数学《必修2》同步练习---2.3.4 平面与平面垂直的性质(1)

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2019年高中数学必修二人教A版练习：2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质含解析

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质【选题明细表】1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:如图在正方体ABCD A1B1C1D1中,对于①AD1⊂平面AA1D1D,BD⊂平面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60°,①错误;②正确.对于③,AD1⊂平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于④,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,④错误.故选C.2.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么( A )(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ解析:由m⊂α,m⊥γ得α⊥γ,由l=β∩γ,得l⊂γ,所以m⊥l.故选A.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.5.(2018·沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为平面ABD⊥平面BCD,又AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.同理,平面ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.6.(2018·河北邢台调研)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.则正确命题的个数为.解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l与β相交.答案:17.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)8.(2018·江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC, 又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.9.(2018·甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D ABC 是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( B )(A)①②④(B)①②③(C)②③④(D)①③④解析:设等腰直角△ABC的腰长为a,则斜边BC=a,①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABD, 所以BD⊥平面ADC,又AC⊂平面ADC,所以BD⊥AC,故①正确;②由A知,BD⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,所以BD⊥CD,又BD=CD=a,所以由勾股定理得BC=·a=a,又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥D ABC是正三棱锥,故③正确.④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③.故选B.10.(2018·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a 的值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36得a=6.12.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中,GB∥DE,所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.。

【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面垂直的性质》练习题(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．8．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．3.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③解析：①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．答案：D3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：由线面垂直的性质可得．答案：B5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE ⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.答案：B二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.答案：67．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．答案：48．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC.因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案：2三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.证明：(1)因为在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.因为PD＝PC，所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH ⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.因为在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.答案：B2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.答案：273.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.11因为N 为PC 的中点，E 为PD 的中点，所以NE ∥CD 且NE ＝12CD . 而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ，所以NE ∥AM 且NE ＝AM ，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE .又PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD .又因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD .而AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥AE .又AE ∥MN ，所以MN ⊥CD .(2)由(1)可知CD ⊥AE ，MN ∥AE .又∠PDA ＝45°，所以△PAD 为等腰直角三角形．又E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD ，所以AE ⊥平面PCD .又AE ∥MN ，所以MN ⊥平面PCD .。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.4平面与平面垂直的性质(有答案)

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.4平面与平面垂直的性质一、选择题1.已知两个平面垂直，下列命题( )①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.32.已知平面α⊥平面β,则下列命题正确的个数是( )①内的直线必垂直于β内的无数条直线;②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线;③α内的任何一条直线必垂直于β;④过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α.A.4B.3C.2D.13.如图,在直角梯形ABCD中,190,//,12A AD BC AD AB BC∠=︒===，将ABD△沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD.在四面体A BCD-中,下列说法正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ACD⊥平面ABCC.平面ABC⊥平面BCDD.平面ACD⊥平面BCD4.如图，在三棱锥D ABC-中，若AB CB=，AD CD E=，是AC的中点，则下列正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE5.在正四面体ABCD 中,已知,E F 分别是,AB CD 上的点(不含端点),则( ) A.不存在,E F ,使得EF CD ⊥ B.存在E ,使得DE CD ⊥C.存在E ,使得DE ⊥平面ABCD.存在,E F ,使得平面CDE ⊥平面ABF6.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点F 是1BC 上的动点,则下列说法正确的是( )A.无论点F 在1BC 上怎么移动,都有11A F DB ⊥B.三棱锥1A D FC -的体积不变C.异面直线1DB 与BF 所成的角小于45D.平面1FDB ⊥平面1ACD7.已知两个平面,αβ，直线,a b α⊂，直线,m n β⊂.下列叙述正确的是( ) A.若////a m b n ,，则平面//αβB.若a b ，相交，m n ，相交，a b ，与m n ，均不相交，则平面//αβC.若m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥D.若a b ，相交，//m n 且m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥8.如图所示，四边形ABCD 中，//AD BC ，,45AD AB BCD =∠=︒，90BAD ∠=︒.将ADB △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC二、填空题9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A 、C 不重合），则下列结论正确的是____________.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面11B CD ；③1A DM △； ④若12,S S 分别是1A DM △在平面1111ABCD 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =.10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题： ① 1D P ∥平面11A BC ； ② 11D P B D ⊥；③ 平面1PDB ⊥平面11A BC ； ④ 三棱锥11A BPC -的体积不变.则其中所有正确的命题的序号是 ______ ．11.设α,β是两个不同的平面, l ,m 是两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂,下面命题正确的是_____. ①若l β⊥,则αβ⊥;②若αβ⊥,则l m ⊥;③若//l β,则//αβ;④若//αβ,则//l m 三、解答题12.如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由参考答案1.答案：C解析：对于①，由于两平面垂直，则若一个平面内的已知直线垂直另一平面内的任意一条直线，则该直线垂直于另一个平面，且必垂直于它们的交线，可已知直线不一定垂直于交线，故①错；对于②，一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线，比如都是平行线，故②对；对于③，由于两平面垂直，则一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一平面，只有它垂直于交线，才成立，故③错；对于④，在一个平面内一定存在直线平行于另一平面，只要改直线平行于交线即可，故④对。

