相对论动力学基础
大学物理相对论总结
基本内容
1、力学相对性原理、伽利略变换；狭义相对论产生 根源、实验基础和历史条件；狭义相对论的基本原理、 洛仑兹变换。 2、狭义相对论时空观：同时的相对性、长度收缩、 时间延缓、因果律。 3、狭义相对论质速关系、相对论动力学基本方程、 相对论动能、静能总能和质能关系、能量和动量的关 系。
1
内容提要
2、长度的收缩（运动物体在运动方向上长度收缩）
在s' 系中测量
l0 x'2 x'1 l'
l l' 1 2 l0
固有长度
y y'
s
s' u
x'1
l0
x'2 x'
o
z
o'
z'
x1
x2
x 5
3、时间的延缓
t t'
1 2
固有时间 ：同一地点发生的两事件的时间间隔 .
t t' t0 固有时间
解：
S ( x1, t1) (x2,t2 ) S′ ( x1, t1) ( x2 , t2 )
x2 x1 1m t1 t2
x2 x1 ?
x2
x1
x2
ut2 (x1 ut1) 1 u2 c2
1 1u2 c2
9
六、相对论质量和相对论动量
1、动1量）与相速对度论的动关量系p
m0 v
1 2
Ei mic2 (m0ic2 Eki ) 恒量
i
i
i
相对论质量守恒定律 在一个孤立系统内，所有粒子的 相对论总质量
mi 恒量
i
八、动量与能量的关系
E pc
E 2 E02 p2c2
狭义相对论两个基本原理
狭义相对论两个基本原理第一个基本原理是相对性原理。
相对性原理包含两部分：相对性原理的运动学形式和相对性原理的动力学形式。
相对性原理的运动学形式指出，物理定律在所有等速运动的参考系中都成立，而不论这些参考系之间的相对运动如何。
也就是说，在相对于以一些速度作匀速直线运动的参考系而言，物理现象的规律也同样适用于以其他任意速度作匀速直线运动的参考系中。
这个原理的实质是：物体的运动状态有多种可能，而它们都以相对其他物体的速度来描述。
相对性原理的动力学形式表明，在不受力的惯性系中，物体的运动状态是匀速直线运动或静止。
这意味着，不受力的物体会保持它们的运动状态不变。
从更广义的角度来看，这个原理还暗示了所有非重力的力都必须等效于参考系的运动。
第二个基本原理是光速不变原理。
光速不变原理指出，光在真空中的传播速度对于所有的惯性观察者来说都是相同的，无论观察者的速度如何。
换句话说，不论观察者是静止的还是以任何速度相对于光源运动，他们都会测得光速相同。
这与我们通常对速度相加的直觉不同，但实验证据已经证明了这一点。
这两个基本原理构成了狭义相对论的基础，对于我们理解时空的结构有重要的意义。
首先，相对性原理的运动学形式告诉我们，物体的运动状态是相对性的，即与观察者的运动状态有关。
这进一步推动了我们对时空结构的重新认识，引出了后来对时空几何的研究。
其次，相对性原理的动力学形式告诉我们，仅仅通过观察物体的运动状态，我们无法区分出它们所处的参考系。
这导致了狭义相对论中的质能关系，即质量和能量之间的等效性。
质能关系的著名公式E=mc²描述了质量和能量之间的转换关系，它在核物理和粒子物理研究中具有重要的应用。
综上所述，狭义相对论建立在两个基本原理之上：相对性原理和光速不变原理。
这两个原理引导了我们对物体运动方式和时空结构的新认识，对当代物理学的发展产生了深远的影响。
狭义相对论基础
2.经典力学时空观
据伽利略变换，可得到经典时空观 （1）同时的绝对性
在同一参照系中，两个事件同时发生 据伽利略变换，在另一参照系中， 在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。
同时的绝对性。
经典力学时空观
（2）时间间隔的测量是绝对的 在同一参照系中，两个事件先后发生，其间隔为
据伽利略变换，
ax
ax
du dt
ay a y
vz vz
az az
ax a x ay a y az az
逆
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
a y ay
a x ax 惯性系 a y ay
vz vz
az az
a z az
狭义相对论基础
8.1 经典力学的相对原理和时空观
一. 经典力学的相对性原理
力学现象对所有惯性系，都遵循同样的规律
研究力学规律时，所有的惯性系都是等价的
静止
物块 匀速 以车子为参照系
静止
以地球为参照系 匀速运动
两者的运动规律是相同的 合外力F=0
伽利略相对性原理
两个参考系（约定系统）
如图，S，S'相应坐
hv0 c
