用弹性力学理论分析合理拱轴线

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用弹性力学理论分析合理拱轴线

用弹性力学理论分析合理拱轴线

用弹性力学理论分析合理拱轴线胡文亚1,齐永正2(1. 中铁四局集团一公司,安徽合肥230041; 2. 合肥工业大学土木建筑工程学院,安徽合肥230009)摘要:本文从弹性力学的角度用极坐标应力函数法求解出了无铰圆拱在径向均布荷载作用下不考虑荷载引起的轴向变形情况的应力及内力弹性解,从而证明了结构力学中拱在径向均布荷载作用下,合理轴线为圆弧,轴力为常数的结论是合理的;文章最后讨论了超静定圆拱在径向均布荷载下考虑轴向变形的弹性计算方法。

关键词:应力函数法;圆拱;径向均布荷载;轴向变形;弹性解;合理拱轴线Analysis of appropriate axis of arches usingMechanical Theory of ElasticityHU Wen-ya1,QI Yong-zheng2(1. The 1st engineering Co., Ltd of China Tisiju Civil Engineering Group, Hefei 230041, China; 2. School of CivilEngineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)Abstract:In the paper, accurate stress and internal force elastic solutions of fixed-supported circular arch carrying a radial-uniform-load are obtained without considering axial deformation effects by stress functional method under the point of view on mechanics of elasticity, which prove that the results in the mechanics of structure that appropriate axis of arches carrying a radial-uniform-load is arc, and axial forces is constant, are accurate and efficient. Finally elastic calculation method of statically indeterminate arches carrying a radial-uniform-load are discussed when axial deformation effects are taken into account.Key words: stress functional method; circular arch; radial-uniform-load; axial deformation; elastic solutions; appropriate axis of arches0 引言结构力学教材[1]及大量文章[5~6]用结构力学的方法推导了拱在各种荷载作用下的合理轴线的曲线方程。

