垂直证明常用模型
初中数学常见模型之三垂直全等模型
模型实例
例1.如图， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， AE ⊥ DE ， AE=DE 求证： AB+CD=BC
例2.如图，∠ ACB-90 °,AC=BC,BE ⊥ CE 于点 D, AD=2.5cm ,BE=0.8cm 求 DE 的长
例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt △ ABC 有两个顶点在坐标轴上 求第三个顶点的坐标
典例精选
1.如图，正方形 ABCD ， BE=CF 。 求证：（ 1 ） AE=BF ；（ 2 ） AE ⊥ BF
2.直线 上有三个正方形 a 、b 、 c ,若 a 、 c 的面积分别是 5 和 11,则 b AB=AC ，点 P 为 BC 上一动点（ B P<CP ）， 分别过 B 、 C 作 BE ⊥ AP 于点 E 、 CF ⊥ AP 于点 F
（ 1 ）当α=45°时，求△ EAD 的面积；
（ 2 ）当α=30°时，求△ EAD 的面积；
（ 3 ）当0°<α<90°时，猜想△ EAD 的面积与大小有无关系？若有关，写出△ EAD 的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论。
5.如图，向△ ABC 的外侧作正方形 ABDE 、正方形 ACFG ， 过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ， AH 的反向延长线与 EG 交于点 P 求证： BC=2AP
初中数学常见模型
三垂直全等模型
模型：三垂直全等模型
如图，∠ D= ∠ BCA= ∠ E=90 °， BC=AC 。 结论： Rt △ BCD ≌ Rt △ CAE
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有 举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从 弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两 种弦图。
一线三垂直模型证明勾股定理
一线三垂直模型证明勾股定理勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三条边的关系。
本文将通过一线三垂直模型来证明勾股定理。
我们来介绍一线三垂直模型。
在直角三角形中，我们可以找到一个特殊的点，使得从该点到三角形的三个顶点分别垂直于三条边。
这个点被称为三角形的垂心，而连接垂心和三个顶点的线段被称为垂线。
在一线三垂直模型中，我们可以通过垂线的长度关系来证明勾股定理。
设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c为斜边。
我们可以通过垂线的长度关系得到以下三个等式：1. 垂线与斜边的关系：利用垂心的定义，可以得到垂线与斜边之间的关系式，即a^2 + b^2 = c^2。
2. 垂线与直角边的关系：利用垂心的定义，可以得到垂线与直角边之间的关系式，即a^2 = h1^2 + h2^2，b^2 = h1^2 + h3^2，其中h1、h2、h3分别表示垂线与三个边的交点到对应边的距离。
3. 垂心与三个顶点的关系：利用垂心的定义，可以得到垂心与三个顶点之间的关系式，即h1^2 = h2^2 + h3^2。
通过以上三个等式，我们可以推导出勾股定理。
首先，我们根据第三个等式将h1^2代入第二个等式中，得到a^2 = h2^2 + h3^2 +h2^2。
然后，我们再根据第二个等式将a^2代入第一个等式中，得到2h2^2 + 2h3^2 = c^2。
最后，我们可以将该等式进行化简，得到h2^2 + h3^2 = c^2/2。
由此可见，通过一线三垂直模型，我们可以得到勾股定理的数学表达式。
这个模型的优点是直观易懂，通过简单的几何关系就能够理解和推导出勾股定理。
它使得我们对勾股定理有了更深入的认识。
总结来说，勾股定理是直角三角形中三条边之间的重要关系，可以通过一线三垂直模型来证明。
通过垂线的长度关系，我们可以得到勾股定理的数学表达式，从而深入理解和应用这一定理。
这个模型的应用使得我们对勾股定理有了更深入的认识，为我们解决实际问题提供了便利。
2020年九年级初中必会几何模型-三垂直模型
三垂直模型【模型概述】出现3个直角，且3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）三角形。
【基本模型】图1 图2【解读】⑴图1和图2中，三个直角顶点B，C，D共线；⑵当△ABC和△CDE三组对应边均不相等时，有△ABC∽△CDE；⑶当△ABC和△CDE任意一组对应边相等时（如AC=CE），有△ABC≌△CDE；⑷证明思路：同角的余角相等⑸解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长等问题。
典型例题1-1已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E。
⑴如图1，①线段CD和BE的数量关系是②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明。
⑵如图2，结论②还成立吗？如不成立，写出并证明AD，BE，DE之间的数量关系。
【小结】典型例题1-2如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）典型例题1-3经过点A（-1,0），B（4,0），交y轴于点C。
⑴求抛物线的解析式；⑵点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
⑶将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长。
【小结】变式训练1-1如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=( )变式训练1-2如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，(1)求C点的坐标；扩展模型：共线三等角模型：当三垂直模型中3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产生全等或相似三角形。
解读：⑴图1和图2中，大小均为的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。
⑵当三组对应边均不相等时，图1中有△ABC∽△ECD，图2中有△ABC∽△CDE（注意对应关系）⑶当△ABC和△CDE的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。
“一线三垂直”模型专题知识解读
“一线三垂直”模型专题知识解读【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90°，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【方法技巧】模型1 “全等型”一线三垂直模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图1应用：（1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；（2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。
如下图所示模型2 “相似型”一线三垂直模型如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）应用：（1）“相似型”三垂直基本应用C D E BA（2）平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。
