高中数学特例法选择题专练
高中数学选择题专练（特例法）例1、若sin α>tan α>cot α(24παπ<<-)，则α∈（ ）A ．(2π-，4π-) B ．（4π-，0） C ．（0，4π） D ．（4π，2π） 例2、一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（ ）A ．－24B ．84C ．72D ．36例3、已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则有 （ ） A 、11010a a +> B 、21020a a +< C 、3990a a += D 、5151a =例4、过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11 （ ） A 、a2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a4例5、双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α等于（ ） A ．eB ．e 2C ．e1 D ．21e例6、已知α、β都是第二象限角，且cos α>cos β，则（ ） A ．α<β B ．sin α>sin β C ．tan α>tan β D ．cot α<cot β例7、已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7例8、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0—9和字母A —F 共16个计数符号，A.6EB.72C.5FD.BO例9、方程lg 3x x +=的解0x ∈ ( ) A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）例100、若x 为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx 的值域是（ ） A ．（1，2] B ．（0，23] C ．[21，22] D ．（21，22]例11、给定四条曲线：①2522=+y x ，②14922=+y x ，③1422=+y x ，④1422=+y x ,其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是( )A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④例12、已知)2(524cos ,53sin πθπθθ<<+-=+-=m m m m ，则2tan θ等于 （ ） A 、m m --93 B 、|93|m m -- C 、31D 、5 例13、设a,b 是满足ab<0的实数，那么 （ ） A ．|a+b|>|a －b| B ．|a+b|<|a －b| C ．|a －b|<|a|－|b| D ．|a －b|<|a|+|b|例14、ABC ∆的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是（） A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以b 为斜边的直角三角形 C 、等边三角形 D 、其它三角形例15、棱长都为2的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A 、π3B 、π4C 、π33D 、π6例16、若,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+,0,0,2432,3692,123y x y x y x y x ，则使得y x z 23+=的值最小的),(y x 是 （ ）A 、（4.5，3）B 、（3，6）C 、（9，2）D 、（6，4）例17、如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF=23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为 （ ）A 、29 B 、5 C 、6 D 、215例18、12222=++=y x kx y 与交于A 、B 两点，且3=+OB OA k k ，则直线AB 的方程为 （ ）A 、0432=--y xB 、0432=-+y xC 、0423=-+y xD 、0423=--y x例19、方程xx x 222=-的正根个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3例20、已知012:,022:21=-+=-+y mx l my x l ，且21l l ⊥，则m 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、0 D 、不存在例21、已知定点A （1，1）和直线02:=-+y x l ，则到定点A 的距离与到定直线l 的距离相等的点的轨迹是 （ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、直线例22、函数)0(22>-+=a a x x y 的值域为 （ ）A 、),0()0,(∞+-∞B 、),[∞+aC 、]0,(-∞D 、),[)0,[∞+-a a高中数学选择题专练（特例法）解析答案特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。
用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。
1解析：因24παπ<<-，取α=－6π代入sin α>tan α>cot α，满足条件式，则排除A 、C 、D ，故选B 。
2解析：结论中不含n ，故本题结论的正确性与n 取值无关，可对n 取特殊值，如n=1，此时a 1=48,a 2=S 2－S 1=12，a 3=a 1+2d= －24，所以前3n 项和为36，故选D 。
3解析：取满足题意的特殊数列0n a =，则3990a a +=，故选C 。
4解析：考虑特殊位置PQ ⊥OP 时，1||||2PF FQ a==，所以11224a a a p q +=+=，故选C 。
5解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。
取双曲线方程为42x －12y =1，易得离心率e=25,cos 2α=52，故选C 。
6解析：在第二象限角内通过余弦函数线cos α>cos β找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B 。
7解析：等差数列的前n 项和S n =2d n 2+(a 1-2d)n 可表示为过原点的抛物线，又本题中a 1=-9<0, S 3=S 7,可表示如图，由图可知，n=5273=+,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时S n 最小，故选B 。
