该小区包肉馅饺子的户数；(2)现从包肉馅饺子的y 2=4x 家庭中随机抽取100个家庭调查包饺子的用肉量(单位：kg)得到了如图2所示的频率分布直方图，若用肉量在第1小组[1.0,1.4)内的户数为x +y(x,y 为茎叶图中的x ，y)，试估计该小区过年时各户用于包饺子的平均用肉量(各小组数据以组中值为代表)．20.(本题满分12分)已知向量，设函数(Ⅰ)求函数的解析式和单调增区间；(Ⅱ)若，求的值．21. 已知椭圆:的一个焦点为且过点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．22. 已知函数f(x)=2acosx−sin2x，当x∈[−π6,2π3]时，求函数y=f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由于|x −1|+|x +m|表示数轴上的x 对应点到1和−m 的距离之和， 它的最小值等于|1+m|， 由题意可得|1+m|>3， 解得m >2，或 m <−4， 故选：A ．由绝对值的意义可得|x −1|+|x +m|的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，由此解得实数m 的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到|1+m|>3，是解题的关键，属于中档题．2.答案：D解析：解：把函数y =cos3x 的图象上所有点向右平移π12个单位，得到y =cos(3x −π4)的图象， 故选：D ．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：由于直线与直线互相垂直，则有，解得，故选C ．考点：两直线的位置关系4.答案：B解析：解：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y =−2x ，即2x +y =0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x −y =a ，将A(−2,4)代入得，a =−6， ∴此时所求的直线方程为x −y +6=0； 共有2条， 故选：B ．可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．5.答案：B解析：本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题．根据系统抽样的定义进行求解即可．解：由题意样本间隔为20，第一组抽到的号码为15，则第n组抽到的号码为15+20(n−1)=20n−5，由601≤20n−5≤785，得60620≤n≤79020，n为正整数．即31≤n≤39，共有39−31+1=9人，故选：B．6.答案：B解析：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =2cos2x⋅cos2x−2sin2x⋅sin2x=2(cos2x+sin2x)⋅(cos2x−sin2x)=2cos2x=2sin(2x+π2)=2sin2(x+π4)，∴要得到y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)=2sin2(x+π12)的图象，只需要将函数y=f(x)=2sin(2x+π2)的图象向右平移π4−π12=π6个单位即可，故选B．7.答案：C解析：解：由三视图可知该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的几何体．设该三棱锥的外接球半径为R，∴2R=√12+12+12=√3，∴R=√32．∴外接球的表面积为S=4πR2=3π．故选：C．该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的，故正方体的体对角线等于外接球的直径．本题考查了常见几何体与外接球的关系，根据三视图得出三棱锥与正方体的关系是关键．8.答案：A解析：解：由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，故都是三班得冠军的概率为13×13×13=127，故选：A．由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，根据概率的乘法公式即可得到都是三班得冠军的概率．本题考查了概率的乘法公式，属于基础题．9.答案：B解析：解析：∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0对称，∴f(−x)=f(x)；∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，∴f(1−x)=f(1+x)；∴f(−32)=f(32)=f(1+12)=f(1−12)=f(12)=(12)2=14．选B．由于函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，可得出f(−x)=f(x)和f(1−x)= f(1+x)，结合函数在[0,1]上的解析式即可求得f(−32)的值．本题考查利用函数的图象的对称性求值的问题，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．10.答案：D解析：解：函数f(x)=cos(π6−2x)=cos(2x−π6)，把y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，得到：g(x)=cos(2x+π3−π6)=cos(2x+π6)，故：①g(π3)=cos5π6=−√32，②当x=π2时，g(π2)=cos7π6=−√32≠±1，③当x=π3时，g(π3)=cos5π6=−√32≠0，故：A、B、C错误．故选：D．首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数和余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，所以V A−BCD=13AB⋅S CDE=13⋅AB⋅12CD⋅EP=16⋅AB⋅2√5⋅√DE2−(DC2)2=√5 3⋅AB⋅√AD2−(AB2)2−5=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为V A−BCD=2√153，所以2√153=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为AB<2√2，所以解得AB=2；AE=1，DE=CE=√AC2−(AB2)2=√32−1=2√2，所以sin∠ACE=AEAC =13，所以sin∠ACB=2sin∠ACE⋅cos∠ACE=2⋅13⋅2√23=4√29，由题意可得D在底面的投影在中线CE所在的直线上，设为F，设DF=ℎ，设底面ABC的外接圆的半径为r，设圆心为O′，2r=ABsic∠ACB=4√29，所以r=9√28，O′E=CE−r=2√2−9√28=7√28，V A−BCD=2√153=13S ABC⋅ℎ=13⋅12AC2⋅sin∠ACB⋅ℎ=16⋅9⋅2√2⋅ℎ，解得ℎ=√302，所以EF=√DE2−DF2=√8−304=√22，所以O′F=EF+O′E=√22+7√28=11√28，过O′作OO′⊥面ABC的垂线，作OH⊥DF于H，则四边形HFO′O为矩形，设外接球的半径为R，取OA=OB=OD=R，在三角形OHD中，OD2=OH2+(DF−FH)2，即R2=O′F2+(√302−OO′)2=(11√28)2+(√302−OO′)2，①在三角形OO′中，OC2=CO′2+OO′2=r2+OO′2即R2=(9√28)2+OO′2，②，由①②可得R2=6112，所以外接球的表面积S=4πR2=4π⋅6112=613π，故选：B．