大学物理实验误差不确定
A类不确定度A的计算
计算标准偏差
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
计算算术平均值的标准差
x
1 n(n 1)
n i 1
( xi
x)2
单次测量的不确定度
• 单次测量的几种情况：
(1).仪器精度较低； (2).对测量的准确程度要求不高 (3).受测量条件限制
• 单次测量只能考虑B类分量，即仪器的允差或
七级天平（物理天平）
普通温度计 精密温度计（水银） 电表 数字万用电表
量程 150 mm 500 mm 1000 mm 125 mm
0～25 mm
500g
0～100℃ 0～100℃
最小分度值
1 mm 1 mm 1 mm
0.02 mm 0.05 mm
0.01 mm
最大允差
±0.10 mm ±0.15 mm ±0.20 mm
±0.02 mm ±0.05mm
±0.004 mm
0.05g
0.08g（接近满量程） 0.06g（1/2量程附近） 0.04g（1/3量程附近）
1℃ 0.1℃
% U x ±±%01.2℃℃Um
级别%×量程
仪器误差 Δ举仪例：
电流表（量程30mA, 0.5级）
Δ仪 30 0.5% 0.2(mA)
系统误差的处理
已定系统误差：设法消除，或修正 测量结果 = 测得值(或其平均值)-已定系统误差
（如电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内 阻引起的 误差）
未定系统误差：估计其限值（仪器的允差），归入B类不确 定度参与对测量结果的评价（如仪器误差）。
B类不确定度的估算
仪器名称 钢板尺
游标卡尺 螺旋测微器（千分尺）
来描述，概率密度函数为
(x)
1
2
x2
exp( 2 2 )
P(x)
σ小
n (1). 当测量次数
时，
所有测量值的算术平均值就等于真值
σ大
x 0
所以增加测量次数可以减小偶然误差。
(2). 称为标准差，是 (x) 中的参数，反映误差的离散程度
(3). 置信区间 (x0 k , x0 k )与置信概率（置信水平）
的关系：
k
PC
( x)dx
k
p(x)
P1
(x)dx 68.3%
1.96
P2
(x)dx 95%
1.96
3
P3
(x)dx 99.7%
3
-σ 0 σ
x
偶然误差的处理方法
假定系统误差已消除，对同一个物理量进行n次测量，测得
的值为xi (i =1, 2，…，n) n
(1) 用多次测量的算术平均值作为x0的估计值：x ( xi ) / n i 1
– 直接测量：由仪器直接读出测量结果的。
– 间接测量：由直接测量结果通过公式计算 而得出结果的。
例： 测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的 高h和直径d，算出体积 V d 2h 然后用天平
4
称出它的质量M，算出密度
M 4M V d 2h
这里铜柱的高 h、直径 d 和质量 M是直接测得量， 体积V和密度ρ是间接测得量。
误差分类
系统误差：测量值对真值的偏离（包括大小和方向） 总是相同的。具有恒定性，不能用增加测量次数的方 法使它减小。 偶然误差：由大量、微小、不可预知的因素引起。
具有随机性，服从统计律
• 产生原因： 系统误差： 如仪器误差，方法误差，人员误差 偶然误差： 如实验条件和环境因素的起伏，估读数
的偏差，测量对象的不稳定.