高一数学人教A版必修2试题：2.3.4 平面与平面垂直的性质含解析

A E
平面ABC⊥平面BCD
[解析]
A
CD⊥BC
E
⇒CD⊥平面ABC
E
AB⊂平面ABC CD⊥AB
AB⊥AC
A E
⇒
A
⇒AB⊥平面ACD
AB⊂平面ABD
⇒平面 ABD⊥平面 ACD.
E A
10.如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA⊥PD，底面 ABCD 是直角梯形，其中 BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O 是 AD 上一点. 导学号 09024596
A E A
) C．n∥α D．n⊥α
A．m∥n
B．n⊥m
[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使 n⊥β，应有 n 与交线 m 垂直，∴应增加条件 n ⊥m. π π 6．如图，平面 α⊥平面 β，A∈α，B∈β，AB 与两平面 α、β 所成的角分别为 4和 6.过 A、
A A A A E E
B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A′、B′，则 AB︰A′B′等于导学号 09024592
A E
(1)若 CD∥平面 PBO，试指出点 O 的位置； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD. [解析] (1)∵CD∥平面 PBO，CD⊂平面 ABCD，
且平面 ABCD∩平面 PBO＝BO， ∴BO∥CD. 又 BC∥AD，∴四边形 BCDO 为平行四边形．则 BC＝DO，而 AD＝3BC， ∴AD＝3OD，即点 O 是靠近点 D 的线段 AD 的一个三等分点． (2)证明：∵侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧面 PAD∩底面 ABCD＝AD，AB⊂底面 ABCD，且 AB⊥AD， ∴AB⊥平面 PAD. 又 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD. 又 PA⊥PD，且 PA⊂平面 PAB，AB⊂平面 PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面 PAB. 又 PD⊂平面 PCD，∴平面 PAB⊥平面 PCD. B级一、选择题 1． m、 n 是两条不同的直线， α、 β、 γ 是三个不同的平面，给出如下命题：导学号 09024597

