初二数学平方根+立方根讲义
八年级上数学实数平方根与立方根
6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。
记作。
0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。
蕴含条件a≥0。
三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。
(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。
(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。
(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。
即,± 。
(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。
∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（ 第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
无理数、平方根与立方根讲义
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根。
注：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
二、同步题型分析1、说说谁“有理”，谁“无理” 以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________. 答案：有理数：－1，23，3.14,3.3,0,2,27,24. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.3,27整数：－1，0，2，242、在“()05，3.14 ，-π，()23，0.123334， 0.212212221…”这6个数中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3、下列语句正确的是（ ） A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4、在直角△ABC 中，△C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定答案：B5、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 答案：不是，是）解：解：()28=±64±=即()2711=±）解：解：解：利用平方根来解下列方程．（2x-1）2-169=0变式训练：、下列计算正确的是（=±2 B ()0.02±0.0004±即()225=±11的平方根是（2）∵（x ﹣1）3=8， ∴x ﹣1=2， ∴x=3． 点评： 本题考查了学生开平方、立方的能力，也考查了解方程的方法，比较容易解答．变式训练1．求下列各式中的x ：（1）4x 2=9； （2）1﹣（x+1）3=1001． 解答：解：（1）∵x 2=， ∴；（2）∵1﹣（x+1）3=1001，∴（x+1）3=﹣1000，∴x+1=﹣10，∴=﹣11．1、判断题(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………………………………… …( )(2)－52的平方根为－5.……………………………………………………………… （ ） (3)0和负数没有平方根.……………………………………………………………… （ ）（4）因为161的平方根是±41,所以161=±41.……………………………………… （ ）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.…………………………………… （ ） 2、选择题（1）下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）(2)2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对（3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a3、填空题(1)若9x 2－49=0,则x =________.(2)若12 x 有意义，则x 范围是________.(3)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.(4)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.4、已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形.(1)求这个正方形的边长.(2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ）图1参考答案1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(1)D (2)D (3)D (4)B3.(1)±37 (2)x ≥－21(3)x =4,y =－8 (4)－a ,－a 4.(1)2a cm (2)2.8 cm【巩固练习】1、算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 2、2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 3、满足53<<-x 的整数x 是（ ） A 、3,2,1,0,1,2-- B 、3,2,1,0,1- C 、3,2,1,0,1,2-- D 、2,1,0,1-4、下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5、已知x ，y 是实数，且34x ++（y-3）2=0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．94 D ．-946、下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是4 D. 16的平方根是±27、下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，18、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 答案：7cm。
数学自学指南 实数之平方根、立方根