作辅助线方法和模型1一样（3）平面直角坐标系中运动成直角【典例分析】【应用1 “全等型”三垂直基本应用】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．【变式1-1】如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故选：B．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l 的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【应用2 平面直角坐标系中构造“全等型”三垂直】【典例2】已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C点的坐标；（2）如图2，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n﹣9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，若OA＝OB，OF⊥AB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接AM交OF 于点N，若AN＝m，ON＝n，请直接写出线段AM的长．【解答】解：（1）如图1，过点C作CQ⊥OA于点Q，∴∠AQC＝90°∵△ABC等腰直角三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACQ＝∠BAO．∴△AQC≌△BOA（AAS），∴CQ＝AO，AQ＝BO．∵OA＝2，OB＝4，∴CQ＝2，AQ＝4，∴OQ＝6，∴C（﹣6，﹣2）．（2）整式4m+4n﹣9的值不会变化．理由如下：如图2，过点D作DP⊥OB于点P，∴∠BPD＝90°，∵△ABD等腰Rt△，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠ABO＝∠BDP，∴△AOB≌△BPD（AAS），∴AO＝BP，∵BP＝OB﹣PO＝m﹣（﹣n）＝m+n，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，∴m+n＝2，∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO＝BP＝m+n＝2，∴4m+4n﹣9＝4×﹣9＝﹣，∴整式4m+4n﹣9的值不变，为﹣．（3）AM＝2m+n．证明：如图3，在MA上截取MG＝ON，连接BG，∵△OBM是等边三角形，∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，∴AO＝MO，∠ABM＝105°，∠HOM＝30°，∵OA＝OB，∴OA＝OM＝BM．∴∠OAN＝∠AMO＝15°，∴∠BAM＝30°，∠BMA＝45°，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝45°，∴∠AOF＝∠BMA．∴△ANO≌△BGM（AAS），∴BG＝AN．∵ON＝MG，∴∠GBM＝∠OAN，∴∠GBM＝15°，∴∠ABG＝90°∴2BG＝AG，∴2AN＝AG，∵AG＝AM﹣GM，∴2AN+ON＝AM，即AM＝2m+n．【变式2-1】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A 在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，5）【答案】D【解答】解：作BD⊥x轴于D，∵B（6，1），∴BD＝1，OD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCD＝90°，∵∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，∵∠AOC＝∠BDO，∴△ACO≌△CBD（AAS），∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，∴A（0，5），故选：D．【变式2-2】如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（﹣4，0）【答案】D【解答】解：过点N作ND⊥y轴于点D，∵P（0，2），N（2，﹣2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO+∠DPN＝90°，又∵∠DPN+∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（﹣4，0），故选：D．【应用3 “相似型”三垂直基本应用】【典例3】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：＝；（2）若OP与P A的比为1：2，求边AB的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与P A的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．【应用4 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直】【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，且OB＝2OA．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC，PC交x轴于点N，且tan∠APC＝，设点P的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S与t的函数关系；（3）如图3，在（2）的条件下，点D在y轴的负半轴上，点E为AB的中点，连接DE、PD，AD＝ON，当∠PDE＝∠PCD时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，令x＝0，则y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，∵OB＝2OA，∴OB＝4，∴B（﹣4，0），将（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，解得：k＝，∴直线的解析式为：y＝；（2）过点A作EA⊥AB交PC于点E，过E点作EG⊥y轴，垂足为G，过点P作PF⊥y 轴，垂足为F，∵∠P AE＝90°，∴∠P AF+∠EAG＝90°，∵∠P AF+∠APF＝90°，∴∠APF＝∠EAG，∵∠EGA＝∠AFP＝90°，∴△AEG∽△P AF，∵tan∠APC＝，∴＝＝，设P（t，），则PF＝﹣t，AF＝﹣，∴AG＝＝﹣，EG＝＝﹣，∵点A的坐标为：（0，2），设PE的解析式为：y＝ax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，∴C（0，2﹣），∴AC＝2﹣﹣2＝﹣，∵BO＝4，∴S＝＝﹣t，（3）作EF⊥DE交PD于F，过点E作EG⊥y轴于点G，作FH⊥EG于H，由（2）得直线PC的解析式：y＝x+（2﹣），∴∠PCO＝45°，∴ON＝OC＝2﹣，∴AD＝ON＝2﹣，∴D（0，），∵∠PDE＝∠PCD＝45°，∴△DEG≌△EFH（AAS）．∴EG＝FH＝2，DG＝EH＝1﹣，设PD的解析式为：y＝mx+n，由P（t，）、D（0，）可得：，解得：，∴PD的解析式为：y＝，把点F（﹣3+）代入y＝得：t1＝﹣6，t2＝2（舍去），∴D（0，﹣3）．【变式4】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．