概率论》第1章6独立性
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《概率论》第1章§6 独立性
2p p
2
4
思考： A和B独立与A和B不相容有什么关系？
P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( BC ) P ( B ) P (C ) P (CA ) P (C ) P ( A )
必然事件 Ω 与任何事件 A 是否独立 不可能事件Φ 与任何事件 A 是否独立
结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努
利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试 验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立,
（4）共进行了n次.
P B | A P B
若
P A 0
则 事 件 A与 任 一 事 件 B相 互 独 立 。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为 0.5，乙射中目标的概率为 0.6，求目 标被击中的概率
解
设 A, B分别表示甲,乙击中目标， 则 A B表示目标被击中，由于 A, B独立
2 1 P B 4 2
P B | C 1
生的概率，而A发生不改 1 变B发生的概率，B 的发 P AB 1 4 P B | A P B 1 P A 2 生也不改变A发生的概率， 2 也就是说A与B互不影响， 1 P AB 1 P A | B 4 P A 它们是独立的. 1 P B 2
贝努利概型
考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑） 两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射 击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信 号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地， 试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0<p<1）,则
概率论第一章第六节
(2) P( A1 A2
An )
1 P(A1 A2
An )
1 P( A1 A2 An )
A1 A2 An独立
A1 A2 An独立
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ).
9
例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的 概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将 密码译出的概率是多少？
2
2
P( AB) 0，P( A)P(B) 1 ,
4
由此可见两事件互斥但不独立.
二者之间没 有必然联系
B
AB
AS
B AS
若P( A) 0 , P(B) 0 , A，B相互独立与互不相容
不能同时成立.
20 返回
为p , p 1 2 . 问对甲而言, 采取三局二胜制有利,
还是五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜 ,
胜局情况可能是 :
“甲甲”,“甲乙甲”;“乙甲甲”,
设Ai :“甲第i局胜”(i 1, 2, 3), 设A :“甲最终胜”,
则 A A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3
p pp
纯 纯纯
H1： 不纯 纯 纯
q pp
纯 纯纯
p 1 0.01 0.99,
q 1 0.95
H2：不纯 不纯 纯
q qp
纯 纯纯
H3： 不纯 不纯 不纯
q qq
纯 纯纯
0.05.
P(H0)
C936 , C3
100
P(H3 )
C43 C3
100
,
P( H1 )
C926C41 C3
100
,
P( H2 )
概率论与数理统计(事件的独立性)
P(B)P(C P( A)P(C
) )
1
4 1
4
, ,
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
1.6.1 事件的独立性
另一个反例(略) 【例1.21】设一口袋中有100个球，其中有7个是 红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红 黄蓝三色的，其余43个是无色的．现从中任取一 个球，以A、B、C分别表示取得的球有红色的、 有黄色的、有蓝色的事件．
1.6.1 事件的独立性
则有 A A1 A2 A3 A4 . 由加法公式及事件的独立性, 得系统的可靠性: P( A) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 ) P( A3 )P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
三个事件两两相互独立
另外,仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保证A、B、 C两两相互独立,更不能保证三事件相互独立．
1.6.1 事件的独立性
伯恩斯坦反例 【例1.20】一个均匀的正四面体， 其第一面染成 红色，第二面染成黄色 ， 第三面染成蓝色，而第 四面同时染上红、黄、蓝三种颜色.现以 A ，B，C 分别记投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事 件， 问 A，B，C是否相互独立?
2
2
则 P( AB) P( A)P(B).
