证明平行四边形是菱形的方法
19.2.2菱形的判定....
例3
如图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB=5，AO=4，OB=3 求证： ABCD是菱形
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3 ∴AB² =AO² +BO² ， ∴△OAB是直角三角形 AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形。
D A O B C
练习： 课本100页
第2题
探究活动二
探究活动 一
猜想
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知： 在
求证： ABCD 中，AC ⊥ BD
ABCD是菱形
A B O C D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
A D B C
A
D
F
B
E
C
小结：
作业：
• 102页
这节课你知道了菱形的哪些判定方法？
• 第6题
我们如何画一个菱形？ (1)先画两条等长的线段AB,AD; (2)分别以B,D为圆心，AB为半径画弧， 两弧相交于点C;
(3)连接BC,BD.
四边形ABCD是菱形
你能否用一句话来概括所得到的结论？
四边相等的四边形是菱形
菱形常用的判定方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D
O A B
C
三 如图，顺次连接矩形ABCD各边 . 中点，得到四边形EFGH，求证： 四边形EFGH是菱形。
菱形的判定方法的应用
菱形的判定方法的应用(1)菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有：（1）四条边都相等的四边形是菱形；（2）有一组临边相等的平行四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。
一、四条边都相等的四边形是菱形例1（08年，郴州）如图1，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．分析：翻折就是对称，也就是全等。
解：四边形ABCD 为菱形。
理由是：由翻折，得：△ABC ≌△DBC ．所以，,AC CD AB BD ==因为，△ABC 为等腰三角形， 所以，AB AC =所以，AC ＝CD ＝AB ＝BD ，故，四边形ABCD 为菱形点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。
二、有一组临边相等的平行四边形是菱形例2（08年，永州）如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB（1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．分析：在四边形EFCD 中，由题意我们知道有一组临边ED 和CD 相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。
（1）证明：ABC Q △与CDE △都是等边三角形ED CD ∴= 60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠=oAB CD DE CF ∴∥，∥又Q EF AB ∥∴EF ∥CD ，四边形EFCD 是平行四边形，∴平行四边形EFCD 是菱形。
（2）解：连结DF ，与CE 相交于点G由4CD =，可知2CG = ∴224223DG =-=43DF ∴=点评：观察是解答问题的途径和窗口。
三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形例3（08年，上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线C AB D 图1上的点，且ACE △是等边三角形．求证：四边形ABCD 是菱形；分析：本题主要是利用等边三角形顶角的平分线、底边上的高和中线三线合一，得出AC ⊥BD ，然后在利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
18.2.2菱形的判定方法
∴OA=OC=4 OB=OD=3 A O ∵ AB=5 ∴ AB2=OA2+OB2 0 B 9 0 ∴ ∠AOB= ∴AC⊥BD （2）∵ 四边形ABCD是平行四边形 AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
D
C
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC分别交于点 E、F， 求证 四边形 AFCE 是菱形 证明 ∵: 四边形 ABCD 是矩形，
∴四边形ABCD是菱形
归纳： 菱形常用的判定方法
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）
3.有四条边相等的四边形是菱形。
练一练
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
3 4 3
5
4
3
3
┍
4
4
有一组邻边相等的平 行四边形叫做菱形
A
F
D
B
E
∟
C
已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于 F．求证：四边形AEDF是菱形．
如图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6 （1）AC、BD互相垂直吗？为什么？ （2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 解： （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形
5 5
5
对角线互相垂直的平行 四边形是菱形
5 5
有四条边相等的四边形是菱形。
做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形． 对 (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形． 对 (3)邻角相等的平行四边形是菱形． 错 (4)一组邻边相等的四边形是菱形． 错 (5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 是菱形． 对 (6)对角线互相平分且相等的四边形是菱形．错 (7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 对 (8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 对
人教版八年级下册数学《菱形》平行四边形说课复习(第2课时菱形的判定)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，又∵AC⊥BD, ∴AB=BC（线段垂直平分线上 的点到两个端点的距离相等）
∴ 四边形ABCD是菱形.（菱形的定义）
命题2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形.