e0
hv e
c
电子
x
mv
相对论动力学基础
证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为
和
,与物质中质量为m0的静止自由电子发生碰撞
。碰撞后，设光子散射开去而和原来入射方向成 角
，这时它的能量和动量分别变为 和
和 代表在光子运动方向的单位矢量。
与此同时电子向着某一角度的方向飞去，它的能 量和动量分别变为 mc2 和
《普通物理学简明教程》(第2版) 下 第四章 4-4
hv 。试证光子的散射角满
c c h 1 cos
v v0 m0c
此处 m0 是电子的静止质量，h 为普朗克常量。
hv
e
hv0 c
e0
c
电子
x
mv
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证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为 hv0 和 碰撞h。cv0碰e0撞,后与，物设质光中子质散量射为开m0去的而静和止原自来由入电射子方发向生
m0c
c c h 1 cos
v v0 m0c
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选择进入下一节 §4-0 教学基本要求 §4-1 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换 §4-2 相对论速度变换 §4-3 狭义相对论的时空观 §4-4 狭义相对论动力学基础 *§4-5 广义相对论简介
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m(v) u
根据洛伦兹速度变换公式可得
u'
u
uv 1 uv / c2
(4)
v 1 1 v2 / c2 (5) u
m(v) m0 1 v2 / c2
相对论质速关系
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m(v) m0 1 v2 c2
m(v)
m0——物体的 静止质量。
m(v)——相对于 观察者以速度v 运动时的质量。 相对论质量
dt dt
(1) 当 (2) 当
v<<c 时, m=m0 ， F= ma v→c 时, m→∞， a d v
F v dm dt
0
dt
m
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二、 相对论质量和能量的关系
1. 相对论动能
推导的基本出发是动能定理
令质点从静止开始,力所作的功就是动能表达式
理论力学-相对运动动力学
03
02
01
相对运动的概念
牛顿第二定律
在相对运动中，物体所受的力等于其质量与加速度的乘积。
动量守恒定律
在封闭系统中，不考虑外力作用时，系统的总动量保持不变。
动能定理
力在一段时间内对物体所做的功等于物体动能的变化量。
相对运动的动力学方程
在封闭系统中，不考虑外力矩作用时，系统的总角动量保持不变。
机器人关节运动
THANKS
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详细描述
势能是物体由于位置或状态而具有的能量，当两个物体发生相对运动时，它们之间的势能会发生变化，例如引力势能、弹性势能等。
总结词
相对运动的能量守恒定律是指在无外力作用的相对运动过程中，两个物体所具有的总能量保持不变。
详细描述
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转变为另一种形式。在相对运动的情境下，两个物体的动能和势能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
卫星轨道的动力学分析
机器人关节的动力学分析
机器人关节的动力学分析主要研究关节在运动过程中的力和运动状态的变化规律。
关节驱动力矩
为了使机器人关节实现预期的运动，需要施加驱动力矩，通过对驱动力矩的分析，可以优化机器人的运动性能。
关节摩擦与阻尼
机器人关节在运动过程中会受到摩擦力和阻尼力的作用，这些力会影响机器人的运动精度和稳定性，需要进行动力学分析以减小其影响。
定义
$L = r times v$，其中$L$是角动量，$r$是位置向量，$v$是速度。
计算公式
角动量是相对的，取决于所选固定点和参考系。
相对性
相对运动的角动量
相对论能量
