科技大学模糊控制第一章

A
u U

u A (u) u
注：均无计算意义
1.模糊数学基础 常用的隶属度函数
(1)三角形
u b a b c u u A (u ) c a 0 bua auc u b or u c
特点：处理简单
1.模糊数学基础
(2)正态型
u A (u ) e
以上的定律与普通集合中的情况一致。(表示形式上一致， 但具体运算规律不同！)
1.模糊数学基础
普通集合的互补律对模糊集合不成立。 A A 普通集合中 A A E ； 1”， 模糊集合中 A A max( A,1 A) 不总是“
A A min( A,1 A) 不总是“ 0”，

1 u c 2 ( ) 2
特点：与用模糊统计法得到的结果接近（例：“几个” 的概念）； 处理比三角形复杂（超越函数）。
此外还有梯形等
1.模糊数学基础 模糊集合的基本运算和基本运算定律
一、基本运算定义
(1)包含（implication） 对于同一论域Ʊ上的模糊集合A,B，如果满足：μB(u)≤μA (u) ， 称为A包含B，记为AB。 (2)等于（equivalence） 对于同一论域Ʊ上的模糊集合A,B，如果满足：μB(u)=μA(u)， 称为A等于B，记为A=B。 显然，A=B AB且BA
i 1 n

U
i 1
n
Ai
1.模糊数学基础
例：论域Ʊ={u1,u2,u3,u4}上模糊集合A,B分别为
A B 1 0.9 0.4 0.2 u1 u2 u3 u4 0.5 0.8 0 0.3 u1 u2 u3 u4
求
A B，A B， A, B
A B A B A B 1 0.5 0.9 0.8 0.4 0 0.2 0.3 u1 u2 u3 u4 1 0.5 0.9 0.8 0.4 0 0.2 0.3 u1 u2 u3 u4
注意：在集合这一层面，两个标记上 与普通集合运算一致，但内涵不同！
1.模糊数学基础
(3)模糊集合的交（intersection） 对于同一论域U上的模糊集合A,B，A与B的交记为A∩B。 μ(A∩B)(u)=A(u)B(u) =min{μ A(u), μ B(u)} u U 其中表示“合取”。 (4)模糊集合的并（union） 对于同一论域U上的模糊集合A,B，A与B的并记为A∪B。 μ(A∪B)(u) =A(u)B(u) =max {μ A(u), μ B(u)} u U 其中表示“析取”。 (5)模糊集合的补 对于论域Ʊ上的模糊集合A,A的补记为 A
1.模糊数学基础
Fuzzy 和 Probability 的区别？ 它们都是处理不确定性的描述。 思考：
91%的成分是水 91%的概率是水
你喝哪一个呢？
概率是事件发生的可能性的大小的度量。 （因果律不成立） 隶属度是某个事物属于某个分类程度的度量。 （排中律不成立）
1.模糊数学基础 1.2模糊集合
u u=1
U
1.模糊数学基础 连续论域和离散论域
(1) 离散论域 若论域Ʊ只包含有限多元素，称Ʊ为离散论域。设离散论域 Ʊ={u1，u2，……,u3 } ，其上的模糊集合A可表示为：
(2) 连续论域 若论域Ʊ包含无限多的连续的点，称为连续论域。其上的模糊 集合A表示为：
uA (u0 ) uA (u1 ) uA (u n ) n uA (ui ) u A (u ) u0 u1 un ui i
A : U [0,1] u A (u )
这个模糊映射称为模糊集合A的隶属度函数
1.模糊数学基础 引入两个有用的集合
支集： 定义：模糊集合的支集S是一个普通集合，它由论域Ʊ中满足 μA(u)>0 的所有u组成。即：
S {u | u U , u A (u) 0}
模糊单点 定义：如果模糊集合A的支集在论域Ʊ只包含一个元素u，且 ） } μA(u)=1。那么A称为模糊单点，即 A {u 0 | u 0 U，（ A u0 1
Ai A1 A2 ... An
i 1 n

Ai
i
n
Ai min( A1 (u ), A 2 (u ),......, An (u ))
i
n
n个模糊集合Ai的并记为
UA
i 1
n
i
A1 U A2 U ... U An (u ) U Ai (u ) max{ A1 (u ), A2 (u ),..., An (u )}