由题意取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，再由体积可得AB的值，进而求出底面外接圆的半径，及D到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题12.答案：D解析：解：当x>−1时，f′(x)=xe x(x+1)2，∴f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．∴当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=1+a．当x≤−1时，由二次函数性质可知f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,−1]上单调递增，∴当x=−2时，f(x)取得极小值f(−2)=−1．不妨设1+a<0，则f(x)=0有4个解，不妨设从小到大依次为t1，t2，t3，t4，则t1=−3，t2=−1，−1<t3<0，t4>0．再令1+a<−3，作出f(x)的函数图象如图所示：∵f[f(x)]=0，∴f(x)=t i，(i=1,2，3，4)．由图象可知f(x)=−3由2解，f(x)=−1有3解，f(x)=t3有4解，f(x)=t4有3解，∴f(f(x))=0最多有12解．故选：D．判断f(x)的单调性，作出f(x)的大致函数图象，求出f(t)=0的解，再根据f(x)的图象得出f(x)=t 的解得个数即可得出结论．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判定与函数极值的计算，属于中档题．13.答案：解析：14.答案：90°解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AD1//BC1，∴AD1与B1C所成角的大小为BC1与B1C所成角的大小，∵BCC1B1是正方形，∴BC1与B1C所成角的大小是90°，∴AD1与B1C所成角的大小为90°．故答案为：90°．利用正方形的性质求解．本题考查异面直线所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，是基础题．15.答案：4解析：解：矩形ABCD ，AB =2，BC =1，∴CD =AB =2，∴DB =√BC 2+CD 2=√5，∴cos∠CDB =2√5，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠CDB =√5×2×√5=4，故答案为：4 根据矩形的性质和向量的数量积公式即可求出．本题主要考查矩形的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．16.答案：[−2,0)∪[1，+∞)解析：解：由e x −1=0，可得x =0，由x 2+x −2=0，可得x =−2或1，可得a =0或0<a <1时，f(x)有两个零点0，1；若a <−2时，f(x)有两个零点−2，1；若f(x)的零点只有一个零点0，可得a ≥1；若f(x)的零点只有一个零点1，得a <0，且−2≤a <1；可得−2≤a <0或a ≥1，故答案为：[−2,0)∪[1，+∞)．求得f(x)的零点，讨论a =0，a >0，a <0，结合恰有一个零点，可得a 的范围．本题考查分段函数的零点个数，考查分类讨论思想，以及方程思想，属于基础题．17.答案：(1)。
洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷(文)
洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷（文）一、选择题1. y=tan2x的最小正周期是（）A.3πB.2πC.π2D.π2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进入决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A.3 10B.25C.710D.153. 已知函数f(x)=ln x+√16−2x，则f(x)的定义域为（）A.(0,2]B.(0,4]C.(0,1)D.(1,2]4. 已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α // β的是（）A.α⊥γ，且β⊥γB.a⊥α，且a⊥βC.a⊂α，b⊂α，a // β，b // βD.a⊂α，b⊂β，a // b5. 在区间[−1,1]上随机地取一个数x，则cosπx2的值介于0到12之间的概率为（）A.1 3B.12C.23D.2π6. 某高中一年级两个数学兴趣小组举行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A.x¯甲>x¯乙,S甲2>S乙2B.x¯甲<x¯乙,S甲2<S乙2C.x¯甲<x¯乙,S甲2>S乙2D.x¯甲>x¯乙,S甲2<S乙27. 已知a=sin33∘,b=cos55∘,c=tan35∘，则a，b，c的大小关系是（）A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b8. 已知a→,b→是不共线的非零向量AB→=a→+2b→,BC→=3a→−b→,CD→=2a→−3b→．则四边形ABCD是（）A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四边形9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：√3≈1.732,sin15∘≈0.2588，sin75∘≈0.1305）（）A.48B.36C.12D.2410. 已知的△OMN三个顶点为O(0,0),M(6,0),N(8,4)过点(3,5)作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A.40√6B.30√6C.10√6D.20√611. 已知体积为4√3的三棱锥O−ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB=6,BC=2√3,AC=4√3，则球O的表面积是（）A.72πB.64πC.16πD.32π12. 已知四边形ABCD中，AC⊥BD,AB=BC=BD2=2,AC=CD=2√3，点E在四边形ABCD上运动．则EB→⋅ED→的最小值是（）A.−4B.−3C.3D.−1二．填空题已知cos θ=45，且θ∈(−π2,0)，则tan (π4+θ)=________．函数y =log a (2x −3)+4(a >0，且a ≠1）的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图像上，则f (3)=_________．