创新小题解题途径解析版(3)

创新小题解题途径——2013年部分高考创新题分析与解答一、直观化1、几何直观例1、（2013年北京理）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ） A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，【解析】 C几何直观：将x m y m <-⎧⎨>⎩利用直线y x =-上的点(),m m -表达出来．例2、 （2013年新课标I ）设n n n A B C △的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C △的面积为n S ，123n = ，，，，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ） A ．{}n S 为递减数列B ．{}n S 为递增数列C ．{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列D ．{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列【解析】 几何意义：333例3、 （2013年广东理）设整数4n ≥，集合{}123X n = ，，，，．令集合(){|S x y z x y z X =∈，，，，，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<}恰有一个成立，若()x y z ，，和()z w x ，，都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A ．()y z w S ∈，，，()x y w S ∉，，B ．()y z w S ∈，，，()x y w S ∈，，C ．()y z w S ∉，，，()x y w S ∈，，D ．()y z w S ∉，，，()x y w S ∉，，【解析】 B利用几何直观：z例4、 （2013年上海理）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|()}g I y y g x x I ==∈，，已知定义域为[03]，的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且1([01))[12)f -=，，，1((24])[01)f -=，，，若方程()0f x x -=有解0x ，则0x =________．【解析】 2例5、 （2013年安徽理）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A B ，满足2O A O B O A O B ==⋅= ，则点集{}|1P OP OA OB λμλμλμ=++∈R ，，，≤所表示的区域的面积是（ ）A． B． C． D．【解析】 D直接利用1λμ+≤的几何意义即可．A例6、 （2013年上海理）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ．若m M ，分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{}{}12345i j k ⊆，，，，，，，{}{12345}r s t ⊆，，，，，，，则m M ，满足（ ）． A ．00m M =>，B ．00m M <>，C ．00m M <=，D ．00m M <<，【解析】 D例7、（2013年重庆理）在平面上，12AB AB ⊥ ，121OB OB == ，12AP AB AB =+ ．若12OP < ，则OA的取值范围是（ ）A ．0⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝ 【解析】 D设1OB a = ，2OB b = ，OA c =，则 12AB AB ⊥⇔()()0a c b c --=()20ab c a b c ⇔-++=； 121OB OB ==⇔221a b ==； 12AP AB AB =+ 12OP OA OB OA OB OA ⇔-=-+- OP a b c ⇔=+-12OP < ()214a b c ⇔+-<()2221224a b c ab a b c ⇔+++-+<()()2212224c a b c c a b c ⎡⎤⇔+++--+<⎣⎦2124c ⇔-<274c ⇔> 而()22024a b a b c ab ++⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 2122a b ab c +-⎛⎫⇔-=⎪⎝⎭另一方面，2cos 0c c a b ab θ-++=，其中θ为c 与a b +的夹角，设a b m +=，02m ≤≤， 则222m ab -=．此时222cos 02m c m c θ--+=，解得c =于是c =cos 1θ=且m 22c ≤也可以由几何意义直接得到．2例8、（2013年广东理）给定区域：4:440x y D x y x +⎧⎪⎨⎪⎩+≥≤≥．令点集(){0000|T x y D x y =∈∈Z ，，，()00x y ，是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的}点，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】 6利用数量积的几何意义即可．例9、 （2013年福建理）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：①(){}|T f x x S =∈；②对任意12x x S ∈，，当12x x <时，恒有()()12f x f x <；那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*A =N ，B =N B ．{}|13A x x =-≤≤，{}|8010B x x x ==-<或≤C ．{}|01A x x =<<，B =RD ．A =Z ，B =Q【解析】 D发掘几何意义： 所谓“保序同构”，就是从左下到右上的散点图或曲线，其中S 、T 分别为图形在x 轴、y 轴方向上的投影．例10、 （2013年湖南理）在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于A B ，的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图）．若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（ ）A ．2B ．1C ．83D ．43【解析】 D作几何化简：如图建系，()1,0P m -，()24,4P m -，44,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，则443443m m m -=++，即43m =．2、代数化简例11、 （2013年山东理）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．94D ．3 【解析】 B做代数化简：2234z x xy y =-+于是143xy x y z y x=+⋅-取得最大值时，2x y =，此时22z y = 221221x y z y y+-=-，其最大值为1．例12、 （2013年新课标II ）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为________．【解析】 49-等差数列的前n 项和满足2n S an bn =+，因此100100a b +=，2251525a b += 解得13a =，103b =-．于是2103n n n S -=，()2103n n n nS -=法1：考虑函数()3210f x x x =-，有()2320f x x x '=-，在203x =处取得极小值． 