偶然误差的处理
偶然误差的特点：统计规律性
①小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具
有单峰性；
P(x)
σ小
②正、负误差对称分布， 具有抵偿性。
σ大
x 0
处理方法： ①取多次测量的平均值为测量结果
的最佳估计值。 ②研究其分布，找出其特
征值，归入A类不确定度，参与对测量结果
的评价。
偶然误差的分布
偶然误差一般服从正态分布，可用概率密度函数 (x)
极限误差 e ，表达式： Y N e
• 若要在 e 与 间换算， e 3
直接测量的数据处理程序
测量的误差和不确定度
• 测量是物理实验的基础。
• 测量结果应包括数值、单位和对测量结果精确程度的
评价（不确定度）。
以电阻测量为例
R＝910.3 0.4
测量对象
数值
不确定度
单位
含义： R 的真值有相当大（例如95%）的可能（概率） 位于区间 （909.9，910.7）Ω 之内。
• 测量分为直接测量和间接测量
100%
1.3%
两者不确定度相等，但相对不确定度后者大 1个数量级。
注：不确定度一般取1～2位有效数字。
不确定度分类
• 不确定度分为两类：
A 类分量 ΔA —— (多次重复测量时)可用统计学方法
计算的
分量；（常指标准差）
B 类分量 ΔB——用其他方法估算的分量（比如仪器
的允差或极限误差）。
• 总不确定度是这两类分量的方和根合成：Δ ΔA2 ΔB2
• 相对误差和相对不确定度：
相对误差=
测量误差 真值
相对不确定度=
不确定度 测量值
• 常用相对不确定度估计相对误差的大小
例：测得两个物体的长度为：
l1 23.50 0.03cm, l2 2.35 0.03cm
其相对不确定度分别为：
E1
0.03 23.50
100%
0.13%,
E2
0.03 2.35
(2) 用算术平均值的标准差 x 作为 的估计值
按贝塞耳公式求出：
测量结果可以表述为：
x
Y xx
1
n(n 1)
n i1
(xi
x)2
不确定度
•为了估计测量结果的可靠程度，测量结果应写成
Y N N
•不确定度 ΔN 是概率意义上对测量结果精确程度的评价。
•表示测量结果是一个范围 N N, N N误差的定义、分类和性质
误差公理：测量总是存在误差的，误差普遍存在。
误差定义：测量误差 测量值 真值
推论：(1).真值不可确知 (2).误差不可确知 误差虽然不可确知，但我们可以分析误差的主要来
源，尽可能消除或减小某些误差分量对测量的影响， 把它控制在允许范围之内。对于最终不能消除的误差 分量，我们还可以估计出它的限值或分布范围，对测 量结果的精确程度作出合理的评价
•它表示待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内
（关键是找出 置信区间与置信概率的关系）
若置信概率为100%，则相应的 N 就称为极限误差，
用 e 表示，写作： Y N e
• N 也常用标准差 表示，写作 Y N
• 这时置信概率就为68.3%
• 要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位 、 不确定度这三个要素
大学物理实验测量不确定度与数据处理方法
0.0027m m
精选ppt
I 14 . 04 mA
电表额定误差：
AK %
（ A 为使用的量程，
K 为电表精度等级）
仪 15 0 . 5 %
0 . 075 mA
uB
u仪
0 . 0075 3
0 . 0043 mA
u c ( I ) u B 0 . 0043 mA
38
j4 D I23 .1 4 1 4 0 ..5 0 42 0 46 9.0 9m 3/m A2m
测量不确定度是测量质量的表述，决 定了测量结果的使用价值，其值越小， 测量结果质量越高，使用价值也越高，
精选ppt
14
标准不确定度u：用标准偏差表示的测量 不确定度。
A类分标量准，不由确观定测度列分的量统u计A 分：析标评准定不。确又定称度
为统计不确定度。
B类标准不确定度分量u B：标准不确定度
分量，由不同于A类分量的其他方法确定。 又称非统计不确定度。
例：测量某物体长度
ｎ
12
3
4
5
6
7
8
9
ｂｍｍ 42.35 42.45 42.37 42.33 42.30 42.40 42.48 42.35 42.49
长度的最佳值：
b
1 9
9
bi
i 1
＝42.369 mm
精选ppt
20