自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共6页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.例5．求下列式子中的x28x2-63=0．【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=722．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±第2页共6页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训D. ±3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4．的平方根是（）A.B.C.D.5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________7．求x值：（x﹣1）2=258．已知，则a﹣b的值是__________ ．9．观察数表：第3页共6页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求的值．例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。
【精品】初中数学 05平方根与立方根 讲义+练习题
讲义主题： 平方根与立方根一：课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解（1）（2）（3）···二、课程内容讲解与课堂练习题模一：平方根例1.1.1±3是9的（ ）A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．算术平方根 例1.1.2的平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ． D ．±例1.1.3若12-a 和5-a 是一个正数m 的两个平方根，则a ＝__________，m ＝__________．【讲透例题】题模一：平方根例1.1.1【答案】A【解析】∵（±3）2=9，∴±3是9的平方根，故选；A ．例1.1.2【答案】D【解析】∵=2，∴的平方根是±．例1.1.3【答案】2；9【解析】该题考查的是平方根的性质．∵一个数的平方根互为相反数∴2150a a -+-=，解得：2a =∴()()22212219m a =-=⨯-=【讲透考点】平方根平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．平方根的表示方法：若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示 为“a ±”．平方根的特征：1．正数有两个平方根，且互为相反数；2．0的平方根是它本身；3．负数没有平方根．【相似题练习】随练81________．随练1.2若225a =，9b =a b +=（ ）A ．8B ．8±C ．8或2-D ．2或8-题模二：算术平方根例1.2.14的算术平方根是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D 2例1.2.229的算术平方根是__________．例1.2.3下列说法正确的是（ ）A 42B ．0和1的相反数都是它本身C ．将5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是4D 2是分数例1.2.4一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）A ．a+1B ．a 2+1C 2a 1+D a 1+例1.2.5 若12-x 有意义，则x 的取值范围是__________．【讲透例题】题模二：算术平方根例1.2.1【答案】A【解析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． ∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选A ．例1.2.2 29【解析】2929例1.2.3【答案】C【解析】A 42B 、1的相反数不是它本身，故本选项错误；C 、5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是（5×2+4×2+3×2）÷6=4，故本选项正确；D 2是无理数，不是分数，故本选项错误． 故选C ．例1.2.4【答案】B【解析】∵一个自然数的算术平方根为a ，∴这个自然数是a 2．∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a 2+1．故选B ．例1.2.5 【答案】12x ≥【解析】双重非负性可得210x -≥，解得12x ≥【讲透考点】二．算术平方根算术平方根的概念: 如果一个非负数x的平方等于a，即2x a=，那么非负数x是a的算术平方根．算术平方根的表示方法：a a a叫做被开方数．算术平方根的性质：双重非负性，在x a=0x≥，0a≥．【相似题练习】随练1.3一个数的算术平方根是2，则这个数是____．随练()28-）A．8-B．8C．8±D．8±题模三：开平方例()22-的平方根为( )A．2-B．2C．2±D．2±例1.3.2如果a是121的平方根，那么24a的算术平方根的相反数的倒数的是__________．例1.3.37例1.3.4 1.718721 1.31117.197609 4.147，那么0.0001718721-，1719760900=__________．【讲透例题】题模三：开平方例1.3.1【答案】D【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．一个正数有两个平方根．()222-=，2的平方根有两个，2所以本题的答案是D．例1.3.2 【答案】211-【解析】2212111442a ⎛⎫==± ⎪⎝⎭,24a 的算术平方根为112，112的相反数的倒数的是211-例1.3.3【答案】2和3之间 479273<<例1.3.4【答案】0.0311-，41470【解析】被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．【讲透考点】开平方开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．开平方运算的性质：1．当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：（1）若0a ≥，则2(a a =；（2）不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系． 【相似题练习】随练1.5已知实数x 、y 231220x y x y ---+=，求85x y +的平方根．随练1.6已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是(___)(___)．题模四：立方根例2.1.127的立方根是__________．例2.1.2338的立方根是__________． 例2.1.36427-的立方根是__________． 例2.1.49的立方根是__________．