初中七年级数学 第八章 一元一次不等式 第8章 整合提升密码

专训1.巧用一元一次不等式(组)进行方案设计名师点金：利用一元一次不等式(组)来设计方案问题应用广泛，解答这类问题的关键是先根据题意列出不等式(组)，再根据问题的实际意义得出不等式(组)的特殊解来确定方案．其主要类型有：通信计费方案、商品购买方案、车辆调配方案等．通信计费方案1．某人的移动电话(手机)可选择两种收费办法中的一种，甲种收费办法是先交月租费20元，每通一分钟电话再收费0.1元；乙种收费办法是不交月租费，每通一分钟电话收费0.2元．问每月通话时间在什么范围内选择甲种收费办法合适？在什么范围内选择乙种收费办法合适？商品购买方案2．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案．在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100.(1)根据题意，填写下表：(单位：元)(2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？车辆调配方案3．某镇组织20辆汽车装运A，B，C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的关系式；(2)如果装运每种脐橙的车辆都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出所有的安排方案．4．某市果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．(1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？(2)若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？【导学号：05742087】专训2.全章热门考点整合应用名师点金：本章中的一元一次不等式(组)的解法及应用是中考的必考内容，从近几年的中考试题来看，重点考查不等式的基本性质，求一元一次不等式(组)的解集，主要以选择题、填空题的形式出现，难度较小．有关列不等式(组)解应用题的试题不断渗透新的理念、新的情境，题型涉及选择题、填空题和解答题．全章主要热门考点脉络：四个概念―→一个性质―→四个解法―→两个应用．概念1：不等式1．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．(1)x ＋y ；(2)3x ＞7；(3)5＝2x ＋3；(4)x 2＞0；(5)2x －3y ＝1；(6)52；(7)2＞3.概念2：一元一次不等式2．下列式子是一元一次不等式的是( )A ．2x 2＋1＞3B .1x －4＜5C ．3(x －1)＜32(2x ＋1) D ．2y ＞0 概念3：一元一次不等式组3．下列式子中，一元一次不等式组有( ) ①⎩⎨⎧x ＞0，2x ＋5＜－1；①⎩⎨⎧x ＋π＞－2，3－x ＜0；①⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2＜3，x －5＞4； ①⎩⎨⎧ab ＜－5，a ＋b ＞0；①⎩⎨⎧m ＋2n ＋2≥0，m －2n －2≤0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 概念4：不等式组的解或解集 4．下列说法中，正确的有( )①x ＝7是不等式x ＞1的解；①不等式2x ＞4的解是x ＞2；①不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x≥－2的解集是－2≤x ＜3；①不等式组⎩⎨⎧x≥6，x≤6的解集是x ＝6；①不等式组⎩⎨⎧x ＞4，x ＜2无解．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列不等式变形中，一定正确的是( ) A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a ＞b ，则am 2＞bm 2C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bD ．若a ＞0，b ＞0，且1a ＞1b ，则a ＞b四个解法类型1：一元一次不等式的解法 6．(中考·安徽)解不等式：x3＞1－x －36.7．解不等式12x －1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．类型2：一元一次不等式组的解法8．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1)(中考·遂宁)⎩⎨⎧－2x ＜6 ①，3（x ＋1）≤2x ＋5 ①；(2)(中考·扬州)⎩⎪⎨⎪⎧3x≥4x －1 ①，5x －12＞x －2 ①.类型3：求一元一次不等式(组)的整数解 9．使x －5＞4x －3成立的最大整数是什么？10．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＞3x －4，①－12x≤2－x ，①并求它的正整数解．类型4：含字母系数的一元一次不等式组的解法11．已知关于x ，y的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝k ＋1，x ＋3y ＝3的解满足－1＜x ＋y ＜1，求k 的取值范围．【导学号：05742088】两个应用应用1：一元一次不等式的应用12．(中考·长沙)为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．(1)若购买两种树苗的总金额为90 000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？应用2：一元一次不等式组的应用13．(中考·凉山州)2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的环邛海空中列车，这将是国内第一条空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．(1)每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？(2)预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1 600 m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200 m3，每辆小车每天运送沙石120 m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1 000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9 300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？【导学号：05742089】答案专训11．解：设通话x分钟，则若20＋0.1x<0.2x，解得x>200，若20＋0.1x>0.2x，解得x<200，所以当每月通话时间多于200分钟时，选择甲种收费办法合适，当每月通话时间少于200分钟时，选择乙种收费办法合适．2．解：(1)271；0.9x＋10；278；0.95x＋2.5(2)根据题意，得0.9x＋10＝0.95x＋2. 5，解得x＝150.