概率论四种收敛性
第五章 大数定律和中心极限定理
第三节 中心极限定理
所谓中心极限定理，就是关于大量微小的随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布的定理. 定义 1 设 { X n } 为一随机变量序列， DX n ， n 1,2, ，若
2
83
n a n lim P(a X i b) P n i 1 n
X
i 1
n
i
n
n
b n b n a n ) ( ). ( n n n
例 1 一加法器同时收到 50 个噪声电压 Vi (i 1,2, ,50 ) ， 设 V i (单位： 微伏)相互独立且均在 [0,10] 上 服从均匀分布，求该加法器上总电压 V
i 1
n
1 n2
c n 0(n ) ，
i 1
n
c
推论 2 (贝努里大数定律) 设 S n 为 n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数， p 为 A 在每次 n
证 明 ：令 Xi
1 在第i 次试验中A出现 ， 则 X i ~ B(1, p ) ， i 1,2,, n 且 相 互 独 立 ， 0 在第 i 次试验中 A 不出现
c 0 ，使得 DX n c ， n 1,2, ，则
P 1 n ( X i EX i ) 0 . n i 1
证明：只须验证马尔可夫条件成立即可.由于 { X n } 两两互不相关，故
0
因此马尔可夫条件成立.
n 1 1 D ( Xi) 2 2 n n i 1
DX i
概率论四种收敛性25页PPT
E(X)np7000, D (X)npq2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P {6800X7200} P {|X7000|200}12 21 00 00 20.95．
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
1( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400) P(5200X 9400)
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
由车贝晓夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
1
D( X ) (2100)2
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
在车贝晓夫不等式中取 0.01n，则
P(0.74X0.76)= P{ |X-E(X)| <0.01n} n
1
D(X) (0.01n)2
1
0.187n5 0.000n12
1 1875 n
依题意，取 118750.9 n
解得
n 187518750
10.9
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
概率论控制收敛定理
概率论控制收敛定理概率论控制收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质。
在实际问题中，我们经常需要研究随机变量的极限行为，而概率论控制收敛定理为我们提供了一种判断随机变量序列是否收敛的方法。
概率论控制收敛定理的核心思想是通过控制随机变量序列的矩或特征函数来判断其收敛性。
其中，矩是随机变量的一个重要特征，它能够刻画随机变量的分布情况。
特征函数则是随机变量的另一种特征描述方式，它是随机变量的分布函数的傅里叶变换。
概率论控制收敛定理主要包括三种形式：切比雪夫型、布瓦杰-拉普拉斯型和林德伯格型。
切比雪夫型定理是最基本的收敛定理，它利用切比雪夫不等式给出了一个上界，通过控制该上界可以判断随机变量序列的收敛性。
布瓦杰-拉普拉斯型定理是一种强收敛定理，它给出了一个直接的收敛判别条件，不需要额外的条件限制。
而林德伯格型定理则是在一些特殊情况下的收敛定理，它给出了一种弱收敛的判别方法。
概率论控制收敛定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在大数定律中，我们需要判断随机变量序列的均值是否收敛于某个常数，这时可以利用概率论控制收敛定理来判断。
在中心极限定理中，我们需要判断随机变量序列的标准化和是否收敛于标准正态分布，也可以借助概率论控制收敛定理来进行判别。
此外，在统计推断中，我们还可以利用概率论控制收敛定理来研究参数估计的收敛性。
概率论控制收敛定理是概率论中的一个重要工具，它为我们研究随机变量序列的收敛性提供了一种有效的方法。
通过控制随机变量序列的矩或特征函数，我们可以判断其是否收敛，并在实际问题中得到广泛应用。
概率论控制收敛定理的研究不仅对于理论研究有着重要的意义，也对于实际应用有着重要的指导作用。
概率论四种收敛性
主要内容
车贝晓夫不等式
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛
r-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩， E X ,
则对任意 0有
r
P( X )
E X
r
r
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有：
P( X )
D( X
i 1
n
i
)
P( Z E( Z ) ) 1 P
D( Z )
2
1 n , 代入Z X X i ,即： n i 1
1 n 1 n 1 1 n X i E ( X i ) 1 2 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n i 1
lim E | Yn Y | 0
r n
r 则称{Yn } r阶收敛于Y，并记为Yn Y
特别的有
1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 均方收敛一定平均收敛
六、以概率1收敛（几乎处处收敛）
定义5：设有随机变量序列{Yn ( )}和随机变量
Y ( ) ，若
P{ : lim Yn ( ) Y ( )} 1
P{| X E ( X ) | }
D( X )
2
当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了r.v X与它 的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取
P{| X E ( X ) | 3 } 0.111 2 9 可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
2
3
, n)相互独立，且方差有限
1 n 1 n 证明 lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
《概率论与数理统计课件》随机变量序列的收敛性
P
定理 4.3.3 若 C 为常数，则 X n C 的充
L
要条件是 X n C ．
21
证明：
必要性已由定理 4.3.2 给出，下证充分性．
记随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ．而常数 X C
（退化分布）的分布函数为
F
x
0 1
xC ． xC
22
所以对于任意的 0 ，有
Fn x收敛到一个极限分布函数 Fx 是有实际意义的．现在的 问题是，如何定义分布函数序列 Fn x的收敛性？很自然，由 于 Fn x是实变量函数序列，我们的一个猜想是：对所有的 x ， 要求 Fn x F x, n ．这就是数学分析中的点点收敛．然
下面的定理说明了依概率收敛是一种比按分布收敛更 强的收敛性．
11
P
L
定理 4.3.2 如果 X n X ，则必有 X n X ．
12
证明：
设随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ， n 1, 2, 3, ；
