高中数学必修五第二章数列教案

第二章 数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2

a c

b +=

，则称b 为a 与c 的等差中项．

13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 14、通项公式的变形： ()n m a a n m d =+-；11

n a a d n -=

-；n m a a d n m

-=

-．

15、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；

若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*

q ∈N ），则2n p q a a a =+．

16、等差数列的前n 项和的公式：（1）()12

n n n a a S +=

；（2）()112

n n n S na d -=+

．

17、等差数列{}n a 的前n 项和n S 和n a 的关系：

（1）等差数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 有如下关系：11(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?-≥?

（2）若已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 求通项公式n a ，要分两步进行： ①先求2n ≥时，1n n n a S S -=-；

②再令1n =求得1a .若11a S =，则n a 即为所求；若11a S ≠，则11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，

即必须表示为分段函数形式. 18、等差数列的前n 项和n S 的性质：

（1）项数（下标）的“等和”性质：()

11()

2

2

n m n m n n a a n a a S -+++==

（2）项的个数的“奇偶”性质：

①若项数为()*

2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，

1

n n S a S a +=

奇偶

．

②若项数为()*21n n +∈N ，则()21121n n S n a ++=+，且S

偶

-S

奇

1n a +=-，S

偶

: S

奇

:1n n =+

（3）“片段和”性质：等差数列{}n a 中，公差为d ，前k 项的和为k S ，则k S 、2k k S -、

32k k S -，……，(1)m k m k S --，……构成公差为2

k d 的等差数列.

19、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

20、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若

2

G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．

21、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1

1n n a a q -=．

22、通项公式的变形： n m

n m a a q

-=；1

1

n n a q

a -=

；n m

n m

a q

a -=

．

23、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*

q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；

若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*

q ∈N ），则2

n p q a a a =?．

24、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()

()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =??

=-?-=≠?

--?

．

25、等比数列的前n 项和的性质： （1）项的个数的“奇偶”性质： ①若项数为()*2n n ∈N ，则

S q S =偶奇

②若项数为()*21n n +∈N ，则S

奇

-S

偶

122

1n a a q

++=

+（1q ≠±）

（2）“片段和”性质：等比数列{}n a 中，公比为q ，前k 项的和为(0)k k S S ≠，则k S 、2k k S -、

32k k S -，……，(1)m k m k S --，……构成公比为k

q 的等比数列.

（3）“相关和”性质：n

n m n m S S q S +=+? 26、数列的通项公式的求法

（1）观察法（2）代换法（3）迭代法（4）累加法（5）累乘法（6）待定系数法 27、数列的前n 项和的求法

（1）公式法（2）倒序相加法（3）裂项相消法（4）错位相减法（5）分段求和法

数列单元测试题

（满分100分 90分钟）

姓名_______________

一. 选择题：（每题4分，共48分） 1.在数列{}a n 中,3

11

=

a

, )2(21

)1(≥=

--n a

a n n

n ,则=a 5

( )

A. 3

16-

B.3

16 C.3

8- D.

3

8

2.在等差数列

{}

a n

中,

=+

+a

a

a 7

4

1

39 ,

=

++a a a 8

5

2

33 则

=++a a a 9

6

3

( )

A. 30

B. 27

C. 24

D. 21 3.设

{}a n

是递增等差数列,前三项的和是12,前三项的积为48,则它的首项是( )

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6 4.在等差数列

{}a n

中,若8171593=+++a a a a ,则=a

11

( )

A.1

B.-1

C.2

D.-2

5. 等差数列前10项和为100，前100项和为10。则前110项的和为

A ．-90

B ．90

C ．-110

D ．10 6．两个等差数列，它们的前n 项和之比为

1

235-+n n ，则这两个数列的第9项之比是（ ）

A ．

3

5 B ．

5

8 C ．3

8 D ．

4

7

7. 设等比数列｛a n ｝中,每项均为正数,且a 3〃a 8=81,log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于 A.5 B.10 C.20 D.40 8.已知等比数列的公比为2,若前4项之和为1,则前8项之和为( ) A.15 B.17 C.19 D.21

9.数列1 , a , a 2

, …… , a

n 1

- ,……的前N 项和为( )

A.

a

a

n

--

11 B.

a

a

n --

+111

C.

a

a

n --

+112

D.均不正确

10.设直角三角形ABC 三边成等比数列,公比为q, 则q 2

的值为( )

A.2

B.2

15- C. 2

15+ D. 2

15±

11.若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ 前100项之和为0，则θ的值为（ ） A. ()3

k k Z π

π±

∈ B. 2()3

k k Z π

π±

∈ C. 22()3

k k Z ππ±

∈ D.以上的答案均不

对

12.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成

A.等差

B.等比

C.非等差也非等比

D.既等差也等比 二. 填空题：（每题4分，共16分）

13．在等差数列{}a n 中，a 3 、a 10 是方程0532

=--x x 的两根，

则=+a a 8

5

14. 已知数列{}a

n 的通项公式1n a =

n 项和为10，则项数n 为

15.小于200的自然数中被7除余3的所有的数的和是______________。

16. 等差数列5，8，11，……与等差数列3，8，13，……都有100项，那么这两个数列相同的项共有______________项。 三、解答题（共36分）

17. 已知a ,b ,c 成等差数列。求证:bc a -2

,ac b -2

,ab c -2

是等差数列。（8分）

18. 一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。（8分）

19. 数列{}n a 中,当n 为奇数时,15+=n a n ,当n 为偶数时,n a =22n

,若数列{}n a 共有2m )(N m ∈项。求这个数列的前2m 项的和m S 2。（12分）

20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知3a =12，且12130,0s s ><。（8分）

（1） 求公差d 的范围；

（2） 问前几项和最大？并说明理由。