振动力学基础

K0=nk K0=k/n
k k1 k2
15
例题 一质点在X轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期 T=2s,其平衡位置取坐标原点。若t=0时刻质点第一次通 过x=-2cm处，且向X轴负方向运动，则质点第二次通过 x=-2cm处的时刻为
（A）1s （B）（2/3）s （C）（3/4）s （D）2s
c) 频率的单位是赫兹（ ），可记作 / 秒（s 1）。 Hz 1
圆频率的单位是弧度 秒（rad s 1）。 /
7
3、相位和初相
相位是决定物体振动状 态的物理量。
是t 0时的相位，称为初相位 ，简称为初相。
(t )称为物体在 时刻振动的相位（或相 t ）。
注意： a）简谐振动的频率或圆 频率由系统本身的性质 决定
2 0
18
§4平行简谐振动的合成 一、同方向、同频率的简谐振动的合成
设某个质点同时参与两 个 A2 频率相等、沿着同一方 向 （X轴方向）振动的简谐 运动，分别为： 2 x1 A1 cos( t 1 ) 1 x 2 A2 cos( t 2 ) O x2
下面用旋转矢量法求合 运动 x A cos(t )
2
N
x 2 g
x 0.196m
a a
mg
N
如果A 0.196m，则在 平衡位置上方 .196m处 0 小物体与大物体分离。
mg
10
4、简谐运动的旋转矢量表示法 为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义， 可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。 （1）旋转矢量的长度等于振幅 A， 记作： 。 A (2) 矢量A 在图平面内绕O点以 为角速度作逆时针
振动力学基础 人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电 学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。 振动的一般概念:某物理量在某数值附近作周期性变化
机械振动：物体位置在一确定位置附近作往返 运动称为机械振动。
特点：
有平衡点，且具有重复性。
机械振动分类（规律）简谐、非简谐、随机振动。 （原因）自由、受迫、阻尼振动。 （位移）角振动、线振动。 其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
A



t
v
注意三者相位的关系
4
三、简谐振动的能量
我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。 设振动物体在任一时刻t 的位移为x ，速度为v ，于是它所具 有的动能EK 和势能EP 分别为 1 1 2 E k mv 2 E p kx 2 2
考虑到x A cos(t ) 及v Asin(t )与 2 k / m
谐振动周期
园周运动周期
12
旋转矢量确定初位相 A 1. x 0 v0 0 2

3
2A 2.x0 v0 0 2

3 4
x0 v0 a0 x0 v0 a0
M
x0 v0 a0 x0 v0 a0
3A 3.x0 v0 0 2

5 6
O
二、同方向的N个同频率简谐振动的合成
设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 其表达式为：
x1 (t ) a cost x2 (t ) a cos(t ) x3 (t ) a cos(t 2 )
C
R aN
A
M
N xN (t ) a cost ( N 1) O A 2R sin(N / 2) a P

)2
结论：
x va
0.06 0.03
1 5 5 (1) x0 A v0 0 ( SI ) 2 3 6 (2) vm A 0.06 v0 0.03 0 a 0 x 0 0 0
v0 vm sin sin 1 2
在OCP中：
1

a3
a 2 R sin( / 2)
22
上两式相除得
sin( N / 2) Aa sin / 2
x0 0.04m v0 0.21m / s
2 2 A x0 v0 / 2 0.05m
v0 tg 0.64rad x0
1
x0 0第1,4象限 tg 0第1,3象限 第1象限
x 0.05cos( 7t 0.64 )( SI )
9
例题 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体ຫໍສະໝຸດ Baidu
其中： A
A
A1
x1 x
X
仍然是同频率
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 的简谐振动 A1 sin 1 A2 sin 2 tg 结论： A1 cos1 A2 cos 2
19
讨论一：
2 1 2k
A A1 A2
由此，可解得：
2 A x0
2
v0
2
v0 tg ( ) x0
1
8
例题 在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸 长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物 体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的 初速度。选X轴向下，求振动的表达式。
m0 g 0.1 9.8 N/m l 0.08 k 0 .1 9 . 8 7.0rad / s m 0.08 0.25 解： k
单摆
17
2.复摆（物理摆）
mghsin I
O C
OC h
I 为m绕O点转动的转动惯量。 mgh 0 当 sin 时 I 总结：复摆的谐振动方程：

mg
d m gh 2 dt I
2
I T 2 m gh
mgh I 振动的角频率、周 期完全由振动 系统本身来决定。
1 E p kA2 cos2 (t ) 2
可得到： 1 E k kA2 sin 2 (t ) 2
1 2 因此， 弹簧振子的总机械能为 : E E k E p kA 2 结论： （ ）作简谐运动的物体，其机械能守恒。 1
（2） 简谐运动的总能量和振幅的平方成正比。
( B )t
2 / 3

