八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理2直角三角形的判定导学华东师大版
第14章 勾股定理
14. 1 勾股定理 2．直角三角形的判定
第14章 勾股定理
2. 直角三角形的判定
知识目标
目标突破
总结反思
14.1 勾股定理
知识目标
1．经过画图、观察、讨论，归纳理解勾股定理的逆定理，会
用它判断一个三角形是不是直角三角形．
2．在理解勾股定理及其逆定理的基础上，能够用它们解决一
些综合问题．
可得到四边形ABCD的面积．
14.1 勾股定理
解：连结 BD.由∠A＝90° 知△ABD 是直角三角形，根据勾股定理，得 BD2＝AB2 ＋AD2＝92＋122＝225＝152，所以 BD＝15. 又因为“15，20，25”是一组勾股数， 即 152＋202＝252，故 BD2＋BC2＝CD2. 根据勾股定理的逆定理可得△BCD 是直角三角形，且∠CBD＝90° ，故有 S△ABD 1 1 1 1 ＝ AB· AD＝ × 9× 12＝54，S△BCD＝ BD· BC＝ × 15× 20＝150， 2 2 2 2 则 S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝54＋150＝204.
目标二 能综合应用勾股定理及其逆定理
例2 教材补充例题 如图14－1－11所示，在四边形ABCD中，∠A ＝90°，且AB＝9，BC＝20，CD＝25，AD＝12，求四边形ABCD 的面积．
图14－1－11
14.1 勾股定理
【解析】 连结BD，由已知条件易知BD＝15，通过观察“15，20，25”这组 数，可知这组数是我们熟悉的一组勾股数，那么根据勾股定理的逆定理，可 得△BCD是直角三角形，于是，求出Rt△ABD与Rt△BCD的面积之和，即
【归纳总结】勾股数必须满足的两个条件：
图14－1－12
14.1 勾股定理
总结反思
小结
知识点一 勾股定理的逆定理
a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c有关系____________ ，那么这个三角形
是直角三角形，且边c所对的角为直角．
14.1பைடு நூலகம்勾股定理
知识点二 勾股数
正整数 ，称为勾股数. 能够成为直角三角形三条边长的三个________
的平方，那么这个三角形就不是直角三角形．
求不规则的四边形的面积，通常是添加辅助线，将不规则图形转
化为两个直角三角形的面积和．
14.1 勾股定理
目标三 会辨别一组数是不是勾股数
B
例3 教材补充例题 下列各组数中不是勾股数的是( A．3，4，5 C．5，12，13 B．4，5，6 D．6，8，10
)
14.1 勾股定理
14.1 勾股定理
解：△ABC是直角三角形．
理由：∵(m2－n2)2＋(2mn)2
＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2 ＝m4＋n4＋2m2n2 ＝(m2＋n2)2， ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
14.1 勾股定理
【归纳总结】 由三边判别直角三角形的“三步法”：
图14－1－10
14.1 勾股定理
3．通过自学阅读，理解勾股数的意义，会辨别一组数是不是
勾股数．
14.1 勾股定理
目标突破
目标一 会用勾股定理的逆定理判定直角三角形
例1 教材例4针对训练 已知△ABC的三边长分别为a，b，c且 a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m＞n，m，n是正整数)，试 问△ABC是直角三角形吗？请说明理由.
