2.2.2椭圆方程及几何性质

【点评】 求椭圆的方程，关键在于
寻找到能求a2，b2的关系式或条件，
观察图形，由条件转化是常用到的解
题办法．
练习1(09年广东)已知椭圆G的中心在坐 标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 ，两
个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和
F2的距离之和为12.圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y
2
－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程； (2)求△AkF1F2的面积； (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明 理由．
知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离 心率为 3 ，点A、B分别是椭圆C的长轴、
短轴的端点，点O到直线AB的距离为 6 5 . 5 (1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点E(3,0)，设点P、Q是椭圆C的两个
2
动点，满足EP⊥EQ，求
围．
的取值范
规律方法总结
1．椭圆的定义有两种形式，习惯上称为 第一定义和第二定义． 在第一定义中，描述椭圆为“到两定点 的距离之和等于定长的点的集合(轨迹)”，其 中限制条件为“两定点间距离小于定长”， 这个定义中的条件是常考内容； 在第二定义中，描述椭圆为“到定点和 定直线的距离之比等于常数e(0<e<1)的点的 轨迹”，其中定点和定直线被称为椭圆的焦 点和相应
4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦 点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长 线交C于点D， 且BF=2FD，则C的离心率 为 .
5（2010湖北）:已知椭圆 的两焦点分别为 ,则 | _______，直线 共点个数_____。 |+| ,点 满足
|的取值范围为 与椭圆C的公
考点一
椭圆的定义及应用
不能应用定义，也就应注意条件中是否
出现椭圆上的点与焦点的连线这种条 件．
考点二
例2：求椭圆
椭圆中的最值问题 上的动点P到其中
一个焦点F的距离的最大值和最小值。
y P
F
x
练习1：已知A(-1,1),B(1,0) 点P在椭圆 PA+2PB的最小值。 上运动，求
练习2：求PA-PB的范围。
练习3：求PA+PB的最大值。
，求 的值； 面积的最大值．。
小结：椭圆中最值问题的求解策略：
总方针：建立目标函数（或目标不等式）
具体方法： （1）转化成二次函数的最值问题。 （2）利用三角换元，转化成三角函数的 最值问题。 （3）结合圆锥曲线的定义，利用图形的 几何特征求最值。 （4）利用基本不等式放缩求最值。
考点三
椭圆的标准方程
例4
(2)由题意，可知直线l的斜率存在，设
直线斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x＋1)，则有M(0，k)． 设Q(x1，y1)，由于Q、F、M三点共
线，且根据题意得
(x1，y1－k)＝±2(x1＋1，y1)，
据题意得(x1，y1－k)＝±2(x1＋1，y1)，
解得k＝0，k＝±4，
所以直线l的斜率为0或±4.
(2)离心率：e＝ (0<e<1)． (3)焦点到相应准线的距离：p＝ . (4)焦点在 x 轴上的椭圆焦点弦长 d ＝ ．
3．椭圆的几何性质
{M||MF1|＋|MF2|＝2a，(2a>|F1F2|)}
条件
|MF1| |MF2| {M|＝ d ＝ d ＝e(0<e<1)} 1 2
标准方 程及 图形
3．求椭圆方程的方法，除了直接根据 定义外，常用待定系数法(先定性、再定 型、后定参)． 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定
其标准方程时，可设方程为 x ＋y ＝1(m m n >0，n>0)，可以避免讨论和繁杂的计算，
也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，这
2
2
种形式在解题中简便．
4．熟练掌握常用基本方法的同 时，注意体会解题过程，并优化解 题思维，特别是化简的过程需仔细
揣摩．
x2 y2 (a>b>0) ＋ ＝ 1 a2 b2 x2 y2 ＋ ＝1 b2 a2
(a>b>0)
顶点
A1(0，－a)， A1(－a,0)，A2(a,0)， A2(0，a)， B1(0，－b)， B1(－b,0)，B2(b,0) B2(0，b)
x轴、y轴 对称轴： ，长轴长： |A1A2|＝2a ， 短轴长： |B B |＝2b
|F1F2|＝2c(c>0)，c2＝a2－b2
离心率
c e＝ (0<e<1) a
通径
2b a
2
强化训练
1．(2009年陕西)“m>n>0”是“方程mx2 ＋nyห้องสมุดไป่ตู้＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的____ ____条件．
答案：充要
2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为 5 ，且过P(－5,4)，则 椭圆的方程为________．