但 AB ,
可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！
1.6.1 事件的独立性
概率论
定理二 若事件A，B相互独立，则下列各对事件也相互 独立, A与B，A与B，A与B。 【证】P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)) =P(A)P(B) 所以 A与B相互独立。 其他同理可得。
【注】概率为0的事件与任何事件独立。 设A, B是任二事件，且P(A)=0，则 P(AB)P(A)=0， 所以 P(AB)=0=P(A)P(B)，
【解】(2)放回摸球，以事件A表示“第一次摸得黑球”， 以事件B表示“第二次摸得黑球”，则
a a2 P(A) , P(AB) ， 2 ab (a b)
P(AB) a 据定义 P(B A ) P(A) ab a 又 P(B) , 所以 P(BA)=P(B)，事件A对B的发生 ab
三、事件的独立性及其概率计算 设A1, A2, …, An是相互独立的事件，由德摩根律：
P( A i ) 1 P( A i )
i 1 i 1 n n
=1-P(A1A2…An)， 因A1, A2, …, An是相互独立的，所以 =1-P(A1)P(A2) …P(An)， 【注】独立事件的和事件的概率最好转为积事件的概率 来计算。
前两者涉及事件，后一个涉及概率。 当0<P(A)<1，0<P(B)<1时，A与B的独立性可图示， 向边长为1的正方形内投一点，假设着落点有等可能性，
AB 1 A B l
s
则依几何概型概率的计算， P(AB)=sl=P(A)P(B)。
【注】当P(A)>0，P(B)>0时，A, B互斥与A，B独立不能 同时成立。事实上， 如果A与B互不相容，则A与B一定不独立，因为 P(AB)=P()=0P(A)P(B)。 如果A与B独立，则A与B一定相容，因为 P(AB)=P(A)P(B)0，即A, B不互斥。
概率论-事件的独立性
P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命 中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地 向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解 记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目 标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充 设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立． 证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一 密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙 译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解 记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译 显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则
《概率论》第1章§6独立性
第一章
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
概率论第一章概率论的基本概念第4节独立性
第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性
§4 独立性
设A、B、C是三个随机事件，如果
PAB PAPB PBC PBPC PAC PAPC PABC PAPBPC
则称A、B、C是相互独立的随机事件．
返回主目16 录
第一章 概率论的基本概念
注意
§4 独立性
在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不
p2 p2 p4 2 p2 p4.
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练习一下
• 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某个密码， 他们译出的概率分别为1/3、1/4、1/5，求密码 能译出的概率.
解：设B={密码能够被破译}
Ai 第i个人破译密码 ，i 1,2,3.
则：
PB PA1 A2 A3 1 P A1A2 A3 1 PA1PA2 PA3
234 3
1
345 5
27
思考
• 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概 率为 p, p 1/ 2.问对甲而言，采用三局二胜制 有利，还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负 相对独立.
28
返回主目5 录
第一章 概率论的基本概念
证明： 由于事件 A 与 B 相互独立，故 §4 独立性
PAB PAPB
因此，
PB
A
PAB PA
PAPB PA
PB
2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．
证明：由 PSA PA 1 PA PSPA
可知必然事件S 与任意事件 A 相互独立；
C={ 取出的球涂有黑色 } 则：
PA PB PC 1
2
PAB PBC PAC 1
4
返回主目18 录
概率论与数理统计— 独立性
P( A1)P( A2 ) P( A3)P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3)P( A4 )
p2 p2 p4 2 p2 p4.
例10 甲 、 乙 两 人 进 行 乒 乓 球比 赛, 每 局 甲 胜 的 概 率 为p (p 1 2) , 问 对 甲 而 言, 采 用 三 局 二 胜 制 有 利, 还 是 采 用 五 局 三 胜 制 有利 . 设 各 局 胜 负 相 互 独 立.
1
2
解
3
4
以 Ai (i 1,2,3,4) 表示事件第i 个元件正常工作,
以 A 表示系统正常工作 . 则有 A A1 A2 A3 A4 . 由事件的独立性,得系统的可靠性 : P( A) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 ) P( A3 )P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
Rs' (R ' ) n r n (2 r) n Rc (2 r) n . 显然 Rs' Rc.
由数学归纳法可证明当
n 2时,
(2 r)n
2 r n,即
R
' s
Rs .
第一章 概率论的基本概念
例 8 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。 设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电 器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。
0.41.