于是考虑6n =和7n =时情形即可．法2：考虑()()()3232322101101103179n n n n n n n n ∆-=+-+-+=--亦可．例13、 （2013年浙江理）设12e e ，为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x y ∈R ，，若12e e ，的夹角为π6，则xb的最大值等于________． 【解析】 2222141x b y y x x ⎛⎫ ⎪== ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤例14、 （2013年天津理）设2a b +=，0b >，则当a = 时，12a a b+取得最小值． 【解析】 2-显然12a a b+取得最小值时0a <． 问题转化为设2b a -=，则当a -= 时，12aa b+取得最小值． 22112222224a a a a a b a a a a +++=+=++，其中0a >． 设222224a a t a a++=+，则()()2214120t a t a -+--=， ()()()()22411611681545430t t t t t t ∆=-+-=+-=+-≥∴54t -≤（舍去）或34t ≥当34t =时，()41241t a t -=-=-，于是等号可以取到．例15、 （2013年新课标I ）若函数()()()221f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______．【解析】 代数化简：()2f x -关于y 轴对称，于是函数转化为()()243y x x =-+-⋅由于函数不含奇次项，于是()()()22222424343163109y x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+++=-+=-+-⎣⎦⎣⎦其最大值为16．几何意义：可以从图象（零点）考虑例16、 （2013年辽宁理）设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【解析】 D做代数化简：注意到()()2exx f x x'=．()()23e 2x xf x f x x -'=，令()()2e 2x g x x f x =-，则()2e 1x g x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，于是()0g x ≥从而()f x 单调递增．例17、 （2013年湖南理）设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，⑴ 记集合(){}|M a b c a b c a b ==，，，，不能构成一个三角形的三边长，且，则()a b c M ∈，，所对应的()f x 的零点的取值集合为____．⑵ 若a b c ，，是ABC △的三边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①()1x ∀∈-∞，，()0f x >； ②x ∃∈R ，使x x x a b c ，，不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()12x ∃∈，，使()0f x =． 【解析】 ⑴(]0,1；⑵①②③将()f x 代数化简为单调性确定的函数： ⑴()2x x f x a c =-，其中02a c <≤． ()0f x =即1log 2acx =，而102a c <≤，于是零点的取值集合为(]0,1． ⑵①()01xxa b f x c c ⎛⎫⎛⎫>⇔+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()xxa b g x c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 单调递减且()11g >．②x →+∞时，()0g x →； ③()()112g g >>．例18、 （2013年大纲卷）已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图象关于点()π0，中心对称 B ．()y f x =的图象关于π2x =对称C ．()f xD ．()f x 既是奇函数，又是周期函数 【解析】 C代数化简：()22sin 1sin y x x =-，于是322y t t =-，sin t x =．例19、 （2013年安徽理）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ，上可找到n （2n ≥）个不同的数1x ，2x ，…，n x ，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围是（ ）A ．{}34，B ．{}234，，C ．{}345，，D ．{}23，【解析】 B代数化简设()()()1212n nf x f x f x t x x x ==== ，则12,,,n x x x 是方程()f x tx =的根．然后利用几何意义即可．例20、 （2013年安徽理）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 A先做代数化简：()()()2320f x af x b ++=()()0f f x '⇔=()1f x x ⇔=或2x然后利用几何意义：例21、 （2013年湖北理）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x （12x x <），则（ ） A ．()10f x >，()212f x >- B ．()10f x <，()212f x <-C ．()10f x >，()212f x <-D ．()10f x <，()212f x >-【解析】 D先做代数化简：()1ln 20f x x ax '=+-=，即ln 21x ax =-然后利用几何意义：如图，102a <<，而()1f a =-1,02⎛⎫∈- ⎪⎝⎭而()()()121f x f f x <<，因此()10f x <，()212f x >-例22、 （2013年四川理）设函数()f x =a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1e ，B ．1e 11-⎡⎤-⎣⎦，C ．[]11e +，D ．1e 1e 1-⎡⎤-+⎣⎦，【解析】 A先作代数化简()()1f x f x -=，再借助几何直观．例23、 （2013年天津理）已知函数()()1f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若1122A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 0⎫⎪⎪⎝⎭B ． 0⎫⎪⎪⎝⎭C ． 00⎫⎪⎪⎛ ⎝⎭⎝⎭ D ． ⎛- ⎝∞ ⎭【解析】 A先代数化简再利用几何直观：()f x 为奇函数．0a ≥时，()f x 单调递增，不符合要求； 0a <时如图，11222a a -+>，从而解得实数a的取值范围为0⎫⎪⎪⎝⎭．例24、 （2013年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设定点()A a a ，，P 是函数1y x=（0x >）图象上一动点，若点P A ，之间的最短距离为a 的所有值为________．【解析】 1-几何直观探路，代数方法求解：()()2218y x x a y a ⎧=⎪⎨⎪-+-=⎩即222112280x a x a x x ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭ 令1t x x=+，则2222100t at a -+-= 1°2t =，此时2442100a a -+-=，解得1a =-； 2°()()222442104100a a a ∆=--=-+=，解得a ．