极坐标下推导柯西黎曼方程

cauchyriemann方程证解析

cauchyriemann方程证解析柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理之一。

它是由奥古斯丁·勒页(B. A. Cauchy)和乔尔久·黎曼 (B. Riemann)提出的，是解析函数理论的基石之一。

柯西-黎曼方程给出了复变函数的解析条件。

它的表述形式为：如果一个函数f(z)在某区域内连续且可导，那么该函数满足柯西-黎曼方程的必要条件。

柯西-黎曼方程可以表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x其中，f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，u(x, y)和v(x, y)分别表示实部和虚部。

柯西-黎曼方程的证明可以通过对复变函数的Cauchy积分定理和Green定理的运用得到。

根据Cauchy积分定理，如果函数f(z)在闭合曲线上连续可导，那么沿着该曲线的积分为零。

根据Green定理，对于一个区域内的函数f(z)，如果它的实部和虚部的一阶连续偏导数存在且连续，那么它的沿着区域边界的积分也为零。

根据这两个定理，我们可以得到柯西-黎曼方程的证明。

对于解析函数f(z)来说，它既满足柯西-黎曼方程的必要条件，又满足柯西-黎曼方程的充分条件。

这意味着当一个函数满足柯西-黎曼方程时，它就是解析函数，可以利用其定义域内的实部和虚部来计算其导数，并应用解析函数的性质进行进一步的推导和计算。

柯西-黎曼方程是复变函数理论中最基本的定理之一，它在物理学、工程学和数学中的应用非常广泛。

通过深入研究和理解柯西-黎曼方程，我们可以更好地理解复变函数的性质和应用，为解决相关问题提供有效的数学工具。

试推导极坐标系中的柯西黎曼方程

试推导极坐标系中的柯西黎曼方程试推导极坐标系中的柯西黎曼方程在复变函数理论中，柯西黎曼方程是一个非常重要的概念，它描述了复函数的解析性质。

对于极坐标系中的柯西黎曼方程，我们需要从复变函数的极坐标形式出发进行推导和分析。

一、复数的极坐标形式在复数的极坐标形式中，一个复数z可以表示为z = r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

这种表示方式对于描述复数在平面上的位置和方向非常方便。

二、复函数的极坐标形式对于一个复变函数f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ)，其中u和v分别为实部和虚部，r和θ分别为极坐标系中的径向距离和角度。

我们可以通过复变函数的链式求导法则得到f(z)在极坐标系中的偏导数形式。

三、柯西黎曼方程的极坐标形式将复变函数f(z)表示为u(r,θ) + iv(r,θ)，我们可以通过对f(z)在极坐标系中进行偏导数运算，推导出柯西黎曼方程的极坐标形式。