14.1 勾股定理
反思
在△ABC 中，三边长分别为 a＝ 3，b＝ 7，c＝2，试判断 △ABC 是不是直角三角形． 解：∵a2＋b2＝3＋7＝10，c2＝4， ∴a ＋b ≠c ， ∴△ABC 不是直角三角形． (1)错因分析： (2)纠错：
2 2 2
14.1 勾股定理
【答案】 (1)此题忽略了直角三角形中斜边大于任意直角边，机械地认为c一定是
14.1 勾股定理
【归纳总结】勾股定理及其逆定理的应用： 单一应用：由勾股定理的逆定理得出直角三角形后，求这个直角 三角形的角的度数或面积． 综合应用：先由勾股定理，求出三角形的边长，再由勾股定理的 逆定理，确定另一个三角形的形状，进而解决其他问题．
逆向应用：如果一个三角形的较短的两边的平方和不等于较长边
斜边，从而导致错误．
(2)∵b>a，b>c， ∴b是△ABC中最长的边． ∵b2＝7，a2＋c2＝3＋4＝7， ∴b2＝a2＋c2，∴△ABC是直角三角形．
14. 1 勾股定理 2．直角三角形的判定
第14章 勾股定理
2. 直角三角形的判定
知识目标
目标突破
总结反思
14.1 勾股定理
知识目标
1．经过画图、观察、讨论，归纳理解勾股定理的逆定理，会
用它判断一个三角形是不是直角三角形．
2．在理解勾股定理及其逆定理的基础上，能够用它们解决一
些综合问题．
可得到四边形ABCD的面积．
14.1 勾股定理
解：连结 BD.由∠A＝90° 知△ABD 是直角三角形，根据勾股定理，得 BD2＝AB2 ＋AD2＝92＋122＝225＝152，所以 BD＝15. 又因为“15，20，25”是一组勾股数， 即 152＋202＝252，故 BD2＋BC2＝CD2. 根据勾股定理的逆定理可得△BCD 是直角三角形，且∠CBD＝90° ，故有 S△ABD 1 1 1 1 ＝ AB· AD＝ × 9× 12＝54，S△BCD＝ BD· BC＝ × 15× 20＝150， 2 2 2 2 则 S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝54＋150＝204.
目标二 能综合应用勾股定理及其逆定理
例2 教材补充例题 如图14－1－11所示，在四边形ABCD中，∠A ＝90°，且AB＝9，BC＝20，CD＝25，AD＝12，求四边形ABCD 的面积．
图14－1－11
14.1 勾股定理
【解析】 连结BD，由已知条件易知BD＝15，通过观察“15，20，25”这组 数，可知这组数是我们熟悉的一组勾股数，那么根据勾股定理的逆定理，可 得△BCD是直角三角形，于是，求出Rt△ABD与Rt△BCD的面积之和，即
【归纳总结】勾股数必须满足的两个条件：
图14－1－12
14.1 勾股定理
总结反思
小结
知识点一 勾股定理的逆定理
a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c有关系____________ ，那么这个三角形
是直角三角形，且边c所对的角为直角．
14.1பைடு நூலகம்勾股定理
知识点二 勾股数
正整数 ，称为勾股数. 能够成为直角三角形三条边长的三个________
的平方，那么这个三角形就不是直角三角形．
求不规则的四边形的面积，通常是添加辅助线，将不规则图形转
化为两个直角三角形的面积和．
14.1 勾股定理
目标三 会辨别一组数是不是勾股数
B
例3 教材补充例题 下列各组数中不是勾股数的是( A．3，4，5 C．5，12，13 B．4，5，6 D．6，8，10
)
14.1 勾股定理
14.1 勾股定理
解：△ABC是直角三角形．
理由：∵(m2－n2)2＋(2mn)2
＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2 ＝m4＋n4＋2m2n2 ＝(m2＋n2)2， ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
14.1 勾股定理
【归纳总结】 由三边判别直角三角形的“三步法”：
图14－1－10
14.1 勾股定理
3．通过自学阅读，理解勾股数的意义，会辨别一组数是不是
勾股数．
14.1 勾股定理
目标突破
目标一 会用勾股定理的逆定理判定直角三角形
例1 教材例4针对训练 已知△ABC的三边长分别为a，b，c且 a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m＞n，m，n是正整数)，试 问△ABC是直角三角形吗？请说明理由.