由 A3 ABC , 得 P( A3 ) P( ABC ) P( A)P(B)P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
p2 p2 p4 2 p2 p4.
例10 甲 、 乙 两 人 进 行 乒 乓 球比 赛, 每 局 甲 胜 的 概 率 为p (p 1 2) , 问 对 甲 而 言, 采 用 三 局 二 胜 制 有 利, 还 是 采 用 五 局 三 胜 制 有利 . 设 各 局 胜 负 相 互 独 立.
1
2
解
3
4
以 Ai (i 1,2,3,4) 表示事件第i 个元件正常工作,
以 A 表示系统正常工作 . 则有 A A1 A2 A3 A4 . 由事件的独立性,得系统的可靠性 : P( A) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 ) P( A3 )P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
Rs' (R ' ) n r n (2 r) n Rc (2 r) n . 显然 Rs' Rc.
由数学归纳法可证明当
n 2时,
(2 r)n
2 r n,即
R
' s
Rs .
第一章 概率论的基本概念
例 8 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。 设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电 器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。
0.41.
由 A3 ABC , 得 P( A3 ) P( ABC ) P( A)P(B)P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
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的概率。
记 A {飞机被击落 } Ai {飞机被 i 门炮击中} , i 0,1, 2,3
Bi {第 i 门炮击中飞机 } , i 1, 2,3 样本则空A间1 的B分1B划2B3 B1B2B3 B1B2B3 , P( A1) 0.36
A2 B1B2B3 B1B2B3 B1B2B3 , P( A2 ) 0.41
§6 独立性
5/9
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,求
混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率.
记
Ai {第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2,,100
则所求概率为
100
100
P( i 1
Ai )
P
i 1
Ai
100
1 P( Ai) i 1
根据实际问题 判断事件独立性
I
II
为 p, 且四个部件是相互独立的. 求 整个系统的可靠性.
III IV
则
记
A Ai
{ {
整个系统正常工作}I、II 串联 第 i 个部件正常工I作II、} ,IVi 串1,联2,3,
4并联
A A1A2 A3A4
于是整个系统的可靠性为
相互独立
P(A) P(A1A2 A3A4) P(A1A2) P(A3A4) P(A1A2 A3A4)
0.05~0.1mm，以防按键
死键。
3.要第考一虑章 成概型率工论的艺基，本概合念
§6 独立性
9/9
1、2、3号高炮同时对飞机进行射击,三门炮击中飞机
的概率分别为0.4、0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5、0.7. 飞机被一门炮击中而被
击落的概率为0.2,被两门炮击中而被击落的概率为
0.6,若被三门炮击中,飞机必定被击落. 求飞机被击落
2021/3/11
P(A1)P(A2) P(A3)P(A4) P(A1A2)P(A3A4)
p2 p2 p2 p2 p2 (2 p2 )
第一章 概率论的基本概念2
§6 独立性
3/9
A, B 独立与 A, B不相容有什么关系
A, B 独立 P(AB) P(A)P(B)
A, B 不相容 AB
A由3 事B件1B的2B不3 相容性及独立性,有P(A3) 0.14
由全概率公P(式A1)有 P(B1B2B3 ) P(B1B2B3 ) P(B1B2B3 )
3
P( A) P0(.4A| 0A.i5)P(0A.3i ) 0.60.50.3 0.60.50.7
2021/3/11
i0000..3260.36 0.60.4第1一1章0概.1率4论0的.4基5本8 概念9
应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。
即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。
甲最终获胜的概率为
P4(2)+P4(3)+P4(4)
C24
1 2
2
1 2
2
C34
1 2
3
1 2
1 2
4
11 16
赌注应按11：5的比例分配。
2021/3/11
第一章 概率论的基本概念13
§6 独立性
14/9
解法二： 一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。
p
40 50000
0.0008
第一章 概率论的基本概念10
§6 独立性
11/9
设随机试验的样本空间为有界区域 D,事件
A {试验结果落在区域 d 中}
发生的概率定义为
P( A)
d 的面积 D 的面积
称为几何概型
事件 A 发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性”
如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
§6 独立性
1/9
抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，则样本
空间是
S { HH, HT,TH,TT }
记事件 设AA, B{甲是出两现个正事面件}，, 若B {乙出现正面}
P(AB) P(A)P(B)
则称事件A,AB,之B相间互是独没立有,任简何称关A系, B的独,立它们具有“独立性”
A, B “独立”