(1) 对f(z)进行径向距离r的偏导数运算，得到u和v关于r的偏导数形式。

(2) 对f(z)进行角度θ的偏导数运算，得到u和v关于θ的偏导数形式。

(3) 将上述得到的偏导数形式带入柯西黎曼方程，通过对比实部和虚部的项，得到柯西黎曼方程的极坐标形式。

四、个人观点和理解柯西黎曼方程作为复变函数理论中的重要定理，其极坐标形式的推导和应用对于理解复函数的解析性质以及在极坐标系中的计算具有重要意义。

通过深入研究和推导柯西黎曼方程的极坐标形式，可以更好地理解复变函数在极坐标系中的性质和行为。

总结回顾在本篇文章中，我们从复数的极坐标形式出发，推导了复函数在极坐标系中的偏导数形式，进而得到了柯西黎曼方程的极坐标形式。

通过对该方程的推导和分析，我们加深了对复变函数解析性质的理解，也为在极坐标系中复函数的运算和计算提供了重要的参考依据。

结语复数的极坐标形式和柯西黎曼方程的极坐标形式是复变函数理论中的重要概念，它们对于研究和应用复函数具有重要意义。

复变函数题库

复变函数题库第一章复变函数 1. 复数21ii +的指数表示为主辐角为三角式为 , z=i ，则Arg z= , 复数z 3/5+4i/5=，则z 为( ), 复数1-的三角式为 , Arg(z+2i)=（）2. 复数的指数式，复数11ii -+的三角式，复数1i e +的三角式，z y ix =+的辐角为3. Im(32)i -= ，Re(32)i += ，arg(22)i += ，复数z 16/25+8i/25=的主辐角为4. 内点指，外点指，边界点指，闭区域指 ,柯西-黎曼方程是复变函数可导的条件5. 推导直角坐标系和极坐标系下的柯西-黎曼第二章复变函数的积分1. 极坐标系中的柯西-黎曼方程为2. 调和函数的表达式为3. 复连通区域柯西定理的数学表达形式为4. 单连通区域柯西定理的数学表达形式为5. 柯西公式为6.()nl z dz α-=⎰Ñ ,若z 和α为复数，则1l dz z α=-⎰Ñ7. ()()n f z =8. 已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数9. 已知一个解析函数)(z f 的实部是22u x y xy =-+，(0)0f =,求该解析函数 10. 已知一个解析函数)(z f 的实部是32u 3x xy =-，(0)0f =,求该解析函数 11. 已知一个解析函数)(z f 的虚部是22v yx y=+,求该解析函数 12. 已知一个解析函数)(z f 的实部是u (cos sin )x e x y y y =-，(0)0f =,求该解析函数。

第三章幂级数展开1. 幂级数11()kk z i k ∞=-∑的收敛圆半径为，幂级数1!()k k z k k ∞=∑的收敛圆半径为 ,幂级数1!kk z k k ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的收敛圆半径为 , 幂级数0k k k e t ∞=∑(其中t为复变数)的收敛圆半径为2. 32382(4)z z z +=-是的阶极点，z i=是221()(1)f z z =+的阶极点，00zz e =是的，若某函数的展开式为0100000!()()kk k f z z z -=-=-∑，则0z 为该函数的，若某函数的展开式为00()!()k f z k z z ∞=-∑，则0z 为该函数的。

极坐标形式下柯西-黎曼条件的推导及其运用

ＺＨＡＮＧＪｉｎ－ｆｅｎｇ，ＧＯＮＧＰｉ — ｆｅｎｇ，ＬＩＵＪｉａｎ－ｊｕｎ，ＺＨＵＭｅｎｇ — ｚｈｅｎｇ，ＹＩＮＸｉｎ — ｇｕｏ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＨｕａｉｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｉｂｅｉ２３５０００，Ｃｈｉｎａ）
【 ‘ Ｘ
（ ¨ １曼条件为
罢：８ｘ，。：一ａｘ
利用复合函数求导的方法，通过Ｕ，ｖ对Ｐ，求导，利用式（１）、式（２）可以推导出极坐标形式下柯西一
２Ｏｌ２ — Ｄ９ — ２Ｏ收稿日期：
黎曼条件是判断复变函数可微与懈析的主要依据“ ～．为了学生更容易地理解极坐标形式的柯西一黎曼条件
的由来，本文用不同的方法对其进行了详细地证明．
１利用坐标变换法推导极坐标形式下柯西一黎曼条件
直角坐标系与极坐标之间的关系为
｛１ｐ口：＝￣胁／ｘ２ｔ锄ａ＋』ｌｙ２， ’ ｛ＩｘＹ＝ｐ￣ｏｃｓｏｉｎｓ￣ｂｏ
ＥｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓｄｅｄｕｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＣａｕｃｈｙ — — Ｒｉｅｍａｎｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
ｉｎｐｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｆｏｒｍ

关于柯西-黎曼方程的几点注记

的介绍，这里不一一列举．
数学家柯西和德国数学家黎曼对这两个方程作了更深入、更详细的研究，并一直沿用至今，所以
后人又把这两个方程叫做 “ 柯西一黎曼 ” 方程．柯西一黎曼方程在复变函数论、物理学、数值计算等领域中具有十分重要的地位和应用价值，国内外学者关于其理论和应用的研究已取得很多成效．文献［１ —３］讨论了柯西一黎曼方程在
“ （，Ｙ）＝Ｃ，则曲线Ｕ（，Ｙ）＝Ｃ在点（，Ｙ）处
的切线斜率为：ｋ＝一
ｄ
ｄｙ
．
同理，可得曲线（，Ｙ）＝ｃ在点（，Ｙ）处的
ｉｖ（ｘ，Ｙ）的实部ｕ（ｘ，Ｙ）＝一Ｙ，求ｆ（）．
是这样描述柯西一黎曼方程的：
收稿日期：２０１３— ０２—１６
证明因为
）＝
ａ咒
＋ｉ ≠０，故在点
ｏ
（，），）处，与不全为０．
国家开放大学立项重点科研课题（Ｑ２７Ｏ５Ｅ）；湖南省科学技术厅科技计划一般项目（２０１２ＦＪ４３３４）
【摘要】首先介绍了柯西一黎曼方程的来源和价值．然后给出了柯西一黎曼方程的两个性质定理及证明．最后利用柯西一黎曼方程，给出一种较为简单的解析函数表达式的求解方法一全微分法，并举例说明其应用．

柯西—黎曼方程

u u 2 x, 0 x y v v y, x x y
• 容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.
2015/9/25
10
存
证：
由于偏导数连续，则二元函数u 和v 的增量可分别写为
u u u x y 1 x 2 y x y
v v v x y 3 x 源自 y x y随着 z 0 则
2015/9/25
i 0
5
u u v v x y i ( x y ) f u i v x y x y lim lim lim z 0 z z 0 z 0 z z u v x y 柯西—黎曼方程 u v y x u v (x i y ) i (x i y ) x lim x z 0 z
柯西—黎曼方程
张宏浩
柯西—黎曼方程（复变函数可导必要条件）可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。实变数f(x)： x沿实轴逼近零。
0 实数
x
x x
复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。
y 复数 z
z z
因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。
z z '
x
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u v i x x
这一极限是与 z 0 的方式无关的有限值
2015/9/25 6
解析函数
解析函数的概念
若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数
说明： 1.解析与可导不等价函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价.