例2.1.5下列说法正确的是（ ）A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3-【讲透例题】题模四：立方根例2.1.1【答案】3【解析】3273=例2.1.2 【答案】32 【解析】332733882⎛⎫== ⎪⎝⎭ 例2.1.3 【答案】43-【解析】3644273⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 例2.1.4 39 39例2.1.5【答案】D【解析】该题考查的是平方根和立方根的概念．A ：错误，16的算术平方根为4；B ：错误，25的平方根为5±；C ：错误，1的立方根为1；D ：正确，所以本题的答案是D ．【讲透考点】立方根立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略．立方根的特点：1．任意一个数都有立方根；2．正数立方根是正值；3．负数的立方根是负值；4．0的立方根是0．【相似题练习】随练2.1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）A ．0B ．正整数C ．0和1D ．1随练2.2下列说法正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零随练2.3下列各式中，正确的是（ ）A ．93=±B ()222-=-C 393-=-D ．233-= 随练2.4()255--255±42=382-=-A ．3B ．2C ．1D ．0题模五：开立方例2.2.1求符合下列各条件中的x 的值．（1）2104x -=（2）31108x +=例2.2.2已知343的立方根是7，那么343000的立方根是__________．例2.2.3324a -343b -ab ． 例2.2.42n m -+是4322m +8的立方根，求1mn +的平方根【讲透例题】题模五：开立方例2.2.1【答案】（1）12x =±（2）2-=x 【解析】该题考查的是解高次方程．（1）2104x -=214x = 14x =±12x = （2）31108x +=38x =-2x =- 例2.2.2【答案】70．【解析】70．例2.2.3【答案】16【解析】两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数，∴2443230a b a b -+-=-=， ∴32a b =．例2.2.4【答案】16【解析】该题考察的是代数式求值．算术平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，则这个正数x 为a 的算术平方根 立方根：若一个数x 的立方等于a ，即3x a =，则这个数x 为a 的立方根．∵224=，∴2是424n m -+，即24n m -+=∵328=，∴2是833228m +228m +=∴5n =，3m =∴116mn +=【讲透考点】开立方开立方的概念：求一个数的立方根的运算．开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．开立方运算的性质：1．当被开方数（大于0）扩大（或缩小）3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 233a a =，33a a =． 【相似题练习】随练2.533(4)4k k -=－，则k 的取值范围为（ ）A ．4k ≥B ．4k ≤C ．4k =D ．k 为任意数随练2.6 求符合下列各条件中的x 的值．（1）3343x = （2）()3364x -=-随练2.733560x y -+-=，求x y +的值．三、课后练习（写出各题的主要解答过程。
青岛版数学八年级下册_平方根与立方根考点解析
平方根与立方根考点解析考点1：平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算．1.平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“-”表示，a的平方根合起来记作，其中读作“二次根号”，读作“二次根号下a”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.典例1下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）；（4）0.49.【解析】（1）∵(±9)2=81，∴81的平方根为±9．即：；（2），的平方根是，即；（3），的平方根是，即；（4）∵(±0.7)2=0.49，∴0.49的平方根为±0.7．.2.平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算.考点2：平方根的性质1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2.0有一个平方根，它是0本身．3.负数没有平方根．数a是否有平方根，应根据a的取值而定，一般地，①当a是正数时，a有两个平方根，它们是互为相反数；②当a是0时，只有一个平方根是它本身；而当a为负数时，则没有平方根，所以判断一个数a是否有平方根一定要注意a的隐含条件，即a一定是非负数．典例2求下列各式中x的值：（1）；（2）.【解析】这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解.解：（1），，，则（2），，则本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题.但要注意一个正数的平方根有两个.考点3：算术平方根0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根．典例3求下列各数的算术平方根：【解析】(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即(4)因为(0.7)2=0.49，所以0.49的算术平方根是0.7，即考点4：平方根与算术平方根的区别及联系区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为. （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种. （2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有.（3）0的平方根、算术平方根均为0.平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根.要特别注意.典例4填空：（1）1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．（2）平方根是它本身的数是____．（3）立方根是其本身的数是____．（4）算术平方根是其本身的数是________．（5）的立方根为________.（6）的平方根为________.（7）的立方根为________ .【解析】（1）±1；1；1．（2）0．(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．)（3）±1和0．(由此题，再复习一道立方根的性质．)（4）0，1．(此题有学生可能会忘掉0．)