随机变量
X
的分布函数为
F x ．为证
Xn
L
X
，只须证明：
对所有的 x ，有
写出随机变量 Yn
n k 1
Xk 2k
的特征函数n t ；⑶
证
明：当 n 时，随机变量序列Yn依分布收敛于随机变量Y ．
33Leabharlann 解：⑴ 由于随机变量Y 服从区间 1, 1 上的均匀分布，因
此 Y 的特征函数为
t eit eit cost i sin t cost i sin t sin t ．
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
概率论中几种收敛及其联系1
概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the averageconvergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred betweenKey words : indicator function probability random variable convergence distribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。
所以首先需要建立必要的概率不等式。
我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有⎩⎨⎧∉∈=.,0;,1)(A A A I ωω那么，显然当B A ⊂时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P =定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有.)()()(a g Eg a P ηη≤≥证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥⊂≥ηη 因此()()()()()()()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤≥≤≥ηηηη其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()()a g g ≥η上面有()()1≥a g g η由上述不等式立得()()()()()()()()()()()().a g Eg a g g I a g g E a g g EI a EI a P ηηηηηη≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≥≤≥=≥Chebyshev 不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.定义 1 已知随机变量序列{n ξ,N n ∈}与随机变量ξ.如果对0>∀ε，都有.0)|(|lim =≥-∞→εξξn n P那么我们就称随机变量序列{N n n ∈,ξ}依概率收敛到随机变量ξ，记为ξξ−→−Pn其实,依概率收敛的本质是n ξ对ξ的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n 增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于1)(lim =<-∞→εξξn n P .特别当ξ为退化分布时,即()1==c P ξ,则称序列{}n ξ依概率收敛于c ,即c Pn −→−ξ.下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.定义 2 如果{}0;,>n n ξξ是r L 中的随机变量, 其中,0>r {}∞<=rr E L ξξ,并且0→-ξξn E , ()∞→n .则称随机变量序列{}N n n ∈,ξ依r 阶平均收敛到随机变量,ξ记作ξξ−→−rLn 当1=r 时简称为依平均收敛，并记为.ξξ−→−Ln在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:定理 2 r 阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为0lim =-∞→rn n E ξξ,故对,,0N ∃>∀ε当N n >时,有εξξrrn a E <- .又由Chebyshev 不等式知对任何0>a ，有()rrn n aE a P ξξξξ-≤≥-，故()εξξ<≥-a P n ，因此()0lim =≥-∞→a P n n ξξ.但是,反之不真.反例如下:例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ()1,0=Ω , () 1.0B F = , L P =. 令()0=ωξ, ()1,0∈∀ω, 而易知,对任何0>ε,当∞→n 时,都有 ()()020→=>≤>-nP P n n ξεξξ,所以ξξ−→−Pn ;但是1≡=-n n E E ξξξ, 所以n ξ不依平均收敛到ξ.在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3 设{}N n x F n ∈),(是一列定义在R 上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数).(x F 使得),(),()(lim F C x x F x F n n ∈∀=∞→则称{})(x F n 弱收敛到)(x F 记为),()(x F x F n −→−ω并称)(x F 是{})(x F n 的弱极限。
高等教育：概率论四种收敛性
第三章3・1四种收敛性车贝晓夫不等式2几乎处处收敛3依概率收敛4依分布收敛5r■阶收敛【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有I•阶绝对矩，EX 「<00,则对任意£ > 0有P(\X\>s)<^4-【证明】设X的分布函数为F(x)，则有:P(\X\>£)= f dF(x) < f x-\rdF(x)1 r00 ir< —-f x dF(x) 』J・8引理的特殊情况： P(|X|> £)<纟甲取一2,并以X ・E(X)代替X 得车贝晓夫不等式 * 【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X 有2阶中心矩，E[X-E(X)] 则对任意£ > 0有P (|X -E (X )|>^)<^2【证明】设X 的分布函数为尸(兀)，则有：DX = f (X -E(X))2JF(X )>f (x-E(X))2dF(x)\x-E(X)\^> J£2dF(x)= e 2P{\X-E(X)\>e}从而尸(|X - E(X)\ >e)< 代耳 <=^> P(\X 一 E(X)\ <^)>1-2^8 82 <00,P(\X-E(X)\<s)>l-^^ 8由车贝晓夫不等式可以看出，若b?越小，贝!I 事件［\X-E(X)\<£］的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.特别地，若D(X)=O,则对任意£>0,恒<P{|X-EX|>g}|0- 因此P{X HE¥} = 0,即P{X = EX} = 1,所以方差为0的随机鑼是常数菱P{\X-E(X)\>当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了/X与它的期望的偏差不小于8的概率的估计式・如取£ = 3b2P{IX-E(X)I> 3<r} <— ".1119(7 屋可见，对任给的分布，只要期望和方差亍存蠹则r.v X取值偏离超过3a的概率小于0.1117二车贝晓夫不等式的用途:车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。
【2019年整理】概率论四种收敛性
E(X)=0.75n, 所求为满足 的最小的n .
