平面向量复习ppt
(2) AB BC CA AB BC CA
5.已知ABC，AC 3, BC 4, AB 5 求： AB AC
2013-8-15
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解：∵
2 2 a 2e1 e2 2e1 e2
2
2 2 4e1 4e1 e 2 e 2
1.以原点O为起点的 OA a ,
j
y
A(x, y)
a
a x
O a xi y j 向量的正交分解 i
a ( x, y)
A( x1 , y1 )
y
2．已知 A( x1, y1 )，B( x2 , y2 ) 求 AB
B( x2 , y2 )
O x
AB ( x2 x1 , y2 y1 )ຫໍສະໝຸດ a b
2
2 2 2 2 a 2a b b a 2a b b
a b c a b c ； （1）结合律不成立： （2）消去律不成立 a b a c 不能得到 b c （3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0
[1] 加法：
ab c
b
c
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 （平行四边形法则） b c a | c || a | | b | b c a | c | | a | | b |
a
|| a | | b ||| a b || a | | b |
O是为中线AM上的一个动点 若AM , 2, 求OA (OB OC )的最小值.
[解析] OB OC 2OM
OA (OB OC ) 2OA OM 2 OA OM cos 180 2 OA OM
2013-8-15
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即 OA OM 2, OA OM ( OA OM 2 ) 1
平面向量(复习课)
上海市向东中学
2013-8-15
姜玉文
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一、向量的初步
1.定义：
既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示：
向量的几何表示 : 用有向线段表示 向量的符号表示 : AB 或 a
3.特殊向量： 零向量 : 单位向量 : ４.向量之间的关系：
a0
a |a|
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平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： a b b a ②对实数的结合律成立： a b a b a b R ③分配律成立： a b c a c b c c a b ④乘法公式成立： 2 2 a b a b a2 b 2 a b ；
已知点 P1、P2的坐标分别是（ x1，y1 ）、（ x2，y 2） P是直线 P1 P2上一点, 且 P1 P PP2，则点 P的坐标
x1 x2 x 1 ( 1) y1 y2 y 1
x1 x2 x 2 特殊的 1 y1 y2 y 2
OB CA,同理OC AB, OA BC ,
2013-8-15
故O是ABC的垂心.
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例10.已知 OA 2， 1 OB 3，m）， （ ）， （ OC （ 1，m 1 ）且A、B、C三点共线，求实数 m的值
2013-8-15
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[例11] ( 2005年江苏卷) 在ABC中,
平行向量（共线向量） 相反向量 : 相等向量： :
2013-8-15
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5.向量的加法：
b
( a b)
A
D
a
a
( a b)
OB OA AB O 6.向量的减法：
A
b OD OA OB
B
a
O 2013-8-15
( a b)
b
B
BA OA OB
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定比分点坐标公式
2013-8-15
中点坐标公式
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六、平面向量的基本定理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 , 量 a ，有且只有一对实数 1 , 2使
a 1 e1 2 e2
2013-8-15
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七.应用举例
1.a, b均不为零, 则 a b a b 是a // b的 ( ( A)充分不必要条件 ( B)必要不充分条件 (C )充要条件 ( D)既不充分又不必要条件 2.向量 a, b 满足 a 8, b 12则 a b 的最大值
a b x1x2 y1 y2
2013-8-15
三.向量的数量积 设向量 a ， 的夹角为 b
则
2013-8-15
a b | a || b | cos x1 x2 y1 y2 a , b成锐角的充要条件是 a b 0且a不平行于b a , b成钝角的充要条件是 a b 0且a不平行于b a , b 垂直的充要条件是 a b 0 x1 x2 y1 y2 0 a , b 平行的充要条件是 | a b || a || b | x1 y2 x2 y1 上页 下页 返回
7 3 3 7 AB ( , ) AB ( , ) 或 2 2 2 2
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2013-8-15
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3 4 a b ( , ) 例 14.已知 a b 1 ，且 5 5
求：① a 与 b 的夹角θ ；② a b
3 4 解： a b ( , ) a b 1 5 5 2 2 2 即（a b ） a 2a b b ＝ ＝ 1 1 a b ＝ 2 a b 1 cos [0 ,180 ] 120 2 ab
2
当且仅当OA OM 时取等号. OA (OB OC ) 2 即OA (OB OC )最小值为 2.