14.1 勾股定理
反思
在△ABC 中，三边长分别为 a＝ 3，b＝ 7，c＝2，试判断 △ABC 是不是直角三角形． 解：∵a2＋b2＝3＋7＝10，c2＝4， ∴a ＋b ≠c ， ∴△ABC 不是直角三角形． (1)错因分析： (2)纠错：
2 2 2
14.1 勾股定理
【答案】 (1)此题忽略了直角三角形中斜边大于任意直角边，机械地认为c一定是
14.1 勾股定理
【归纳总结】勾股定理及其逆定理的应用： 单一应用：由勾股定理的逆定理得出直角三角形后，求这个直角 三角形的角的度数或面积． 综合应用：先由勾股定理，求出三角形的边长，再由勾股定理的 逆定理，确定另一个三角形的形状，进而解决其他问题．
逆向应用：如果一个三角形的较短的两边的平方和不等于较长边
斜边，从而导致错误．
(2)∵b>a，b>c， ∴b是△ABC中最长的边． ∵b2＝7，a2＋c2＝3＋4＝7， ∴b2＝a2＋c2，∴△ABC是直角三角形．
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八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定导学案华东师大版(202
八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.2 直角三角形的判定导学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.2 直角三角形的判定导学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.2 直角三角形的判定导学案（新版）华东师大版的全部内容。
14.1.2 直角三角形的判定【学习目标】1、探索并掌握勾股定理逆定理;2、会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形；3、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，体会数形结合的思想。
【学习重难点】1、探索并掌握勾股定理逆定理2、会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 【学习过程】 一、课前准备1、（回忆）直角三角形的性质：（1）有一个角是 ， （2）两个锐角的和为 （互余)； （3） 的平方和等于 的平方，即： .2、在△ABC 中,∠C=︒90（1)若5=a ，12=b ，则c=____；（2)若7=a ，4=c ，则b=____;3、以小组为单位，准备长度分别5 cm 、6 cm 、9 cm 、12cm 、13cm 、15cm 的小棒。
二、学习新知 自主学习： 1、拼三角形：从长度分别为3cm 、 4cm 、5 cm 、6 cm 、9 cm 、12cm 、13cm 、15cm 的小棒中选出三根：（1）6、9、13；（2）9、12、 15；（3）5、12、13拼出三个三角形. 2、按要求填表：（用直角三角板判断三角形的形状) 三边的长三边的关系（计算)三角形的形状 较短边a较短边b 最长边c两条较短的边的平方和最长边的平方三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方的关系（ “≠”或“=”） 直角三角形（填“是"或“不是”）哪边对直角（填字母）3 4 5 6 9 13 9 12 15 512133、按你们拼图得到的猜想填空：（1）三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方满足 时,这个三角形是直角三角形; 边所对的角是直角。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_2
8、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
课
堂
小 结
这节课我们学到了什么？
布置作业 114 页 1、2、3 题
118 页 4、5 题
板书设计
1.勾股定理的逆定理： 2.例
教学反思
教学内容 知识部分
操作部分
1. 如果线段 a,b,c 能组成直角三角形, 则它们的比可能是
(
)
A. 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是()
A. 是直角三角形;
B. 可能是锐角三角形;
C.可能是钝角三角形;
(2) 一个直角三角形的三边长为 5,12,13. 如果将这三边同时扩大 3 倍, 那么得到的三 生
角形还是直角三角形吗?
互 2.例.一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师
动 傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,你说这个零件符号要求吗?
C
师指名
D
口答
A
B
教学过程：
主 (2) 分别以每组数为三边作出三角形, 用量角器量一量.
学
它们都是直角三角形吗?
习 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形.
那么这个 三角形是 直角三角 形.
满足 a2+b2=c2 的三个整数,称为勾股数
满
足
a2+b2=c2 的三个整
数,称为勾 股数
学生独立完成师指名
5. 以∆ABC 的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面是
口答
反
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定教案 (新版)华东师大版
教学重点
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.
AC＝b＝A′C′，
AB＝c＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C＝∠C′＝90°.