D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
X P (0.74 0.76) 0.90 n
X P (0.74 0.76) 可改写为 n P(0.74n< X<0.76n )
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n) = P{ |X-E(X)| <0.01n}
P( X E( X ) ) D( X )
2
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有： DX ( x E ( X ))2dF ( x )
x E ( X )
( x E ( X ))2dF ( x )
x E ( X )
2 dF ( x )
n n n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛于随机变量Y，
P Y 简记为 Yn
Yn与 Y 的绝对误差小于任意小的正数 依概率收敛表示：
的概率将随着n增大而愈来愈大，直至趋于1
五、r-阶收敛
设对随机变量Yn及Y 有E Yn , E Y 定义4：
r r
其中r 0为常数，如果
n
或简记为
P { lim Yn Y } 1
n
则称随机变量序列 {Yn }以概率1（或几乎处处）
a.s. 简记为： Y Y 收敛于随机变量Y ， n
下面定理揭示了四种收敛之间的关系。 定理 4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量 Y
a.s. Y Y ，则 (1)若 n
2 P X E( X )
从而P ( X E ( X ) ) D( X )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E(X
)
|
}
D( X
2
)
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) 2
例1： 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开 灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使 用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到 7200盏之间的概率。
解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，
P(
X
E( X )
)
D( X )
2
【证明】设X的分布函数为F ( x),则有：
DX ( x E( X ))2dF ( x)
( x E( X ))2dF( x)
xE( X )
2dF( x) xE( X )
2P X E(X)
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n)
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
在车贝晓夫不等式中取 0.01 n，则
P(0.74 X 0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n} n
1
D( X ) (0.01n)2
1
0.1875n 0.0001n2
1 1875 n
如取 3
P {|
X
E( X ) |
3 }
2 9 2
0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
车贝晓夫不等式的用途：
（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。
车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的 概率分布进行估计。
特别地，若D(X)=0，则对任意 0,恒有P{ X EX } 0
因此P{ X EX } 0,即P{ X EX } 1,所以方差为0的随机变量 是常数
P{|
X
E( X ) |
}
D( X )
2
当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了r.v X与它
的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
由车贝晓夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
第三章 3.1四种收敛性
主要内容
车贝晓夫不等式 几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛 r-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩，E X r ,
则对任意 0有
E Xr
P( X ) r
【证明】设X的分布函数为F ( x),则有：
P( X ) dF( x) x
1
D( X ) (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
从车贝晓夫不等式还可以看出, 对于给定的 >0, 当方差越小 时，事件{|X-E(X)|≥}发生的概率也越小，即X的取值越集中在
E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期 望值离散程度的一个量．
当D(X)已知时，车贝晓夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于
的概率的估计值．
P{|
X
lim
n
Fn (
x)
F
(
x)
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y，
依题意，取 1 1875 0.9 n
解得
n 1875 18750
1 0.9
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
二、分布函数弱收敛
定义1：对于分布函数列{Fn (x)},如果存在一个非降函数
F ( x)使
xr
x r dF ( x)
1
r
x r dF ( x)
-
E Xr
= r
引理的特殊情况： 取r=2，并以X-E(X)代替X得车贝晓夫不等式
E Xr
P( X ) r
【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X有2阶中心矩，EX-E(X)2 ,
则对任意 0有
从而P(
X
E( X )
)
D( X )
2
P(
X
E( X )
)
1
D( X
2
)
P(
X
E( X )
)
D( X )
2
P(
X
E(X
)
)
1D( X ) Nhomakorabea2由车贝晓夫不等式可以看出，若 2越小，则
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
中在期望附近的可能性越大.
lim Fn( x) F ( x)
n
在F ( x)的每一个连续点都成立，则称Fn( x)弱收敛于F ( x) 记为Fn( x) W F( x)
三、依分布收敛
定义2：设随机变量 Yn(n 1,2, ) 和随机变量Y 的分布函数分别为Fn( x)(n 1,2,)和F ( x),若在 的所有连续点 x 上都有
则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时
E(X ) np 7000, D(X ) npq 2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P{6800 X 7200}
P{|
X
7000 |
200} 1
2100 2002
0.95．
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75)
E(X)=0.75n, D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
所求为满足 P(0.74 X 0.76) 0.90 n
的最小的n .
P(0.74 X 0.76) 可改写为 n
P(0.74n< X<0.76n )