柯西黎曼Cauchy-Riemann方程的证明

1 引言解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式．现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的．本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．2 基本概念与定理定义2．1[1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000()()limz z z Df z f z z z →∈--存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或0(z z df z dz=）．即000()()lim '()z z f z f z f z z z →-=-．有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数．定义2．2[1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析，并称()f z 是区域D 内的解析函数．如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ⊂，而()f z 在G 内解析．若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点．例1 试证明(Re f z z z =）在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析．证：先证(f z ）在0z =点可微．因 00()(0)R e limlimlim R e 00z z z f z f z z z z z→→→-===-故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =．设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限000()()R e R e limlimz z z z f z f z z z z z z z z z →→--=--0000000()()lim()()x x y y x iy x x iy x x x i y y →→+-+=-+-002200000()lim()()x x y y x x i xy x y x x i y y →→-++=-+-当z 沿平行于实轴的方向趋近0z 时，因0y y =，故 000()()l i mz z f z f z z z →--220000()limx x x x iy x x x x →-+-=-00lim [()]x x x x iy →=++002x iy =+当z 沿平行于虚轴方向趋近于0z 时，因0x x =，故 00000000()()()limlim()z z y y f z f z ix y y x z z i y y →→--==--因为0x ，0y 至少有一个不为零，于是0002x iy x +≠．故当00z ≠时，()f z 不可微．因而除00z =外，()f z 都不可微．在00z =处尽管函数()f z 可微，但不存在00z =的一个邻域，使()f z 在此邻域内每一点都可微，故()f z 在00z =点也不解析，从而()f z 在z 平面上任何点都不解析． #此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析．有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理：定理2．3[2]设函数(,)(,)f u x y iv x y =+定义与区域D ，000z x iy D =+∈，则()f z 在点0z 处可微的必要与充分条件是：(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，且满足Cauchy-Riemann 方程,u v v uxy x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （1）证：必要性设0(0)z z z D z +∆=∈∆≠，w u i v ∆=∆+∆．因()f z 在点0z 可微，则有00lim'()z w f z z∆→∆=∆．令0'()w f z zε∆-=∆．即得0'()w f z z z ε∆=∆+∆ （2）当0z ∆→时，0ε→．令0'()f z a ib =+，z x i y ∆=∆+∆，12i εεε=+，则当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．于是由（2）式，12()()()()u i v a ib x i y i x i y εε∆+∆=+∆+∆++∆+∆12()a x b y i b x a y ηη=∆-∆++∆+∆+其中112x y ηεε=∆-∆，221x y ηεε=∆+∆．则比较实部与虚部，则 1u a x b y η∆=∆-∆+， 2v b x a y η∆=∆+∆+ （3）其中a 与b 与x ∆，y ∆无关．因112zηεε≤≤+∆，而当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．故当0z ρ∆==→时，10ηρ→，于是10()ηρ=．同理20()ηρ=．由（3）即知u ，v 在点00(,)x y 处可微，且在点00(,)x y 处有u a x∂=∂，u b y∂=-∂，v b x∂=∂，v a y∂=∂，于是,u v v uxyxy∂∂∂∂==-∂∂∂∂，因此满足Cauchy-Riemann 方程．充分性设(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处有 1u u u x y x yη∂∂∆=∆+∆+∂∂．2v v v x y xyη∂∂∆=∆+∆+∂∂．其中10lim0ρηρ→=，20lim0ρηρ→=，z ρ==∆．因Cauchy-Riemann 方程（1）成立，如令u v a xy∂∂==∂∂，v u b xy∂∂=-=∂∂，则12()w u i v a x b y i b x a y ηη∆=∆+∆=∆-∆++∆+∆+12()()()a ib x i y i a ib z ηηη=+∆+∆++=+∆+．故 w a i b zzη∆=++∆∆．其中12i ηηη=+．因12120i zzηηηηηρρ+=≤+→∆∆（当0ρ→），故 0l i m0z z η∆→=∆．于是 00l i m'()z w a i b f z z∆→∆=+=∆．因此()f z 在点0z 可微． #３几种不同形式的Cauchy-Riemann 方程3．1 梯度形式定理3．1[3] 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，(,)u x y ，(,)v x y 的Cauchy-Riemann 方程等价于(),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4）证：若实形式的C-R 条件成立，即,u v xy ∂∂=∂∂,u v yx ∂∂=-∂∂那么有(),gradu gradv =12,12u u v vu v u ve e e e xyxy x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂++=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ()0v u u vC R y y y y⎛⎫∂∂∂∂--+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭条件，其中1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正向相同的单位矢量．gradu =,gradv == (),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩反之，若（4）式成立，则有22220,.u v u vx x y y u u v v x y x y ∂∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ （5）设,u v u v p q xyyx∂∂∂∂=-=+∂∂∂∂那么，方程组（5）化为0,0.v v p q x y u v u v p q x y y x ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪++-= ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎩（6）其中0,0.u v u v xyyx∂∂∂∂+≠-≠∂∂∂∂此方程组的系行列式为J =vx u v x y ∂⎛∂∂∂ + ∂∂⎝vy u v y x ∂⎫⎪∂⎪∂∂⎪-⎪∂∂⎭=v u v v u v x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂--+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=--+≠⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦事实上，若220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．