8解析：采用代入检验法，A ×B 用十进制数表示为1×11=110,而6E 用十进制数表示为6×16＋14=110；72用十进制数表示为7×16＋2=1145F 用十进制数表示为5×16＋15=105；B0用十进制数表示为11×16＋0=176，故选A 。
9解析：若(0,1)x ∈，则lg 0x <，则lg 1x x +<；若(1,2)x ∈，则0lg 1x <<，则1lg 3x x <+<；若(2,3)x ∈，则0lg 1x <<，则2lg 4x x <+<；若3,lg 0x x >>,则lg 3x x +>，故选C 。
10解析：因x 为三角形中的最小内角，故(0,]3x π∈，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D ，故应选A 。
11解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线14922=+y x 是相交的，因为直线上的点)0,5(在椭圆内，对照选项故选D 。
12解析：由于受条件sin 2θ+cos 2θ=1的制约，故m 为一确定的值，于是sin θ,cos θ的值应与m 的值无关，进而推知tan2θ的值与m 无关，又2π<θ<π，4π<2θ<2π,∴tan 2θ>1，故选D 。
13解析：∵A ，B 是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C ，D 。
又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B 为真，故选B 。
14解析：在题设条件中的等式是关于,a A 与,b B 的对称式，因此选项在A 、B 为等价命题都被淘汰，若选项C 正确，则有111222+=，即112=，从而C 被淘汰，故选D 。
15解析：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶O A Ba3b b a ＋3b点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。
可以快速算出球的半径23=R ，从而求出球的表面积为π3，故选A 。
16解析：把各选项分别代入条件验算，易知B 项满足条件，且y x z 23+=的值最小，故选B 。
17解析：依题意可计算62333131=⨯⨯⨯=⋅=-h S V ABCD ABCD E ，而ABCDEF E ABCD V V ->＝6，故选D 。
18解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB 的方程就是2+=kx y ，它过定点（0，2），只有C 项满足。
故选C 。
19分析：本题学生很容易去分母得2232=-x x ，然后解方程，不易实现目标。
事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出xy x x y 2,22=-=的图象，容易发现在第一象限没有交点。
故选A 。
20误解：由21l l ⊥，得.121-=k k 1)2(2-=-⋅-∴m m ，方程无解，m 不存在。
故选D 。
剖析：本题的失误是由概念不清引起的，即21l l ⊥，则121-=k k ，是以两直线的斜率都存在为前提的。
若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线也垂直。
当m=0时，显然有21l l ⊥；若0≠m 时，由前面的解法知m 不存在。
故选C 。
21误解：由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。
故选C 。
剖析：本题的失误在于忽略了A 点的特殊性，即A 点落在直线l 上。
故选D 。
22误解：要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。
因为反函数xa x x f 2)(221+=-，所以0≠x ，故选A 。
剖析：本题的失误在于转化不等价。
事实上，在求反函数时，由22a x •x y -=-，两边平方得222)(a x x y -=-，这样的转化不等价，应加上条件x y ≥，即ya y y 222+≥，进而解得，0<≤-≥y a a y 或，故选D 。
用特例法解选择题
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【 评 】 用 特 殊值 时 点
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【 作者单位 ： 中科技 大学附属 中学】 华
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特殊数 列
( 区 间 ■ 6 ] 上 是增 函 数 且 ， n )
高中数学解题技巧之特例法
(n≥2)，则 an＝ A．2＋ln n
B．2＋(n－1)ln n
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C．2＋nln n
D．1＋n＋ln n
D
方法二 取特殊点 [例 3] 如图，点 P 为椭圆2x52＋y92＝1
上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶
点 A、上顶点 B 分别作 y 轴、x 轴的平行
线，它们相交于点 C，过点 P 引 BC，AC
技法一：特例法 在高考数学解题中的应用
特例法
有些选择题，用常规方法直接求解比较困难， 若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊 情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算， 或将字母参数换成具体数值代入，把一般形 式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普 遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检 验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊 数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特 殊角、特殊位置等.
方法一 取特殊数值
log2[4x－1]，x≥2，
[例 1] 设 f(x)＝12x＋1，x<2，
若 f(x0)>3，则
x0 的取值范围为 A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
()
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
当x 0
2时， 12
()
A．34
B．8
8 C.15
34 D.225
A
小结：当正确的选择对象，在题设 普遍条件下都成立的情况下，用特 殊值（取得越简单越好）进行探求， 从而清晰、快捷地得到正确的答案， 即通过对特殊情况的研究来判断一 般规律，是解答本类问题的最佳策 略.