合理拱轴线的概念

合理拱轴线的概念

合理拱轴线的概念嗨,朋友们!今天咱们来聊聊一个超级有趣的概念——合理拱轴线。

你可能一听这名字就觉得有点懵,啥是合理拱轴线呢?别着急,听我慢慢道来。

想象一下,你看到一座美丽的拱桥横跨在河面上。

那拱桥的形状可不是随随便便设计的。

就好像我们人穿衣服,得合身才好看,拱桥也得有一个合适的“身材曲线”,这个曲线就是拱轴线。

我有个朋友是搞建筑的,有一次我问他:“这拱轴线到底是啥呀?”他就笑着跟我说:“你看啊,假如拱是一个受力的结构,就像一个大力士在扛东西。

如果这个拱轴线不合理,那就好比这个大力士没找对姿势,很容易就累垮了。

”我当时就似懂非懂地点点头。

其实啊,合理拱轴线就是在特定荷载作用下,拱内的弯矩处处为零的拱轴线。

这是什么意思呢?咱们打个比方。

你把一根直直的筷子放在桌子上,在中间放个小物件,筷子可能就弯了,这是因为有弯矩。

但是对于拱桥来说,如果拱轴线合理,就好像这根筷子有一种神奇的力量,在承受荷载的时候,它内部不会产生让自己弯曲得很奇怪的那种力。

我曾经去参观过一个古老的拱桥修复工程。

那里的老师傅跟我讲了好多关于拱轴线的事儿。

他说在以前啊,工匠们没有那么多先进的计算方法,全靠经验来确定拱轴线。

那时候的工匠就像一群智慧的魔法师,他们凭借着对力学的朴素理解和无数次的试验,找到大致合适的拱轴线。

老师傅感叹道:“现在可不一样喽,有各种软件可以精确计算。

”我就好奇地问:“那这计算复杂吗?”老师傅说:“那可不简单呢,要考虑各种各样的荷载,就像要考虑不同的人从不同方向推这个拱一样。

”从力学的角度来说,拱主要承受轴向压力。

合理拱轴线就是要让这个压力沿着拱的轴线均匀分布。

这就好比一群蚂蚁在搬运食物,如果它们排的队伍乱七八糟的,那搬运起来就很费劲。

但是如果它们排得整整齐齐,沿着一条最合理的线路走,那就轻松多了。

对于拱来说,合理拱轴线就是那条让压力“搬运”起来最轻松的线路。

我们再来看不同类型的拱。

比如三铰拱,在特定的荷载下,它的合理拱轴线是一条抛物线。

合理拱轴线的深入探讨

合理拱轴线的深入探讨

合理拱轴线的深入探讨(华中科技大学土木系,430074,湖北省武汉市)摘要:本文介绍了拱结构的特点以及合理拱轴线的概念,以三铰拱为例求解合理拱轴线的表示方程,做合理拱轴线的优化。

关键词:三铰拱,合理拱轴线,优化1 拱结构与合理拱轴线1.1 拱结构是一种弧形承重结构,其承重结构以拱圈为主。

在竖向荷载作用下,两拱脚处不仅产生竖向反力,还产生水平推力。

由于水平推力的作用,拱体的跨中弯矩大大减小,使拱截面主要承受轴向压力,应力分布比较均匀,所以拱结构对材料利用较充分。

1.2 拱结构是以受压为主的结构。

一般来说,拱构件的任意截面上都有三个内力,剪力,弯矩和轴力。

当压力曲线与拱轴线重合时,拱结构各截面将只产生轴力,没有弯矩和剪力。

此时各截面均处于受压状态,材料得以充分利用,称这样的拱轴线为合理拱轴线。

2以三铰拱为例确定合理拱轴线 2.1已知: 令: 有: 2.2 如图所示,用数解法求出该三铰拱的合理拱轴线与该三铰拱相应的简支梁上任一点K 的弯矩为三铰拱的水平推力为 021122k M qLx qx =-B 0k k k M M Hy =-00k k k M M Hy =-=0/k k y M H=三铰拱的合理拱轴线为3 合理拱轴线的优化3.1 一般的拱不能像三铰拱那样直接求出拱轴线方程,我们用有限元的方法来讨论,采用“5点重合法”选取合理拱轴线,但是往往拱轴线与压力线存在偏差,下面简单讨论优化的方法。

取拱结构离散后的基本单元e 进行分析如图i 端偏心距为对于单元e ,要尽量使拱轴线与压力线重合,即使i 端从移到(1) (2) 而j 端,按相邻单元e+1进行相似的坐标移动,则单元e 理论上将只有轴力而没有弯矩,为使拱跨度不变,一般只调整(2)式。

经过按式(3)逐点调整后,各单元的长度,自重,外荷载大小及自重都有所变动,所以调整后的拱轴线在新的外荷载场作用下,将不一定是合理拱轴,但各点偏心距减小,更靠近合理拱轴。

合理拱轴线的确定

合理拱轴线的确定

拱轴线确定的经济性问题
总结词
详细描述
经济性是拱轴线确定中不可忽视的问题之一, 它涉及到项目的成本和经济效益。
在拱轴线确定过程中,需要考虑经济性因素。 不同的拱轴线设计方案可能会导致不同的成 本和经济效益。因此,需要在满足结构性能 要求的前提下,选择经济合理的拱轴线设计 方案,降低项目的成本和提高经济效益。同 时,需要考虑后期维护和检修的成本,以确 保整个项目的经济性。
水利工程中的拱轴线确定
01
02
03
在水利工程中,拱轴线的确定需 要考虑水压力、地质条件、施工 条件等因素。
常用的拱轴线形式有圆弧线、二 次抛物线和三次抛物线等,选择 合适的拱轴线形式可以减小水压 力对结构的影响,提高结构的稳 定性。
在实际工程中,需要根据具体情 况进行拱轴线的调整和优化,以 确保水利工程的安全性和经济性。
拱轴线的分类
抛物线形拱轴线
抛物线形拱轴线是一种常见的拱轴线形式,其形状类似于抛物线。这种形式的拱轴线在承受均布荷载时具有最优的内 力分布。
圆弧形拱轴线
圆弧形拱轴线也是一种常见的拱轴线形式,其形状类似于圆弧。这种形式的拱轴线在承受集中荷载时具有较好的内力 分布性能。
其他形式的拱轴线
除了抛物线形和圆弧形之外,还有多种其他形式的拱轴线,如二次曲线形、椭圆弧形等。这些形式的拱 轴线可以根据实际工程需要进行选择和设计。
基于实验的方法
模型实验法
制作拱轴线的模型,通过实验观察其受力性能和变形情况,从而确定合理的拱轴线形状和参数。
实桥观测法
通过对实际桥梁的拱轴线进行长期观测,分析其受力性能和变形规律,从而确定合理的拱轴线形状和 参数。
基于数值模拟的方法
有限元法
利用有限元分析软件,建立拱轴线的 数值模型,通过模拟分析其受力性能 和变形情况,从而确定合理的拱轴线 形状和参数。