（5）-2（此题学生易得出-4的答案，应引导学生将翻译为-8，在求立方根，也有学生将看成得到，讲解时注意）（6）（此题首先让学生把计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）（7）-2．考点5：立方根1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根)用数学式表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方运算与立方运算互为逆运算．3.立方根的表示方法：类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.4.立方根的性质：正数的两方法供是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. 方根概念的拓展概念：若x a n=，则x 叫a 的n 次方根表示为 x a n=，（n ≥2的整数）n 为偶数时，可对比平方根 a ≥0时，a 有n 次方根； a <0时，a 的n 次方根不存在. n 为奇数时，对任意的a 都有n 次方根. 归纳：A ：n 为偶数时，①a a n n =||，②()()a a a nn =≥0；B ：n 为奇数时：a a a n nn n ==(). 典例5 求下列各数的立方根：【解析】（1）∵(-2)3=-8，（2）∵23=8，（4）∵ (0.6)3=0.216，（5）∵03=0，小试牛刀下列说法对不对，为什么？ （1）64的立方根是； （2）无意义； （3）251的平方根是51； （4）和相等；（5）1258-的立方根是52-；（6）零的平方根、算术平方根、立方根都等于零．分析：立方根与平方根的性质有很大的区别，要特别注意两种方根的表示方法和叙述的不同.解：（1）不对．∵正数有一个正的立方根． ∴64的立方根是4，即；（2）不对．∵负数有一个负的立方根， ∴有意义，且；（3）不对．∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴的平方根是 ；（4）对．∵，，∴．（5）对．∵，∴的立方根是．（6）对．因为零的平方根、算术平方根、立方根都是零．。
平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
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立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
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什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
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按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
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你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
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思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
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平方根与立方根课件
平方根的减法运算
平方根的乘法运算
平方根的除法运算
对于任何正实数a和b，有√a √b = √(a-b)。
对于任何正实数a和b，有√a * √b = √(ab)。
对于任何正实数a和b（b≠0） ，有√a / √b = √(a/b)。
02
立方根的定义与性质
立方根的基本定义
80%
立方根的概念
若一个数的三次方等于a，则这 个数称为a的立方根。
开方与加减法的关系
当被开方数的小数点向右移动一位，则其立方根的小数点相应地向右移 动三位；当被开方数的小数点向左移动一位，则其立方根的小数点相应 地向左移动三位。
03
平方根与立方根的应用
在数学中的应用
平方根用于求解非负数平方的问题，例如计算一个数的平方或求 解一元二次方程的实数根。
立方根用于求解一个数的立方的问题，例如计算一个数的立方或 求解一元三次方程的实数根。
详细描述
配方法适用于求解任意实数的平方根。首先，将被开方数进行配方，使其成为一 个完全平方数的形式，然后利用开平方的公式进行计算。例如，求√25的值，可 以先将25写成(5×5)的形式，即√25=√(5×5)=5。
因式分解法
总结词
因式分解法是一种通过因式分解来求解平方根的方法。
详细描述
因式分解法适用于求解一些特殊数的平方根。首先，将被开方数进行因式分解，将其写成两个相同因数的乘积形 式，然后利用开平方的公式进行计算。例如，求√8的值，可以先将8写成(2×2×2)的形式，即 √8=√(2×2×2)=2√2。
运算性质
立方根具有一些运算性质，例 如√[3]a^3=a， √[3](a+b)^3=a+b等。
立方根的运算规则
平方根和立方根讲义
专题1: 平方根和立方根【基础知识梳理】 一、算术平方根1、算术平方根定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a ，x 就是a 的算术平方根。
例1：下列说法中正确的是（ ）A.25是5的算术平方根B.5是25的算术平方根C.5是25的算术平方根D.25是5的算术平方根 例2：81的算术平方根是 。
例3：若a+2有算术平方根，则a= 。
例4：若一个圆的面积为236cm π，则这个圆的直径为 cm 。
小结：（1）只有非负数才有算术平方根（2）一个非负数的算术平方根只有一个且仍旧为非负数。
2、你对正数a 的算术平方根a 的结果有怎样的认识呢？a 的结果有两种情：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
例如7525和=，25是完全平方数，7不是完全平方数。
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525== 二、平方根1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方，即a x ±=。
例如：9的平方根是±3，±3的平方等于9，所以平方与开平方互为逆运算． 例5：求下列各数的平方根。
（1） 100 （2）169 （3） 0.25 （4）412 （5）49.0例6：求下列各式中的x 的值。