【应用5平面直角坐标系中运动成直角】【典例5】如图，已知抛物线y＝﹣x2+与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM ＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．【解答】（1）证明：当x＝0时，y＝2，∴点C（0，2），当y＝0时，﹣x2+＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），B（4，0）．（2）证明：由题意得：y1﹣y2＝﹣x12+x1+2﹣（﹣x22+x2+2）＝x22﹣x12+x1﹣x2＝（x2+x1）（x2﹣x1）+（x1﹣x2），∵x1+x2＝1，∴y1﹣y2＝x1﹣x2，又∵x1＞x2，∴y1＞y2．（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，如图，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H，则∠CGN＝∠H＝90°，∴∠GNC+∠GCN＝90°，∵∠CNM＝90°，∴∠GNC+∠HNM＝90°，∴∠GCN＝∠HNM，∴△CNG∽△NMH，∴，设点N的坐标为（n，），则GN＝n，GC＝，①当△NCM∽△OCB时，，∵OB＝4，OC＝2，∴CN：MN＝OC：OB＝1：2，∴NH＝2CG＝2（）＝﹣n2+3n，HM＝2NG＝2n，∴GH＝GN+NH＝n+（﹣n2+3n）＝﹣n2+4n，y M＝GC+CO﹣MH＝+2﹣2n＝﹣n2﹣n+2，∴点M的坐标为（﹣n2+4n，﹣n2﹣n+2），∵点M在直线BC上，∴﹣（﹣n2+4n）+2＝﹣n2﹣n+2，解得：n＝0（舍去）或，∴点N坐标为（，）；②当△NCM∽△OBC时，，∵OB＝4，OC＝2，∴CN：MN＝OB：OC＝2：1，∴NH＝CG＝（）＝﹣n2+n，HM＝GN＝n，∴GH＝GN+NH＝n+（﹣n2+n）＝﹣n2+n，y M＝GC+CO﹣MH＝+2﹣n＝﹣n2+n+2，∴点M的坐标为（﹣n2+n，﹣n2+n+2），∴﹣（﹣n2+n）+2＝﹣n2+n+2，解得：n＝0（舍去）或n＝3，∴点N坐标为（3，2），综上所述，点N的坐标为（，）或（3，2）．【变式5】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
2017年__高二年级立体几何垂直证明题常见模型和方法
立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。
例：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥；类型二：线面垂直证明BE 'ADFG方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A BC D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =，6BC =C○2 利用面面垂直的性质定理 例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。
中考必会几何模型：K型(一线三垂直)模型
K 型（一线三垂直）模型讲解【结论】如图所示，AB ⊥BC ，AB=BC ，AD ⊥DE ，CE ⊥DE ，则△ABD ≌△BCE ，DE=AD+CE.【证明】∵AB ⊥BC ， ∴∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBC=90°. ∵AD ⊥DE ，CE ⊥DE ，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°,∴∠ABD+∠DAB = 90°，∠DAB=∠EBC.在△ABD 和△BCE 中，{∠ADB =∠BEC∠DAB =∠EBCAB =BC∴△ABD ≌△BCE(AAS)，∴AD=BE ，DB=CE ，∴DE=BE+DB=AD+CE.其他形状的K型（一线三等角）模型【结论】如图所示，AB⊥BC，AB=BC，AD⊥DE，CE⊥DE，则△ABD ≌△BCE，DE = AD - CE.典型例题典例1如图所示，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=5cm，DE=3cm，则BD=( ).A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.4 cm典例2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE 于点D. 若DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是( ).A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.4.5 cm初露锋芒1. 如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E. 若CE=5，AD=3，则DE的长是________.2.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(0，3)，C(1，0)，则点B 的坐标为________.感受中考1.(2018山东临沂中考真题)如图，△ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE ⊥CE，垂足分别是点D，E，AD=3，BE=1，则DE的长是( ).A.32B. 2C. 2√2D. √102. (2020四川南充中考真题)如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE.求证：AB=CD.参考答案典型例题典例1【答案】B【解析】易知本题为K型(一线三垂直)模型.根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知两条手臂之间的距离＝长手＋短手，即BD=AB+DE，∴BD=5+3=8(cm).故选B.典例2【答案】C【解析】易知本题为K型(一线三垂直)模型根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知两条手臂之间的距离=长手-短手即DE = AD - BE，∴BE=AD - DE= 9 - 6 = 3(cm).故选C.初露锋芒1.【答案】2【解析】由题图易知为K型(一线三垂直)模型，根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知两条手臂之间的距离= 长手-短手，即DE = CE - AD = 5 - 3 = 2.2.【答案】(4，1)【解析】如图，作BD⊥x轴于点D.∵BD⊥x轴于点D，由K型(一线三垂直)模型容易得△AOC≌△CDB，∴CD=AO，OC=BD.∵点C(1，0)，A(0，3)，∴OC=1，BD=1，CD=3.∴OD=4，∴点B的坐标为(4，1).感受中考1.【答案】B【解析】由题图易知为K型(一线三垂直）模型，根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知：两条手臂之间的距离=长手-短手，即DE = AD - BE = 3 - 1=2 .故选B.2.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,∴∠ACB=∠CED.在△ABC和△CDE中，{∠ACB=∠CED BC=DE∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE(ASA),∴AB=CD.【小结】1. 遇到K型(一线三垂直)模型问题时，注意找“长手”“短手”.2. 在选择题或填空题中，运用模型结论可以快速解题，而在大题中，需要先找到全等三角形，根据全等三角形对应边相等来解题.。
专题三 三垂直模型