若直线√3x −3y +9=0被圆(x −2)2+(y −3)2=r 2截得的弦长为√3r ，则r =________．已知f(x)＝e x−1+e1−x+2a 只有一个零点，则a ＝________．三、解答题已知平面向量a →=(1, x)，b →=(2x +3, −x)(x ∈N)． (1)若 a →与 b →垂直，求x ；(2)若a → //b →，求|a →−b →|．已知某校高一（1）班数学老师根据本班50名同学的月考数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；(2)用分层抽样方法从成绩低于115分的同学中抽取6名作问卷调查，再在抽取的这6名同学中任选2名谈话，求这两名同学数学成绩均在[105,115)中的概率．已知函数f (x )=log 2(2x +1)+kx (k ∈R )． (1)若k =0，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )为偶函数，求k 的值．已知矩形ABCD 中，AD =2AB =2，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使二面角D ′−EF −B 为60∘．(1)求证EF ⊥AD ′；(2)求四棱锥A −EFC ′D ′的体积．已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)将函数y =f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移π3个单位长度．得到函数y =g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[−π2,π12]时，求函数y =f (2x +π12)−√2f (2x +π3)的值域．已知动点M 到两定点A (1,1),B (2,2)的距离之比为√2．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线l:2x +y −6=0夹角为30∘的直线，交l 于点Q ，求|PQ|的最大值和最小值．参考答案与试题解析洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷（文）一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评2.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评3.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评4.【答案】此题暂无答案【考点】平面与平三平行腔判定平面与平较平夏的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．5.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评6.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评7.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理三使函以线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评8.【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用向量水较线定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评9.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理数三的最用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评10.【答案】此题暂无答案【考点】圆的明合钙用直线和圆体方硫的应用圆的射纳方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评11.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评12.【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评二．填空题【答案】此题暂无答案【考点】两角和常差铝正切同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查函数的零点、基本不等式的性质，理解函数的零点与方程的根之间的联系是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了平面向量垂直与平行的应用问题，是基础题．【答案】此题暂无答案【考点】归都读理基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换正弦函射的单调长正较夏造纵定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】圆锥曲三的综合度题直线常椭圆至合业侧值问题轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评。
2019-2020学年河南省洛阳一高高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河南省洛阳一高高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞02．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或34．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝05．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．136．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为．16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：120．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞0【分析】根据条件取特殊值，即可排除错误选项．解：根据非零实数a，b满足a＜b，取a＝﹣1，b＝1，则可排除A；取a＝，b＝，可排除B；取a＝﹣2，b＝﹣1，可排除D．故选：C．2．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sin|x|，有f（﹣x）＝sin|﹣x|＝sin|x|＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于B，y＝cos2x，有f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于C，y＝x3，为幂函数，是奇函数但不是周期函数，不符合题意；对于D，y＝cos（+x）＝﹣sin x，既是奇函数，又是周期函数，符合题意；故选：D．