D．(－1,3)
D
新巧解02 特例法-高考数学选择题巧解课件
O1P2＋O1Q2＝3＋5＝8.故选B.
例 4 数列{an}成等比数列的充要条件是 A．an＋1＝anq(q 为常数) B．a2n＋1＝an·an＋2≠0 C．an＝a1qn－1(q 为常数) D．an＋1＝ an·an＋2
(B)
解析 考查特殊数列 0,0，…，0，…， 不是等比数列，但此数列显然适合 A，C，D 项． 故选 B.
探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法
是定义法，也就是看an＋1是否为常数，但应注意检验 an
一个数列为等比数列的必要条件是否成立．
例 5 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若aa2nn＝
42nn－ －11，则SS2nn的值为
(C)
A．2
B．3
C．4
D．8
解析 方法一 (特殊值检验法)
解析 取a＝－1，b＝－2，则②、③不正确，所以A、 B、D错误，故选C.
D
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特例法，又名特值法，特殊值法，是指运用 满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、 特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数 等对各选项进行检验或推理，利用“某一命 题在某一特殊条件下为假命题，则它在一般 条件下也为假命题”的原理，由此判断选项 正误的方法．
有些选择题直接求解比较困难，若根据选项 提供的信息，选择某些特殊情况、特殊值、 特殊形式进行分析，或将字母参数换成具体 数值代入，则可将一般形式变为特殊形式， 此时再进行判断，往往会使解题变得简单．
－12a8 的值为
(C )
A．4
B．6
C．8
D．10
解析 令等差数列{an}为常数列an＝16. 显然a7－12a8＝16－8＝8. 故选C.
备战高考 高中数学 二轮专项分层特训 试卷习题 方法1 直接法 排除法 特值法 数形结合法
一 解题方法专练方法1 直接法 排除法 特值法 数形结合法一、单项选择题1．[2022·新高考Ⅰ卷]若i(1－z )＝1，则z ＋z － ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．[2021·新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B ．22C ．4D ．423．[2022·山东师范大学附中模拟]若都不为零的实数a ，b 满足a >b ，则( ) A ．1a <1b B ．b a ＋a b>2 C ．e a －b >1 D ．ln a >ln b 4．[2022·天津宝坻二模]函数y ＝x －1||x 的图象大致为( )5．已知等差数列{a n }，满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 102<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝516．一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A ．3π B ．4πC ．33 πD ．67．[2020·新高考Ⅰ卷]已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP → ·AB → 的取值范围是( )A ．(－2，6)B ．(－6，2)C ．(－2，4)D ．(－4，6)8．[2022·全国乙卷]双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2＝35，则C 的离心率为( ) A ．52 B ．32C ．132D ．172二、多项选择题9．[2022·新高考Ⅱ卷]已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3，0)中心对称，则( )A ．f (x )在区间(0，5π12)单调递减 B ．f (x )在区间(－π12 ，11π12)有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴 D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线 10．[2022·广东佛山三模]已知曲线C 的方程为y 2m －x 2n＝1，下列说法正确的是( ) A ．若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则m >－n >0B ．曲线C 可能是圆 C ．若mn <0，则曲线C 一定是双曲线D ．若C 为双曲线，则渐近线方程为y ＝± m nx 11．[2022·山东聊城一模]设0<a <b ，且a ＋b ＝2，则( )A ．1<b <2B ．2a －b >1C ．ab <1D ．1a ＋2b≥3 12．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则( )A ．f (x )有两个极值点B ．f (x )有三个零点C ．点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线三、填空题13．[2022·全国甲卷]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．14．[2022·福建漳州三模]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 在棱A 1B 1上，且3A 1M ＝MB 1，则直线BM 与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值为________．15．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p ，q ，则1p ＋1q＝________． 16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋1，x <a ，（x －2）2，x ≥a . 若f (x )存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为________．。
专题4 特值特例法解选择题针对训练与纠错
答案D
解析:因为 , , ,所以 ,即 ,双曲线的渐近线为 ,代入椭圆得 ,即 ,所以 , , ,则第一象限的交点坐标为 ,所以四边形的面积为 ,所以 ,所以椭圆方程为 ,选D.
