椭圆及其标准方程ppt
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《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
课后作业
1.必做题：P51 练习4,5.
2.选做题：求与圆(x 2)2 y2 1 外切，且与圆 (x 2)2 y2 49 内切的动圆圆心的轨迹方程 3.思考题：Ax2 By 2 1什么时候表示椭圆？焦 点在哪个轴？
椭圆光学性质欣赏及探索
感谢大家的指导 谢谢
椭圆及其标准方程
01
圆锥曲线
现场演示观察
用一个圆锥形杯子，往杯子里倒入有色的 液体，然后倾斜杯子，请观察液体的水平 面是什么形状？
圆锥曲线
用一个平面去截圆锥面，当圆锥的 轴与截面所成的角不同时，可以得到不 同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、 抛物线和双曲线，我们这些曲线统称为 圆锥曲线.
生活中的椭圆
实例（-2，0）,（2，0),
，并且 并解由2所解由2所解由2所aaa：=：=椭以椭以且：=椭以经由由圆圆由圆bb((经b(552222522于于的的过 于的===过aa椭椭定定22a椭定222))2－－)点 22点－圆圆义义2圆义ccc的的知知((22的知(2===(焦焦2323焦cc236652c6))==..)=22点点.2点222,，，，在在在(((2355xx225x2轴轴)轴222， 上上))上)22求2，，，(((椭可可可232323设设))圆设)222其其其的22标标2标标11准准1准000，，方方准，方程程程方解解解为为为得得程得aaxxax2222aa.22a===
图形
标准方程 x2 y2 = 1(a>b>0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
=
1(a>b>0)
a, b, c的关系
a2__b2=c2
焦点
(－c, 0)，(c, 0)
(0, －c)，(0, c)
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
3.1.1 椭圆及其标准方程(课件)
M.且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的乘积是－12，求点 M 的轨迹方程．
解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(0，1)， 所以直线 AM 的斜率 kAM＝y－x 1(x≠0)， 同理，直线 BM 的斜率 kBM＝y＋x 1(x≠0)． 由已知有y－x 1·y＋x 1＝－12， 化简，得点 M 的轨迹方程为x22＋y2＝1(x≠0)．
AB
经典例题
题型二 已知椭圆的标准方程求参数
跟踪训练2
若方程ax22－a－y212＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 a 的取值
范围是
．
－4＜a＜0 或 0＜a＜3 解析：方程化为ax22＋12y－2 a＝1，依题意应有 12－a＞a2＞0， 解得－4＜a＜0 或 0＜a＜3．
经典例题
题型三 求椭圆轨迹方程
经典例题
题型三 求椭圆轨迹方程
方法 3：代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)＝0 上的动点
Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后 代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方 程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
k
∴2k>2，故 0<k<1.故选 CD.
当堂达标
4.若方程xm2＋2my－2 1＝1 表示椭圆，则实数 m 满足的条件是________．
mm＞12且m≠1
解析：由方程xm2＋2my－2 1＝1
m＞0， 表示椭圆，得2m－1＞0，
m≠2m－1，
解得 m＞12且 m≠1.
当堂达标
5.设 F1，F2 是椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2| ＝2∶1，求△F1PF2 的面积． 解：由椭圆方程，得 a＝3，b＝2，c＝ 5. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6 且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△PF1F2 是直角三角形，且∠F1PF2＝90°， 故△F1PF2 的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×2×4＝4。
解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(0，1)， 所以直线 AM 的斜率 kAM＝y－x 1(x≠0)， 同理，直线 BM 的斜率 kBM＝y＋x 1(x≠0)． 由已知有y－x 1·y＋x 1＝－12， 化简，得点 M 的轨迹方程为x22＋y2＝1(x≠0)．
AB
经典例题
题型二 已知椭圆的标准方程求参数
跟踪训练2
若方程ax22－a－y212＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 a 的取值
范围是
．
－4＜a＜0 或 0＜a＜3 解析：方程化为ax22＋12y－2 a＝1，依题意应有 12－a＞a2＞0， 解得－4＜a＜0 或 0＜a＜3．
经典例题
题型三 求椭圆轨迹方程
经典例题
题型三 求椭圆轨迹方程
方法 3：代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)＝0 上的动点
Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后 代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方 程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
k
∴2k>2，故 0<k<1.故选 CD.
当堂达标
4.若方程xm2＋2my－2 1＝1 表示椭圆，则实数 m 满足的条件是________．
mm＞12且m≠1
解析：由方程xm2＋2my－2 1＝1
m＞0， 表示椭圆，得2m－1＞0，
m≠2m－1，
解得 m＞12且 m≠1.
