无限循环小数和分数的互化
循环小数和分数的互化-教师版
循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。
无限循环小数和分数的互化ppt
• 分数化小数
• 分母是10，100，1000......的：可以直接化 成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之 九化成0.09
• 分母不是10，100，1000......的：分子除以 分母。一个最简分数，如果分母分解质因 数只含有2、5的，可以化成有限小数；如 果含有2、5以外的质因数，就不能化成有 限小数，但绝对能化成循环小数。附加： 如果分母分解质因数不- 含有2、5，只含有2、
• 小数化分数
• 有限小数化分数：小数表示的就是十分之 一、百分之一、千分之一......所以，0.6可以 化成十分之六，约分成五分之三。
• 纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数 部分循环节如果是一位分母为9，两位为99， 三位为999......如0.2525......可以化成九十九 分之九十九，能约分的要约分。
无限不循环小数 如3.14159265358979323846……
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（循环符号如果循
环节只有一个数字， 无限纯循环 如0.333……，2.567567567……
•
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无限循环小数
0 . 3 2.5 6 7
就在这个数字上加 • 无限混循环 如0.5666…… 0 . 5 6
一个圆点， 如果• 0.1777…… 0 . 1 7
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分析
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• 首先明确一点 无限不循环小数 是不能转化 成分数的 那么无限循环小数又是如何化分 数的呢？由于它的小数部分位数是无限的， 显然不可能写成十分之几、百分之几、千 分之几……的数。其实，循环小数化分数难 就难在无限的小数位数。所以我就从这里 入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾 巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环 小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大 后的无限循环小数与原无限循环小数的“大
循环小数与分数的互化方法
循环小数与分数的互化方法
1. 哎呀呀，你知道吗，循环小数化成分数其实超简单的！就比如说……吧，这就是个典型的循环小数呀，它其实就等于 1/3 呢！只要找到规律，就能轻松搞定。
2. 嘿，告诉你个小秘密哦，把循环小数变成分数就像是解开一个有趣的谜题！像……这样的，它可神奇了，能转化为 1/7 哟，是不是很有意思呀？
3. 哇塞，循环小数和分数的互化真的很神奇呢！举个例子，……不就是2/3 嘛，就好像变魔术一样，一下子就变过去了。
4. 哎呀，你想想看呀，把像……这种循环小数转化成分数，多有成就感呀！它其实就是 5/7 呢，是不是很奇妙？
5. 哈哈，循环小数变分数呀，就像是给数字来个大变身！比如说……不就是 4/9 嘛，好有趣呀！
6. 哇哦，你懂得循环小数与分数的互化方法后，就像掌握了一把神奇钥匙！像……不就是 27/99 嘛，能打开好多数学的秘密大门呢！
7. 嘿呀，可别小瞧这循环小数和分数的互化呀！一旦掌握了，就像有了超能力一样。
比如……可以变成 5/6 呢，多厉害呀！
结论：循环小数和分数的互化虽然有一定规律可循，但也需要我们仔细琢磨和练习，才能真正掌握呀！。
分数和小数的互化知识点总结
分数和小数的互化知识点总结在数学中，分数和小数是常见的数的表示形式。
它们可以表示同一个数值，但采用不同的分数形式或小数形式。
本文将总结分数和小数的互化知识点，包括互化的基本方法和实例应用。
一、分数转换为小数的方法1. 直接除法法：将分子除以分母，所得结果即为分数的小数形式。
例如：将2/3转换为小数，计算2 ÷ 3 = 0.6666...（以6无限循环表示）。
2. 除法的整数部分加上小数部分法：将分子除以分母，将得到的商的整数部分作为小数的整数部分，再将得到的商的小数部分写成小数形式。
例如：将5/4转换为小数，计算5 ÷ 4 = 1.25。
3. 小数点移位法：将分子乘以10的n次方（n为正整数），然后除以分母，得到的商就是所需的小数形式。
例如：将3/5转换为小数，计算3 × 10 ÷ 5 = 6。