由（5）式可知220v u v u u u x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故我们有222220,v u v u u u v v x y y x x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫--+-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦220,u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+--= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭即22u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+=- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭．这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解．于是0,0,.uv q x y p u v yx ∂∂⎧=⎪=∂∂⎧⎪⎨⎨=∂∂⎩⎪=-⎪∂∂⎩即3.2 复形式若考虑二实变数,x y 的复值函数(),f x y ，引进复变数,,z x iy z x iy =+=-则()()11,22x z z y z z i =+=-．于是()(),,.22z z z zw f z f x y f i ⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭这里形式地把(),f x y 考虑为z 与z 的函数，而把z 与z 视为独立的自变量，因此()f z 可以对自变量z 与z 求导数．定理3．2[4]()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程0f z∂=∂．证：1212f f x fy f f i z x z y z x y f f x f y f f i x y x y z z z⎧⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+=+⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎪=+=- ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎩（7）()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程u v xy∂∂∂∂=，.u v yx∂∂∂∂=-而'()u v u v xxyyf z ii∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-+，所以f(z)应满足偏微分方程.f f xyi∂∂∂∂= （8）将（7）和（8）比较，得0f z∂=∂．因此解析函数f （z)是以条件0f z∂=∂为其特征，即Cauchy-Riemann 方程的复形式可表示为0f z∂=∂．（7）式在作为极限定义时并没有什么方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于z 及z 的形式导数．这里值得一提的是，实际上z 与z 并不是独立变量，因为他们是互相共轭的．也就是说，一个解析函数与z 无关，而是z 的独立函数．这也是我们把一个解析函数看作确实是一复数的函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．3．3 极坐标形式定理3． 3． 1[4]：()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是()cos sin z r i φφ=+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的极坐标形式，即11u vr r v u rr φφ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （9）证：因为cos ,sin ,cos ,sin ,u R v R x r y r θθφφ====所以cos sin u R R rrrθθθ∂∂∂=-∂∂∂，（10）cos sin u R R θθθφφφ∂∂∂=-∂∂∂，（11）sin cos v R R rrrθθθ∂∂∂=+∂∂∂，（12）sin cos v R R θθθφφφ∂∂∂=+∂∂∂，（13）将(10)cos (12)sin (11)cos θθθ⨯+⨯+⨯得cos sin ,cos sin .u v R r r r u v R θθθθφφφ∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪+=∂∂∂⎪⎩将（9）式代入得1(cos sin ),(cos sin ).v u R r r v u R r r r θθφφθθφ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩（14）再把()()()()13cos 11sin ,12cos 10sin ,θθθθ⨯-⨯⨯-⨯得cos sin ,cos sin .vu r v u R rr rθθθφφφθθθ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪-=⎪∂∂∂⎩ （15）比较（14）式与（15）式，得,.RrR r R r rR θφθφ∂∂∂∂∂∂∂∂⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （16）（16）就是我们所需要的Cauchy-Riemann 方程．定理3． 3． 2[5] 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程,.R R x y R R y x θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩证：设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的实形式,u v u vxy y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂．而cos ,sin ,u R v R θθ==所以cos sin ,u R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R yyrθθθ∂∂∂=-∂∂∂cos sin ,u R R yyyθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂故cos sin sin cos ,R R R R x xy y θθθθθθ∂∂∂∂-=+∂∂∂∂ (17)cos sin sin cos .R R v R R yyx xθθθθθ∂∂∂∂-=--∂∂∂∂（18）将（17），（18）两式分别乘以cos θ，sin θ或sin θ，cos θ-再相加，得,.R R x y R R yx θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （19）（19）式就是所需求的Cauchy-Riemann 方程．下面推导在条件之下的()f z 的导数表达式．因为(cos sin )(sin cos )11'()()(cos sin )(cos sin )uv R R i R i R Rx x x x x x f z if z R i R i R x x θθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-++∂∂∂∂∂∂∂∂===+++∂∂，所以1'()()()R f z f z i R x xθ∂∂=+∂∂．若我们应用（19）式，则有1'()()()Rf z f z i y R y θ∂∂=-∂∂．参考文献：[1]刘声华，潘吉富，郑基允．复变函数[M]．长春：吉林教育出版社 1988．[2]钟玉泉．复变函数论(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1988．[3]L V 阿尔福斯．复分析[M]．上海：上海科学出版社，1984．[4]谭小江，伍胜健复变函数简明教程[M]．北京：北京大学出版社，2006．[5]Jerrld E Maislen． Basic complex analysis[M]．Freeman W H ahd Company， 1973致谢本论文是在湖州师范学院张孝惠老师精心指导下完成的．从最初的论文选题到论文初稿的修改乃至最后的定稿都倾注了这位老师的大量心血．整个毕业论文阶段的学习使我受益非浅，特此向张老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！此外，还要感谢刘太顺教授，是他给我打下了坚实的复变函数基础，在理论上给予我很大的帮助；感谢同寝室一起学习的同学给予我的关心和支持，感谢湖州师范学院多年来对我的教育、培养．在此，我向各位给予我帮助支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！。

