数学人教版讲义：第二章 第1节 第2课时 系统抽样 Word版含解析

第2课时 系统抽样[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 58～P 59，回答下列问题．(1)在教材P 58的“探究”中，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？提示：可以用系统抽样的方法获取样本．(2)系统抽样与简单随机抽样有什么差别？提示：①系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可以节约成本；②系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广泛．2．归纳总结，核心必记(1)系统抽样先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．(2)系统抽样的步骤及规则①系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(ⅰ)编号：先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(ⅱ)分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (ⅲ)确定初始编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(ⅳ)抽取样本：按照一定的规则抽取样本．②抽取样本的规则通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．[问题思考](1)系统抽样如何提高样本的代表性？提示：系统抽样所得样本的代表性和具体的分段有关，因此在系统抽样中就要提高分段的质量．例如，不要让分段呈现周期性．(2)从1 003名学生成绩中，按系统抽样抽取50名学生的成绩时，需先剔除3个个体，这样每个个体被抽取的可能性就不相等了，你认为正确吗？提示：不正确．因为总体个体数不能被50整除，需剔除3个个体，按照简单随机抽样的方法，在总体中的每个个体被剔除的概率是相等的，都是31 003，每个个体不被剔除的概率也是相等的，都是1 0001 003；在剩余的1 000个个体中，采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是501 000；所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍相等，都是1 0001 003×501 000＝501 003.所以系统抽样是公平的、均等的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)什么是系统抽样？；(2)系统抽样的步骤：.为了解高一1 500名学生对食堂饭菜的满意情况，打算从中抽取一个容量为50的样本．[思考1]上述抽样方法能否用系统抽样？提示：因为总体容量较大，因此可以用系统抽样方法抽取样本．[思考2]系统抽样有什么特征？与简单随机抽样有什么区别？名师指津：(1)系统抽样的主要特征有三个：①总体已知且数量较大；②抽样必须等距；③每个个体入样的机会均等．不满足任何一条就不是系统抽样．(2)系统抽样有别于简单随机抽样的一个显著特点是总体中的个体的数量，一般来说，简单随机抽样，总体中个体较少；系统抽样，总体中个体较多．讲一讲1．(1)下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是()A．从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样B．一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C．从参加竞赛的1 500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况D．从参加期末考试的2 400名高中生中随机抽取10人了解某些情况(2)分段为000 001～100 000的体育彩票，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，这种抽奖过程是系统抽样吗？为什么？[尝试解答](1)A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．故选C.＝100段，在第(2)中奖号码的获得方法可以看做分段间隔为1 000，把总体分为100 0001 0001段中抽取000 345，在第2段中抽取001 345，…，在第100段中抽取099 345，组成样本．显然该抽样方法符合系统抽样的特点，因此采用的是系统抽样．答案：(1)C系统抽样的适用条件及判断方法适用条件：系统抽样适用于个体数较多的总体．判断方法：判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的．抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样．练一练1．下列抽样方法不是系统抽样的是()A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D ．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈解析：选C A 分段间隔相同，B 时间间隔相同．D 相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C 项无明显的系统抽样的特征．讲一讲2．某单位在职职工共624人，为了调查职工用于上班途中的时间，决定抽取10%的职工进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本．[思路点拨] 624×10%＝62.4.需从总体中剔除4人，再重新分段用系统抽样抽取62人．[尝试解答] (1)将624名职工分段，从001至624.(2)从总体中用随机数法剔除4人，将剩下的620名职工重新分段，从000至619.(3)分段，取间隔k ＝62062＝10，将总体均分为62组，每组含10名职工． (4)在第一段000到009这十个分段中用简单随机抽样确定起始号码l .(5)将为l ，l ＋10，l ＋20，…，l ＋610的个体抽出，组成样本．系统抽样设计中的注意点(1)当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．(2)被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取．(3)剔除部分个体后应重新分段．(4)每个个体被抽到的机会均等，被剔除的机会也均等．练一练2．某校高中三年级的295名学生已经分段为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．解：按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为15×295＝59. 抽样步骤是：(1)分段：按现有的号码．(2)确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人；第1段是分段为1～5的5名学生，第2段是分段为6～10的5名学生，依次下去，第59段是分段为291～295的5名学生．(3)采用简单随机抽样的方法，从第一段5名学生中抽出一名学生，不妨设分段为l(1≤l≤5)．(4)那么抽取的学生分段为l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l ＝3时的样本分段为3,8,13，…，288,293.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是记住系统抽样的方法和步骤，难点是会用系统抽样从总体中抽取样本．2．本节课要理解并记住系统抽样的三个特征：①总体已知且数量较大；②抽样必须等距；③每个个体入样的机会均等．见讲1.3．本节课要掌握设计系统抽样的四个步骤：分段→分段→确定初始分段→抽取样本，见讲2.4．本节课的易错点有：(1)概念理解错误致错，如讲1；(2)忽视每个个体被抽到的机会相等而致误，如讲2.课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1系统抽样的概念1．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为() A．24 B．25 C．26 D．28解析：选B 5 008除以200的整数商为25，∴选B.2．