同步练习
1. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4， OB＝3. 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴AB2＝AO2＋BO2， ∴△ABO为直角三角形， ∴___A__C_⊥__B_D_____， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形． (依据：__对__角__线__互__相__垂__直__的__平__行__四__边__形__是__菱__形___)
自学释疑、拓展提升
知识点一：菱形的定义与性质
问题解决：
例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠的度数比为1：2，周长是48cm， 求：（1）求两条对角线的长度；
（2）求菱形的面积．
自学释疑、拓展提升
知识点一：菱形的定义与性质
归纳总结：
你能说说该题的解题思路吗？
直接利用菱形的性质得出∠ABO=300，进而求出AO，BO的长即可得出答案； 直接利用菱形面积等于对角线乘积的一半，即可得出答案．
转换到判定(3))
归纳总结
四边形 + 四条边相等
菱形
四边形 + 对角线垂直平分
菱形
平行四边形 + 一组邻边相等
菱形
平行四边形 + 对角线垂直
菱形
例1 如图， 四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
特殊平行四边形性质及判定方法
特殊平行四边形——菱形、矩形、正方形
【菱形】
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
性质：菱形的四条边相等。
菱形的对角线互相垂直。
判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四边相等的四边形是菱形。
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【矩形】
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
&&直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。
判定：对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
【正方形】
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形的对角线相等且互相垂直平分。
判定：有一组邻边相等的矩形是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
证明菱形的四种方法
证明菱形的四种方法证明一个几何图形是一种基本的数学技巧，而证明菱形是其中的一个常见问题。
在本文中，我们将介绍四种证明菱形的方法，并提供详细的描述和示例。
方法1：证明对角线相等菱形的定义是一个四边形，其对角线相等。
证明菱形可以通过证明其对角线相等。
证明对角线相等的方法是使用重心定理，即当三角形的垂心相交时，其交点是重心。
具体步骤如下：步骤1：画出菱形的对角线并找出它们的交点。
步骤2：把每个三角形的垂足连接到对面的顶点，从而在重心处形成一个小三角形。
步骤3：证明三角形重心定理：对于任何三角形ABC，通过边的中心D，E，F，FG，DE 和AC的交点，证明GF：DE=EB：FC=DC：FA。
步骤4：使用三角形重心定理证明对角线相等。
以下示例说明了如何使用这种方法证明菱形：在菱形ABCD中，证明对角线AC和BD相等。
步骤1：画出对角线AC和BD并找出它们的交点O。
步骤2：将每个三角形的垂足连接到对面的顶点，从而在重心处形成一个小三角形。
步骤3：证明三角形重心定理：对于任何三角形ABC，通过边的中心D，E，F，FG，DE 和AC的交点，证明GF：DE=EB：FC=DC：FA。
步骤4：使用三角形重心定理证明对角线相等。
我们可以得出结论：对角线AC和BD相等。
方法2：证明对边平行菱形还有一个特点，那就是其对边平行。
证明菱形可以通过证明其对边平行。
证明对边平行的方法是使用平行四边形定理，即如果一个四边形的对边平行，则该四边形是平行四边形。
具体步骤如下：步骤1：找到菱形的两组相邻边。
步骤2：画出这两组相邻边的中心。
步骤3：证明平行四边形定理：如果一个四边形的对边平行，则该四边形是平行四边形。
以下示例说明了如何使用这种方法证明菱形：在菱形ABCD中，证明对边AB和CD平行。
步骤1：找到菱形的两组相邻边AB和BC，以及CD和DA。
步骤2：画出这两组相邻边的中心E和F。
步骤3：证明平行四边形定理：如果一个四边形的对边平行，则该四边形是平行四边形。
九年级上册数学平行四边形、菱形、正方形、矩形几何证明方法
九年级上册数学平行四边形、菱形、正方形、矩
形几何证明方法
1. 平行四边形：
两组对边分别平行：如果一个四边形的两组对边都平行，则这个四边形是平行四边形。
两组对边分别相等：如果一个四边形的两组对边都相等，则这个四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等：如果一个四边形有一组对边既平行又相等，则这个四边形是平行四边形。
对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。
2. 菱形：
四条边都相等：如果一个四边形的四条边都相等，则这个四边形是菱形。
对角线互相垂直且平分：如果一个四边形的对角线互相垂直并且平分，则这个四边形是菱形。
3. 正方形：
四条边都相等且每个角都是直角：如果一个四边形的四条边都相等，并且每个角都是直角，则这个四边形是正方形。
对角线相等且互相垂直平分：如果一个四边形的对角线相等、互相垂直并且平分，则这个四边形是正方形。
4. 矩形：
有一个角是直角的平行四边形：如果一个平行四边形有一个角是直角，则这个平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形：如果一个平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形。
菱形判定课件
5
B
解：（1）∵ AB=
5 ，AO=2，OB=1.
2 2 2 ∴ AB OA OB
∴ ∠AOB为直角， ∴AC⊥BD. （2）∵ 四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形. D （两条对角线互相垂直 的平行四边形是菱形） O 2 A C 1
5
B
平行四边形
∴OA=OC
C 思考： 平行四边形 + 邻边相等
菱形
又∵AC⊥BC AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴
□ABCD
四边形ABCD是菱形
ABCD是菱形
学以致用 3, 如图，平行四边形的两条对角线AC， BD相交于点O，AB= 5 ， AO=2，OB=1。 1.AC，BD互相垂直吗？为什么？ 2.四边形ABCD是菱形吗？为什么？
∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴平行四边形ABCD是菱形
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
1,下列三个图形是菱形吗?
5
3
3
┍
5 5
4
4
5 四条边都相等的四边形是菱形
两条对角线互相垂直的 平行四边形是菱形
5 4
3 3
4
5
一组邻边相等的平行 四边形是菱形
通过这节课的学习，你有哪些收获？
小试牛刀
1.如图， ABCD 中，截取DE=AD, EF∥AD, 问：四边形ADEF是菱形吗？说明你的理由。
D
E C
A
F
B
思考： 平行四边形 + 邻边相等
菱形
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2， 已知：在 求证： ABCD 中，AC ⊥ BD ABCD 是菱形 B O D A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明平行四边形是菱形的方法
1.画出平行四边形的图形，标记出对角线的交点为点O。
2. 证明对角线互相平分的性质：连接OA、OB、OC、OD四条线段，证明它们互相平分。
3. 证明对角线垂直的性质：连接AC、BD两条线段，证明它们互相垂直。
4. 证明对角线长度相等的性质：利用三角形的相似性质，证明AO=CO，BO=DO。
5. 利用菱形的定义，证明平行四边形是菱形：菱形的定义是四边形的对角线相等且互相垂直，由于已经证明了平行四边形满足对角线互相平分、垂直和长度相等的性质，因此可以得出结论，平行四边形是菱形。
6. 最后，可以画出平行四边形与菱形的图形，做出直观的比较，进一步证明平行四边形是菱形。
- 1 -。