3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或3【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得a（a+2）＝3，解可得a的值，据此分别验证两直线是否平行即可得答案．解：根据题意，已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则有a（a+2）＝3，即a2+2a﹣3＝0．解可得：a＝1或﹣3；当a＝1时，直线l1：3x+3y＝3，即x+y＝1，直线l2：x+y＝1，两直线重合，当x＝﹣3时，直线l1：﹣x+3y＝11，直线l2：x﹣3y＝1，两直线平行，故a＝﹣3；故选：A．4．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0【分析】根据题意，分直线l是否经过原点分2种情况讨论，分别求出直线l的方程，综合即可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①，直线l过原点，又由直线经过点（1，2），此时直线l的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；②，直线l不过原点，设其方程为+＝1，又由直线经过点（1，2），则有+＝1，解可得a＝2，此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0，故直线l的方程为2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0，故选：D．5．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．13【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解：样本间隔为60÷4＝15，则2+15＝17，即另外一个学生的编号为17，故选：C．6．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±【分析】由已知分别求得cosα，sinβ的值，再求出α﹣β的范围及sin（α﹣β）的值，则答案可求．解：由，sinα＝，得cosα＝；由β∈（0，π），cosβ＝，得sinβ＝．且α﹣β∈（﹣π，），而sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝．∴α﹣β＝．故选：C．7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由棱台体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．∴该几何体的体积V＝．故选：B．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，从而落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，由此利用列举法能求出点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率．解：从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，所以落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，所以满足条件的事件有（﹣1，﹣2），（2，4），（3，6），（2，6），（3，7），共5个，所以点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为p＝．故选：D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，排除BD，由，排除C．解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除B，D；又，故选：A．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值，得出结论．解：将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+）的图象；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝sin（x+）的图象．在区间[﹣，]上，+∈[，]，故当+＝时，g（x）取得最小值为，故选：A．11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π【分析】由已知将三棱锥P﹣ABC的外接球，转化为长2，宽2，高2的长方体的外接球，求出半径，可得答案．解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，故棱锥的底面面积为2，由PA⊥平面ABC，且三棱锥P﹣ABC的体积为，故棱锥的高为2，三棱锥P﹣ABC的外接球，相当于长2，宽2，高2的长方体的外接球，故球半径R＝[]＝，故球的体积V＝π，故选：A．12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解2a+2b+2c 的取值范围．解：画出函数f（x）＝的图象如图：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），当图中红线，对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：0+2+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝﹣．【分析】根据题意，由直线的斜率公式可得tanα＝＝﹣，分析可得cosα＜0，由同角三角函数的基本关系式分析可得答案．解：根据题意，直线l的倾斜角为α，其斜率为﹣，则有tanα＝＝﹣，则＜α＜π，必有cosα＜0，又由sin2α+cos2α＝1，解可得：cosα＝﹣；故答案为：﹣14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是60°．【分析】先作出异面直线EF与A1C1所成角，再在正△BA1C1中即可得解．【解答】解：连接A1B，则A1B∥EF，则∠BA1C1为异面直线EF与A1C1所成角，在正△BA1C1中，∠BA1C1＝60°，故答案为：60°．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为﹣．【分析】建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为（0，b），求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案．解：建立如图所示的坐标系，＝＝1，则AO＝1，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝，故A（﹣1，0），B（0，﹣），设P点坐标为（0，b），b∈[﹣，0]，则＝（1，b），＝（0，b+）＝，当b＝﹣时，取最小值﹣，故答案为：﹣16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为8．