拱桥拱轴线设计超详细图文解析

拱桥拱轴线设计超详细图文解析

了解拱桥拱桥-以拱为承重结构的桥梁反力-在竖向荷载作用下,拱的两端支承处除有竖向反力外,还有水平推力受力性能-拱主要承受压力,而弯矩、剪力较小建造材料-圬工拱桥、钢筋混凝土拱桥,钢管混凝土拱桥和钢拱桥施工方法-拱架施工法,缆索吊装施工、无支架施工、转体施工以及劲性骨架施工等技术。

拱桥特点:拱桥与梁桥外形不同,拱桥在竖向荷载作用下在支承处除了竖向力外,还有水平力的产生,使得拱内的弯矩大大减小。

拱肋中主要是受压的轴力。

拱肋截面受压,可以充分发挥全截面材料的性能,从而能较大地高跨越能力。

相对于梁式和索式结构,拱桥的变形较小,行车条件好。

水平推力的存在使得拱桥对基础条件的要求较高。

实腹拱桥组成空腹拱桥组成拱桥分类拱桥的设计计算流程拱桥的总体布置总体布置-确定桥梁长度、分跨、桥面标高、主拱矢跨比和墩台尺寸等。

桥面高程-由线路设计与总体布置及设计综合研究决定。

拱顶底面高程-满足拱顶最小填料厚度和主拱拱顶截面高度的要求。

起拱线高程-根据拱顶底面标高和桥下净空要求(通航泄洪等)拟定。

基础底面高程-根据地基情况决定。

矢跨比的确定矢跨比:矢高与跨度的比值。

拱桥的最重要设计控制参数。

满足泄洪和通航要求,还应从经济、结构受力、施工等方面综合分析比较确定。

拱的水平推力同矢跨比成反比。

连拱体系中的分跨等跨分孔和不等跨分孔。

不平衡水平推力的处理:拱肋的横向布置拱轴线的选择拱轴线选择-形状直接影响主拱截面内力的分布与大小,选择拱轴线的原则,也就是尽可能降低由于荷载产生的弯矩值。

理想拱轴线-仅承受压力,无弯矩和剪力作用。

合理拱轴线-荷载压力线尽量接近理想拱轴线。

“五点重合法”-采用悬链线时,设计拱轴线与恒载压力线在拱顶、1/4跨和拱脚5处重合。

混凝土拱圈断面的设计选择混凝土拱圈板拱的截面及尺寸板拱是指主拱(圈)采用整体实心矩形截面的拱。

按照主拱所采用的材料,可分为石板拱、混凝土板拱和钢筋混凝土板拱等。

A.宽度考虑板拱宽度即为拱圈的宽度;板宽略小于桥面宽度(便于排水);考虑人行道外挑等因素来减小板宽设置。

《合理拱轴线的确定》课件

《合理拱轴线的确定》课件

04
实际工程中的应用
赵州桥的拱轴线设计
赵州桥是中国古代著名的石拱桥,其拱轴线设计采用了圆弧形,这种设计能够有 效地分散车辆和行人载荷,提高桥梁的承载能力。
赵州桥的拱轴线设计还考虑了河流的流向和地质条件,以确保桥梁的稳定性和安 全性。
法国的Millau Viaduct的拱轴线设计
Millau Viaduct是一座位于法国的现代拱桥,其拱轴线设计 采用了抛物线形,这种设计能够最大化主拱的承载能力,同 时减小拱脚的水平推力。
抛物线
总结词
抛物线拱轴线具有向上开口的曲线形状,适合承受轴向推力,常用于大跨度拱 桥。
详细描述