9.设向量 ， 满足： ， ， ．以 ， ， 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为( )
3．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为（ ）
A. B. C. D.
答案B
解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
2. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 =（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析：由题意，取直线 ,上的一个点，比如点（1，2），根据三角函数的பைடு நூலகம்义，可以得到r= ，cos = ,sin = 故 。cos2θ= , 故cos2θ<0 ，代入得
【方法指导】本题考查的还是三角函数的定义表达式，以及三角函数值的具体求法，即取点，求r，求正余弦值。在得到 代入即可验证出正确答案B。
7.如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m， 满足n≥m，那么输出的P等于（ ）
A． B。 C。 D。
答案D
解析：第一次循环： k=1,p=1,p=n-m+1,
第二次循环：k=2,p=(n-m+1)(n-m+2),
第三次循环：k=3,p=( n-m+1)( n-m+3)
专题03特例法-2019年高考数学(文)30分钟拿下选择、填空题
增函数；减函数 减函数 减函数；增函数 减函数 增函数；减函数 增函数 减函数 . 在解选择题、填
空题时我们可以根据此结论直接对常见函数进行单调性的判断
.
【备考警示】很明显，方法一要比方法二更简洁，比利用结论更直观
.
【例 3】（利用特殊数列） 已知数列 an 是等比数列，其公比为 q ，则“ q 1 ”是“数列 an 为单调递增
对于 D，由 a b 0, c2 0 ，所以 a b c2 0 是正确的，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解
答的关键，着重考查了推理与论证能力 . 通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断
.
【备考警示】本题在选取 a， b 的值时，一定要满足条件 a b ，才可以正确求解 .
an
a1q n
1
，故其单调性不仅取决于
a1的符号，还要考虑 q
0,1 还
是 q 1, ．所以本题直接求解比较困难，而选取特殊值，构造特殊数列会简单快捷得多
.
【例 4】（利用特殊位置） 在三棱锥 A BCD 中， 底面为直角三角形， 且 BC CD ，斜边 BD 上的高为 1，
三棱锥 A BCD 的外接球的直径是 AB ，若该外接球的表面积为 16π，则三棱锥 A BCD 的体积的最大值
方法探究
特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，
收到事半功倍的效果 .
特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍
条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择
巧解02特例法-高考数学选择题巧解共18页文档
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
巧解02特例法-高考数学选择题巧解 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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高考数学(文)- 列举(特值)法(练)-专题练习(十)
高考数学（文）专题练习（十）列举（特值）法（练）一．练高考1．设()f x 、g()x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()g()f x x +、()g()f x x +、()()f x h x +均为增函数，则()f x 、g()x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()g()f x x +、()g()f x x +、()()f x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、g()x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） （A ）①和②均为真命题（B ）①和②均为假命题 （C ）①为真命题，②为假命题（D ）①为假命题，②为真命题2．设a ∈R ，[0,2π]b ∈．若对任意实数x 都有πsin 3sin()3x ax b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43．已知非零向量m ，n 满足43=m n ││││，13cos <>=m n ，．若t ⊥+n m n （），则实数t 的值为（ ） （A ）4（B ）4-（C ）94（D ）94-5．若变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值是（ ）（A ） 4 （B ）9 （C ）10 （D ）12二．练模拟1．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意实数x 有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()e xf x <的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,e )-∞D ．4(e ,)+∞2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若()()f xf x '<，且(1)(3)f x f x +=-，(2015)2f =，则不等式1()2e x f x -<的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．(e,)+∞C ．(,0)-∞D ．1(,)e-∞3．已知数列1234,,,a a a a 满足14a a =，11111(1,2,3)22n n n na a n a a ++-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ）A ．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭B ．{1,2}±±C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭4．已知函数1,10()10lg(2),10xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-->⎩，若2(8)(2)f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(4,2)-B ．(4,1)-C ．(2,4)-D ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞5．