当堂达标
5.设 F1，F2 是椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2| ＝2∶1，求△F1PF2 的面积． 解：由椭圆方程，得 a＝3，b＝2，c＝ 5. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6 且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△PF1F2 是直角三角形，且∠F1PF2＝90°， 故△F1PF2 的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×2×4＝4。
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆及其标准方程通用课件
椭圆的特点
椭圆有两个焦点，位于其中心的 两侧。
椭圆上的任意一点到两个焦点的 距离之和是常数。
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程 度的重要参数，离心率越小，椭
圆越扁平。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是以焦点作为极点，以参数t表示极角，用三角函数形式表示的 椭圆方程。
椭圆的参数方程为：`x=a*cos(t)，y=b*sin(t)`，其中a和b分别是椭圆的长半轴 和短半轴，t是从焦点到椭圆上的点的极角。
长半轴，$b$是短半轴。
03
$a,b,c$的关系
$c^{2} = a^{2} - b^{2}$，其中$c$是焦点到中心的距离。
极坐标系下的标准方程
极坐标系下的标准方程
$\rho = \frac{2a\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}}{1 + \cos^{2}\theta}$，其中 $\rho$是极径，$\theta$是极角。
PART 06
复习与总结
重点知识回顾
1 2 3
椭圆的定义 椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
椭圆的几何性质 椭圆的离心率定义，椭圆的焦点性质，椭圆的对 称性。
椭圆的参数方程 椭圆的一种参数表示方法，适用于解决一些特定 的问题。
难点解析及解决方法
ONE
KEEP VIEW
椭圆及其标准方程通 用课件
目 录
• 椭圆的基本概念 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的画法
PART 01
椭圆的基本概念
椭圆的定义
椭圆是一种二次曲线，它描述的是平 面上与两个固定点（焦点）的距离之 和等于常数（大于或等于两倍的焦点 距离）的所有点的集合。
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
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一起学习 一起思索 一起感受 一起快乐------张焱名师工作坊
乌兰浩特一中 Ulanhot NO.1 middle school
敦品修学 励志笃行
【小结】
你学会了哪些知识？
你体会到了哪些思想方法？
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y B2
A1
F1
M
O
B1
A2
F2
x
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敦品修学 励志笃行
椭圆的标准方程 焦点在x轴： F1（-c，0）、F2（c，0）
x2 y 2 2 1a b 0 2 a b
乌兰浩特一中 Ulanhot NO.1 middle school
敦品修学 励志笃行
第二章《圆锥曲线》
2.1.1椭圆及其标准方程
乌兰浩特一中 杨小义
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乌兰浩特一中
Ulanhot NO.1 middle school
敦品修学 励志笃行
圆锥曲线简介
乌兰浩特一中 Ulanhot NO.1 middle school
敦品修学 励志笃行
数学活动
若取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，
分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹有哪些情形？
【问题】把绳子两端固定的两点用F1、F2表示，把绳长用2 表示。
1、笔尖移动过程中，哪些量是变的？哪些量是不变的？ 2、画出的图形都是椭圆吗?
a
3、类比圆的定义，你能给出椭圆定义吗？
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敦品修学 励志笃行
椭圆的定义
【问题】类比圆的定义，请试着给出椭圆定义
平面内，与两定点F1、F2距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
圆、椭圆
抛物线
双曲线
[选修2-1]截面截圆锥生成圆锥曲线（几何画板演示，推荐）.gsp
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敦品修学 励志笃行
复习回顾
1、圆的画法；
2、圆的定义；
3、求圆的方程的方法.
F
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F2
x
O
M
xF2ຫໍສະໝຸດ | MF1 | | MF2 | 2a
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椭圆的方程
【问题】你能在图中找到表示
c、a 的量吗？
x2 y2 2 2 1 2 a a c
敦品修学 励志笃行
探究与发现
为什么圆锥曲线截口曲线可以是椭圆？
Dandelin
法国数学家（1794 - 1847）
丹迪林双球
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y
M (x, y) F2 x
F 1
o
焦点在y轴： F1（0，-c ）、F2（0，c）
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
y
F2
M(x,
y)
o
F1
x
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练习1
判断下列动点的轨迹是 否为椭圆。 (1)到F1 (-3,0) 、F2 (3,0) 的距离之和为10的点的轨迹; (2)到F1 (-2,0) 、F2 (2,0) 的距离之和为4的点的轨迹; (3)到F1 (0,-2) 、F2 (0,2) 的距离之和为3的点的轨迹.
练习2
已知椭圆的两个焦点坐 标分别是- 1， 0, 1， 0 2 并且经过点（ 1， ），求它的标准方程 . 2
2a
定点F1、F2称为椭圆的焦点. F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距.
2c
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椭圆的方程 y 建系 设点 限制 条件 代点 列式 化简
F1
M
y
F1
O
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【小结】
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y B2
A1
F1
M
O
B1
A2
F2
x
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椭圆的标准方程 焦点在x轴： F1（-c，0）、F2（c，0）
x2 y 2 2 1a b 0 2 a b
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第二章《圆锥曲线》
2.1.1椭圆及其标准方程
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数学活动
若取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，
分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹有哪些情形？
【问题】把绳子两端固定的两点用F1、F2表示，把绳长用2 表示。
1、笔尖移动过程中，哪些量是变的？哪些量是不变的？ 2、画出的图形都是椭圆吗?
a
3、类比圆的定义，你能给出椭圆定义吗？
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椭圆的定义
【问题】类比圆的定义，请试着给出椭圆定义
平面内，与两定点F1、F2距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
圆、椭圆
抛物线
双曲线
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复习回顾
1、圆的画法；
2、圆的定义；
3、求圆的方程的方法.
F
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F2
x
O
M
xF2ຫໍສະໝຸດ | MF1 | | MF2 | 2a
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椭圆的方程
【问题】你能在图中找到表示
c、a 的量吗？
x2 y2 2 2 1 2 a a c
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探究与发现
为什么圆锥曲线截口曲线可以是椭圆？
Dandelin
法国数学家（1794 - 1847）
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y
M (x, y) F2 x
F 1
o
焦点在y轴： F1（0，-c ）、F2（0，c）
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
y
F2
M(x,
y)
o
F1
x
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练习1
判断下列动点的轨迹是 否为椭圆。 (1)到F1 (-3,0) 、F2 (3,0) 的距离之和为10的点的轨迹; (2)到F1 (-2,0) 、F2 (2,0) 的距离之和为4的点的轨迹; (3)到F1 (0,-2) 、F2 (0,2) 的距离之和为3的点的轨迹.
练习2
已知椭圆的两个焦点坐 标分别是- 1， 0, 1， 0 2 并且经过点（ 1， ），求它的标准方程 . 2
2a
定点F1、F2称为椭圆的焦点. F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距.
2c
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椭圆的方程 y 建系 设点 限制 条件 代点 列式 化简
F1
M
y
F1
O