21人教版高中a版数学同步必修2模块练习题--直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的性质

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质基础过关练题组一直线与平面垂直的性质1.(2019山东枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.不确定2.(2019浙江高二期末)设α,β是两个不重合的平面,l,m是空间两条不重合的直线,下列命题不正确的是()A.若l⊥α,l⊥β,则α∥βB.若l⊥α,m⊥α,则l∥mC.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l⊥α,α⊥β,则l∥β3.(多选题)下面命题正确的是()A.过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条B.过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条C.过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个D.过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个4.如图,正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°5.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.题组二平面与平面垂直的性质6.(2020甘肃静宁高一期末)已知平面α,β和直线m,l,则下列命题中正确的是()A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β7.若平面β⊥平面α,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直8.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,点C为垂足,B∈β,BD⊥l,点D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为.9.(2019江西南昌高二检测)已知在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.证明:(1)DE⊥平面SBC;(2)SE=2EB.题组三平行、垂直关系的综合应用10.(2019北京昌平一中高一期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E 在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中错误的是()A.FM∥A1C1B.BM⊥平面CC1FC.三棱锥B-CEF的体积为定值D.存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D11.(2019北京高一期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当点E在线段B1D1(与B1,D1不重合)上运动时,总有:①AE∥BC1;②平面AA1E⊥平面BB1D1D;③AE∥平面BC1D;④A1C⊥AE.以上四个推断中正确的是()A.①②B.①④C.②④D.③④12.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合),则下列说法中正确的是()①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③13.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个说法:①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确的个数为.14.如图所示,三角形PDC所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直,且PD=PC.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD.15.已知:如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,垂足为E.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.能力提升练一、选择题1.(★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC2.(2019山东高三月考,★★☆)设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列命题:①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;②若l上两点到α的距离相等,则l∥α;③若l⊥α,l∥β,则α⊥β;④若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题的序号是()A.①③B.③④C.②③D.①④3.(2019四川高考模拟,★★☆)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1、BC1的中点,下列结论中正确的是()A.EF⊥BB1B.EF⊥平面BCC1B1C.EF∥平面D1BCD.EF∥平面ACC1A14.(2019安徽高三开学考试,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是棱A1D1上一动点,下列说法正确的是()A.对任意动点F,在平面ADD1A1内不存在与平面CBF平行的直线B.对任意动点F,在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C.在点F从A1运动到D1的过程中,FC与平面ABCD所成的角变大D.在点F从A1运动到D1的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小5.(2019湖北高一期中,★★☆)在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDE⊥平面ABCD.平面PDF⊥平面PAE二、填空题6.(2019山西太原高一检测,★★☆)已知平面α,β,γ,直线l,m满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有.(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题7.(★★★)如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.8.(★★★)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(1)求证:C1C⊥BD;(2)当CD的值为多少时,可使A1C⊥平面C1BD?CC1答案全解全析基础过关练1.B因为直线l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α,同理直线m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.2.D A选项中命题正确,垂直于同一条直线的两个平面平行;B选项中命题正确,垂直于同一个平面的两条直线平行;C选项中命题正确,因为平面β内存在直线m,使l∥m,若l⊥α,则m⊥α,∵m⊂β,∴α⊥β; D选项中命题不正确,有可能l⊂β.故选D.3.BC过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故A不正确;过一点和一个平面垂直的平面有无数个,故D不正确;易知BC均正确.故选BC.4.D连接BH,A1H,DH,易知△A1BD为等边三角形,且AB=AA1=AD,又因为AH⊥平面A1BD,所以AH⊥BH,AH⊥A1H,AH⊥DH,所以易得BH=A1H=DH,即H到△A1BD各顶点的距离相等,所以H为△A1BD的外心,又因为等边三角形的三心合一,所以A中命题正确;易知CD1∥BA1,CB1∥DA1,又CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,所以平面CB1D1∥平面A1BD,所以AH⊥平面CB1D1,所以B中命题正确;连接AC1,则AC1⊥B1D1,因为B1D1∥BD,所以AC1⊥BD,同理,AC1⊥BA1,又BA1∩BD=B,所以AC1⊥平面A1BD,所以A,H,C1三点共线,所以C中命题正确,利用排除法选D.5.证明因为SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE,AE⊂平面AGFE,所以SC⊥AE.又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC,所以AE⊥SB.6.D选项A缺少条件:l⊂α;选项B缺少条件:α⊥β;选项C缺少条件:α∩β=m,l⊥m;选项D具备面面垂直性质定理的全部条件.7.C当b=α∩β时,有a⊥β;当b不是α与β的交线时,直线a不一定垂直于平面β,如下图所示.故选C.8.答案√2解析如图,连接BC.∵二面角α-l-β为直二面角,AC⊂α,且AC⊥l,α∩β=l,∴AC⊥β.又BC⊂β,∴AC⊥BC,∴BC2=AB2-AC2=3.又BD⊥CD,∴CD=√BC2-BD2=√2.9.