所以当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．(3)令0.9x＋10＜0.95x＋2.5，解得x＞150；令0.9x＋10＞0.95x＋2.5，解得x＜150.所以当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少；当小红累计购物超过100元但不足150元时，在乙商场的实际花费少．点拨：此题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，此类问题出现的较多且不简单，有一定难度，涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．3．解：(1)根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为(20－x －y )，则有6x ＋5y ＋4(20－x －y )＝100.整理，得y ＝－2x ＋20.(2)由(1)知装运A ，B ，C 三种脐橙的车辆数分别为x ，－2x ＋20，x . 由题意，得－2x ＋20≥4，解得x ≤8.又因为x ≥4，且x 取正整数，所以x 的值为4，5，6，7，8，所以安排方案共有5种．方案一：装运A 种脐橙的汽车4辆，B 种脐橙的汽车12辆，C 种脐橙的汽车4辆；方案二：装运A 种脐橙的汽车5辆，B 种脐橙的汽车10辆，C 种脐橙的汽车5辆；方案三：装运A 种脐橙的汽车6辆，B 种脐橙的汽车8辆，C 种脐橙的汽车6辆；方案四：装运A 种脐橙的汽车7辆，B 种脐橙的汽车6辆，C 种脐橙的汽车7辆；方案五：装运A 种脐橙的汽车8辆，B 种脐橙的汽车4辆，C 种脐橙的汽车8辆．4．解：(1)设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车(8－x )辆，由题意得 ⎩⎨⎧4x ＋2（8－x ）≥20，x ＋2（8－x ）≥12， 解得2≤x ≤4.因为x 是整数，所以x 可取2，3，4. 所以安排甲、乙两种货车有三种方案：(2)方案一所需运费为300×2＋240×6＝2 040(元)； 方案二所需运费为300×3＋240×5＝2 100(元)； 方案三所需运费为300×4＋240×4＝2 160(元)．因为2 040<2 100<2 160，所以果农王灿应选择方案一，使运费最少，最少运费是2 040元．专训21．解：等式有(3)(5)，不等式有(2)(4)(7)，既不是等式也不是不等式的有(1)(6)． 点拨：根据等式和不等式的概念可知，用“＝”连接的式子一般是等式，用“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接的式子一般是不等式，没有等号和不等号的式子一般既不是等式，也不是不等式．2．D3．B 点拨：①中1x 不是整式，①①中均含有2个未知数，所以①①①均不是一元一次不等式组．只有①①是一元一次不等式组．故选B .4．C 点拨：当x ＝7时，x ＞1成立，所以x ＝7是不等式x ＞1的解，故①正确；不等式2x ＞4的解集是x ＞2，故①错误；不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x≥－2的解集是x ＞3，故①错误；不等式组⎩⎨⎧x≥6，x≤6的解集是x ＝6，故①正确；不等式组⎩⎨⎧x ＞4，x ＜2无解，故①正确．故正确的有①①①，共3个，故选C .5．C 点拨：A 中，若c ＜0，则两边同时除以c ，得a ＜b ；B 中，若m ＝0，则两边同时乘m 2，得am 2＝bm 2＝0；C 中，由ac 2＞bc 2可知c ≠0，两边同时除以c 2(c 2＞0)，有a ＞b ；D 可用特殊值法，设a ＝1，b ＝2，代入检验即可．要注意不等式中的隐含条件，如ac 2＞bc 2中，隐含着“c ≠0”这一条件．6．解：去分母，得2x ＞6－x ＋3，移项，合并同类项，得3x ＞9，化系数为1得x ＞3，所以原不等式的解集为x ＞3.7．解：去分母，得3x －6≤4x －3，移项，得4x －3x ≥3－6，合并同类项，得x ≥－3，在数轴上表示如图：(第7题)8．解：(1)由①得x ＞－3，由①得x ≤2，故此不等式组的解集为－3＜x ≤2.在数轴上表示如图：[第8(1)题](2)由①得x ≤1；由①得x ＞－1，故此不等式组的解集为－1＜x ≤1.在数轴上表示如图：[第8(2)题]9．解：将原不等式移项、合并同类项，得－3x ＞2.系数化为1，得x ＜－23.将不等式的解集在数轴上表示出来，如图：(第9题)因为在这个解集范围内的最大整数为－1，所以使x －5＞4x －3成立的最大整数是－1.点拨：利用数轴求不等式(组)的整数解更简捷一些．10．解：解不等式①，得x ＞－32.解不等式①，得x ≤4.把不等式①和①的解集在数轴上表示出来，如图．(第10题)从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为－32＜x ≤4.所以这个不等式组的正整数解为1，2，3，4.方法总结：求不等式组的特殊解的方法：先求出这个不等式组的解集，然后在不等式组的解集里面找出需要的特殊解．找特殊解时，借助数轴会更直观一些．11．解：(方法1)解方程组⎩⎨⎧3x ＋y ＝k ＋1，x ＋3y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝38k ，y ＝8－k 8.因为－1＜x ＋y ＜1，所以－1＜38k ＋8－k 8＜1.解得－8＜k ＜0.(方法2)将方程组中的两式左右两边分别相加，得4x ＋4y ＝k ＋4，即x ＋y ＝k 4＋1.又因为－1＜x ＋y ＜1，所以－1＜k 4＋1＜1.解得－8＜k ＜0.12．解：(1)设购买甲种树苗x 棵，则购买乙种树苗(400－x )棵．根据题意，得200x ＋300(400－x )＝90 000，解得x ＝300，400－300＝100(棵)．所以购买甲种树苗300棵，购买乙种树苗100棵．(2)设应购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(400－a )棵．由题意，得200a ≥300(400－a )，解得a ≥240，所以至少应购买甲种树苗240棵．13．解：(1)设每千米“空列”轨道的水上建设费用需x 亿元，每千米陆地建设费用需y 亿元，则⎩⎨⎧24x ＋（40－24）y ＝60.8，x －y ＝0.2，解得⎩⎨⎧x ＝1.6，y ＝1.4.答：每千米“空列”轨道的水上建设费用需1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元；(2)设每天租m 辆大车，则需要租(10－m )辆小车，则⎩⎨⎧200m ＋120（10－m ）≥1 600，1 000m ＋700（10－m ）≤9 300，所以5≤m ≤233.因为m 是整数，所以m ＝5，6，7，所以施工方有3种租车方案：①租5辆大车和5辆小车 ；①租6辆大车和4辆小车；①租7辆大车和3辆小车．①租5辆大车和5辆小车时，租车费用为1 000×5＋700×5＝5 000＋3 500＝8 500(元)；①租6辆大车和4辆小车时，租车费用为1 000×6＋700×4＝6 000＋2 800＝8 800(元)；①租7辆大车和3辆小车时，租车费用为1 000×7＋700×3＝7 000＋2 100＝9 100(元)．因为8 500＜8 800＜9 100，所以租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8 500元．。