三垂直模型一,三垂直与勾股定理大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2(a+b)2=2ab+c2c²= a²+b²，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为( )A ．113B ．103C ．3D ．83【答案】B 2．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．【答案】2()=79a b + 3．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，所以4×12ab ＋(a －b )2=c 2，即a 2＋b 2=c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2=c 2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC 的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a －2b )2=a 2－4ab ＋4b 2，画在上面的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析 4．（阅读理解）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为()212a b +或者是211222ab c ⨯+，因此得到()221112222a b ab c +=⨯+，运用乘法公式展开整理得到222+=a b c ．（尝试探究）（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图完成证明． （2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你帮助完成． （实践应用）（3）已知a 、b 、c 为Rt ABC △的三边()c b a >>，试比较代数式2222a ca b +与44c b -的大小关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等． 5．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______【答案】1．6．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为_____．【答案】1．规律总结:角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD•DC，（2）(AB)²=AD•AC ，（3）(BC)²=CD•CA.直角三角形射影定理的证明在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD BDBD CD=即BD²=AD•DC.其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD•AC，BC²=CD•CA两式相加得：AB²+BC²=（AD•AC）+（CD•AC）=（AD+CD)•AC=AC².CE a=，HG b=，则斜边BD的长是（）A ．+a bB ．⋅a bC ．D 【答案】C2．已知Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ⊥AE ，过点B 作BD ⊥AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求∠EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ⊥FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，∠EHB =∠BHG ，求线段EH 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠EDH ＝45°；（3）EH ＝．3．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析 4．在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图①，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图②，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图③，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，3AE =,2OE =,求AC 的长． 【答案】（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）85．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD6．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG＝（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53模型分析:规律总结:标为3-，求点B的坐标.【答案】B （0，-3）． 2．如图所示，()1,0A-，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.【答案】()3,4C -；()4,1D -3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，且A （2，0）、B （3，3），BC 交y 轴于M ， （1）求点C 的坐标；（2）连接AM ，求△AMB 的面积；（3）在x 轴上有一动点P ，当PB +PM 的值最小时，求此时P 的坐标．【答案】（1）C 的坐标是（﹣1，1）；（2）154；（3）点P 的坐标为（1，0）． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴正半轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，直线3y x =-+经过点B 、点C ，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为该抛物线223y x nx =-+的顶点，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点P ，当FP EP ⊥时，求P 点的纵坐标． （3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G ，作⊥GH x 轴于点H ，延长EP交GH 于K ，当GK =时，求G 点的坐标．【答案】（1）243y x x =-+；（2）点P 的纵坐标为2；（3）G 点的坐标为（2+，11）．5．如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点， O M AB ⊥于点M ，点P 为直线l 上不与点A B 、重合的一个动点. (1)求线段OM 的长；(2)当BOP △的面积是6时，求点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)12 5； (2) (-4，6)； (3) (125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125) 6．如图,直线AB 与坐标轴分别交于点A 、点B,且OA 、OB 的长分别为方程x 2－6x+8=0的两个根（OA ＜OB ）,点C在y 轴上,且OA ︰AC=2︰5,直线CD 垂直于直线AB 于点P,交x 轴于点D ．（1）求出点A 、点B 的坐标. （2）请求出直线CD 的解析式.