2 / 3 2 s 2 / T 3
例题 一长度为l 的倔强系数为k的轻弹簧分割成l1和l2 的两部分，且l1=nl2则相应的倔强系数k1和k2为
k 2 (n 1)k 等分n 1段，每段(n 1)k k2 ( n个k 2串联，相当 ) n
16
1
§1
简谐振动动力学
X
一、简谐振动的特征
加速度为： F k a x m m k 2 令： 得到： m
O
2 a x
（ ）式表达了简谐振动的 1 动力学特征； （2）式表达了简谐振动的 运动学特征。
2
F
X
滑块受到的合外力： F kx (1)
O
(2)
5
§2
简谐振动运动学
x A cos(t )
简谐运动的运动方程：
上式中A、、是描述简谐运动的三个 特征量。 1、振幅
A表示振动物体离开平衡 位置的最大位移的绝对 值， 称为振幅。 振动系统的能量决定振 。 幅
2、周期和圆频率
（ ）、 1 周期： 简谐振动的物体作一次 全振动 所需的时间称为周期， T表示。 用
讨论二： 2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
合振幅最大。称为 干涉相长
A A2 A1
k 0,1,2,
称为干涉相消。
A | A1 A2 |
A1=A2 时， A=0
A2
A A
A1
讨论三： 一般情况：
2 1 k
| A1 A2 | A | A1 A2 |
可见，有： a 2 x
3
3.简谐振动的 x-t,v-t,a-t图
x A cos(t ) v A sin(t )
2
x ,v, a
2A
A
A cos(t / 2 )
a A cos(t ) a
x

2 3 4
o
t
A

X
13
4. x0 0 v0 0

2
x
例题：由谐振子能量推出振幅公式。 1 1 2 1 2 2 KA mv 0 kx 0 解： E Ek E p
m 2 2 A v0 x0 K
2
2
2
2
2
K m
有
例题：
A x (
2 2 0
v0
1.A由系统能量决定； 2.t=0的含义； 3.x0、v0含义。

7 6
O
1
t
5 6
A
vm


3 .6 50
14
5、弹簧的串并联
串联：F F1 F2 F F1 F2 x x1 x2 k k1 k 2 1 1 1 k k1 k 2
思考1：等分n段，每段k0=? 思考2：n段串联，等效k0=?
并联：x x1 x2 F F1 F2 k1 x1 k2 x2
T 2 ,
又 k / m,
2
所以
T 2
m k
6
（2）频率与圆频率
* 单位时间内物体所完成 全振动的次数称为 频率, 用表示。
1 T 2
2
*称为振动的圆频率或角 频率。
注意： 周期和频率都是反映振 a） 动快慢的物理量。
b) 一个系统自由振动的周 期和频率完全由这 个系统本身的性质决定 。该频率称为系统的 固有频率。
（ ） t 0时刻，与OX轴的夹角等于初位相 。 3 A 则： 在任一时刻t ，该矢量与 轴的夹角为 t ， X
其末端M点在OX轴上的投影点的坐标为 ： M A x A cos t ） （
因此， 旋转矢量A的末端在OX轴上的 投影点的运动是简谐运 动。
匀速转动。
b） 简谐振动的振幅 和初相位则由初始条件确定。 A 下面指出由初始条件确 A和的方法： 定
x A cos(t ),
v A sin(t ),
且已知t 0时的初位移 0和初速度v（称为初始条件） x 0
我们有
x0 A cos， v0 A sin
(n 1)k k1 n
§3微振动的简谐近似 1.单摆
当 sin 时
d m l 2 m g sin dt
2

f
结论
g 0 l
在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率,振动 的周期分别为：
mg
g 0 l
2 l T 2 0 g
A2
A1
20
例题 三个谐振动方程分别为 x1 A cos( t
7 x2 A cos( t ) 6

2 11 x3 A cos( t ) 6
)
画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出 振动曲线。写出合振动方程。
x1
x3
x2
x1
x2
合振动方程X=0
x3
21
二、简谐运动的运动方程
1、简谐运动的微分方程 及其解： d 2x a 2 dt d 2x 2x 0 dt2 (3)
它的解为：
x A cos(t )
2、简谐运动的速度和加 速度
dx v A sin( t ) vm A dt 2 d x a 2 A cos(t ) am A 2 dt 2
O
t

X
11
x
(4）比较两个谐振动的相位差 Φ2－φ1＝2kπ称同相 π>Φ2－φ1>0称2超前 Φ2－φ1＝（2k+1）π称反相 π> φ1 － Φ2>0称1超前
旋转矢量与谐振动的对应关系 谐振动 A 振幅 初相 相位 圆频率 旋转矢量 半径 初始角坐标 角坐标 角速度
t+
T
悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为4kg 。待其静止后再把物体向下拉10cm，然后无初速释放。问（1） 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）若使放在振动 物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A须满足何条件？二者 在何位置开始分离？
K f 解： 5( SI ) A x0 m my am A 2 5m / s 2 g m将停在M上