一阶逻辑自动推理系统

一阶逻辑自动推理系统一基础知识（1）定义 1设t是LF(X)中的项，若t为常量或变元，则t为 0元项，记为 0-T；若t为fn(t1 t2……tn)的形式，则t为 n元项。

（2）定义2 设g是LF(X)中的广义文字，若g为如下形式：P( f1( f2( f m(t) )))或ØP( f1( f2( f m(t) )))这里P是LF(X)中的谓词符号，f i(i = 1 2 m)是LF(X)中的函数符号且f i(i = 1 2 m)为0 元或1 元，t为常量或变元，且g中不含有蕴涵算子“®”，则称g为简单广义文字，称m为g的复杂度。

（3）定理1 设g1，g2是LF(X)中的简单广义文字，且g1，g2分别为如下形式：P(f ( f ( f(a) ))) （k个f）ØP(f ( f ( f(x) ))) （k个f）这里k，l分别是g1，g2的复杂度，a是LF(X)中的常量，x是LF(X)中的变元，f 是LF(X)中的函数符号。

如果k < l，则(g1 g2)不是α -归结对。

（4）定义3 设C 是LF(X) 中的子句，且C 为如下形式：g1 Ú g2 Ú Ú g n，其中g i(i = 1 2 n)为LF(X)中简单广义文字，则称C为简单广义子句。

（5）定义4 设S ={C1 C2 C m}是LF(X)中的子句集，若C i(i = 1 2 m)为简单广义子句，则称S为简单广义子句集。

（6）定理2LF(X)中子句集S为α-不可满足的当且仅当存在S中子句的基例的有穷集合S′，S′是α-不可满足的。

（7）定理3 设S为LF(X)中的子句集，S*是S经过基替换后得到的子句集，若S*是α-不可满足的，则S是α-不可满足的。

（8）引理1 LF(X)中的子句集S={C1 C2 C m}是α-不可满足的当且仅当对于任意的p i Î G i ，存在最一般合一σ，使得pσ1 Ù pσ2 Ù Ù pσm £ α，这里G i是子句C i中的广义文字集合。

（9）定理4 LF(X)中的子句集S为α-不可满足，当且仅当S的每一条路径上均有α- 归结对，即对任意的P i Î H i(i = 1 2 m)，{P1 P2 P m}中有α-归结对。

（10）定理5 设S = S1 S2是LF(X)中的子句集，S1 ={C1 C2 C k}，S2 ={C k + 1 C k + 2 C m}，如果存在S的一条无α-归结对的前k元子路径R1，并且R1与子句集S2无α-归结对，则S为α-不可满足的当且仅当S2为α-不可满足的（11）定理6 将LF(X)中的子句集S中子句的次序调换或S中某个子句中文字的次序调换不改变S的α-不可满足性和α-可满足性。

二简单子句集的归结自动推理算法为了便于计算机程序的编制，首先对LF(X)中的子句集S进行如下的预处理：（1）定义一个二维数组C[m][n]来存储子句集S，其中n为子句集S中所有子句所含文字的最大数，则C[i]表示S中子句C i；C[i][0]表示子句C i广义文字的个数，C[i][ j]表示子句C i中第j个广义文字，i Î{1 2 m}，j Î{1 2 n}；（2）定义一个二维数组Com[i][ j]，Com[i][ j]表示子句C i中第j个广义文字的复杂度；（3）定义一个一维数组num[i]，num[i]表示子句C i中基广义文字的个数，num[θ[i]]表示子句C i进行θ替换后生成的新的基广义文字的个数；（4）变量k用于标记当前子句的位置；（5）定义两个一维数组p[k]和R[n]，用p[i]记录子句C k中当前搜索位置，而R[1 2 k]来储存在S中目前的路径（k表示路径的有效长度）；（6）定义与二维数组C[i][ j]相对应的变量t[i][ j](i Î{1 2 m}，j Î{1 2 n}），在同一路径上的t[i][ j] = 1的两个广义文字是α-归结对；(7)定义与C[i]相对应的数组t[i]，用于保存子句C[i]中所对应的t[i][ j]；(8)定义一个二维数组G[i][p[i]]，G[i][p[i]]表示子句C i中当前路径p[i]的所有基例。

详细的算法如下：（1）置循环变量k = 0，p(0) = 1，t[i][ j] = 0，R[0] = C[0][p[0]]。

（2）判断是否存在路径R[1 2 m]上广义文字对应的t[i][ j]全为0。

（2.1）若存在，则选择这样路径中复杂度最高的基广义文字C[i][ j]，此时会出现两种情况：（2.1.1）这样的广义文字存在多个，则选择将C[i][ j]作为初始文字，G[i][p[i]]=：G[i][p[i]] {C[i][ j]}，转到第（4）步；（2.1.2）这样的广义文字若不存在，则转到（3.2）。