2013-8-15
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例 12、以原点 O 和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，∠B=90°，求点 B 和 AB 的坐标。
解：设点 B 的坐标为（x,y） ， 则 OB ( x, y ), AB ( x 5, y 2)
2013-8-15
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7、实数与向量 的积 定义：λa是一个
向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向
与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
2013-8-15
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二、向量的坐标表示
特别注意：
2013-8-15
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四、平面向量之间关系
(1)a / / b(b 0) a b; (2)a / / b(a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0)
向量垂直充要条件的两种形式:
2013-8-15
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向量的模（长度）
3. 设 a = ( x , y ), 则 a
x y
2
2
4. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB
2013-8-15
x1 x2 y1 y2
2
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2
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a在b方向上的投影 2 2 a | a | a b | a | cos |b| a , b 的夹角公式 a b x1 x2 y1 y2 cos 2 2 2 2 | a || b | x1 y1 x2 y2
2013-8-15
向量的坐标运算
设向量 则 a x1，y1）， x2，y2） （ b（ 说明：两个向量和 与差的坐标分别等 于这两个向量相应 坐标的和与差。
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a x1, （
说明：实数与向量的积的坐标 y1） 等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标。 说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。 上页 下页 返回
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8. 已知在ABC中, OA OB OB OC OC OA, 则O是ABC 的 _______ 心. [解] 由OA OB OB OC得： OB (OA OC ) 0, 即OB CA 0
a b 2 1 cos 2 7 7 ab
2013-8-15
∴θ=120°
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7、已知a 1 2）， 2，x） （， b （
(1)、若a b 、 的夹角是 ，求x的值 45
(2)、若a、 b的夹角是锐角，求 的取值范围 x
2013-8-15
2 2 2 a b a 2a b b 3
2013-8-15
a b 3
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15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
5.已知ABC，AC 3, BC 4, AB 5 求： AB AC
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解：∵
2 2 a 2e1 e2 2e1 e2
2
2 2 4e1 4e1 e 2 e 2
1.以原点O为起点的 OA a ,
j
y
A(x, y)
a
a x
O a xi y j 向量的正交分解 i
a ( x, y)
A( x1 , y1 )
y
2．已知 A( x1, y1 )，B( x2 , y2 ) 求 AB
B( x2 , y2 )
O x
AB ( x2 x1 , y2 y1 )ຫໍສະໝຸດ a b
2
2 2 2 2 a 2a b b a 2a b b
a b c a b c ； （1）结合律不成立： （2）消去律不成立 a b a c 不能得到 b c （3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0
[1] 加法：
ab c
b
c
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 （平行四边形法则） b c a | c || a | | b | b c a | c | | a | | b |
a
|| a | | b ||| a b || a | | b |
O是为中线AM上的一个动点 若AM , 2, 求OA (OB OC )的最小值.
[解析] OB OC 2OM
OA (OB OC ) 2OA OM 2 OA OM cos 180 2 OA OM
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即 OA OM 2, OA OM ( OA OM 2 ) 1
平面向量(复习课)
上海市向东中学
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姜玉文
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一、向量的初步
1.定义：
既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示：
向量的几何表示 : 用有向线段表示 向量的符号表示 : AB 或 a
3.特殊向量： 零向量 : 单位向量 : ４.向量之间的关系：
a0
a |a|
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平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： a b b a ②对实数的结合律成立： a b a b a b R ③分配律成立： a b c a c b c c a b ④乘法公式成立： 2 2 a b a b a2 b 2 a b ；
已知点 P1、P2的坐标分别是（ x1，y1 ）、（ x2，y 2） P是直线 P1 P2上一点, 且 P1 P PP2，则点 P的坐标
x1 x2 x 1 ( 1) y1 y2 y 1
x1 x2 x 2 特殊的 1 y1 y2 y 2
OB CA,同理OC AB, OA BC ,
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故O是ABC的垂心.
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例10.已知 OA 2， 1 OB 3，m）， （ ）， （ OC （ 1，m 1 ）且A、B、C三点共线，求实数 m的值
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[例11] ( 2005年江苏卷) 在ABC中,
平行向量（共线向量） 相反向量 : 相等向量： :
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5.向量的加法：
b
( a b)
A
D
a
a
( a b)
OB OA AB O 6.向量的减法：
A
b OD OA OB
B
a
O 2013-8-15
( a b)
b
B
BA OA OB
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定比分点坐标公式
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中点坐标公式
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六、平面向量的基本定理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 , 量 a ，有且只有一对实数 1 , 2使
a 1 e1 2 e2
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七.应用举例
1.a, b均不为零, 则 a b a b 是a // b的 ( ( A)充分不必要条件 ( B)必要不充分条件 (C )充要条件 ( D)既不充分又不必要条件 2.向量 a, b 满足 a 8, b 12则 a b 的最大值
a b x1x2 y1 y2
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三.向量的数量积 设向量 a ， 的夹角为 b
则
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a b | a || b | cos x1 x2 y1 y2 a , b成锐角的充要条件是 a b 0且a不平行于b a , b成钝角的充要条件是 a b 0且a不平行于b a , b 垂直的充要条件是 a b 0 x1 x2 y1 y2 0 a , b 平行的充要条件是 | a b || a || b | x1 y2 x2 y1 上页 下页 返回
7 3 3 7 AB ( , ) AB ( , ) 或 2 2 2 2
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3 4 a b ( , ) 例 14.已知 a b 1 ，且 5 5
求：① a 与 b 的夹角θ ；② a b
3 4 解： a b ( , ) a b 1 5 5 2 2 2 即（a b ） a 2a b b ＝ ＝ 1 1 a b ＝ 2 a b 1 cos [0 ,180 ] 120 2 ab
2
当且仅当OA OM 时取等号. OA (OB OC ) 2 即OA (OB OC )最小值为 2.