9 xi 42.3692 i1 91
＝0.064mm
uA
b
n
0.064＝0.021mm 9
次数 n时，t分布过渡到正态分布。
对有限次测量，要保持同样的置信概率 （Ｐ= 68.3 %），A类标准不确定度应表 示为
实验1 测量误差与不确定度-to学生
中山大学理工学院、东校区实验中心编制实验 1 测量误差与不确定度预习操作记录实验报告总评成绩《大学物理实验》课程实验报告学院： 实验人姓名(学号)： 日期： 年 月 日 专业： 参加人姓名： 室温： 相对湿度： 年级：实验 1 测量误差与不确定度[实验前思考题] 1． 测量分为几种类型？2． 误差的分类方法有几种？3． 简述直接测量量和间接测量量的平均值及其实验标准差的计算方法，以本实验 中铜杯体积的测量为例加以说明。
Pageof中山大学理工学院、东校区实验中心编制实验 1 测量误差与不确定度4． 直接测量量和间接测量量的扩展不确定度（或总不确定度）如何计算？请写出 计算步骤。
（请自行加页）Pageof中山大学理工学院、东校区实验中心编制实验 1 测量误差与不确定度[ 实验目的 ] 1．学习长度、重量、密度等基本物理量的测量方法； 2．学习测量误差和不确定度的概念和计算方法； 3．学习游标卡尺、螺旋测微计、读数显微镜、天平的使用方法。
[ 仪器用具 ] 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 仪器名称 游标卡尺(机械式) 游标卡尺(数字式) 螺旋测微计 读数显微镜 电子天平 物理天平用砝码 钢尺 金属丝和金属板 被测铜杯（铝杯） 数量 主要参数(型号，测量范围，精度)[ 原理概述 ] 1． 机械式游标卡尺测量原理图1机械式游标卡尺读数方法游标卡尺是在一个主尺上安装一个可移动副尺（游标）以提高测量精度的测量工 具，可用于一般精度的内外孔径、长度、深度的测量。
一般地，若游标上 m 个刻度的 长度与主尺上(m-1)个最小刻度的长度相等，而主尺上一个最小刻度的长度为 y，则⎧测量精度：∆ = y m, ⎨ ⎩测量值：L = L0 + n∆.Page of（1）中山大学理工学院、东校区实验中心编制实验 1 测量误差与不确定度其中 L0 为游标的 0 刻线对应主尺读数的整数部分，n 为游标上对齐线的顺序数。
大学物理实验误差理论
• 误差的表示方法： 误差的表示方法： ∆x × 100% －绝对误差 ∆x －相对误差 E = • 误差分类 －系统误差
x
－随机误差
6
系统误差
• 定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，其误差的大小和符号 定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，
保持不变， 或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。 保持不变， 或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。
• 区别：产生的原因不同、误差的性质和处理的方法不 同。前者是非统计量，处理方法针对具体的实验情况 来确定；后者是随机量，在处理上有一套完整的统计 方法。 • 共同之处：系统误差与随机误差都是测量误差的一个 随机误差都是测量误差的一个 分量
9
精密度、准确度、精确度
• 精密度高：指随机误差小，测量的 随机误差小，测量的数据很集中。 • 准确度高：指系统误差小，测量的平均值偏离真值小。 系统误差小，测量的平均值偏离真值小 系统误差 • 精确度高：指随机误差和系统误差都非常小，才能说 随机误差和系统误差都非常 系统误差都非常小，才能说 测量的精确度高。
4
测量的要素
• • • • •
测量对象 测量手段（仪器、方法） 测量手段（仪器、方法） 测量结果 测量单位 测量条件
5
测量误差及其分类
误差∆x＝测量结果 误差 ＝测量结果x －真值 x0 • 误差特性：普遍性、误差是小量 误差特性：普遍性、
– 由于真值的不可知，误差实际上很难计算 由于真值的不可知， – （有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计 算误差） 算误差）