在数列{}n a 中，12a =，22a =，且21(1)()n n n a a n *+-=+-∈N ，则100S =（ ） A ．0B ．1 300C ．2 600D ．2 602三．练原创1．直线2y k =与曲线2222918||k x y k x +=（,1k k ∈≠R ）的公共点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．如图左，若D 、E 、F 分别是三棱锥S-ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 上的点，且:::2:1SD DA SE EB CF FS ===，那么平面DEF 截三棱锥S-ABC 所得的上下两部分的体积之比为（ ）A ．4：31B ．6：23C ．4：23D ．2：253．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则m 的取值是（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．24．双曲线方程为221||25x y k k+=--，则k 的取值范围是（ ） A ．5k >B ．25k <<C ．22k -<<D ．22k -<<或5k >5．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，n *∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b =__________．列举（特值）法（练）答 案一．练高考 1．D 2．B 1． B 5．C 二．练模拟 1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 三．练原创 1．D 2．C 3．B 4．D 5．12n n b +=1．，可设，又，所以5．3m n =3,4(m k n k k ==>()n tm n ⊥+22()cos ,34(4)3n tm n n tm n n t m n m n n t k k k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=4t =-3．5．此时有OH OA OB OC=++，。
高三数学题型专题--选择题的解法
选择题的解法1.内容概要：选择题注重考查基础知识、基本技能、基本方法、逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力.解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做。
求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时除了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解.解选择题要注意选择题的特殊性，充分利用题干和选择支两方面提供的信息，灵活、巧妙、快速求解.2.典例精析一、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法.运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1.（08某某）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是（ ）（A ）3（B ）5（C ）3 （D ）5【解析】∵双曲线的准线为2a xc ，∴22():()3:2a a c c c c+-=，解得225c a =，∴5cea故选D.例2.设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B=的（ ）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而充分条件（D ）既不充分又不必要条件【解析】设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22a BB C --=+， ∴1(cos 2cos 2)sin sin 2B A BC -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴sin()sin A B B -=，∴A B B -=，2A B =， 若ABC ∆中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+，所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.二、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法.用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.特例法主要包括：特殊值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等.①特殊值法例3.（08全国Ⅱ）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ． b <a <c D ． b <c <a【解析】令12xe ，则11,1,28a b c =-=-=-，故选C.例4.（08某某）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【解析】令114a ，234a ，113b ，223b ，然后代入要比较大小的几个式子中计算即可，答案为A.【点评】从上面这些例子及其解答来看，2008年高考试题特别喜欢把大小比较与函数、三角等知识结合进行考查，这是2008年大小比较考题的一大亮点.②特殊函数法例5.如果奇函数()f x 在［3，7］上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间［-7，-3］上是 ( )A. 增函数且最小值为-5B. 减函数且最小值是-5C. 增函数且最大值为-5D. 减函数且最大值是-5【解析】构造特殊函数5()3f x x ，显然满足题设条件，并易知()f x 在区间［-7,-3］上是增函数，且最大值为(3)5f ，故选C.③特殊数列法例6. 已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则有（ ） A.11010a a +> B.21020a a +< C.3990a a += D.5151a = 解析：取满足题意的特殊数列0n a =，则3990a a +=，故选C. ④特殊方程法例7.曲线222222b xa y ab （0ab ）的渐近线夹角为，离心率为e ,则cos2等于（ ）A ．eB ．2e C ．1e D .21e【解析】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察.取双曲线方程为2214x y ，易得离心率52e，2cos 25，故选C . ⑤特殊位置法例8.过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11（） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、a4 【解析】此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 长度不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性.