活动内容4：反思总结
提问：
1.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
①3，4，5；②1，2，4；③32，42，52；④6，8，10
A.1个B．2个C．3个D．4个
2.三角形的三边分别是a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是()
A.直角三角形B．是锐角三角形
C.是钝角三角形D．是等腰直角三角形
图14－1－
3.如图14－1－：在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝9，AD＝12，AC＝20，则△ABC是()
2.如何判定一个三角形是直角三角形？
学生一般是从直角三角的定义出发，或两个角互余的三角形是直角三角形．
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法
活动
一：
创设
情境
导入
新课
回答问题：1.写出勾股定理的逆命题.
2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.
AC＝b＝A′C′，
AB＝c＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C＝∠C′＝90°.
活动内容4：反思总结
提问：
1.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
①3，4，5；②1，2，4；③32，42，52；④6，8，10
A.1个B．2个C．3个D．4个
2.三角形的三边分别是a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是()
A.直角三角形B．是锐角三角形
C.是钝角三角形D．是等腰直角三角形
图14－1－
3.如图14－1－：在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝9，AD＝12，AC＝20，则△ABC是()
2.如何判定一个三角形是直角三角形？
学生一般是从直角三角的定义出发，或两个角互余的三角形是直角三角形．
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法
活动
一：
创设
情境
导入
新课
回答问题：1.写出勾股定理的逆命题.
2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
2023八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理2直角三角形的判定教案(新版)华东师大版
-数学建模题：布置一些需要运用勾股定理进行数学建模的题目，让学生通过构建数学模型来解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
-小组合作题：布置一些需要小组合作完成的题目，让学生通过团队合作来共同解决问题，培养学生的团队合作能力。
2.作业反馈
-及时批改作业：教师应在学生提交作业后及时进行批改，以便及时了解学生的学习情况。
6.思维发展：学生通过本节课的学习，培养了数学抽象和数学建模的能力。他们能够从实际问题中抽象出几何模型，运用数学知识进行分析和解决，提高了自己的思维能力。
7.应用能力：学生通过课堂学习和课后作业的完成，能够将勾股定理应用于实际问题中，解决生活中的测量、建筑等问题，提高了自己的应用能力。
总体来说，本节课的学习使学生在知识、能力、素质等方面取得了良好的效果，他们能够熟练运用勾股定理解决实际问题，并培养了自主学习、团队合作、数学思维等能力。这些效果的取得，为学生的进一步学习数学打下了坚实的基础，也为他们的未来发展提供了有力的支持。
在能力方面，学生需要具备观察、操作、猜想、验证等能力，以发现并理解勾股定理。同时，学生需要具备一定的逻辑推理能力和数学建模能力，能够运用勾股定理解决实际问题。
在素质方面，学生需要具备良好的合作意识和团队协作能力，能够与同学进行合作探究，共同解决问题。同时，学生需要具备一定的自主学习能力，能够在课后独立完成作业，巩固所学知识。
6.作业布置：布置一些有关勾股定理的练习题，让学生课后巩固所学知识。
三、教学反思
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。通过观察、操作、猜想、验证等过程，让学生掌握勾股定理的内容，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。在教学过程中，注重引导学生通过几何画板软件展示直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方的动态过程，帮助学生理解勾股定理，提高学生的逻辑推理能力。同时，通过课堂练习和课后作业的布置，让学生独立完成运用勾股定理解决问题的练习，培养学生的数学建模能力。在教学过程中，注重培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。
-小组合作题：布置一些需要小组合作完成的题目，让学生通过团队合作来共同解决问题，培养学生的团队合作能力。
2.作业反馈
-及时批改作业：教师应在学生提交作业后及时进行批改，以便及时了解学生的学习情况。
6.思维发展：学生通过本节课的学习，培养了数学抽象和数学建模的能力。他们能够从实际问题中抽象出几何模型，运用数学知识进行分析和解决，提高了自己的思维能力。
7.应用能力：学生通过课堂学习和课后作业的完成，能够将勾股定理应用于实际问题中，解决生活中的测量、建筑等问题，提高了自己的应用能力。
总体来说，本节课的学习使学生在知识、能力、素质等方面取得了良好的效果，他们能够熟练运用勾股定理解决实际问题，并培养了自主学习、团队合作、数学思维等能力。这些效果的取得，为学生的进一步学习数学打下了坚实的基础，也为他们的未来发展提供了有力的支持。
在能力方面，学生需要具备观察、操作、猜想、验证等能力，以发现并理解勾股定理。同时，学生需要具备一定的逻辑推理能力和数学建模能力，能够运用勾股定理解决实际问题。
在素质方面，学生需要具备良好的合作意识和团队协作能力，能够与同学进行合作探究，共同解决问题。同时，学生需要具备一定的自主学习能力，能够在课后独立完成作业，巩固所学知识。