第二章第一节：解析函数的概念与柯西-黎曼方程

当沿着x轴方向趋向z时，极限为 1；当沿着y轴方向趋向z时，极限为2. 所有，极限不存在。
z x
例
解
求f ( z) x 2 2iy 2在点z 1 i处的导数 .
f (1 i) lim
Dz 0
f (1 i Dz) f (1 i) Dz
2Dx 4iDy (Dx) 2 2i (Dy ) 2 lim Dx 0 Dx iDy
研究函数 f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性 . f ( 0 Dz ) f ( 0 ) Dz Re(Dz ) 解 (1) z 0, lim lim 0, Dz 0 Dz Dz 0 Dz 故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导.
例: 问f ( z ) x 2 yi是否可导？ y Df f ( z Dz ) f ( z ) Dy 0 lim 解 lim z Dz 0 D z Dz 0 Dz o ( x Dx ) 2( y Dy )i x 2 yi Dx 2Dyi lim lim Dz 0 Dz 0 Dx Dyi Dz 设z Dz沿着平行于 x 轴的直线趋向于z， Dx 2Dyi Dx lim lim 1, Dz 0 Dx Dyi Dx 0 D x 设z Dz沿着平行于 y 轴的直线趋向于z， y Dx 0 Dx 2Dyi 2Dyi lim lim 2, Dz 0 Dx Dyi Dy 0 Dyi Dy 0
所以 f '(z)=2z.
例: f(z)=x+2yi是否可导？
解：
f ( z Dz ) f ( z ) ( x Dx) i 2( y Dy) ( x 2 yi) lim lim Dz 0 Dz 0 Dz Dx iDy y Dx 2iDy lim Dz 0 Dx iDy

数学物理方法复习题

第一部分:填空题1复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点z x iy =+可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______3 复变函数2()f z z z =在____z =处可导4复变函数()f z xy iy =+在____z =处可导5 ln(1)_____-=6 指数函数()z f z e =的周期为______7 221_____1()z dz z z==-⎰ 8 31_____3z z e dz z -==-⎰ 9 221_____4z dz z -==-⎰ 10 51cos _________(1)z z dz z π>=-⎰ 11 在01z =的邻域上将函数11()z f z e -=展开成洛朗级数为__________12 将1/z e 在00z =的邻域上展开成洛朗级数为_____________13 将1sin 1z -在01z =的邻域上展开成洛朗级数为________________ 14 00z =为函数sin 2z z的________________ 15 00z =为函数1sin z 的________________ 16 01z =为函数11z e-的____________________ 17 00z =为函数4cos z z 的______阶极点 18 00z =为函数4sin z z的______阶极点19 函数231()ze f z z -=在00z =的留数Re (0)________sf = 20 函数11()z f z e -=在01z =的留数Re (1)________sf =,在无限远点的留数Re ()________sf ∞=21 函数21/()z f z e =在00z =的留数Re (0)________sf =22 函数3cos ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 23 函数3sin ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 24 积分0()()______ba f t d τδττ-=⎰ ((,))t ab ∈ 25 两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点0x 受变力0(,)sin f x t f t ρρω=的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力t F Ru =-（R 为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。

柯西-黎曼的四种不同形式

1 研究柯西-黎曼不同形式的目的1.1 柯西-黎曼定义在一对实值函数),(y x u 和),(y x v 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：u v x y ∂∂=∂∂ (1) u v y x ∂∂=-∂∂ (2)柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。

通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：),(),()(y x iv y x u iy x f +=+。

假设u 和v 在开集C 上连续可微。

则iv u f +=是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。

1.2 柯西-黎曼不同形式形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是y v x u ∂∂=∂∂， xvy u ∂∂-=∂∂，简称..R C -方程，是它的实形式[1]。

形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ϕϕi r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成,1ϕ∂∂=∂∂u r v u ϕ∂∂-=∂∂ur r v 1，称之为它的极坐标形式[1]。

形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_则)(21),(21__z z iy z z x -=+=于是有).2,2(),()(__i zz z z f y x f z f -+===ωz 和_z 视为独立变量且为函数，最终形式为0_=∂∂zf ，称之为它的复形式[1]。

形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成(,)0gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩的形式，称之为它梯度形式[1]。

分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。