考虑直线PQ OF 时，1||||2PF FQ a==，所以11224a a a p q +=+=，故选C.⑥特殊点法例9.（08全国Ⅰ）若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+【解析】因为点(1,1)在1y =的图象上，它关于y x 对称的点(1,1)一定在其反函数(1)y f x =-的图象上，即点(0,1)在函数()f x 的图象上，将其代入四个选择支逐一检验，可以直接排除A 、C 、D ，故选B ．【点评】本题主要考查反函数的概念、函数与其反函数图象之间的关系、函数图象的平移．常规解法是先求出函数1y =的反函数，然后再将函数图象平移即可得到正确解答．而本法抓住以下特征：函数图象上的点关于y x 对称的点一定在其反函数的图象上，由此选定特殊点(1,1)，从而得出点(1,1)在(1)y f x =-的图象上，进一步得出点(0,1)在()f x 的图象上．于是快速求解.三、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值X 围等)与某些图形结合起来，利用几何图形的直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。
高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧
高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧方法一：直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．【典例1】(1)(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数2－i 1－3i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】选A.因为2－i1－3i ＝（2－i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ） ＝5＋5i 10 ＝12 ＋12 i ，所以复数2－i 1－3i 对应的点位于第一象限．(2)(2021·烟台二模)已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若2F A ·2F B ＝0，且|2F A |＝|2F B |，则C 的离心率为( ) A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ．7【解析】选B.由F 2A·F 2B ＝0且|2F A |＝|2F B |知：△ABF 2为等腰直角三角形且 ∠AF 2B ＝π2 、∠BAF 2＝π4 ，即|AB|＝ 2 |2F A |＝ 2 |2F B |， 因为⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A|－|F 2A|＝2a ，|F 2B|－|F 1B|＝2a ，|AB|＝|F 1A|－|F 1B|，所以|AB|＝4a ，故|F 2A|＝|F 2B|＝2 2 a ，则|F 1A|＝2( 2 ＋1)a ，而在△AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|F 2A|2＋|F 1A|2－2|F 2A||F 1A|cos ∠BAF 2， 所以4c 2＝8a 2＋4(3＋2 2 )a 2－8( 2 ＋1)a 2，则c 2＝3a 2，故e ＝ca ＝ 3 . 【变式训练】1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝( ) A ．1 B ．i C ．1－i D ．1＋i【解析】选D.方法一：z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i.方法二：设z ＝a ＋bi ，则(a ＋b)＋(b －a)i ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b －a ＝0， 解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i.2．(2021·郑州二模)已知梯形ABCD 中，以AB 中点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E 在线段AC 上，且AE→ ＝23 EC → ，若以A ，B 为焦点的双曲线过C ，D ，E 三点，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．7C ． 6D ． 2【解析】选B.设双曲线方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1，由题中的条件可知|CD|＝c ， 且CD 所在直线平行于x 轴， 设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y 0 ，A(－c ，0)，E(x ，y)，所以AE → ＝(x ＋c ，y)，EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－x ，y 0－y ，c 24a 2 －y 20 b 2 ＝1，由AE → ＝23 EC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25c y ＝25y 0，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25c ，25y 0 ，因为点E 的坐标满足双曲线方程，所以4c 225a 2 －4y 2025b 2 ＝1， 即4c 225a 2 －425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 24a 2－1 ＝1，即3c 225a 2 ＝2125 ，解得e ＝7 .方法二：特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．【典例2】(1)(2021·郑州三模)在矩形ABCD 中，其中AB ＝3，AD ＝1，AB 上的点E 满足AE ＋2BE ＝0，F 为AD 上任意一点，则EB ·BF ＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3 【解析】选D.(直接法)如图，因为AE ＋2BE ＝0， 所以EB ＝13 AB ， 设AF ＝λAD ，则BF ＝BA ＋λAD ＝－AB ＋λAD ，所以EB ·BF ＝13 AB ·(－AB ＋λAD )＝－13 |AB |2＋13 λAB ·AD ＝－3＋0＝－3.(特例法)该题中，“F为AD上任意一点”，且选项均为定值，不妨取点A为F. 因为AE＋2BE＝0，所以EB＝13AB．故EB·BF＝13AB·(－AB)＝－132 AB＝－13×32＝－3.(2)(2021·成都三模)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则sin2A＋sin2C－sin A sin C＝________．