6.作业布置：布置一些有关勾股定理的练习题，让学生课后巩固所学知识。
三、教学反思
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。通过观察、操作、猜想、验证等过程，让学生掌握勾股定理的内容，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。在教学过程中，注重引导学生通过几何画板软件展示直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方的动态过程，帮助学生理解勾股定理，提高学生的逻辑推理能力。同时，通过课堂练习和课后作业的布置，让学生独立完成运用勾股定理解决问题的练习，培养学生的数学建模能力。在教学过程中，注重培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
2024秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3直角三角形的判定教案(新版)华东师大版
在行为习惯方面，大部分学生能够按时完成作业，认真听讲，积极参与课堂讨论；但也有部分学生课堂注意力不集中，容易分心，对于课堂内容不能完全吸收。此外，部分学生在完成作业时存在依赖心理，喜欢寻求老师和同学的帮助，缺乏独立思考的能力。
针对以上学情，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，对于不同层次的学生制定不同的教学策略。对于知识掌握较好的学生，可以适当增加难度，引导他们进行深入思考和探索；对于知识掌握不足的学生，要耐心引导，帮助他们弥补知识漏洞。同时，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯。此外，教师还需注重培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同进步。
（2）在线教学平台：利用在线教学平台，发布学习任务和练习题，方便学生随时随地进行学习和练习，提高教学效果和效率。
（3）互动式教学：通过小组讨论、问答等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（4）数学软件辅助教学：利用数学软件进行几何图形的绘制和计算，帮助学生更直观地理解直角三角形的性质和勾股定理的应用。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直角三角形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道直角三角形是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于直角三角形的图片或视频片段，让学生初步感受直角三角形的美妙和特点。
简短介绍直角三角形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.直角三角形基础知识讲解（10分钟）
学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经掌握了初中数学中的一些基本知识，如代数、几何等。在知识方面，学生对于平面几何的基本概念和性质已经有所了解，对于三角形的相关知识也有所掌握。在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行简单的数学建模。
针对以上学情，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，对于不同层次的学生制定不同的教学策略。对于知识掌握较好的学生，可以适当增加难度，引导他们进行深入思考和探索；对于知识掌握不足的学生，要耐心引导，帮助他们弥补知识漏洞。同时，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯。此外，教师还需注重培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同进步。
（2）在线教学平台：利用在线教学平台，发布学习任务和练习题，方便学生随时随地进行学习和练习，提高教学效果和效率。
（3）互动式教学：通过小组讨论、问答等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（4）数学软件辅助教学：利用数学软件进行几何图形的绘制和计算，帮助学生更直观地理解直角三角形的性质和勾股定理的应用。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直角三角形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道直角三角形是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于直角三角形的图片或视频片段，让学生初步感受直角三角形的美妙和特点。
简短介绍直角三角形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.直角三角形基础知识讲解（10分钟）
学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经掌握了初中数学中的一些基本知识，如代数、几何等。在知识方面，学生对于平面几何的基本概念和性质已经有所了解，对于三角形的相关知识也有所掌握。在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行简单的数学建模。
华东师大版八年级上册 14.1-14.2 勾股定理和直角三角形的判定 讲义(无答案)
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
14.1.2 直角三角形的判定、反证法(课件)2024-2025-华东师大版数学八年级上册
课堂新授
知识点 2 勾股数
知2－讲
1. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个 数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的 平方.