（3）若点M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD 的解析式:y CD =－2x+7;（3）存在，()15.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，．7．（模型建立）（1）如图1，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于点D ，过点B 作BE ⊥ED 于点E ，求证：△BEC ≌△CDA ； （模型应用）（2）如图2，已知直线l 1：y ＝32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45°至直线l 2；求直线l 2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B （3，﹣4），过点B 作BA ⊥x 轴于点A 、BC ⊥y 轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线y ＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）510y x =--；（3）点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 、y 轴于点A 、B ，直线BC 分别交x 、y 轴于点C 、B ，点A 的坐标为（2，0），∠ABO=30，且AB ⊥BC ．（1）求直线BC 和AB 的解析式；（2）将点B 沿某条直线折叠到点O ，折痕分别交BC 、BA 于点E 、D ，在x 轴上是否存在点F ，使得点D 、E 、F 为顶点的三角形是以DE 为斜边的直角三角形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）+；（2）（﹣2，0）或（0，0） 9．如图，在平面直角坐标系中，l 是经过A （2，0），B （0，b ）两点的直线，且b >0，点C 的坐标为（-2，0），当点B 移动时，过点C 作CD ⊥l 交于点D ．（1）求点D ，O 之间的距离； （2）当tan ∠CDO =12时，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，直接写出△ACD 与△AOB 重叠部分的面积． 【答案】（1）2；（2）24y x =-+；（3）115ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，点E 为线段BO 上一点，连接CE ，将CE 绕C 点顺时针旋转90︒得到CF ，连接EF 交CD 于点G .（1）若4,ABBE ==，求CEF ∆的面积；（2）如图2，线段FE 的延长线交AB 于点H ，过点F 作FM CD ⊥于点M ，求证：2BH MG BE +=； （3）如图3，点E 为射线OD 上一点，线段FE 的延长线交直线CD 于点G ，交直线AB 于点H ，过点F作FM 垂直直线CD 于点M ，请直接写出线段BH MG BE 、、的数量关系.【答案】（1）5；（2）见解析；（3）2BHMG BE -=2．探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．【答案】（1）①见解析；②180B D ∠+∠=︒，理由见解析；（2）5=3DE 3．（操作发现）如图①，在正方形ABCD 中，点N 、M 分别在边BC 、CD 上，连结AM 、AN 、MN ．∠MAN ＝45°，将△AMD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△ABE ．易证：△ANM ≌△ANE ，从而得DM +BN ＝MN ．（实践探究）（1）在图①条件下，若CN ＝3，CM ＝4，则正方形ABCD 的边长是 ．（2）如图②，点M 、N 分别在边CD 、AB 上，且BN ＝DM ．点E 、F 分别在BM 、DN 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，猜想三条线段EF 、BE 、DF 之间满足的数量关系，并说明理由．（拓展）（3）如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，连结AM ，AN ，已知∠MAN ＝45°，BN ＝1，求DM 的长．【答案】（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）24．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AB 边上的点，且AE ⊥DF ，垂足为点O ，△AOD ，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】5．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．【答案】136．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BE ＝CF ．求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析规律总结:E ，连接DE ．（1）判断DE 与O 的位置关系并说明理由； （2）求证：22DE CD OE =⋅．2．如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF 和AD ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠EAC ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）AD ＝3．如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OE AD ⊥，OE 与AB 的延长线交于点E ，点C 在OE上， 满足CBE ADB ∠=∠．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若30CBE ADB ∠=∠=，3OA =， 求线段CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE4．如图，AB 是△ABC 外接圆的直径，O 为圆心，CH ⏊AB ，垂足为H ，且∠PCA=∠ACH ， CD 平分∠ACB ，交⊙O 于点D ，连接BD ，AP=2．（1）判断直线PC 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）若∠P=30°，求AC 、BC 、BD 的长．（3）若tan ∠ACP=12，求⊙O 半径．【答案】（1）PC 是⊙O 的切线，理由见解析；（2）AC=2；BC=BD=（3）⊙O 的半径为3．5．如图，AB 是O 的直径，点D 是弧AE 上一点，且BDE ∠=∠，BD 与AE 交与点F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若BD 平分ABE ∠，求证：2DE DF DB =⋅；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA AO =，2DE =，求PD 的长和O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6．已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB=AD ，AE 是⊙O 的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若AE ⊥BC ，垂足为M ，⊙O 的半径为4，求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）。
三垂直全等模型