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大； 小误差出现的概率比大误差出现的概率大； ②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平 多次测量时分布对称，具有抵偿性 因此取多次测量的平 因此 均值有利于消减随机误差。 均值有利于消减随机误差。
实验1.1_测量误差与不确定度(20130325修订)
预习操作记录实验报告总评成绩《大学物理实验(I)》课程实验报告学院： 专业： 年级：实验人姓名(学号)： 参加人姓名(学号)：日期： 年 月 日 星期 上午[ ] 下午[ ] 晚上[ ]室温： 相对湿度：实验1.1 测量误差与不确定度[实验前思考题]1．列举测量的几种类型？2．误差的分类方法有几种？3．简述直接测量量和间接测量量的平均值及其实验标准差的计算方法，以本实验中实验桌面积的测量为例加以说明。
4．测量仪器导致的不确定度如何确定？在假设自由度为无穷大的情况下，直接测量量的扩展不确定度如何计算？请写出计算步骤。
（若不够写，请自行加页）[ 实验目的 ]1．学习游标卡尺、螺旋测微计、读数显微镜、电子天平的使用方法。
2．学习长度、重量、密度等基本物理量的测量方法。
3．学习测量误差和不确定度的概念和计算方法。
[ 仪器用具 ] 编号 仪器名称 数量 主要参数(型号，测量范围，测量精度)1 游标卡尺 12 螺旋测微计 13 读数显微镜 14 钢尺 15 钢卷尺 16 电子密度天平 17 量杯 18 待测薄板 19 待测金属丝 1 10 待测金属杯 1[ 原理概述 ]1．机械式游标卡尺图1.1. 1 游标卡尺结构查阅教材和说明书，写出游标卡尺各部分的名称： A. C ．E ． G ．B. D ． F ． H ．图1.1. 2 游标卡尺读数假设游标卡尺的单位为cm ，箭头所指的刻线对齐，则读数为：cm ．2． 机械式螺旋测微计图1.1. 3 螺旋测微计结构查阅教材和说明书，写出螺旋测微计各部分的名称： A. C ． E ．G ． I ．B. D ． F ． H ．图1.1. 4 螺旋测微计读数假设螺旋测微计的单位为mm ，按左图，读数为：mm ．注意：（1）转动微分筒之前需逆时针扳动锁把，使微分筒可自由转动。
（2）为保证测量时测杆与被测物表面的接触力恒定，测杆上安装有棘轮装置，使用时应通过旋转棘轮使测杆与工件接触，直至棘轮发出“咔咔”的声音。
大学物理实验论文：大学物理实验中关于不确定度的几个问题讨论
大学物理实验论文：大学物理实验中关于不确定度的几个问题讨论摘要：主要讨论了大学物理实验误差和不确定度的关系以及直接测量不确定度的评估，最后对单次测量的不确定度评估以及不确定度计算过程中数据修约问题进行了讨论。
关键词：大学物理实验；不确定度；误差some discussions about uncertainty in university physics experimentgao jian1, liu wei1, ma xubo21. higher education press, beijing, 100029, china2. physics department of north china electric power university, beijing, 102206, chinaabstract: uncertainty in university physics experiment and its relationship with error were discussed, besides how to assess the uncertainty of direct measurement. and it also discusses the assessment of the uncertainty in one-time measurement and how to revise the data during the process of calculate uncertainty.key words: university physics experiment; uncertainty; error大学物理实验是高等理工科院校学生进行科学实验基本训练的重要基础课程之一。
测量误差与不确定度是大学物理实验中两个非常重要的概念。
误差理论已经较为成熟,而不确定度的概念、理论和应用规范等尚在不断明确、发展和完善之中。
大学物理实验测量不确定度及数据处理基础知识中国地质大学课件
饼图
展示整体的构成比例，适用于 显示各部分在整体中的占比。
EXCEL软件在数据处理中的应 用
