大学物理实验误差不确定

A类不确定度A的计算
计算标准偏差
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
计算算术平均值的标准差
x
1 n(n 1)
n i 1
( xi
x)2
单次测量的不确定度
• 单次测量的几种情况：
(1).仪器精度较低； (2).对测量的准确程度要求不高 (3).受测量条件限制
• 单次测量只能考虑B类分量，即仪器的允差或
系统误差的处理
已定系统误差：设法消除，或修正 测量结果 = 测得值(或其平均值)-已定系统误差
（如电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内 阻引起的 误差）
未定系统误差：估计其限值（仪器的允差），归入B类不确 定度参与对测量结果的评价（如仪器误差）。
B类不确定度的估算
仪器名称 钢板尺
游标卡尺 螺旋测微器（千分尺）
测量的误差和不确定度
• 测量是物理实验的基础。
• 测量结果应包括数值、单位和对测量结果精确程度的
评价（不确定度）。
以电阻测量为例
R＝910.3 0.4
测量对象
数值
不确定度
单位
含义： R 的真值有相当大（例如95%）的可能（概率） 位于区间 （909.9，910.7）Ω 之内。
• 测量分为直接测量和间接测量
误差分类
系统误差：测量值对真值的偏离（包括大小和方向） 总是相同的。具有恒定性，不能用增加测量次数的方 法使它减小。 偶然误差：由大量、微小、不可预知的因素引起。
具有随机性，服从统计律
• 产生原因： 系统误差： 如仪器误差，方法误差，人员误差 偶然误差： 如实验条件和环境因素的起伏，估读数
的偏差，测量对象的不稳定.
七级天平（物理天平）
普通温度计 精密温度计（水银） 电表 数字万用电表
量程 150 mm 500 mm 1000 mm 125 mm
0～25 mm
500g
0～100℃ 0～100℃
最小分度值
1 mm 1 mm 1 mm
0.02 mm 0.05 mm
0.01 mm
最大允差
±0.10 mm ±0.15 mm ±0.20 mm
来描述，概率密度函数为
(x)
1
2
x2
exp( 2 2 )
P(x)
σ小
n (1). 当测量次数
时，
所有测量值的算术平均值就等于真值
σ大
x 0
所以增加测量次数可以减小偶然误差。
(2). 称为标准差，是 (x) 中的参数，反映误差的离散程度
(3). 置信区间 (x0 k , x0 k )与置信概率（置信水平）
– 直接测量：由仪器直接读出测量结果的。
– 间接测量：由直接测量结果通过公式计算 而得出结果的。
例： 测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的 高h和直径d，算出体积 V d 2h 然后用天平
4
称出它的质量M，算出密度
M 4M V d 2h
这里铜柱的高 h、直径 d 和质量 M是直接测得量， 体积V和密度ρ是间接测得量。
极限误差 e ，表达式： Y N e
• 若要在 e 与 间换算， e 3
直接测量的数据处理程序
•它表示待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内
（关键是找出 置信区间与置信概率的关系）
若置信概率为100%，则相应的 N 就称为极限误差，
用 e 表示，写作： Y N e
• N 也常用标准差 表示，写作 Y N
• 这时置信概率就为68.3%
• 要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位 、 不确定度这三个要素
偶然误差的处理
偶然误差的特点：统计规律性
①小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具
有单峰性；
P(x)
σ小
②正、负误差对称分布， 具有抵偿性。
σ大
x 0
处理方法： ①取多次测量的平均值为测量结果
的最佳估计值。 ②研究其分布，找出其特
征值，归入A类不确定度，参与对测量结果
的评价。
偶然误差的分布
偶然误差一般服从正态分布，可用概率密度函数 (x)
100%
1.3%
两者不确定度相等，但相对不确定度后者大 1个数量级。
注：不确定度一般取1～2位有效数字。
不确定度分类
• 不确定度分为两类：
A 类分量 ΔA —— (多次重复测量时)可用统计学方法
计算的
分量；（常指标准差）
B 类分量 ΔB——用其他方法估算的分量（比如仪器
的允差或极限误差）。
• 总不确定度是这两类分量的方和根合成：Δ ΔA2 ΔB2
的关系：
k
PC
( x)dx
k
p(x)
P1
(x)dx 68.3%
1.96
P2
(x)dx 95%
1.96
3
P3
(x)dx 99.7%
3
-σ 0 σ
x
偶然误差的处理方法
假定系统误差已消除，对同一个物理量进行n次测量，测得
的值为xi (i =1, 2，…，n) n
(1) 用多次测量的算术平均值作为x0的估计值：x ( xi ) / n i 1
(2) 用算术平均值的标准差 x 作为 的估计值
按贝塞耳公式求出：
测量结果可以表述为：
x
Y xx
1
n(n 1)
n i1
(xi
x)2
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不确定度
•为了估计测量结果的可靠程度，测量结果应写成
Y N N
•不确定度 ΔN 是概率意义上对测量结果精确程度的评价。
•表示测量结果是一个范围 N N, N N
• 相对误差和相对不确定度：
相对误差=
测量误差 真值
相对不确定度=
不确定度 测量值
• 常用相对不确定度估计相对误差的大小
例：测得两个物体的长度为：
l1 23.50 0.03cm, l2 2.35 0.03cm
其相对不确定度分别为：
E1
0.03 23.50
100%
0.13%,
E2
0.03 2.35
±0.02 mm ±0.05mm
±0.004 mm
0.05g
0.08g（接近满量程） 0.06g（1/2量程附近） 0.04g（1/3量程附近）
1℃ 0.1℃
% U x ±±%01.2℃℃Um
级别%×量程
仪器误差 Δ举仪例：
电流表（量程30mA, 0.5级）
Δ仪 30 0.5% 0.2(mA)
误差的定义、分类和性质
误差公理：测量总是存在误差的，误差普遍存在。
误差定义：测量误差 测量值 真值
推论：(1).真值不可确知 (2).误差不可确知 误差虽然不可确知，但我们可以分析误差的主要来
源，尽可能消除或减小某些误差分量对测量的影响， 把它控制在允许范围之内。对于最终不能消除的误差 分量，我们还可以估计出它的限值或分布范围，对测 量结果的精确程度作出合理的评价