冷 适中 热
(Temp)
分析可知：有中间过渡，有程度差异
1.模糊数学基础 注意：
特征函数：
隶属度函数：
uA {0,1} uA [0,1]
我们用隶属度函数来表示模糊集合
1.模糊数学基础 1.2模糊集合
模糊集合的定义：
论域Ʊ上一个模糊集合A指的是对于论域Ʊ上任意一个元 素u∈ Ʊ ，都指定了[0,1]闭区间中的一个数u A (u) [0,1] 与 之对应，称为u对A的隶属度（degree of membership）。 这意味着定义了一个映射uA:
(a)模糊集合的定义及表示 一、表示 普通集合：在普通数学中没有明确定义的概念； 论域 Ʊ ：所讨论的对象的全体。 普通集合表示方法，假设： Ʊ：小于10的非零自然数 A：不大于5的非零自然数 列举法：A={1，2，3，4，5} 定义法： A {u | u U , u 5}
1 1 1 1 1 0 0 0 0 扎德法： A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分式不具有“除”的意义；“+”不具有“加”的意义 分母：论域上的所有元素；分子：分母元素所对应的特征函数值
贴近度=1
内积
外积=0
外积
贴近度=0.5
外积=0 内积=0
1.模糊数学基础
分解原理和扩张原则 模糊数学体系的两个理论基石 (a)分解定理 截集：设A是论域Ʊ上的模糊集合。对任何 [0,1] 称普通集合 A {u | u U, A (u) } 为 的水平截集。
随着λ增大，Aλ减小。 λA (u) 1 当λ=1，Aλ最小，若 A 不为空集， A (u) 称 为 A 的核。 A λ A (u) 0 [支集的定义与其 当λ=0，Aλ最大。 差别在，支集 S {u | u U , u A (u) 0} 不包括 A (u) 0 的区域]
④ 特征函数法：
1 uA (u) 0
u A u A
1.模糊数学基础 特征函数
有了特征函数表示法可以更直观地看到普通集合表示模糊概念 时的不足。

温度 冷
温度适 中
温度热
例：穿衣指数 冷：穿棉袄 适中：毛衣 热：T-shirt
无中间过渡，无程度差异
(Temp)
1.模糊数学基础
能否改变特征函数曲线的形状，使集合描述这样的概念更加合 理、自然？
1 1 1 0 .9 1 0 . 4 1 0 . 2 u1 u2 u3 u4 1 o.5 1 0.8 1 0 1 0.3 u1 u2 u3 u4
1.模糊数学基础 二、基本运算定律
(1) 恒等律: A∪A=A, A∩A=A; (2) 交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (3) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4) 分配律: A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); (5) 吸收律: A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A; (6) 同一律: 定义 模糊全集E: E (u) 1 ；模糊集合ø: (u) 0 则：A∪E=E, A∪ø=A, A∩E=A, A∩ø=ø; (7)复原律： A A (8) De Morgan对偶律: ( A B) A B ， ( A B) A B;
A ( u ) 1 A (u )
1.模糊数学基础
交
A B
并
A B
1.模糊数学基础 补
A
1.模糊数学基础
比较一下:普通集合中是怎样定义这些运算的？(利用集合中的元 素的概念) 模糊集合中已不再有集合含有哪些元素的概念。所谓的元素均指 的是论域上的元素。(或某个元素属于某个集合) 模糊集合的交、并运算可以推广到U上n个模糊集合的情况。 设Ʊ上有模糊集合：A1,A2,...An。则n个模糊集合Ai的交记为
1.模糊数学基础
事物通过它们的特征和属性来刻画。
、文化程度） 严格而清晰（性别、年 、漂亮） 本身就是模糊的（能干 特征和属性 模糊（健康状况） 了把握事物 本身有严格定义，但为 的主要特征或方便处理 ，用模糊概 念来描述
定义模糊的概念(Fuzzy Concept)是普遍存在的。特别 是在生物科学、生命科学、人文、社会等学科。
1.模糊数学基础
模糊数学发展历史 1965年 Zadah发表论文《Fuzzy Sets》。 Information & Control
1974年Mamdani 在实验室条件下将模糊控 制技术应用到蒸汽机速度控制。
1980年 L.P.Holmblad和Ostergard在水泥窑炉采用模糊控制并 取得了成功(商用)。
2 A
e( A, B)
(3)明可斯基距离
[
i 1
n
n
(u i ) B (u i )]
m( A, B) {|{A (ui ) - B (ui )} }
i 1
1 q q
q 1 q2 q->
汉明距离 欧式距离 切比雪夫距离
1.模糊数学基础 (b)贴近度