【解析】(方法一：直接法)由内角A，B，C成等差数列，知：2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，所以B＝π3，而由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，结合正弦定理得：sin2B＝sin2A＋sin2C－sin A sin C＝3 4.(方法二：特例法)该题中只有“内角A，B，C成等差数列”的限制条件，故可取特殊的三角形——等边三角形代入求值．不妨取A＝B＝C＝π3，则sin 2A＋sin2C－sin A sin C＝sin2π3＋sin2π3－sinπ3sinπ3＝34.(也可以取A＝π6，B＝π3，C＝π2代入求值．)答案：34【变式训练】设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC → ，则AM → ·NM → 等于( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．6【解析】选C.若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC→ ，知M(6，3)，N(4，4)，所以AM → ＝(6，3)，NM → ＝(2，－1)，所以AM → ·NM → ＝6×2＋3×(－1)＝9.方法三：数形结合法对于一些含有几何背景的问题，往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断解决相应的问题．如Veen 图、三角函数线、函数图象以及方程的曲线等，都是常用的图形．【典例3】已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．22【解析】选C.如图，设OA→ ＝a ，OB → ＝b ，则|OA → |＝|OB → |＝1，OA → ⊥OB → ，设OC → ＝c ，则a－c ＝CA → ，b －c ＝CB → ，(a －c )·(b －c )＝0，即CA → ·CB → ＝0.所以CA → ⊥CB → .点C 在以AB 为直径的圆上，圆的直径长是|AB→ |＝ 2 ，|c |＝|OC → |，|OC → |的最大值是圆的直径，长为 2 .【变式训练】1．设直线l ：3x ＋2y －6＝0，P(m ，n)为直线l 上动点，则(m －1)2＋n 2的最小值为( ) A ．913 B ．313 C ．31313 D ．1313【解析】选A.(m －1)2＋n 2表示点P(m ，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l 的距离，即|3－6|13 ＝313，则(m －1)2＋n 2的最小值为913 .2．(2021·河南联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x （x>0），x 2＋1（x≤0）， 若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y ＝－32 的对称点在直线kx －y －3＝0上，则实数k 的取值是________． 【解析】直线kx －y －3＝0关于直线y ＝－32 对称的直线l 的方程为kx ＋y ＝0，对应的函数为y ＝－kx ，其图象与函数y ＝f(x)的图象有2个交点．对于一次函数y ＝－kx ，当x ＝0时，y ＝0，由f(x)≠0知不符合题意． 当x≠0时，令－kx ＝f(x)，可得－k ＝f （x ）x ，此时， 令g(x)＝f （x ）x ＝⎩⎨⎧ln x －2（x>0），x ＋1x （x<0）.当x>0时，g(x)为增函数，g(x)∈R ，当x<0时，g(x)为先增再减函数，g(x)∈(－∞，－2]. 结合图象，直线y ＝－k 与函数y ＝g(x)有2个交点， 因此，实数－k ＝－2，即k ＝2. 答案：2方法四：排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而确定正确选项．【典例4】(1)(2021·郑州二模)函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x在(－π，π)的图象大致为()【解析】选A.根据题意，函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x，x∈(－π，π)，f(－x)＝sin (－x)ln π＋xπ－x＝sin x lnπ－xπ＋x＝f(x)，则f(x)在区间(－π，π)上为偶函数，所以排除B，C，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝sin π2 ln π23π2＝ln 13 <0，所以排除D.(2)(2021·太原二模)已知函数y ＝f(x)部分图象的大致形状如图所示，则y ＝f(x)的解析式最可能是( )A ．f(x)＝cos x e x －e －xB ．f(x)＝sin x e x －e －xC ．f(x)＝cos x e x ＋e －xD ．f(x)＝sin x e x ＋e －x 【解析】选A.由图象可知，f(2)<0，f(－1)<0， 对于B ，f(2)＝sin 2e 2－e －2>0，故B 不正确；对于C ，f(－1)＝cos （－1）e －1＋e＝cos 1e －1＋e>0，故C 不正确； 对于D ，f(2)＝sin 2e 2＋e －2 >0，故D 不正确．【变式训练】1．(2021·嘉兴二模)函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x 的图象可能是()【解析】选C.由f(－x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x －1＋1－x ＋1 cos (－x) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝－f(x)知， 函数f(x)为奇函数，故排除B.又f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝2x x 2－1 cos x ， 当x ∈(0，1)时，2xx 2－1 <0，cos x>0⇒f(x)<0.故排除A ，D.2．(2021·石家庄一模)甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为( ) A ．红、黄、蓝 B ．黄、红、蓝 C ．蓝、红、黄 D ．蓝、黄、红【解析】选B.丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人是丙． 综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝．方法五：构造法构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等模型转化为熟悉的问题求解．【典例5】(1)(2021·昆明三模)已知函数f(x)＝e x －a －ln x x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)【解析】选D.