课堂新授
2. 判别一组数是不是勾股数的一般步骤
知2－讲
(1)“看”：看是不是三个正整数；
(2)“找”：找最大数；
课堂新授
解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角 .
知3－练
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角 .
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角 .
不妨设∠B＝∠C＝90°.
∴∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ ∠A ＋ 90° ＋ 90° ＝ ∠A ＋ 180°>
180°. 这与“三角形的内角和是 180°”相矛盾 .
遇比例用参数法.
(3)设a＝3x，则b＝4x，c＝5x. 易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即
a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.
课堂新授
知1－练
方法点拨：判定直角三角形的方法： 1. 如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角， 或者证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形. 2 . 如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三边 长的数量关系[即a2＋b2＝c2(c为最长边)]，得到直角三角形.
归纳总结
直角三角形的判定、反证法
反证法
论新授
例 2 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A. 6，7，8
B. 5，8，13
知2－练
C. 1.5，2，2.5
D. 21，28，35
解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.
2019-2020学年八年级数学上册 14.1 勾股定理 2 直角三角形的判定教案 (新版)华东师大版.doc
学生活动
设 那样用桩钉 钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角。 情 境 引
学生猜想、质凝， 激发学生好奇心，便 于下一步活动的开 展。
入
图1
新
问：你认为古埃及人这样画出的三角形是不是直角三角形呢？
教课
学
动手操作探寻规律
活动 1：猜一猜：（分 6 个小组） 过
（学生通过小组讨
教师提供：用三条细竹条（要求学生：将竹条的长度分别定为 3 个单位长度、 论 分 析 发 现 三 边 的
定 是直角三角形. 注意：最长的 边 c 所对的角为直角.
义
辨
析
教
学
活动 3：观察:命题 1 与命题 2 的题设和结论有何关系?
命题 2 ：如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系： a2 b2 c2 ，那么这个三角形
是直角三角形.
过
命题 1：如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 a2 b2 c2 。
= n4+2 n2+1
知 过
巩
= （n2+1）2 =AC2
固
这个三角形是直角三角形，且边 AC 所对的角是直角.
程
归纳：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道 这 课堂 个三角形是什么形状吗 ？并说明理由. 小结 解:这个三角形是直角三角形.
学生对比观察，发表
程
观点
例 4 已知△ABC，AB=n2－1，BC=2n，AC=n2+1（n 为大于 1 的正整数）.试问△ABC 是直角 寻找已知条件，
+14.1.1第1课时+勾股定理+课件++2024—2025学年华东师大版数学八年级上册
上述这种验证勾股定理的方法是面积法.
小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合 起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
巩固练习
1.画出两条直角边分别为5cm、12cm为直角三角形，然 后用刻度尺量出斜边的长度，并验证上述关系对这个直 角三角形是否成立.
解：如图.
A
13 5
C
Hale Waihona Puke 12B巩固练习
角形三 边关系
BC2 + AC2 = AB2
掌握新知
分析：
方法1：把 R 看作是四个直角三角形的面积+ 小正方形面积. 方法2：把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
R Q
P
R
Q
P
R Q
P
R
Q
P
掌握新知
小结： 由前面的探索可以发现： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 为 a、b，斜边为 c，那么一定有a2 + b2 = c2. 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.
3.勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
巩固练习
例2 如图是赵爽弦图的示意图，它由4个全等的直角
三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方. 其中： S大正方形＝c2
c b
S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
a b-a
即 c2=4×1 ab+(b-a)2, 2
c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2