计算机图形学_第十一章_三维形体的表示分解

实体的定义
有了二维流形的概念之后，我们可以这样来描述实 体：对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是 二维流形，则该正则点集为实体(有效物体)。
正则集合运算
能产生正则几何体的集合运算称为正则集合运算。正则集合运算保证 集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面 。
正则集合运算与传统集合运算的区别主要是在对产生结果的边界面的 处理上，其内部点是一致的 。
Lecture 11
三维形体的表示
概述
三维造型技术是一项研究在计算机中，如何建立恰当 的模型来表示自然界中形态丰富的三维物体的技术。 三维造型技术根据造型对象分成三类：
•第一类是曲面造型，这种造型方法研究在计算机内如何
描述一张曲面。
•第二类是立体造型方法，它研究如何在计算机内定义、
表示一个三维物体。
实体的定义
实体就是有效的物体，亦即客观世界中确实存在的物 体。比如，下图所示的带有悬挂面的立方体就不是实体 ，在客观世界中也不存在这样的物体。
实体的定义
作为实体或者有效的物体应该满足以下的条件： ①刚性。一个实体必须具有一定的形状（流体不属于实体造型 技术描述的对象）。 ②维数一致性。在三维空间中，一个实体的各个部分必须都是 三维的，不能存在悬挂的、孤立的边界。 ③有限性。一个实体必须占有有限的空间。 ④边界的确定性。根据实体的边界可以确定实体的内、外部。 ⑤封闭性。经过一系列的刚体运动及任意序列的集合运算之后 ，仍然是有效的实体。
• 计算机辅助制造时，可以引用几何造型的结果，直接规划数控加工的刀 具轨迹；
• 运动分析方面，几何造型系统可以完成机械手的动作规划、运动模拟以 及零件间的干涉检查等。
概述
•计算机艺术、动画片制作、模拟仿真、计算机视觉、机器人
等领域都把几何造型作为基础。
•利用三维几何造型技术，既可产生已有物体的真实模型，也
•不能表示表面含有曲面的物体；
•不能明确地定义给定点与物体之间的关系，应用范围受到了很大的限制 •线框模型容易出现二义性，对于一个线框模型，可以有不同的理解。
表面模型
表面模型在线框模型的 基础上，增加了物体中的 面的信息，用面的集合来 表示物体，而用环来定义 面的边界.

表面模型
•表面模型克服了线框模型的很多缺点，比较完整地定义了三
•第三类造型方法是自然景物模拟，研究如何在计算机内
模拟自然景物，如云、水流、树等等。
概述
三维几何造型现已开始被广泛地应用在工业生产及艺术造 型的各个领域。
•机械行业
• 设计方面，几何造型方法可以逼真地反映物体的外观，检查零件之间的 装配关系，高效、准确地生成生产图纸； • 分析计算方面，它可以精确地计算出零件的质量、质心、转动惯量、表 面积等物性参数；
正则集合运算
在正则集合运算中，要考虑如何消除或不产生悬点，悬边和悬面，在 实体造型中，实现正则集合运算有两种方法：间接法和直接法。
•间接法是先按普通集合运算求出结果，后用一些规则判断，消除不符合 正则几何定义的部分(即悬边、悬面等)，从而得到正则几何体；
•直接法则是定义正则集合算子的表达式，用以直接得出符合正则几何体
实体的定义
从点集拓扑角度给出实体的定义。将三维物体看作是 空间中点的集合，它由内点与边界点共同组成。
•内点是指点集中的这样一些点，它们具有完全包含于该
点集的充分小的邻域。
•边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。
三维物体A可表示为：
A bA, iA
bA为物体A的边界点集，iA为物体A的内部点集。
可产生人们头脑中的某种设计想象或艺术模型。
形体的表示
在计算机中表示形体的方法通常有三种：
•线框模型 •表面模型 •实体模型
线框模型
线框模型采用三维形体的全部顶点及边的集合来描述 三维形体，即用三维形体的顶点表和边表两个表的数据 结构来表示三维模型。
线框模型
线框模型的主要优点是结构简单，处理容易，在CPU时间及存储方面 开销低 。线框模型也有非常显著的缺点。
实体模型
•实体模型使用有向边的右手法则来确定所在面的外法线方向，即用右手
沿边的顺序方向握住，大拇指所指的方向为该面的外法线方向。
•数据结构不仅记录了全部的几何信息，而且还记录了所有的点、线、面
、体的拓扑信息。这就是实体模型与线框模型或表面模型的根本区别。 实体模型的构造方法通常使用体素，经集合论中的交、并、差运算构成 复杂形体。
定义的结果。
物体的CSG树表示
物体的体素构造表示法 （ CSG ， Constructive Solid Geometry ）是用两个物体间的并、交、差正则集合运算 操作生成一个新的物体的方法。
实体的定义
定义点集的正则运算r如下：
r A c i A
i为取内点运算；c为取闭包运算；A为一个点集。那么i· A即 为A的全体内点组成的集合，称为A的内部，它是一个开集。 c· i· A为A的内部的闭包，是i· A与其边界点的并集，它本身是一
个闭集。
实体的定义
正则点集不一定是实体。如下图所示的物体，它是正则点集，但它 不是有效的物体。为了得到有效的物体，我们必须排除下图所示的情况 ，在此我们引入二维流形的概念。所谓二维流形是指对于实体表面上的 任何一点，都可以找到一个围绕着它的任意小的邻域，该邻域在拓扑上 与平面上的一个圆盘是等价的。
实体的定义
一个实体的表面必须具备以下的性质： ①连通性。实体表面上任意两点都可用该表面上的一条路径连接起来。 ②有界性。一个实体的表面把空间分为互不连通的两部分，其中实体内 的部分是有限的。 ③非自相交性。一个实体的表面不可自相交。 ④可定向性。一个实体的表面两侧可明确定义出实体的内侧和外侧。 ⑤封闭性。对多面体而言，一个实体表面的封闭性是由表面上多边形网 格各元素的拓扑关系确定的，即每条边连接且仅连接两个面，每条边有 且仅有两个端点。
维立体的表面，因而其造型体的覆盖面较广，无论解析的或非 解析的目标均可用表面模型来描述。
•表面模型又分为平面模型和曲面模型两种。前者以多边形网
格为基础。由上述顶点表、边表和面表就可构成平面立体的平 面模型。后者是以参数曲面块为基础。
•表面模型也存在一些不足，这主要是它只能表示物体的表面
边界，而没有表达出真实体属性。因此，也就无法切开表示物 体的内部结构。由此就很难确认一个表面模型表示的三维图形 是一个实体还是一个空壳 。