方法一(切线构造)：函数f(x)＝e x －a －ln xx －1有两个不同的零点， 则e x －a －1＝ln xx 有两个解， 令g(x)＝e x －a －1，h(x)＝ln xx (x>0)，则g(x)与h(x)有2个交点，h′(x)＝1－ln xx 2 (x>0)， 当x>e 时h′(x)<0，h(x)单调递减， 当0<x<e 时h′(x)>0，h(x)单调递增， 由g′(x)＝e x －a (x>0)得g(x)单调递增， 图象如下，当g(x)与h(x)相切时，设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0x 0 ， h′(x 0)＝1－ln x 0x 2＝g′(x 0)＝0x ae －， 同时ln x 0x 0 ＝ex 0－a －1，得ln x 0x 0 ＋1＝1－ln x 0x 2，即x0ln x0＋x20＝1－ln x0，(x0＋1)ln x0＝－(x0＋1)(x0－1)，又x0>0，ln x0＝1－x0，所以x0＝1，此时1＝e1－a，所以a＝1，当a>1时，可看作g(x)＝e x－1－1的图象向右平移，此时g(x)与h(x)必有2个交点，当a<1时，图象向左平移二者必然无交点，综上a>1.方法二(分离参数)：由题意，方程e x－a－ln xx－1＝0有两个不同的解，即e－a＝ln xx＋1e x有两个不同的解，所以直线y＝e－a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点．g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1′×e x－（e x）′×⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1（e x）2＝－（x＋1）（ln x＋x－1）x2e x.记h(x)＝ln x＋x－1.显然该函数在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，所以0<x<1时，h(x)<0，即g′(x)>0，函数单调递增；所以x>1时，h(x)>0，即g′(x)<0，函数单调递减．所以g(x)≤g(1)＝ln 11＋1e1＝1e.又x→0时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→0.由直线y＝e a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点，可得e －a <1e ＝e －1，即－a<－1，解得a>1.方法三：由题意，方程e x －a －ln x x －1＝0有两个不同的解，即e x －a ＝ln x x ＋1，也就是1e a (xe x )＝x ＋ln x ＝ln (xe x ).设t ＝xe x (x>0)，则方程为1e a t ＝ln t ，所以1e a ＝ln t t .由题意，该方程有两个不同的解．设p(x)＝xe x (x>0)，则p′(x)＝(x ＋1)e x (x>0)，显然p′(x)>0，所以p(x)单调递增，所以t ＝p(x)>p(0)＝0.记q(t)＝ln t t (t>0)，则q′(t)＝1－ln t t 2 .当0<t<e 时，q′(t)>0，函数单调递增；当t>e 时，q′(t)<0，函数单调递减．所以q(t)≤q(e)＝ln e e ＝1e .又t→0时，q(t)→0；t→＋∞时，q(t)→0.由方程1e a ＝ln t t 有两个不同的解，可得0<1e a <1e ，解得a>1.(2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【解析】选C.将三棱锥P-ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22 ＝2 3 .设外接球的半径为R ，依题意可得(2R)2＝22＋22＋(2 3 )2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π.【变式训练】1．已知2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，则( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b【解析】选D.因为2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，化为：ln a a ＝ln 22 ，ln b b ＝ln 33 ，ln c c ＝ln 55 ，令f(x)＝ln x x ，x ∈(0，e)，f′(x)＝1－ln x x 2 ，可得函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f(c)－f(a)＝ln 55 －ln 22 ＝2ln 5－5ln 210＝ln 253210 <0，且a ，c ∈(0，e)， 所以c<a ，同理可得a<b.所以c<a<b.2．(2021·汕头三模)已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)－f(x)>0，f(2 021)＝e 2 021，则不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 的解集为( ) A ．(e 2 021，＋∞)B ．(0，e 2 021)C ．(e 2 021e ，＋∞)D ．(0，e 2 021e )【解析】选D.令t ＝1e ln x ，则x ＝e et ，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 等价转化为不等式f(t)<e e et ＝e t ，即f （t ）e t <1 构造函数g(t)＝f （t ）e t ，则g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t， 由题意，g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t>0， 所以g(t)为R 上的增函数，又f(2 021)＝e 2 021，所以g(2 021)＝f （2 021）e 2 021 ＝1，所以g(t)＝f （t ）e t <1＝g(2 021)，解得t<2 021，即1e ln x<2 021，所以0<x<e 2 021e .方法六：估算法估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围，从而解决相应问题的方法．【典例6】(2019·全国Ⅰ卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12 (5－12 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm【解析】选B.头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170～178 cm之间．【变式训练】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3【解析】选B.等边三角形ABC的面积为9 3 ，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4，8)，所以13×9 3 ×4<V三棱锥D-ABC <13×9 3 ×8，即12 3 <V三棱锥D-ABC<24 3 .。