抛物线拱轴线在承受轴向推力时表现出良好的稳定性,能够有效地将竖向荷载 转化为水平推力。此外,抛物线的曲率变化均匀,有利于减小拱顶和拱脚处的 应力集中。
悬链线
总结词
悬链线拱轴线形状类似于悬挂在两端的链条,适合承受拉力 和压力。
03
合理拱轴线的确定方法
弹性中心法
总结词
弹性中心法是一种基于弹性理论的确定拱轴线的方法,通过计算拱的弹性中心位置,结合拱的几何特性和荷载条 件,推导出合理的拱轴线形状。
详细描述
弹性中心法的基本思路是,将拱视为弹性体,通过分析其在不同荷载下的应力分布,确定拱的弹性中心位置。然 后,根据拱的几何特性和荷载条件,推导出与弹性中心位置相适应的拱轴线形状。该方法考虑了拱的变形和受力 特性,能够得到较为精确的拱轴线形状。
法能够考虑结构的非线性特性,得到更为精确的结果。
拱轴系数法
总结词
拱轴系数法是一种基于经验的方法,通过引入拱轴系数来简化拱的受力分析,从而确定合理的拱轴线 形状。
详细描述
拱轴系数法的基本思路是,根据经验数据和工程实践,引入一个与拱跨度、高度和荷载等相关的系数 ,用于简化拱的受力分析。通过调整该系数的大小,可以方便地确定合理的拱轴线形状。该方法简单 易行,但精度相对较低,适用于工程实践中的快速设计和初步分析。

合理拱轴线的确定

合理拱轴线的确定

A下 o上 o下 A上

A下 o上 , A上 o下
合理拱轴线的工程应用
合理拱轴线的工程应用—拱坝
合理的拱圈形式应当是压力线接近拱轴线,使拱 截面的压应力分布趋于均匀,从工程力学可知,当 单独一个拱圈在上游面承受匀布水压力时,其最合 理的形态为圆弧拱。但是对于拱坝来说,由于其结 构性能具有水平拱和垂直梁的作用,拱梁的系统共 同承担外荷载,且水平拱所分担的水压力部分往往 是非匀布的,通常是从拱冠向拱端逐渐减少的。因 此最经济合理的拱圈形大辩论就不一定是圆弧拱, 实际采用时需综合考虑经济、设计及施工等因素。
合理拱轴线的工程应用
合理拱轴线的工程应用—拱坝
自重
1
水压力
5 拱坝所受 的荷载
泥沙压力 4
3
对薄拱坝 而言,自重 的影响很小, 几乎可忽略不 2 温度 计,对中等厚 度拱坝和重力 拱坝来说,应 考虑自重的作 地震力 用。
合理拱轴线的工程应用
合理拱轴线的工程应用—拱坝 在均布径向荷载作用下 水平面上的应力分布的 一般规律是 :
合理拱轴线的工程应用
合理拱轴线的工程应用—拱坝
德基水库双曲线的薄型拱坝
荣华大坝
合理拱轴线的工程应用
合理拱轴线的工程应用—拱坝
二滩水电站: 抛物线双曲拱坝 双曲拱坝
合理拱轴线的工程应用
合理拱轴线的工程应用—拱坝
拱 坝 的 工 作 特 点
拱与梁的共同作用 稳定性主要依靠两岸拱端的反力作用,因而对地 基的要求很高 拱是一种推力结构,承受轴向压力 拱梁所承受的荷载可相互调整, 因此可以承受超载 抗震性能好,不设永久性伸缩缝 几何形状复杂,施工难度大
均匀荷载下,二次抛 物线是拱的合理拱轴 线。适合于恒载分布 比较接近均匀的拱桥 。

