弹性力学中的应力和应变
弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
弹性力学弹性材料的应力应变关系与力学行为
弹性力学弹性材料的应力应变关系与力学行为弹性力学是研究物体在受力作用下产生的形变，并研究这种形变与施加力之间的关系的力学学科。
弹性材料是指在受到外力作用时，可以恢复其原有形状和大小的材料。
在弹性力学中，应力应变关系是研究弹性材料变形的重要理论基础，同时也是理解弹性材料力学行为的关键。
一、应力应变关系弹性材料的应力应变关系是指在弹性变形过程中，材料受到的应力与应变之间的关系。
根据前人的研究，线弹性模型是描述弹性材料应力应变关系较为简单的模型。
在线弹性模型中，应力与应变之间满足线性的关系，即应力与应变成正比。
线弹性模型的数学表达为：应力=弹性模量×应变其中，弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，常用符号为E，单位为帕斯卡（Pa）；应变是材料在受力作用下发生的形变，通常用ε表示。
二、力学行为在实际工程中，弹性材料的力学行为可以通过拉伸试验来研究。
拉伸试验是将材料在两端加以拉伸，观察材料的变形与受力之间的关系。
通过拉伸试验可以得到材料的应力-应变曲线，从而了解其力学行为。
应力-应变曲线通常可分为三个阶段：线弹性阶段、屈服阶段和塑性阶段。
1. 线弹性阶段材料在小应变下，应力与应变之间呈线性关系，即遵循线弹性模型。
在这个阶段，材料受力后会发生弹性形变，一旦撤去外力，材料便会恢复到初始状态。
2. 屈服阶段当应力超过材料的屈服强度时，材料开始发生塑性变形。
此时，材料的应变与外力不再成线性关系，应力-应变曲线开始变得非线性。
3. 塑性阶段在超过屈服阶段后，材料会出现塑性变形，即使撤去外力，材料也不能完全恢复到初始状态。
材料在这个阶段会发生永久性变形。
除了拉伸试验，弹性材料的力学行为还可以通过其他实验方法进行研究，如压缩试验和剪切试验等。
通过这些实验，可以探究材料在不同受力情况下的变形特性。
总结：弹性力学中，弹性材料的应力应变关系是研究弹性材料变形的重要理论基础。
应力应变关系可以通过线弹性模型进行描述，其中应力与应变成正比。
关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系
弹性力学中应力与应变为线性关系，应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应力是应变的原因，应变是应力的结果。
应力概念解释：物体由于外因(受力、湿度、温度场变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。
同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
拓展资料
应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。
对某种材
料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。
极限应力值要通过材料的力学试验来测定。
将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。
材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。
弹性力学中的应力与应变关系
弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。
在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。
本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。
一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。
它可以分为正应力和剪应力。
正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。
应力的大小一般采用希腊字母σ表示。
应变是描述物体形变情况的物理量。
它可以分为线性应变和体积应变。
线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。
应变的大小可以用希腊字母ε表示。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。
其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。
其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。
胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。
例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。
三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。
其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。
当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。
非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。
它可以更好地描述材料的实际变形情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。
本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
弹性力学中的应力与应变理论
弹性力学中的应力与应变理论弹性力学是研究物体在受力作用下的变形与恢复的力学分支。