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )A ．某市的4个区共有2 000名学生，4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B ．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样解析：选C A 项中总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B 项中样本容量很小，适宜用随机数法；D 项中总体容量很小，适宜用抽签法．故选C.3．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，……发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．其他的抽样法解析：选C 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组中抽出了15号，即各组抽15＋50n (n 为自然数)号，符合系统抽样的特点．4．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体．5．(2014·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20解析：选C 由1 00040＝25，可得分段的间隔为25.故选C. 题组2 系统抽样设计6．“五一”国际劳动节期间，某超市举办了一次有奖购物促销活动．期间准备了一些有机会中奖的号码(分段为001～999)，在公证部门的监督下按照随机抽样方法进行抽取，确定后两位为88的号码为本次的中奖号码．则这些中奖号码为：________.解析：根据该问题提供的数据信息，可以发现本次活动的中奖号码是每隔一定的距离出现的，根据系统抽样的有关概念，可知该问题中是运用系统抽样法确定中奖号码的，其间隔数为100.所以，中奖号码依次为088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.答案：088,188,288,388,488,588,688,788,888,9887．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160分段，按分段顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，求第一组中用抽签方法确定的号码．解：S ＋15×8＝126，得S ＝6.8．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．解：(1)对全体学生的数学成绩进行分段：1,2,3，…，15 000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个容量为150的样本．9．某校有2 008名学生，从中抽取20人参加体检，试用系统抽样进行具体实施． 解：(1)将每个人随机编一个号由 0 001 至 2 008；(2)利用随机数表法找到8个号将这8名学生剔除；(3)将剩余的2 000名学生重新随机分段 0 001 至 2 000；(4)分段，取间隔k ＝2 00020＝100，将总体平均分为20段，每段含100个学生； (5)从第一段即0 001号到0 100号中随机抽取一个号l ；(6)按分段将l,100＋l,200＋l ，…，1 900＋l 共20个号码选出，这20个号码所对应的学生组成样本．[能力提升综合练]1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②.那么( )A ．①是系统抽样，②是简单随机抽样B ．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C ．①是简单随机抽样，②是系统抽样D ．①是系统抽样，②是系统抽样解析：选A 对于①，因为每隔30分钟抽取一袋，是等间距抽样，故①为系统抽样；对于②，总体容量小，样本容量也小，故②为简单随机抽样．2．(2016·衡阳高一检测)将参加夏令营的600名学生分段为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9解析：选B 由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机分段，则抽取的42人中，分段落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B 由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.4．某学校从高三全体500名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查，现将500名学生从1到500进行分段，求得间隔数k ＝50050＝10，即每10人抽取一个人，在1～10中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从125～140中应取的数是( )A ．126B ．136C ．126或136D ．126和136解析：选D 根据系统抽样的定义和方法，所抽取的样本的分段都是“等距”的，由于在1～10中随机抽取的数是6，故从125～140中应取的数是126和136，应选D.5．人们打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序搬牌，对每一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本．则这种抽样方法是________．解析：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取．而这里只是随机确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，其实各张在谁手里已被确定．所以不是简单随机抽样，据其等距起牌的特点应将其定位为系统抽样．答案：系统抽样6．一个总体中有100个个体，随机分段为00,01,02，…，99，依分段顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：由题意知第7组中的数为“60～69”10个数．由题意知m ＝6，k ＝7，故m ＋k ＝13，其个位数字为3，即第7组中抽取的号码的个位数是3，综上知第7组中抽取的号码为63.答案：637．下面给出某村委会调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题．本村人口： 1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：1 200/30＝40；确定随机数字：取一张人民币，其分段后两位数为12；确定第一样本户：分段12的住户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户．……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题，试修改；(3)何处用了简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔应为300/30＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，其分段末位数为2.(假设)确定第一样本户：分段02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户……(3)确定随机数字：取一张人民币，取其末位数2.8．某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？解：(1)将1 001名普通工人用随机方式分段．(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名职工重新分段(分别为0 001，0 002，…，1 000)，并平均分成40段，其中每一段包含1 00040＝25个个体．(3)在第一段0 001，0 002，…，0 025 这25个分段中用简单随机抽样法抽出一个(如0 003)作为起始号码．(4)将分段为0 003，0 028，0 053，…，0 978 的个体抽出．(5)将20名高级工程师用随机方式分段为1,2， (20)(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的分段．(9)从总体中将与所抽号签的分段相一致的个体取出．以上得到的个体便是代表队成员．。