故当 P(A) 0 或 P(B) 0 时
A, B 独立 A, B 不相容
不能同时成立
若 A, B独立，问 A, B 是否独立
若 P(AB) P(A)P(B), 则
P(AB) P(A)(1 P(B)) P(A) P(A)P(B)
P(A)P(B) P(A) P(AB)
P(A AB) P(AB)
甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为
P(B3 )
1 2
2
1 4
甲方在第四局结束赌博获胜的概率为
P(B4
)
C12
1 2
1 2
1 2
1 4
甲方在第五局结束赌博获胜的概率为
P(B5
)
C13
1
1
2
1
2 2
2
3 16
故甲方最终获胜的概率为
11
P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5)
条件概率与事件独立性通常是根据实际意义来确定的
2021/3/11
第一章 概率论的基本概念6
§6 独立性
7/9
设一支步枪击中目标的概率为 p 0.0试01求, n 支枪齐射能击中目标的概率.
记 Ai {第 i 支枪击中目标 }, (i 1, 2,, n) 易知 A1, A2,, An 相互独立 ,所求概率为
y x 20 y x 20
p
602 402 602
5 9
2021/3/11
20
O
第一章
x
20
60
概率论的基本概念12
§6 独立性
13/9
(分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？
解法一： 每局甲获胜的概率是1/2
2021/3/11
第一章 概率论的基本概念11
§6 独立性
12/9
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等
候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。
设 分x, 别y 表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
60
这是一个几何概型，所求概率是
故 2A02,1/B3/11独立,从而 A, B独立 , A, B独第立一章 概率论的基本概念3
§6 独立性
4/9
设 A, B,C 是三个事件，若
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C)
两两独立
P(CA) P(C)P(A)
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
则称事件 A, B,C 相互独立(独立)
习题：22、23、24、28、30、31、33 (至少做四题)
2021/3/11
第一章 概率论的基本概念15
若 n 个事件 A1, A2,, An (n 2) 满足
P( Ai1Ai2 Aik ) P(Ai1)P( Ai2 ) P( Aik )
两两独立 三三独立
(1 i1 ik n, k 2,, n)
则称事件 A1, A2,, An 相互独立(独立)
……
2021/3/11
第一章 概率论的基本概念4
n
pn P( Ai) i 1 n 1 P( Ai) i 1
1 (1 p)n 1 0.999n
n 1000 2000 3000 4000 5000 pn 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
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可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
1 0.996100
0.33
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第一章 概率论的基本概念5
§6 独立性
6/9
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(CA) P(C)P(A)
A, B,C 相互独立 否!
必然事件 S 与任何事件 是否独立 不可能事件 与任何事件 是否独立
事件{甲患感冒}与 {乙患感冒 }能否认为是独立的
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P(A | B) P(A), P(B | A) P(B) P(AB) P(A | B)P(B)
P(B | A)P(A) P(A)P(B)
第一章 概率论的基本概念1
§6 独立性
2/9
系统可靠性 P{系统正常工作}
某系统由四个部件 I, II,III,IV 构成(见图). 设每个部件的可靠性均
第一章 概率论的基本概念7
§6 独立性
8/9
1.什么是传统机械按键设计
？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动
PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式
。传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
传统机械按键设计要点 ： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的
开关 键
按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留
§6 独立性
10/9
古典概型的特点： 有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？
某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆 架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能 够发现石油的概率是多少？
认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概率为
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赌注应按11：5的比例分配。
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