03-讲义:4.3 三铰拱的合理拱轴线和压力线

03-讲义:4.3 三铰拱的合理拱轴线和压力线

第三节 三铰拱的合理轴线拱在荷载作用下,各截面上一般将产生三个内力,即弯矩、剪力和轴力。

其中,弯矩和剪力值较小,轴力较大,受力趋于合理。

若针对某种荷载作用下调整拱轴线的形状,使拱截面上弯矩为零(剪力也为零),则截面仅受轴力作用,拱处于均匀受压的状态。

从理论上来说,设计成这样的拱是最经济的。

将某种荷载作用下拱所有截面上弯矩为零时的拱轴线,称为合理拱轴线。

合理拱轴随荷载的变化而改变,荷载一定时,从理论上可求出其对应的合理拱轴线。

比如,对承受竖向荷载作用的三铰平拱,拱上任一x 截面处弯矩()M x 可表示为:0()()H M x M x F y =-当拱轴为合理拱轴时,根据合理拱轴的定义,有:0)()(0=-=y F x M x M H由此得:HF x M y )(0= (4-13) 式(4-13)即为竖向荷载作用下三铰平拱合理拱轴表达式。

由此可知,在竖向荷载作用下三铰平拱合理轴线的纵坐标y 与相应简支梁弯矩图的竖标0M 成比例。

当拱上所受荷载已知时,只需将相应简支梁的弯矩方程0()M x 除以推力H F 值,便可得到合理拱轴。

但应注意,合理拱轴线只是针对某一确定的固定荷载而言,当荷载布置改变时,合理拱轴形式亦会相应地改变。

下面讨论几种常见荷载作用下的合理拱轴线。

【例4-2】确定图4-9(a)所示三铰平拱在满跨竖向均布荷载q 作用下的合理轴线,已知拱跨度为l 。

图4-9 例4-2图(a )三铰平拱承受满跨均布荷载作用 (b )相应简支梁【解】建立如图4-9(a)所示的坐标系,与拱相应的简支梁如图4-9(b)所示。

求得支座反力如下:02AV AV ql F F ==,02BV BV ql F F == 028C AH BH H M ql F F F f f==== 相应简支梁中任一x 截面的弯矩方程为:2()22ql qx M x x =-根据式(4-13),可得到拱的合理轴线方程为:0()HM x y F ==222422()8ql qx x f x l x ql l f-=- 由此可见,在竖向满跨均布荷载作用下,三铰平拱的合理轴线为二次抛物线。

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用弹性力学理论分析合理拱轴线胡文亚1,齐永正2(1. 中铁四局集团一公司,安徽合肥230041; 2. 合肥工业大学土木建筑工程学院,安徽合肥230009)摘要:本文从弹性力学的角度用极坐标应力函数法求解出了无铰圆拱在径向均布荷载作用下不考虑荷载引起的轴向变形情况的应力及内力弹性解,从而证明了结构力学中拱在径向均布荷载作用下,合理轴线为圆弧,轴力为常数的结论是合理的;文章最后讨论了超静定圆拱在径向均布荷载下考虑轴向变形的弹性计算方法。

关键词:应力函数法;圆拱;径向均布荷载;轴向变形;弹性解;合理拱轴线Analysis of appropriate axis of arches usingMechanical Theory of ElasticityHU Wen-ya1,QI Yong-zheng2(1. The 1st engineering Co., Ltd of China Tisiju Civil Engineering Group, Hefei 230041, China; 2. School of CivilEngineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)Abstract:In the paper, accurate stress and internal force elastic solutions of fixed-supported circular arch carrying a radial-uniform-load are obtained without considering axial deformation effects by stress functional method under the point of view on mechanics of elasticity, which prove that the results in the mechanics of structure that appropriate axis of arches carrying a radial-uniform-load is arc, and axial forces is constant, are accurate and efficient. Finally elastic calculation method of statically indeterminate arches carrying a radial-uniform-load are discussed when axial deformation effects are taken into account.Key words: stress functional method; circular arch; radial-uniform-load; axial deformation; elastic solutions; appropriate axis of arches0 引言结构力学教材[1]及大量文章[5~6]用结构力学的方法推导了拱在各种荷载作用下的合理轴线的曲线方程。