EXCEL软件功能强大，是数据处理中不可或缺的工具。它能轻松处理各种类型 的数据，并可创建图表进行数据可视化。
EXCEL拥有丰富的公式和函数库，可用于数据分析和计算。它还提供了数据透 视表和数据透视图，方便用户进行数据探索和分析。
视觉美观和易读性
图表的颜色、字体和布局要和谐 统一，避免过多的装饰，保证图 表的清晰易读。
常用的数据绘图类型
折线图
显示数据随时间或其他变量的 变化趋势，适用于展示数据变 化的趋势和规律。
柱状图
用于比较不同类别的数据，适 合显示各类别之间的差异和大 小。
散点图
显示两个变量之间关系，用于 探索数据之间的关联性和趋势 。
结论和思考题
1 1. 总结
本次课程学习了物理实验测量 的不确定度及数据处理的基本 知识，掌握了常见误差类型、 误差估计方法和数据处理技巧 ，为今后开展物理实验打下了 基础。
2 2. 思考
在实际实验中，如何更有效地 控制误差，提高测量结果的准 确度？
3 3. 探索
除了本课程所涉及的知识，还 有哪些测量不确定度及数据处 理方法可以学习？
重复测量法
对同一物理量进行多次测量，然后计算平均值和标准偏差来估计误差。
间接测量误差估计
间接测量是指通过已知物理量之间的关系来计算未知物理量，例如用速度和时 间计算距离。
误差传播公式
通过误差传播公式，可以将已知物理量的误差传播到计算结果中，从而估计间 接测量结果的误差。
重复测量误差估计
重复测量
1
多次测量同一个物理量，得到一组数据。
数据绘图的基本要求
实验1 测量误差与不确定度
预习
实验操作
实验报告
总评成绩
《大学物理实验课程》实验报告
学院： 实验人姓名(学号)： 日期： 年 月 日 专业： 参加人姓名： 室温： 相对湿度： 年级：
实验 1
测量误差与不确定度
[实验前思考题] 1． 测量分为几种类型？
2． 误差的分类方法有几种？
3． 简述直接测量量和间接测量量的平均值及误差的计算方法，以本实验中铜杯体 积的测量为例说明。
Page
of
[ 数据记录及处理 ] 1． 测量金属薄板的厚度 （1）问题：测量金属板的厚度和金属丝的直径时如何选取测量点，画图说明。
Page
of
实验 1 测量误差与不确定度
（2）实验数据 使用仪器： 次数 i 厚度 d/mm （3）数据处理与结果表达（算出平均值和标准误差，不要求计算不确定度） 1 2 3 4 5 6 平均值
测量精度： y m, 测量值：L L0 n.
其中 L0 为游标的 0 刻线对应主尺读数的整数部分，n 为游标上对齐线的顺序数。
（1）
如图 1 所示，主尺最小刻度为 y =1mm，游标 m =50 个刻度的长度与主尺上 49 个 刻 度 的 长 度 相 等 ， 故 卡 尺 的 测 量 精 度 为 1/50=0.02mm ， 游 标 每 个 刻 度 的 长 度 为 49/50=0.98mm。游标 0 刻线左边的主尺刻线为 41mm，游标第 28 根刻线与主尺的刻线 （69mm）对齐，则读数： 叠加法： L 41 28 0.02 41.56mm 4.156cm 相减法： L 69 28 0.98 41.56mm 4.156cm 直读法： L 4.156cm （2.1） （2.2） （2.3）
大学物理实验误差不确定度教材
Δ 30 0.5% 0.2(mA) 仪
偶然误差的处理
偶然误差的特点：统计规律性
①小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具
有单峰性；
②正、负误差对称分布， 具有抵偿性。
0
P(x)
σ小
σ大
x
处理方法： ①取多次测量的平均值为测量结果
的最佳估计值。 ②研究其分布，找出其特
征值，归入A类不确定度，参与对测量结果 的评价。
y f ( x1 , x2 ,, xm )
通过直接测量已得 x1 x1 u x1 , x2 x2 u x 2 , ..., xm xm u xm
则
y f ( x1 , x2 , , xm )
u ( f f f u x1 ) 2 ( ux2 )2 ( u xm ) 2 x1 x2 xm
1 2
uV V EV 9.436 0.008 0.08(cm3 )
（4）环体积的测量结果为
V=9.44±0.08 cm3
9.436应与0.08取齐，故将9.436修约为9.44。
2-2数值的有效位数及其运算规则
有效位数的概念
测量结果用且只用它的有效位数表示。 不确定度决定有效位数。 具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。