三垂直全等模型模型 三垂直全等模型如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC .结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE .模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③A图④DE ABC例1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC . DAB证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.∴∠BAE ＝∠CED .在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△ECD . A∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ EDA解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. xy图①BA (0,3)C (-2,0)O x y 图②C (0，3)A O B (-1,0)解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.∴∠DBC ＝∠ACO .在△BCD 和△CAO 中，BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△CAO .∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2.∴CD ＝3，BD ＝2.∴OD ＝5.∴B （－5，2）. xy图③BA (0,3)C (-2,0)OD（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO .∵B （－1，0），C （0，3）∴OB ＝1，OC ＝3.∴AD ＝3，OD ＝2.∴OD ＝5.∴A （3，2）. xy图④C (0，3)A OB (-1,0)D1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .FA证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△BCF .∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF .∴∠BAE ＝∠CBF .∵∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF .2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____. c b aD A解答：∵a 、b 、c 都是正方形，∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CDE .∴AB ＝CE ，BC ＝DE .在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.FC A BPP解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE .（2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE ＋AF ，∴EF ＝ BE ＋ CF . FA4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.D解答：（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F .∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ，∴∠GDF ＝90°.又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCG ≌△DEF∴EF ＝CG ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1.∴EAD S ＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关. 12FD5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP . PE AG解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N .∵四边形ACFG 是正方形，∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH 和△GAM 中，AHC GMA ACH GAM AC GA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM∴CH ＝AM ，AH ＝GM .同理可证△ABH ≌△EAN∴BH ＝AN ，AH ＝EN .∴EN ＝GM .在△EPN 和△GPM 中， EPN GPM ENP GMP EN GM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPN ≌△GPM . ∴NP ＝MP ，∴BC ＝BH ＋CH＝AN ＋AM＝AP ＋PN ＋AP －PM ＝2AP . P EAG M。
6.立体几何垂直证明题常见模型及方法
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）
1 、等腰（等边）三角形中的中线 2、 菱形（正方形）的对角线互相垂直 3、勾股定理中的三角形 4 、 1:1:2 的直角梯形中 5 利用相似或全等证明直角。
类型三、面面垂直的证明。 (本质上是证明线面垂直)
B EABiblioteka C FD类型四、探索性问题
异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）
类型二：线面垂直证明
方法1 利用线面垂直的判断定理
A
D O B E
C
2 利用面面垂直的性质定理 （方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。）
例3、在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧 面PAB是等腰三角形，且平面PAB⊥面ABCD，求证 BC⊥面PAB
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线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
• 一、共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同
学们掌握以下几种模型） • 1、 等腰（等边）三角形中的中线 • 2、 菱形（正方形）的对角线互相垂直 • 3、勾股定理中的三角形 • 4、1:1:2 的直角梯形中 • 5、利用相似或全等证明直角
• 变式3如图，在三棱锥P-ABC中，⊿PAB是等边三角形， ∠PAC=∠PBC=90 º证明：AB⊥PC
立体几何模型解题
垂直的证明（一）
• 证明空间线面垂直需注意以下几点：
• ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找 证题思路。
• ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助 线（或面）是解题的常用方法之一。 • ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申 明条• 证明垂直问题常用模型是共面垂直模型 • 异面垂直模型利用线面垂直性质