本文仅以求解等截面圆拱受径向均布荷载产生的弹性应力解为例证明结构力学结论的正确性。

设以拱的任一截面左边(或右边)所有外力的合力(包括数量、方向和作用点)作出合力多边形,这个合力多边形称为拱的压力线。

当拱的压力线与拱的轴线重合时,各截面的弯矩为零,拱处于无弯矩状态,这时各截面只受轴力作用,材料的使用最经济。

在固定荷载下,使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理拱轴线。

结构力学中推导了拱在均匀水压力作用下的合理轴线(即无弯矩状态)为圆弧,此时拱只受常值轴力的作用,本文从结构力学的结论出发,用弹性力学中的应力函数法求解径向均布荷载作用下圆拱的弹性解,从而验证了结构力学结论的正确性。

作者简介:胡文亚(1974—),男,安徽安庆人,中铁四局集团一公司,工程师1 结构力学的推导过程为了将问题分析得更透彻,先将结构力学的推导过程(文献[5]有相似推导)简介如下: 如图1所示,从曲杆中取微段为隔离体。

设微段杆轴的曲率半径为R ,两端截面的夹角为ϕd ,微段轴线长度为ϕRd ds =。

用s 和r 分别表示杆轴的切线和法线方向。

沿s 和r 方向的荷载集度分别为s q 和r q 。

由0=∑s ,得02sin 2sin )(2cos 2cos)(=+-+-=+ds q d Q d dQ Q d N d dN N s ϕϕϕϕ (1) 因为ϕd 很小,令22sin ,12cos ϕϕϕd d d ==,忽略高阶微量,并由ϕRd ds =,可得 s q R Q ds dN -= (2) 同理,由∑=0R ,∑=0M ,得r q R N ds dQ --= ,Q dsdM = (3) 式(2)~(3)为曲杆内力的微分关系。

因为拱受均匀水压力q 作用,故切线荷载0=s q ,法向荷载=r q 常数q 。

因此,曲杆内力的微分关系式(2)~(3)可写成Q dsdM q R N ds dQ R Q ds dN =--==,, (4) 设拱处于无弯矩状态,即0=M ,将此式代入式(4),可得0=Q ,=N 常数,qN R -= (5) 由式(5)知各截面的轴力N 是一个常数,且荷载q 也是常数,因此各截面的曲率半径R 也应是一个常数。

也就是说,均匀水压力作用下拱的轴线应是圆弧曲线。

或者说,拱在均匀压力作用下,合理轴线为圆弧,而轴力为常数Rq N -=。

2 弹性力学应力函数法求解过程如图2所示,有一两端固定的圆拱,内半径为a 、外半径为b ,受径向均布荷载q 作用,下面求圆拱内的应力(体力不计)。

由于结构的的形状是圆弧形,本文采用极坐标应力函数法[2~3]求解,由应力函数在边界上的性质,知应力函数与ϕ无关[2] ,故取应力函数)(),(ρϕρU U =。

将应力函数代入极坐标形式的双调和方程[2~3]即0)11(2222224=∂∂∙+∂∂∙+∂∂=∇U U ϕρρρρρ (6) 式(6)展开后等号两边乘以4ρ有022********=+-+ρρρρρρρρd dU d U d d U d d U d (7) 式(7)是Euler (欧拉)方程,其通解为D C B A U +++=22ln ln )(ρρρρρ (8)式中A ,B ,C ,D 为积分常数,由边界条件确定。