(4)合成不确定度
A B 0.002 0.002 0.0028 0.003mm
2 2 2 2
0.003 E 100% 0.03% 8.348
(5)测量结果为
D 8.348 0.003mm E 0.03%
设被测量y可写成m个直接测量量 x1 , x2 ,, xm 的函数
大物实验不确定度
加测量次数，可以
– 很大的误差通常不出现；
减少测量误差
– 随机误差的算术平均值趋 于零；若无系统误差，测 次量数的少平，均乘值t因趋子于。真值。
认识正态分布函数
大物实设验对不物确定理度量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值 xi(i=1,2,…）满足正态分布，则
平均值 等于真值 X 0
来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等
特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化
处理
多次测量减小随机误差，计算标准偏差来估算测量的准确程度
测量值的分布
大物实验不确定度
• 重复测量中各测量值及其出现次数的关系
如：均匀分布、三角分布、正态分布、……
• 任何分布，其统计量的分布都趋于正态分 布
如：x1, x2, …… xn,
实验仪器的最大允许误差(Δ仪)
大物实验不确定度
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准中查到。表 1.3.1（p13)摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表（指针式）的示值误差限：
数字仪表？
Δ仪= 量程×准确度等级/100 如：0.5级电流表，量程3A， Δ仪=3×0.5/100=0.015A
x
1 n
n i 1
xi
还有标准偏差等都是统计量
• 实验采用统计量表示
随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，随机
大物实验不确定度
误差δ趋近如下分布，f (δ)反映误差δ出现的几率。
f ()
1
- 2
e 22
2
0
δ
特点 – 正负测误量差次出数现的较几少率时相等； – 将绝对偏值离较正小态的分误差布出,增现的
大学物理实验中的误差和不确定性
大学物理实验中的误差和不确定性在大学物理实验中，误差和不确定性是无法避免的。
它们对实验结果的精确性和可靠性有很大影响。
本文将对大学物理实验中的误差来源、误差分析方法以及不确定性进行探讨，以期帮助读者更好地理解和处理实验数据。
一、误差来源1. 人为误差：人为误差源于实验者自身的不准确操作或测量判断。
例如，实验者在读数时可能存在读数不准确、操作不规范等情况，从而引入人为误差。
2. 仪器误差：仪器本身存在的误差也是实验中常见的来源之一。
不同仪器的精度和灵敏度不尽相同，所以在进行实验时需要仔细选择和使用仪器，以减小仪器误差对实验结果的影响。
3. 随机误差：随机误差是由一系列随机因素引起的误差。
例如，由于环境的微弱变化或测量手法的不完美，导致的重复测量结果不完全一致。
二、误差分析方法1. 重复测量法：重复测量法是通过多次重复测量同一物理量的数值，然后计算平均值和标准偏差，以减小随机误差对结果的影响。
重复测量法可以提高实验结果的可靠性和精确性。
2. 构造误差概率密度分布图：通过对测量数据进行概率密度分布图的构建，可以了解误差在整个测量范围内的分布情况。
常见的误差分布有正态分布、均匀分布等，通过分析误差的概率分布情况，可以更好地理解误差的特性。
3. 方差分析法：方差分析法可以用来分析不同因素对实验结果的影响程度。
通过对实验数据进行方差分析，可以确定主要误差来源，并且对影响程度较大的因素进行优化，提高实验的精确性。
三、不确定性不确定性是物理实验中非常重要的一个概念。
不确定性是对测量结果的不确定程度进行量化的指标，一般用标准不确定度或扩展不确定度来表示。
1. 标准不确定度：标准不确定度是测量结果的一种误差范围估计值，通常用统计学的方法计算得出。
标准不确定度用来表示一个测量结果的可靠性和精确性。
2. 扩展不确定度：扩展不确定度是对标准不确定度进行修正和扩展的一种误差范围估计值，一般是用于报告测量结果。
扩展不确定度是由标准不确定度与置信度相乘得到的。