二、小数转换为分数的方法1. 小数转换为有限小数的分数：将小数的数位作为分子，分母为10的数位数次方；然后将分数化简至最简形式。
例如：将0.6转换为分数，分子为6，分母为10，化简得到3/5。
2. 小数转换为无限循环小数的分数：设小数部分重复的数字位数为n，将小数的数位减去非循环位数后作为分子，分母为9乘以非循环位数为n的0.9倍的10的n次方，然后将分数化简至最简形式。
例如：将0.444...转换为分数，分子为4，分母为9乘以0.9的10的1次方，化简得到4/9。
三、实例应用实例1：将1/4转换为小数。
解法：1 ÷ 4 = 0.25。
因此，1/4转换为小数为0.25。
实例2：将0.6转换为分数。
解法：6/10化简为3/5。
因此，0.6转换为分数为3/5。
实例3：将0.363636...转换为分数。
解法：将0.363636...的非循环位数减去，得到36-3=33作为分子，分母为99=9×11。
化简得到33/99，可以继续化简为1/3。
因此，0.363636...转换为分数为1/3。
常见的分数和小数的互化
常见的分数和小数的互化
分数和小数之间的互化是数学中常见的概念。
下面是一些常见的分数和小数的互化方法：
1.将分数转换为小数：将分子除以分母即可获得相应的小数形
式。
例如，将分数3/4 转换为小数，计算 3 ÷4，结果为
0.75。
2.将小数转换为分数：将小数的数值部分作为分子，根据小数
位数确定分母的倍数。
例如，将小数0.6 转换为分数，数值部分为 6，因为小数有一位小数，所以分母为 10，所以转换后的分数为 6/10。
可以将这个分数化简为 3/5。
3.改写小数为分数：考虑小数表达的有限小数和无限循环小数
两种情况。
对于有限小数，可以将小数的数值部分作为分子，分母为 10 的幂次，以小数位数作为指数。
例如，0.3 可以改写为 3/10。
对于无限循环小数，用字母 a 表示循环部分，用字母 b 表示非循环部分，然后写成分数形式。
例如，
0.3333... 可以表示为 1/3。
这些是一些常见的分数和小数的互化方法。
要注意的是，有些无限循环小数可能无法精确地表示为一个分数，此时我们会使用省略号 (...) 或上方的一个水平线表示循环部分。
分数小数的互化方法
分数小数的互化方法分数和小数是数学中常见的数值表示方法，它们之间的互化是数学学习中的基本内容之一。
下面详细介绍分数和小数的互化方法。
一、分数转换为小数的方法：要将分数转换为小数，可使用除法的运算方法，具体步骤如下：1. 将分数的分子除以分母；2. 若商是有限的小数，则该小数即为分数的小数表示；3. 若商是无限循环小数，则可以通过长除法或使用计算器等工具计算到一定精度进行近似表示。
例如，我们将分数2/3转换为小数：2 ÷3 = 0.666666...可见，商为无限循环小数，接下来是具体的计算过程：0.666666...= 0.666 ×10/10 + 0.666 ×1/10 + 0.666 ×1/100 + ...= 6/10 + 6/100 + 6/1000 + ...= 6 ×1/10 + 6 ×1/100 + 6 ×1/1000 + ...= 0.6 + 0.06 + 0.006 + ...= 6/10 + 6/100 + 6/1000 + ...= 600/1000 + 60/1000 + 6/1000 + ...= (600 + 60 + 6) / 1000= 666/1000所以，2/3转换为小数表示为0.666。
二、小数转换为分数的方法：要将小数转换为分数，可根据小数的性质进行科学化简，具体步骤如下：1. 找到小数部分的数位，并确定要转换为分数的部分；2. 分子是小数部分数位除以10的位数；3. 分母是10的位数。
例如，我们将小数0.25转换为分数：0.25的小数部分是0.25，有两个小数位数。
根据分数的定义，我们可以得到以下转换：0.25 = 25/100所以，0.25转换为分数表示为25/100。
再例如，我们将小数0.555...转换为分数：0.555...的小数部分是0.555...，由于小数部分是无限循环的，我们可以用一个未知数x表示，并进行如下计算：x = 0.555...10x = 5.555...因为10x与x的小数部分相同，所以我们可以得到以下等式：10x - x = 5.555... - 0.555...9x = 5x = 5/9所以，0.555...转换为分数表示为5/9。
分数和小数的互化公式
分数和小数的互化公式
一、分数化成小数。
1. 基本方法。
- 分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，按“四舍五入”法保留一定的小数位数。
- 例如：将(3)/(4)化成小数，计算3÷4 = 0.75；再如(2)/(3)，2÷3≈0.67（保留两位小数）。
2. 特殊情况。