证明 (1)如图,因为SD ⊥平面ABCD,所以SD ⊥BC,又BC ⊥BD,BD ∩SD=D,所以BC ⊥平面BDS,所以BC ⊥DE.作BK ⊥EC,垂足为K,因为平面EDC ⊥平面SBC,平面EDC ∩平面SBC=EC,所以BK ⊥平面EDC.又DE ⊂平面EDC,所以BK ⊥DE.又因为BK ⊂平面SBC,BC ⊂平面SBC,BK ∩BC=B,所以DE ⊥平面SBC.(2)由(1)知DE ⊥SB,DB=√AD 2+BA 2=√2,所以SB=√SD 2+DB 2=√22+2=√6.在Rt △SDB 中,SD ·DB 2=SB ·DE 2, 所以DE=SD ·DB SB =2√33.EB=√DB 2-DE 2=√63,SE=SB-EB=2√63.所以SE=2EB.10.D 对于A,连接AC,易知FM ∥AC,AC ∥A 1C 1,故FM ∥A 1C 1,结论正确;对于B,易知△CDF ≌△BCM,∴∠CFD=∠BMC,∴∠DCF+∠BMC=90°,∴BM ⊥CF,又BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面CC 1F,结论正确;对于C,三棱锥B-CEF的体积等于三棱锥E-BCF的体积,此时E点到平面BCF的距离为1,底面积为1,故体积为定值,结论正确;2对于D,BF与CD相交,即平面BEF与平面CC1D1D始终有公共点,故二者相交,结论错误.故选D.11.D①因为AD1∥BC1,AE与AD1相交,所以①错;②明显不对,只有当E在B1D1中点时才成立;③易得平面AB1D1∥平面BC1D,而AE⊂平面AB1D1,所以AE∥平面BC1D;④易知A1C⊥平面AB1D1,又AE⊂平面AB1D1,所以A1C⊥AE.故选D.12.C①中,由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,所以点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.②因为BC∥DE,BC⊄平面A'DE,DE⊂平面A'DE,所以BC∥平面A'DE.③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED的体积达到最大.13.答案4解析①若a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b⊂α,又b⊄α,所以b∥α,①正确;②若a∥α,a⊥β,则由线面平行的性质定理可以得出在α内存在直线c⊥β,故可得出α⊥β,②正确;③由a⊥β,α⊥β,可得出a∥α或a⊂α,③正确;④由a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b⊂α,又b⊥β,所以α⊥β,④正确.14.证明(1)因为四边形ABCD是矩形,所以BC∥AD.又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H,连接PH.因为PD=PC,所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PH⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.因为BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.15.证明(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC,交AC于点F,作DG⊥AB,交AB 于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA.同理可证,DG⊥PA.因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长,交PC于点H.因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PC⊥AE.因为BH∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.能力提升练一、选择题1.C连接B1C,由题意易得BC1⊥B1C,∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1⊂平面B1BCC1,∴A1B1⊥BC1,∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1,∵A1E⊂平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C.2.B①设正方体下底面为β,左右侧面分别为α、γ,满足α⊥β,β⊥γ,但α∥γ,故①不正确;②若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内,则A、B到α的距离相等,但l 与α相交,故②不正确;③若l⊥α,l∥β,则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故③正确;④若α∥β且l∥α,可得l∥β或l在β内,而条件中有l⊄β,所以必定有l∥β,故④正确.故选B.3.D连接B1C,由于四边形BCC1B1是平行四边形,对角线互相平分,故F是B1C的中点.因为E是AB1的中点,所以EF是三角形B1AC的中位线,故EF∥AC,所以EF∥平面ACC1A1.故选D.4.C对于A选项,∵AD∥BC,AD⊄平面CBF,BC⊂平面CBF,∴AD∥平面CBF,又AD⊂平面ADD1A1,所以A选项中的命题错误;对于B选项,假设平面ABCD内存在直线a满足a⊥平面CBF,∵a⊂平面ABCD,由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF⊥平面ABCD,事实上,平面CBF与平面ABCD不垂直,假设不正确,所以B选项中的命题错误;对于C选项,由于F到平面ABCD的距离d不变且FC变小,设直线FC与平面,可知θ在逐渐变大,C选项中的命题正确;ABCD所成的角为θ,则sinθ=dFC对于D选项,由于点F到平面ABCD的距离不变,△BCD的面积不变,则三棱锥F-BCD的体积不变,即三棱锥D-BCF的体积不变,在点F的运动过程中,△BCF的面积不变,由等体积法可知,点D到平面BCF的距离不变,D选项中的命题错误.故选C.5.C∵在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,∵DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A中结论成立;∵四面体PABC是正四面体,E是BC的中点,∴AE⊥BC,PE⊥BC,∵AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE,∵DF∥BC,∴DF⊥平面PAE,故B中结论成立;∵DF⊥平面PAE,DF⊂平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC,∵平面PAE∩平面PDE=PE,且PE与平面ABC不垂直,∴平面PDE与平面ABC不垂直,故C中结论不成立;∵DF⊥平面PAE,且DF⊂平面PDF,∴平面PDF⊥平面PAE,故D中结论成立,故选C.二、填空题6.答案②④解析因为γ∩β=l,所以l⊂γ,因为α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,所以l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β.由于β可以绕l转动,位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立,即②④正确,①③错误.三、解答题7.证明 (1)如图所示,取PD 的中点E,连接AE 、NE,∵N 为PC 的中点,∴NE ∥CD 且NE=12CD, 又AM ∥CD 且AM=12AB=12CD, ∴NE AM,∴四边形AMNE 为平行四边形.∴MN ∥AE.又PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥CD.又∵四边形ABCD 为矩形,∴AD ⊥CD.又AD ∩PA=A,∴CD ⊥平面PAD.又AE ⊂平面PAD,∴CD ⊥AE.又MN ∥AE,∴MN ⊥CD.(2)∵PA ⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,∴PA ⊥AD,又∠PDA=45°,∴△PAD 为等腰直角三角形,又E 为PD 的中点,∴AE ⊥PD.又由(1)知CD ⊥AE,且PD ∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.8.解析(1)证明:如图,连接A1C1,AC,设AC和BD交于点O,连接C1O.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD.又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C是公共边,∴△C1BC≌△C1DC.∴C1B=C1D.∵DO=OB,∴C1O⊥BD.又∵AC∩C1O=O,∴BD⊥平面ACC1A1.又∵C1C⊂平面ACC1A1,∴C1C⊥BD.(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1.∵A1C⊂平面ACC1A1,∴BD⊥A1C.=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形.当CDCC1同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD.故CD=1时,A1C⊥平面C1BD.CC1。