则应力分量表达式为0)1(2)ln 21(/2)ln 21(/112222222=∂∂∙∂∂-=+++-=∂∂=+++=∂∂∙+∂∂∙=ϕρρτρρρσρρϕρρρσρϕϕρU C B A U C B A U U (9)由弹性力学物理方程及几何方程得位移分量为 )1(ln )1(2)31(/)1([--+-++-=ρρρρρB v B v A v uϕϕρcos sin /])1(2K I E C v ++-+ (10)ϕϕρρϕϕsin cos /4K I H E B u -++=式中H 、I 、K 为物体的刚体位移,当不考虑荷载引起的轴向变形且不计刚体的位移时,0,0=====K I H B u ϕ,应力分量表达式(9)及位移分量表达式(10)可简化如下0,2/,2/22=+-=+=ρϕϕρτρσρσC A C A (11)E C v A v u /])1(2/)1([ρρρ-++-= (12)由边界条件q b a -====ρρρρσσ)(,0)(得积分常数为)(2,2222222a b qb C a b q b a A --=-= (13) 将式(13)代入式(11)得圆拱的应力分量,即拉梅(Lam é)解为0),1(),1(2222222222=+--=--=ρϕϕρτρσρσa a b qb a a b qb (14) 将式(13)代入式(12)得圆拱的位移分量为0)],()[()(2222222=-++--=ϕρρρρu a v a a b E qb u (15) 因为a ≥ρ,所以ϕρσσ,均是压应力,在垂直轴线的截面上只作用有主应力,剪应力为零,其分布图如图3所示。

最大压应力发生在内周壁:)/(2222a b qb --=ϕσ ,主应力迹线为垂直于轴线的一组径向直线,应力等值线为平行于轴线的一组圆弧[4],如图4所示。

令壁厚a b h -=,则拱每延米宽的横断面面积为a b h -=,乘以式(14)即求得拱的内力为 )1()(222++-=-∙=ρσϕa a b qb a b N (16)由于垂直轴线的截面上无剪应力,所以该截面上剪力为零。

由轴向应力在截面上不是均匀分布,可知当拱壁较厚时,应考虑轴向应力在拱壁中产生的弯矩影响;当拱壁较薄时,可认为轴向应力沿拱横截面均匀分布。

即若拱的中轴线曲率半径R >>(b-a ),则R b a ≈≈≈ρ,代入式(16)得拱的内力为0,0,==-=M Q Rq N (17)由式(17)可以看出通过弹性力学的应力解所得出拱的内力与结构力学中推导的结果完全相同,由合理拱轴线的定义即可认为拱在径向均布荷载作用下,圆弧是拱的合理拱轴线,此时拱只受轴力Rq N -=的作用,负号表示压力。

从而验证了结构力学的结论。

3 结论及分析(1)本文中的求解是在假设两端固定的拱不考虑轴向变形下的解,由本文的推导过程可以看出仅由应力边界条件即可求得此状态下的全部积分常数。

当考虑轴向变形时积分常数B 将不再为零,此时仅由应力边界条件不能确定全部积分常数,尚需考虑到支座处的位移边界条件。

对于两铰拱和无铰拱,由于其位移约束条件不同,其解亦具有一定的差异。

由于求解过程非常复杂,本文从略。

(2)结构力学中推导在均匀水压力作用下三铰拱的合理轴线为圆弧。

本文用弹性力学应力函数法求解了超静定圆拱假设不考虑轴向变形的弹性解,表明在此荷载下的薄壁圆拱处于无弯矩状态,拱只受常值轴力作用。

结构力学中求解等截面圆弧形无铰拱在均匀水压作用下的内力中假设不考虑轴向变形时荷载引起的受力状态为无弯矩状态[1],因为拱的壁厚与拱的曲率半径相比是非常小的,所以这种假设是合理的。

结构力学中求解单纯由轴向变形引的受力状态——附加内力状态时,从所得结果可知拱内弯矩是沿拱轴线变化的,最大弯矩发生在拱顶和拱脚处。

但从弹性力学的应力解答来看,无论是否考虑轴向变形,拱在垂直轴线的截面上都只作用有主应力,剪应力为零,拱内弯矩沿拱轴线是不变的,且值很小。

当圆拱承受如图5所示的荷载时,由应力函数在边界上的性质可知些时的应力函数与ϕ有关,可设应力函数为ϕρ2cos )(f U =,进内力解答与结构力学中的解答是相符的。

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