81)2(16)4(845.021)3(0100)2(225)1(2222=+==-=x x x x2、平方根的性质：讨论：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个0；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；符号：非负数a 的算术平方根可用a 表示；负的平方根可用-a 表示；平方根则表示为a ±，这里的0≥a例7下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． （1）－64 （2）0 （3）(－4)2（4）10－2例8：（1）下列运算正确的是（ ） （2） ：下列计算正确的是（ ）18324.148686.12144.3)3(.222±=±=+=+=--=-D C B A例9：若13++-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
初二-平方根和立方根
平方根与立方根【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的平方根是1；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
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答：连接北斗七星勺形前端的两颗星，并将连线向勺口方延长约5倍远，处于此位置的那颗星就是北极星。
6.方程思想解2次方程：
18、大多数生物都是由多细胞组成的，但也有一些生物，它们只有一个细胞，称为单细胞生物。如草履虫、变形虫、细菌等。(1)若9x2－49=0，则x=________．
1、世界是由物质构成的。我们身边的书、橡皮、电灯、大树、动物、植物包括我们自己都是由物质构成的。
联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0。
(2)平方根、立方根都是开方的结果。
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于 ，这个数就叫做 的平方根”；“如果一个数的立方等于 ，这个数就叫做 的立方根。”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根。
7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。(2)解方程
8、地球自转一周的时间是一天；地球公转一周的时间是一年；月球公转一周的时间是农历一个月。
一、填空：
8、铁生锈的原因是什么？人们怎样防止铁生锈？(3)解方程（ x）2=16 (4)（x+5）2=144
(3).一个正偶数的算术平方根是m，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）
A．m+2B．m+ C． D．
(4).已知:2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2 n的平方根．
2.一个数能进行算术平方根与平方根的条件
(1).若 有意义，则a能取的最小整数为____．
(2).若|x－2|+ =0，则x·y=______．
7.解下列方程
8.已知 ，且 ，求 的值
7、 的自变量 的取值范围是（）
A. Bபைடு நூலகம் C. D.全体实数
五、教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：___________
校长签字：___________家长签字：___________
(3).若 有意义，则x范围是________．
(4).已知｜x－4｜+ =0，那么x=________，y=________．
(5).已知 则
3.关于字母的平方根或算术平方根的计算：
(1). 等于（ ）
A．aB．－a C．±aD．以上答案都不对
(2).如果a＜0，那么 =________，（ ）2=________．
(1)、立方根
若一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫三次方根)，记为 ，读作 等于三次根号 。求一个数立方根的运算，叫做开立方运算。
5.平方根与立方根的区别与联系。
我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别。
总结一下平方根与立方根的联系与区别：
(3).化简：
(4)若 ,
若 ,
(5)化简：
________, ________, ________.
4.平方根是两个互为相反数：
(1)已知某数有两个平方根分别是a+3与2a－15，求这个数．
(2)若 是同一个数的平方根，则m=_________.
5.平方根的分类讨论思想：
(1).若 得值为（）
A．-2 B.5 C. D.-5
名思教育辅导讲义
学员姓名
黄永霖
辅导科目
数学
年级
七年级
授课教师
刘琳琳
课题
平方根+立方根
授课时间
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
一、上次课后拓展练习讲解
二、书本知识讲解+课堂练习
一、知识回顾
一、知识回顾
1、无理数的概念
（这是重点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如 ;无理数也不一定带根号,如圆周率.
(3)表示法不同
正数 的平方根表示为± ， 的立方根表示为 。
(4)被开方数的取值范围不同
± 中的被开方数 是非负数； 中的被开方数可以是任何数。
在这部分的对比中可以加入对开方运算的推广，如4次，5次的开方运算，及n次的开方运算，并给出这些运算的表达式。若 ，则
(1)0.36(2) (-1.3) (3) (4) 31
9、淡水是我们人类和其他生物生存的必需品，但是地球上的淡水资源十分有限，地球上的多数地区缺水。四、立方根练习题
1.当 时， 有意义；当 时， 有意义
2.
3.第三单元宇宙 的立方根是， 的平方根是， 的立方根是
4.
5.4、如何借助大熊座找到北极星？（P58）－8的立方根与 的一个平方根的和等于
6.一个自然数的算术平方根是 ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，立方根是
2.求下列各数的算术平方根。
（1）225（2） （3） （4）
3.求下列各数的立方根
－8
4.计算
三、平方根、算术平方根综合应用
1.算术平方根与原数之间的转换计算：
(1)一个自然数的算术平方根为a，则与它相邻的下一个自然数的算术平方根是（）
A． B. C. D.
(2).若 =2，则2x+5的平方根是______．
2、算术平方根
（这是重点）如果一个数x的平方等于a即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作“ ”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即 =0，如 ，那么2叫做4的算术平方根。
3、平方根
（这是重、难点）平方根：如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）；①平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；②开方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。