高中数学必修二2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质习题新人教A版必修2

2.3.3-2.3.4 第 2 课时直线与平面、平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．已知 l ，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过 l 作平面 α 与直线 m垂直，则直线 n 与平

面 α 的关系是 ( )
A． n∥ α B ． n∥ α 或 n? α C． n? α 或 n 与 α 不平行 D．n? α
(2) 过 P 作 PO⊥AD，垂足为 O.
∵平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴ PO⊥平面 ABCD，即 PO为四棱锥 P－ ABCD的底面 ABCD上的高．又△ PAD是边长为 4 的等边三角形，
∴ PO＝2 3. 在底面四边形 ABCD中， AB∥ DC， AB＝ 2DC， ∴四边形 ABCD为梯形．
已知 BD＝ 2AD＝ 8， AB＝ 2DC＝4 5.
(1) 设 M是 PC上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD； (2) 求四棱锥 P－ ABCD的体积．解： (1) 证明：在△ ABD中，∵ AD＝4， BD＝8， AB＝ 4 5， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2，∴ AD⊥ BD.
又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD， BD? 平面 ABCD， ∴ BD⊥平面 PAD. 又 BD? 平面 MBD， ∴平面 MBD⊥平面 PAD.
2 设 CA＝ CB＝ a，则 AB＝ BD＝ AD＝ 2a， CO＝ 2 a.
13
6
∴ OH＝ 2× 2 × 2a＝ 4 a.
2
CO 2 a 2 3
∴ tan ∠ CHO＝OH＝
＝ 6
3
.
a
4
23 答案：
3 三、解答题 9．如图，在四棱锥 P－ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD， AB∥ DC，△ PAD是等边三角形，

数学《必修2》同步练习---2.3.4 平面与平面垂直的性质(1)

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