§4-4 狭义相对论动力学基础
经典力学： 经典力学： F a
dP dv F= =m dt dt
v v>c
在相对论中，动量的定义不变，动量 相对论中，动量的定义不变， 守恒定律仍然成立。但按洛伦兹变换， 守恒定律仍然成立。但按洛伦兹变换，物 体的质量将和自己的速率有关。 体的质量将和自己的速率有关。
Pµ = Pv
(1)
（2）能量守恒 ） 衰变前： m π c 2 衰变前：
衰变后： 衰变后： E µ + E v 所以有
Eµ + Ev = mπ c
2
(2)
由相对论能量和动量关系
E =E +P c =m c +P c
2 2 0
2
2
2
2 0
4
2
2
得
c Pµ = E µ − m µ c
2 2 2
4
(3) (4)
五、 相对论动量和能量的关系
相对论力学： 相对论力学：
1 P 2 经典力学： Ek = m0v = 经典力学： 2 2m0
2
v 静止质量为m 0，速度为 v 的物体的总能量和动量 为
E = mc =
2
m0c m0v
2
1− v c
2
2
消v得：
P = mv =
1− v c
2
2
E = m0 c + P c = E + P c 2 E = mc —— 相对论能 量和动量关系 m0c2
理论力学动力学知识点总结
理论力学动力学知识点总结理论力学动力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动与力的关系。
从牛顿的力学开始到现代相对论力学和量子力学，动力学一直在不断发展和完善。
动力学的核心是牛顿运动定律，它描述了物体受力时的运动规律。
以下是关于理论力学动力学的一些重要知识点总结。
1.牛顿第一定律牛顿第一定律也称为惯性定律，它描述了一个物体在没有外力作用下将保持匀速直线运动或保持静止的状态。
即物体有惯性，需要外力才能改变它的状态。
2.牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体受力时的加速度与作用力的关系。
根据牛顿第二定律可以得到F=ma的公式，其中F是作用力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
牛顿第二定律也可以表示为力的矢量形式：F=dp/dt，其中p是物体的动量，t是时间。
3.牛顿第三定律牛顿第三定律也称为作用与反作用定律，它指出任何两个物体之间的相互作用力均有相等大小但方向相反的反作用力。
即作用力和反作用力是相互作用的两个力，它们的大小相等，方向相反。
4.动量动量是描述物体运动状态的物理量，定义为物体的质量乘以速度，表示为p=mv，其中p是动量，m是质量，v是速度。
根据牛顿第二定律可以得到动量定理：F=dp/dt，即力是动量随时间的变化率。
5.动能动能是描述物体运动能量的物理量，定义为物体的动量的平方与质量的乘积的一半，表示为K=(1/2)mv^2，其中K是动能，m是质量，v是速度。
动能定理描述了力对物体做功时动能的变化：W=ΔK，即功等于动能的变化。
6.势能势能是描述物体位置能量的物理量，表示为U。
重力势能是物体在重力场中的位置能量，定义为U=mgh，其中m是质量，g是重力加速度，h 是高度。
弹性势能是弹簧或弹性体储存的能量，定义为U=(1/2)kx^2，其中k是弹性系数，x是弹性体的变形量。
7.动能和势能的转换根据机械能守恒定律，当物体在没有外力做功的情况下，动能和势能可以互相转换，但总机械能保持不变。
例如，自由落体过程中，重力势能转化为动能，而摆动过程中，动能转化为重力势能。
第十讲 相对论动力学 (1)
m0c2
1
1
EK m0c2
m0c2 ( 2)
1
1)
1
v2 c2
随着Ek 的增加, v 趋向于极限c, 符合实验。
v2(1016 m2/s2) v 2 2Ek / m0 (牛顿力学公式,不符合实验)
9
6 3
v2
c
2
1
1
EK m0c 2
P=mc
又从光电效应知，光子的能量
E=h ，所以光子的动量也可
p h
以表示为
c
3. 质量 因为 mo = 0 ,由 m
怎么找到 m =？
m0
1
v2 c2
会得到 0 ,
0
可以由 E= m c2 m E / c2
或用光的频率
m
h
c2
*
5
相对论力的变换
对于以前我们 所说的S 和 S’ 两个参考系，
三. 光子的能量、动量、质量：
1. 能量 对光子 v = c
由
m
m0
1
v c
2 2
可知,
若要 m≠∞, 必须 m0 =0.