应力与应变理论是弹性力学的重要组成部分，它描述了物体在受到外力作用时产生的应力和应变之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨弹性力学中的应力与应变理论。
一、应力的概念与分类应力是物体在受力作用下产生的单位面积的内力。
根据受力方向的不同，应力可以分为三类：拉应力、压应力和剪应力。
1. 拉应力：拉应力是指物体在受到拉伸力作用下产生的应力。
拉应力可分为轴向拉应力和切向拉应力。
轴向拉应力是指沿物体轴线方向产生的应力，而切向拉应力则是指垂直于轴线方向产生的应力。
2. 压应力：压应力是指物体在受到压缩力作用下产生的应力。
与拉应力类似，压应力也可分为轴向压应力和切向压应力。
3. 剪应力：剪应力是指物体在受到剪切力作用下产生的应力。
剪应力沿着物体内部平面的切线方向产生。
二、应变的概念与分类应变是物体在受力作用下发生的长度、面积或体积的变化。
根据变形形式的不同，应变可分为三类：线性应变、平面应变和体积应变。
1. 线性应变：线性应变是指物体在受力作用下产生的长度变化与初始长度之比。
它是最基本的应变形式，常用符号ε表示。
线性应变假设变形产生的应力与应变之间呈线性关系。
2. 平面应变：平面应变是指物体在受到外力作用下产生的面积变化与初始面积之比。
平面应变常用符号γ表示。
3. 体积应变：体积应变是指物体在受到外力作用下产生的体积变化与初始体积之比。
体积应变常用符号η表示。
三、胡克定律与应力应变关系胡克定律是弹性力学中最基本的定律之一，它描述了由于外力作用下物体的弹性变形情况。
胡克定律可以简要表述为：应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得出应力与应变的数学关系，即应力等于弹性模量与应变之积。
根据具体的应力类型和应变类型，应力与应变的关系可以用不同的公式来表示。
四、应力与应变的计算方法在实际应用中，为了计算物体在受力作用下的应变情况，可以使用不同的方法来计算应力和应变。
弹性体的应力和应变
5
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
6
§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
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弹性力学中的应力和应变
弹性力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
在弹性力学中，应力和应变是两个关键的概念。
本文将详细介绍弹性力学中的应力和应变，并探讨它们之间的关系和物体在外力作用下的行为。
一、应力的概念与分类
在弹性力学中，应力是描述物体内部受力状况的物理量。
它的定义是单位面积上的力，即单位面积上所受的力。
在材料力学中，通常将力的作用面积取无限小，这样就可以得到面积趋于无穷小的情况下的应力。
根据作用方向的不同，应力可以分为三种类型：正应力、剪应力和体应力。
1. 正应力：即垂直于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
正应力可以分为正拉应力和正压应力，正拉应力是指物体上的拉力，正压应力是指物体上的压力。
2. 剪应力：即平行于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
剪应力是指物体上的切力，它使得物体相对于截面沿切应变方向发生形变。
3. 体应力：即物体内部体积元素上的力在该体积元素上单位体积的作用力。
体应力是指物体中各个点处的压力或拉力。
二、应变的概念与分类
应变是描述物体变形程度的物理量，它是物体的形状改变相对于初
始形状的相对变化量。
应变也可以分为三种类型：线性应变、剪应变
和体应变。
1. 线性应变：即物体在受力下沿作用力方向产生的长度变化与初始
长度的比值。
线性应变通常用拉伸应变表示。
2. 剪应变：即物体在受剪力作用下发生的相对位移与物体初始尺寸
的比值。
3. 体应变：即物体受力时体积的相对变化量与初始体积的比值。
三、应力和应变的关系
应力和应变之间存在着一定的关系，它们之间通过杨氏模量来联系。
杨氏模量是描述物体在拉伸应力作用下的应变程度的物理量。
弹性体的材料有两个重要的杨氏模量：弹性模量（或称杨氏模量）
和剪切模量。
1. 弹性模量（E）：它描述的是物体在正应力作用下的正应变情况。
根据材料的不同，弹性模量也不同。
2. 剪切模量（G）：它描述的是物体在剪应力作用下的剪应变情况。
剪切刚度越大，材料越难剪切，剪切模量也越大。
更具体地说，在弹性范围内，应力和应变之间满足胡克定律。
胡克
定律表明，当物体在弹性限度内受到力的作用时，物体的应变与所受
力成正比。
这一定律是弹性力学的基本原理之一，对于弹性体的力学
性质的研究具有重要意义。
四、物体在外力作用下的行为
根据物体受力情况的不同，物体在外力作用下的行为可以分为三类：弹性、塑性和脆性。
1. 弹性：当物体受到外力作用后，恢复力学力学性质并能完全恢复
原来的形状和大小。
弹性是弹性力学的基本特性，符合胡克定律。
2. 塑性：当物体受到一定范围内的外力作用后，发生永久性形变，
无法完全恢复原来的形状和大小。
3. 脆性：当物体受到外力作用时，很容易发生断裂或破碎，无法恢
复原来的形状和大小。
在工程实际应用中，对材料的力学性质进行准确的分析和估计，有
助于选择合适的材料和设计有效的结构。
弹性力学中的应力和应变是
理解物体受力行为的重要概念，它们的研究成果对于理解材料的机械
行为和改进工程设计具有重要意义。
总结：
弹性力学中的应力和应变是研究物体在外力作用下的变形和应力分
布规律的核心概念。
应力描述了物体内部受力状况，分为正应力、剪
应力和体应力。
应变描述了物体的形变程度，分为线性应变、剪应变
和体应变。
应力和应变之间存在着一定的关系，通过杨氏模量来联系。
物体在外力作用下的行为可以是弹性、塑性或脆性。
弹性力学中的应
力和应变的研究对于理解材料的机械行为和改进工程设计具有重要意义。