（2.2）若不存在，则S是α-不可满足的且输出G[i][p[i]]，算法结束。

（3）在S中选定C[k]（3.1）若S中含有基广义文字，则在S中选定这样的子句C[i]：A.C[i]中含有最复杂的基广义文字C[i][ j]；B.满足条件A的最短的子句，G[i][p[i]]=：G[i][p[i]] {C[i][ j]}。

（3.2）若S中不含有基广义文字，则在S中选定这样的子句C[i]：A.C[i]中含有最复杂的广义文字C[i][ j]；B.满足条件A的最短的子句。

（3.3）如果i ¹k，则将子句C[i]与C[k]的位置对调，t[i]与t[k]的位置对调。

（3.4）如果j ¹p[k]，则将C[i][ j]与C[i][k]的位置对调，t[i][ j]与t[i][k]的位置对调。

（4）在后m - 1 - k中选择C[k + 1]，C[k + 1]中含有与C[k][p[k]]为α-归结对的广义文字（4.1）若这样的子句不存在：A.若m - 1 - k > 2，则删除前k + 1个子句，重置S。

a.C[i] = C[i + k + 1]，i = 1 2 m - 2 - k；b.C[i] = 0；c.k = 0，转到第（1）步；B.若m - 1 - k = 2，如果C[m - 1]与C[m - 2]是α-归结对，则子句集S是α-不可满足的，算法结束；C.若m - 1 - k = 2，如果C[m - 1]与C[m - 2]不是α-归结对，则子句集S是α-可满足的，算法结束；D.若m - 1 - k £ 1，则子句集S是α-可满足的，算法结束。

（4.2）若这样的子句有多个：（4.2.1）选择这样的子句C[i]。

a.含有与C[k][p[k]]为α-归结对的广义文字；b.C[i][ j]中的变量对于子句C[i]中的其他广义文字是独立的；c.满足条件a和b的且含有复杂度最高的广义文字的子句；d.满足条件a、b 和c 的最短的子句；（4.2.2）否则，选择满足如下条件的子句C[i]：a.含有与C[k][p[k]]为α-归结对的复杂度最高的广义文字；b.满足条件a 的最短的子句。

（4.3）如果i ¹k + 1，则将子句C[i]与C[k + 1]的位置对调，t[i]与t[k + 1]的位置对调。

（4.4）如果j ¹p[k + 1]，则将C[i][ j]与C[k + 1][p[k + 1]]的位置对调，t[i][ j]与t[i][k + 1]的位置对调。

（4.5）查找替换θ[p[k + 1]]，使得C[k][p[k]]=┐C[k+1][θ[p（k+1）]]，并将C[k + 1] 进行替换θ[p[k + 1]] ，C[k + 1][θ[p[k + 1]]] =:C[k + 1] ，G[k + 1][p[k + 1]]=：G[k + 1][p[k + 1]] {C[k + 1][θ[p[k +1]]}，t[k][p[k]] = 1，t[k + 1][p[k + 1]] = 1。

（4.6）num[k + 1] = :num[k + 1] + num[θ[p[k + 1]]] ，且判断“num[θ[p[k + 1]]] = 0?”：（4.6.1）如果是，则k = k - 1，转到（4.6.2）；（4.6.2）判断“k = 0?”；（4.6.2.1）如果是，判断“num[θ[p[k]]] = 0?”：a.如果是，则转到第（3）步；b.如果否，则将num[θ[p[k]]]个基广义文字中复杂度最高的作为初始文字，t[k + 1][p[k + 1]] =1 ，G[k + 1][p[k + 1]] =：G[k + 1][p[k + 1]] {C[k + 1][θ[p[k + 1]]}，转到第（4）步；（4.6.2.2）如果否，判断“num[θ[p[k]]] = 0?”；a.如果是，则k = k - 1，则转到（4.6.2）；b.如果否，则选择C[k][p[k]]作为初始文字，C[k][p[k]]是C[k][ j]（j ³p[k]）中复杂度最高的基广义文字，t[k][p[k]] = 1，G[k][p[k]]=：G[k][p[k]] {C[k][p[k]}，转到第（4）步；（4.6.3）如果否，且判断“k + 1 = m - 1?”；（4.6.3.1）如果是，则重置S，初始子句和子句中的初始位置，即C[k + 1]为初始子句，num[θ[p[k + 1]]]个基广义文字中最复杂的广义文字作为初始文字，t[k][p[k]] = 1，G[k + 1][p[k + 1]]=：G[k + 1][p[k + 1]] {C[k + 1][p[k + 1]]}，转到第（4）步；（4.6.3.2）如果否，则转到第（4）步。