【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：因为f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（x）是R上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x2，x∈[0，1]时，f（x）＝x2，x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝﹣（x+2）2，x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）2，∴f（0）＝0，则f（﹣2）＝﹣f（0）＝0，f（2）＝0由h（x）＝（x﹣2）f（x）+1＝0得（x﹣2）f（x）＝﹣1，当x＝2时，（x﹣2）f（x）＝﹣1，不成立，即x≠2，则f（x）＝﹣，作出函数y＝f（x）和y＝﹣的图象如图：则两个函数关于点（2，0）对称，两个图象有4个交点，两两关于（2，0）对称，则函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为4+4＝8，故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．（2）利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可．解：（1）因为，是夹角为60°的单位向量，所以，，，（2），又，，∴．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．【分析】（1）由已知证明OQ∥A1P，OQ＝A1P，可得四边形A1PQO为平行四边形，得到A1O∥PQ，再由线面平行的判定可得PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AA1⊥底面ABC，得到BC⊥AA1，再证明AQ⊥BC，可得BC⊥平面AQP，从而得到BC⊥PQ．【解答】证明：（1）如图，连B1C，BC1相交于点O，∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1，∵A1P∥CC1，，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，∴四边形A1PQO为平行四边形，∴A1O∥PQ，∵A1O⊂平面A1BC1，PQ⊄平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC，∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP，∵PQ⊂平面APQ，∴BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：1【分析】（1）由频率分布直方图，能求出m；（2）根据频率分布直方图，能估计这200名学生的平均分；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，由此能求出英语成绩在[90，120）的人数．解：（1）由频率分布直方图，得：10×（2m+0.02+0.03+0.04）＝1，解得m＝0.005；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分为：0.05×75+0.4×85+0.3×95+0.2×105+0.05×115＝93；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，∴英语成绩在[90，120）的有140人．20．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．【分析】（1）先利用数量积定义，求出f（x），然后将原式进行化简成A sin（ωx+θ）的形式，然后结合图象的性质即可求出结果；（2）根据已知条件，可先求出，进而求出，最后借助于两角差的余弦公式求出cosα．解：（1）依题意得：＝1+cos2x+sin2x＝．则．最小正周期为π．对称中心横坐标满足：，可得，故对称中心为．（2）由，可得．∵，∴．而上单调递增，故取值范围为（）；在上单调递减，取值范围为（）．∵，∴，则．∴，∴＝＝．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【分析】（1）设圆心坐标，利用弦心距，半弦长，半径所成直角三角形列方程可得圆心坐标，进而得方程；（2）利用P点所在直线设P点坐标，利用过A，P，C的圆以PC为直径，设圆上任一点M，满足MP⊥MC，结合数量积为0，可得圆系方程，解得定点坐标．解：（1）设圆心C（a，0）（a＞0），则C到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝，由弦长为，r＝2，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得d2＝r2﹣3，解得a＝3或a＝﹣（舍），∴圆C的方程为：（x﹣3）2+y2＝4；（2）由（1）知，C（3，0），设P（m，﹣m﹣5），∵PA为切线，∴PA⊥AC，∴过A，P，C的圆是以PC为直径的圆，设圆上任意一点M（x，y），则，∴（x﹣m，y+m+5）•（x﹣3，y）＝0，得（x﹣m）（x﹣3）+y（y+m+5）＝0，可得x2+y2﹣3x+5y﹣m（x﹣y﹣3）＝0，由解得或，故经过A，P，C三点的圆所过定点的坐标为（3，0）和（﹣1，﹣4）．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．【分析】（1）由题意设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），由恒等式可得m，n，k的关系，求得k；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），运用偶函数的定义和单调性的定义，求得m，n的关系，以及最值，可得m，n的值，进而得到所求解析式．解：（1）函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），可得3m＝4，m+nk＝2，3n＝3，解得k＝；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），由h（﹣x+1）＝h（x+1），可得m log3（9﹣x+1）+n（﹣x）＝m log3（9x+1）+nx，即为m log3＝2nx，即m log39﹣x＝2nx，可得﹣2mx＝2nx，即m＝﹣n，可得h（x）＝m[log3（9x﹣1+1）﹣（x﹣1）]＝m log3，令y＝，x≥2，再令3x﹣1＝t（t≥3），则y＝t+，设3≤t1＜t2，可得y1﹣y2＝t1+﹣t2﹣＝（t1﹣t2）•，由3≤t1＜t2，可得t1﹣t2＜0，t1t2＞1，即有y1﹣y2＜0，即y1＜y2，则y＝t+在[3，+∞）递增，可得y＝t+≥，当t＝3时取得等号，可得log3≥log3，h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．可得m log3＝2（log310﹣1），即m＝2，n＝﹣2，则h（x）＝2log3（9x﹣1+1）﹣2（x﹣1），。
洛阳市2019-2020高一期末质检理数答案
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