- 分母是10、100、1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个0，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。
- 例如：(3)/(10)=0.3，(7)/(100) = 0.07，(123)/(1000)=0.123。
二、小数化成分数。
1. 有限小数化分数。
- 原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
- 例如：0.25=(25)/(100)=(1)/(4)；1.37=(137)/(100)；
0.125=(125)/(1000)=(1)/(8)。
2. 无限循环小数化分数。
- 纯循环小数化分数：循环节有几位，分母就有几个9，分子就是循环节。
- 例如：0.3̇=(3)/(9)=(1)/(3)；0.2̇1=(21)/(99)=(7)/(33)。
- 混循环小数化分数：分母中9的个数是循环节的位数，0的个数是不循环部分的位数，分子是不循环部分与第一个循环节组成的数减去不循环部分组成的数。
- 例如：0.23̇，不循环部分是2，循环节是3，分母是90（1个9和1个0），分子是23 - 2=21，所以0.23̇=(21)/(90)=(7)/(30)。
第6课时循环小数与分数的互化(老师)
第6课时 循环小数与分数的互化知识精要一、循环小数与分数的互化1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。
2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。
4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。
5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。
二、分数与小数的大小比较比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。
精解名题例题1：将下列分数化成循环小数：338)1( 125)2( 600832)3( 解：（1）42.0 （2）641.0 （3）3138.2例题2：将852.0,35.0,5.0 化成分数。
解：从左到右依次是：33386,9953,95 例题3：将926.0,3051.0,277.0 化成分数。
解：22179907659907772277.0==-= 49957519990150299990115033051.0==-= 9906239906629926.0=-=巩固练习1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414…循环小数：0.567567…，2.0123123…，14.141414…非循环小数： 0.333， 4.18576…，0.2020020002…2、循环小数4.25656…的循环节是_56___，用简便方法写作652.4 保留三个小数写作4.257. 3、分数化为循环小数：=1514139.1 . 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,1211 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是619.0 排在末位的是0619.0 5、循环小数4832.0 与427.0 在小数点后面第___12___位时，在该位上的数字都是4.当堂总结1、 循环小数与分数的互化2、 分数与小数的互化自我测试1、将下列分数化成小数：74， 45， 1312 ， 724 解：从左到右依次是：128574.3,623079.0,871425.02、将下列循环小数化成分数：•8.0 •8.1 78.0 7823.0 解：从左到右依次是：825197,9987,917,983、用“<”符号连结下面一组数中的各个数. 58.0 ，85，58.0 ，8049. 解：8049<85<58.0 <58.04、在234.0,500117,2.1,722.0,722.0,32.1,225,911 这些数中，是否有相等的两个数？若有，请将它们一一写出来. 解：234.0500117,722.0225,2.1911===5、把小数0.987654321变成循环小数.(1)如果把表示循环节的两个点加在7和1上面，则此循环小数第200位上的数字是几？(2)如果要使第100位上的数是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？ 解：（1）∵（200-9）÷7=27 (2)∴是6（2）循环节肯定包括5∵100-9=91 91÷5=18 (1)∴循环节的两个点加在5和1上面。
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