即 E 0 = 0……光子的静止质量为零， 静止能量为零。
光子只有动能（其动能 即 总能） 。
E2 =p2c2
E = pc
注意:
光子的静止质量为零, 并不是说有静止的光子！
分子间的势能、化学能、原子内部的能、……。
爱因斯坦又把 mc2 称为 物体的总能量E ，
Ek E E0
E = mc2 称为“质能关系” 相对论力学承认能量守恒是自然界的普遍规律。
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2
例1 有一粒子静止质量为m0，现以速度v=0.8c运动， 计算它的动能
Ek mc m0 c
2
2
m0 1 c
2 2
c m0 c
2
1
2
m0 2 2 2 2 2 c m0 c m0 c 0.667m0 c 0.6 3
讨论
(1) 注意相对论动能与经典力学动能的区别和联系
p195 6.9在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的两倍？
动量：
m m0 1 c2源自2非相对论动量： m0
m0 1 c
2
1
2
2m0
3 c 0.866c 2
1
6.8相对论动能
在相对论动力学中，力F 对粒子所做的功使它的速率由 0增大到 时，力所做的功仍然定义为和粒子最后的动能相 等。
Ek mc m0c
2
2
m0
1 1)
Ek m0v / 2
2
1 2 c2
2
c 2 m0 c 2
1
m0 c (
1 2 c2
c
1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 c 2 c 1 c 1
2
(2) 当v c， Ek ，意味着将一个静止质量不为 零的粒子，使其速度达到光速，是不可能的。
静能
动能
E 0 m0 c
2
1
E K mc m0 c
2
2
1 E K m0 v 2 2
2
总能（质能关系） 动量与能量 的关系
E mc
2 4 E 2 p 2 c 2 m0 c
p2 EK 2m0
( 0 )
m
m0 1 c
2 2
m c m m0 c
2 2 2 2
2 2
两边求微分
2mc dm 2m dm 2m d 0
2 2 2
c dm＝ dm md
2 2
1
m
EK
m0
2 2 c dm mc m0 c
2
相对论动能
E K mc m0c
Ek m0v / 2
p195 6.9在什么速度下粒子的动能等于非相对论动能的两倍？ 动能：
Ek mc2 m0 c 2
2
非相对论动能：Ek m0v 2 / 2
m0v mc m0 c 2 2 2 m0 m v c 2 m0 c 2 2 0 2 1 2 c2
( ) ( ) d (m ) dr Ek F dr ( 0 ) ( 0 ) dt
1
d (m )
( 0 )
( )
( )
( 0 ) ( )
(m d dm) (md 2 dm)
A. 0
B. ＝ 0
1
C. 0
D. 无法确定
相对论动量及力的表达式
p m
m0 1 2 c2
dp d F ＝ (m ) dt dt
1
d dm m dt dt dm ma dt
用加速度表示的牛
顿第二定律公式在相对论 力学中不再成立。
2 2
1
2 2 2 2 1 (1 2 ) (1 2 ) c c
0.786c
6.9相对论能量
动能
静止时的能量
1
讨论
静能E0 ：
任何宏观静止的物体具有 能量。
内能：
分子动能、势能
化学能：使原子结合的能量
1 电磁能：使核和电子结合的能量
结合能：核子间的结合能 以及各组成部分(电子、中子、质子等)的静止能
1千克的物体所包含的静能 1千克汽油的燃烧值为
9 10 J
16
7
4.6 10
焦耳 .
物理意义
E mc
2
质量和能量有着不可分割的联系； 1
相对论质量是能量的量度。 能量的变化意味着质量的变化。 能量守恒，则质量守恒。
质能关系预言：物质的质量就是能量的一种储藏 . 相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理
m
m0 1
c
2 2
1.物体的静止质量最小,物体的相对论质量与运动速率 有关，是相对量。 2. 物体运动极限速度为光速。 1 3.
v c m0 0
光子静止质量为0.
4. 低速物体
v c , m m 0
物体相对于观察者静止时，其密度为 0 ，若物体以高 速 相对于观察者运动，观察者测得物体的密度为 ， 则 与 0 的关系为（ ） C
氘核 氦核
质量亏损
m 0.026u 4.3 10
29
kg
2 1H
释放能量 Q E (m)c 2 3.87 1012 J 24MeV 轻核聚变条件 温度要达到 10 K 时，使 具 有10keV 的动能，足以克服两 2 1 H 之间的库仑排斥 力.
8
1
我国于 1958 年建成的首座重水反应堆
相对论质能关系在军事上的应用：核武器
1
总结 质量 动量 基本 方程
相对论
m m0
1 v c
2
2
非相对论 m0
2 2
p m v m0 v
1 v c
p m0 v
dp dv F m0 m0 a dt dt
dp dm F ma v dt dt
Q 8.5 10 J
10
1g 铀— 235 的原子裂变所释放的能量
1
费米（意）
哈恩（德）
迈特纳（奥） 铀核裂变
超铀元素
2 轻核聚变
2 2 4 1 H 1H2 He
2 27 m0 ( 1H) 3.343710 kg 4 27 m0 ( 2 He) 6.642510 kg
1
狭义相对论的 动力学基础
1
相对论的质量、动量、能量
6.7相对论质量
F持续作用
P 持续
但v 的上限是 c 质量的表达式 猜想？
因此要求m 随速率 增大而增大m m( v ) 质速关系
m
m0 1 v c
1
2
2
1901 W.Kaufmann 高速电子的荷质比随 速度的增大而减小 有力地支持了相对论
论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式 .
E mc
2
1
E (m)c
2
补充材料：
235 92
原子核裂变和聚变反应
1 核裂变
U n
1 0
139 54
Xe Sr 2 n
95 38 1 0
1
质量亏损 原子质量单位
放出的能量
m 0.22u 27 1u 1.66 10 kg 2 Q E m c 200 MeV