(3)∵椭圆G与圆心Ak所在直线y＝2均关 于y轴对称． ∴不妨考虑k≥0的情形，此时，圆心Ak (－k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)的距离为
∴点N(6,0)总在圆外；若k<0， 由(－6)2＋0－12k－0－2＝15－12k>0， 可知点(－6,0)在圆Ck外． 所以任何圆Ck都不能包围椭圆．
1 2
轴
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
2 2 2 2 a a a a 准线 l1：x＝－ ，l2：x＝ l1：y＝－ c ，l2：y＝ c c c 方程
焦半径
|MF1|＝a＋ex0， |MF2|＝a－ex0
|MF1|＝a＋ey0， |MF2|＝a－ey0
焦距
总结：椭圆的几何性质如离心率题，
范围问题都是常考的内容，本题中是
利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转 化的，这是解决有关范围问题常用的
一个方法，但并不是惟一的方法，题
目设置的条件不同，采用的方法也会
随之不同，因此，需要在平时总结不
同的题型，以便归纳规律和方法．
练习：(2010年苏、锡、常、镇调研)已
2．消元后得到的一元二次方程的根是 直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常 是写成两根之和与两根之积的形式，这是 进一步解题的基础．
本类问题中主要是直线与椭圆相交的问 题，可以分为两类： ①直线过椭圆焦点（可以联想定义或焦 半径等； ②直线不过椭圆焦点． 处理的办法也分为两种：
①设而不求(点差法，涉及中点）；
练习2、（2010安徽理数）已知椭圆E经过 点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上， 离心率0.5。 (Ⅰ)求椭圆E的方程； (Ⅱ)求角F1AF2的角平分线所在直线的方程； (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l 对称的 相异两点？若存在，请找出；若不存在， 说明理由。
考点四
直线与椭圆的关系
1．直线方程与椭圆方程联立，消元后 得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来 判断直线和椭圆相交、相切或相离．
5
3．(08年浙江)已知F1、F2为椭圆 2 2 x y ＝1(5>b>0)的两个焦点，过F 的直 1 ＋ 2 25 b 线交椭圆于A，B点，若|F2A|＋|F2B|＝12， 则|AB|＝________. 解：由椭圆定义知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a，所以|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋ |BF2|＝4a，即|AB|＋|AF2|＋ |BF2|＝4a，∴|AB|＝4a－(|F2A|＋|F2B|) ＝4×5－12＝8.
练习4：求椭圆
上
的动点P到直线 小值。
的距离的最
例3：设P是椭圆
在第一象限的
点，A(2,0)、B(0,1)，O为原点，求四边形 OAPB的面积的最大值。
y B P A x
O
练习（2008 全国卷
中心在坐标原点，点
）设椭圆
是
它的两个顶点，直线
与 相交于点 两点。
（Ⅰ）若 （Ⅱ）求四边形
，与椭圆相交于
利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到 两个焦点的距离进行转化，一般地，解决 与到焦点的距离有关的问题时，首先应考 虑用定义来解题．
例1
(09北京)椭圆 ＝1的焦点为F1、F2， 点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__； ∠F1PF2的大小为____．
【答案】
2
120°
【点评】 椭圆的定义具有鲜明的特 点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出 现时，才会出现椭圆的定义，因此，能
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半 焦距)，求直线AB的斜率k的值；
(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如
果是，请给予证明；如果不是，请说明 理由．
试卷18题
考点五
椭圆的几何性质
主要问题有两类， 第一类根据椭圆方程研究椭圆的几何
性质，
第二类根据椭圆的几何性质，综合其 他知识求椭圆方程或者研究其他问 题，这一类利用性质是关键．
【解】 (1)椭圆C的焦点在x轴上， 由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和 是4，得2a＝4，即a＝2.
总结：直线与椭圆相交往往是联立方程 组，利用韦达定理等知识，但某些条件 的转化应用往往是解题的突破口和关 键，如本题中向量数量积的应用，这就
要求解题过程中对条件的分析要准确，
与其它知识点的转化要熟练．
椭圆方程及几何性质
1．椭圆的定义 (1)平面内一点P与两定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，
即 |PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|
基础知识梳理
若常数等于|F1F2|，则轨迹是 线段F1F2 .
若常数小于|F1F2|，则轨迹 不存在 ． 注意：一定要注意椭圆定义中限制 条件“大于|F1F2|”是否满足．