例25、 （2013年江苏）在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++> 的最大正整数n 的值为________．【解析】 1262n n a -=，1212n n a a a a a a +++> ⇔()()11522212n n n--->()115212232n n n --->几何直观探路，代数方法求解：5n -()112n n -11n = 6 0 12n = 7 6 13n = 8 13二、特殊化1、简单情形例26、 （2013年陕西理）设[]x 表示不大于x 的最大整数， 则对任意实数x ，y ，有（ ）A ．[][]x x -=-B ．[][]22x x =C ．[][][]x y x y ++≤D ．[][][]x y x y --≤【解析】 D考虑简单情形即可． 取0.x m =，0.y n =例27、 （2013年四川理）设12n P P P ，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12n P P P ，，，点的距离之和最小，则称点P 为12n P P P ，，，点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A B ，的中位点．则有下列命题：①若三个点A B C ，，共线，C 在线段AB 上，则C 是A B C ，，的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A B C D ，，，共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）【解析】 ①④②考虑等腰直角三角形的直角顶点；③考虑A 、B 重合，C 、D 重合的情形．例28、 （2013年江西理）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，1l l ∥，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧 FG 的长为x （0πx <<），y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图象大致是（ ）l l 2l 1A ．B ．C ．D ． 【解析】 C随着x 的增大，y 一定递增，于是排除B ；考虑下图，说明当x 位于中间位置时，y 高于中间位置，选C ．34142例29、 （2013年浙江理）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=．设αβ，是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()1Q f f P βα=⎡⎤⎣⎦，()2Q f f P αβ⎡⎤=⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒ C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒【解析】 A考虑平面上的情形即可．2、极限情形例30、 （2013年新课标II ）已知点()10A -，，()10B ，，()01C ，，直线y ax b =+（0a >）将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A ．()01， B ．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．113⎛⎤ ⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 【解析】 极限情形和临界情形：作为选择题，极限状态1、3对应的b 的具体值都不需要求出．3、临界情形例31、 （2013年安徽理）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．A 1D①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R = ④当314CQ <<时，S 为六边形 ⑤当1CQ =时，S 【解析】 ①②④⑤注意变化中的两个临界情形：R Q PD 1C 1B 1A 1DC BAABC DA 1B 1C 1D 1PQR Q PD 1C 1B 1A 1DC BAABC DA 1B 1C 1D 1PR例32、 （2013年上海理）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:1C y x =+，P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与12C C ，都有公共点，则称P 为“12C C -型点”．⑴ 在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；⑵ 设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”； ⑶ 求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 【解析】 ⑶临界情形：事实上⑵也是考虑临界情形．三、实例化与归纳例33、 （2013年山东理）定义“正对数”：001ln ln 1x x x x +<<⎧=⎨⎩，，≥，现有四个命题：①若0a >，0b >，则()ln ln b a b a ++= ②若0a >，0b >，则()ln ln ln ab a b +++=+ ③若0a >，0b >，则ln ln ln a a b b +++⎛⎫- ⎪⎝⎭≥④若0a >，0b >，则()ln ln ln ln 2a b a b ++++++≤其中真命题有________（写出所有真命题的编号）【解析】 ①③④分类讨论即可．例34、 （2013年福建理）当x ∈R ，1x <时，有如下表达式：2111n x x x x+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-，两边同时积分得：1111122222200011d d d d d 1nx x x x x x x x x+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式： 23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： 2310121111111C C C C 2223212n nnn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦例35、 （2013年湖北理）古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为()(3)N n k k ，≥，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()2113=+22N n n n ， 正方形数 ()24=N n n ，五边形数 ()2315=22N n n n -， 六边形数 ()26=2N n n n -，……………………………………………………………．．可以推测()N n k ，的表达式，由此计算()1024N =，_____________．【解析】 22422k k n n ---，1000()()211,222N n k n k n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭22422k k n n --=-()224224410,241010100022N --=⋅-⋅=例36、 （2013年陕西理）观察下列等式：211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=- ……照此规律，第n 个等式可为 ．【解析】 ()()()12222211234112n n n n n ++-+-++-⋅=-⋅．。