高考数学之利用导数研究函数单调性

高考数学之利用导数研究函数单调性

一．知识点睛

1.函数的导数与单调性之间的联系：

①一般地，设函数y=f （x ）在某个区间内可导，如果在这个区间内有f ′(x)＞0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f ′(x)＜0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的减函数。

②反过来，如果可导函数y=f （x ）在某个区间内单调递增，则在这个区间内f ′(x)≥0恒成立；如单调递减，则在这个区间内f ′(x)≤0恒成立

2.利用导数研究函数的单调性步骤：1.求定义域2.求导

3.令f ′(x)＞0，解不等式得增区间；令f ′(x)＜0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用∪连接。

二．方法点拨

1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间

2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：①分离参数，转化为 f ′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨论

3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：①二次项系数的正负②f ′(x)=0根的个数③f ′(x)=0根的大小④f ′(x)=0的根与给定区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根

4.已知函数有n 个单调区间，求参数范围，等同于方程f ′(x)=0在此区间上有n -1个根，并且根不是重根。

5.已知函数在给定区间上不单调 f ′(x)在此区间上有异号零点 f ′(x)=0有根（且根不是重根）

6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于f ′(x) ＞0或f ′(x) ＜ 0在给定区间上有解 常考题型：⑴利用导数研究已知函数的单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数有几个单调区间的问题

三．跟踪练习

1.已知函数f （x ）=kx 3+3（k -1）x 2-k 2+1（k ＞0）的单调减区间是（0,4），则k 的值是 .

2.（2016全国卷Ⅰ）若函数f （x ）=x -

31sin2x+asinx 在（-∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是

A.[-1，1]

B.[-1，31]

C.[-31，31]

D.[-1，-3

1] 3.(2015四川)如果函数f （x ）=

21（m -2）x 2+（n -8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[21,2]上单调递减，那么mn 的最大值为

A.16

B.18

C.25

D.2

81 4.（2014新课标全国Ⅱ）若函数f （x ）=kx -lnx 在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范

围是

A.(-∞，-2]

B.(-∞，-1]

C.[2，+∞)

D.[1，+∞]

5.(2016全国卷⒈第一小题)已知函数f （x ）=（x -2）e x +a （x -1）2，讨论函数f （x ）的单调性.

6.设函数f （x)=ax 2+bx+k(k ＞0)在x=0处取得极值，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0.

（Ⅰ）求a ，b 的值

（Ⅱ）若函数g （x ）=)

(x f x

e ，讨论g （x ）的单调性. 7.已知函数

f （x ）=x 3+（1-a ）x 2-a （a+2）x+b （a ，b ∈R ）

（Ⅰ）若函数f （x ）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值. （Ⅱ）若函数f （x ）在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围.

8.设a 为实数，函数f （x ）=ax 3-ax 2+（a 2-1）x 在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a 的取值范围.

9. 设f （x ）=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这3个单调区间.

10.已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g （x ）=f(x)+2

1x 2-bx (1).求实数a 的值

(2).若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b 的取值范围(3).设x 1，x 2（x 1＜ x 2）是函数 g （x ）的两个极值点，若b ≥2

7，求g （x 1）-g （x 2）的最小值