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例 12、以原点 O 和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，∠B=90°，求点 B 和 AB 的坐标。
解：设点 B 的坐标为（x,y） ， 则 OB ( x, y ), AB ( x 5, y 2)
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7、实数与向量 的积 定义：λa是一个
向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向
与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
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二、向量的坐标表示
特别注意：
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四、平面向量之间关系
(1)a / / b(b 0) a b; (2)a / / b(a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0)
向量垂直充要条件的两种形式:
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向量的模（长度）
3. 设 a = ( x , y ), 则 a
x y
2
2
4. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB
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x1 x2 y1 y2
2
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a在b方向上的投影 2 2 a | a | a b | a | cos |b| a , b 的夹角公式 a b x1 x2 y1 y2 cos 2 2 2 2 | a || b | x1 y1 x2 y2
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向量的坐标运算
设向量 则 a x1，y1）， x2，y2） （ b（ 说明：两个向量和 与差的坐标分别等 于这两个向量相应 坐标的和与差。
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a x1, （
说明：实数与向量的积的坐标 y1） 等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标。 说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。 上页 下页 返回
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8. 已知在ABC中, OA OB OB OC OC OA, 则O是ABC 的 _______ 心. [解] 由OA OB OB OC得： OB (OA OC ) 0, 即OB CA 0
a b 2 1 cos 2 7 7 ab
2013-8-15
∴θ=120°
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7、已知a 1 2）， 2，x） （， b （
(1)、若a b 、 的夹角是 ，求x的值 45
(2)、若a、 b的夹角是锐角，求 的取值范围 x
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2 2 2 a b a 2a b b 3
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a b 3
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15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
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第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量复习课课件
是指将两个向量相加得到一个新的向量。减法是加法的逆操 作。学习了解平面向量的加减法，将帮助我们更好地理解向量的运算法则。
平面向量的数量积和向量积
数量积（点积）和向量积（叉积）是平面向量的两种重要运算。数量积用来计算向量的夹角和向量之间 的投影，而向量积则得到两个向量构成的新向量。让我们研究它们的性质和应用。
平面向量复习课ppt课件
欢迎来到平面向量复习课ppt课件！本课程将介绍平面向量的定义、表示、运 算和应用，以及与向量相关的数学概念。让我们开始学习吧！
什么是平面向量
平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头或有向线段表示。它们在物理、工程和几何中具有广泛的 应用。让我们深入了解平面向量的定义和基本概念。
平面向量的线性相关和线性无关性质
向量的线性相关性描述了向量之间的依赖关系，线性无关性表示没有一组向量可以由其他向量线性表示。 了解这些性质将帮助我们分析向量的维度和空间关系。
平面向量的基底和坐标
基底是向量空间中的一组线性无关的向量，坐标表示一个向量在基底上的投 影。通过基底和坐标，我们可以更好地描述向量和进行向量运算。
平面向量的向量方程
向量方程将一组向量相加得到等于零的表达式，这可以用来解决线性方程组和求解几何问题。学习向量 方程将提供更灵活的分析和数学工具。
向量的模、单位向量和方向角
向量的模指向量的长度或大小，单位向量是模等于1的向量。方向角描述了向 量相对于某一方向的偏离程度。学习这些概念将帮助我们准确表示和操作向 量。
平面向量的投影和正交分解
向量的投影是指一个向量在另一个向量上的映射，正交分解将一个向量拆分为在另一个向量上的投影和 与之正交的部分。这些概念有助于我们理解向量的复杂性质。
平面向量的数量积和向量积
数量积（点积）和向量积（叉积）是平面向量的两种重要运算。数量积用来计算向量的夹角和向量之间 的投影，而向量积则得到两个向量构成的新向量。让我们研究它们的性质和应用。
平面向量复习课ppt课件
欢迎来到平面向量复习课ppt课件！本课程将介绍平面向量的定义、表示、运 算和应用，以及与向量相关的数学概念。让我们开始学习吧！
什么是平面向量
平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头或有向线段表示。它们在物理、工程和几何中具有广泛的 应用。让我们深入了解平面向量的定义和基本概念。
平面向量的线性相关和线性无关性质
向量的线性相关性描述了向量之间的依赖关系，线性无关性表示没有一组向量可以由其他向量线性表示。 了解这些性质将帮助我们分析向量的维度和空间关系。
平面向量的基底和坐标
基底是向量空间中的一组线性无关的向量，坐标表示一个向量在基底上的投 影。通过基底和坐标，我们可以更好地描述向量和进行向量运算。
平面向量的向量方程
向量方程将一组向量相加得到等于零的表达式，这可以用来解决线性方程组和求解几何问题。学习向量 方程将提供更灵活的分析和数学工具。
向量的模、单位向量和方向角
向量的模指向量的长度或大小，单位向量是模等于1的向量。方向角描述了向 量相对于某一方向的偏离程度。学习这些概念将帮助我们准确表示和操作向 量。
平面向量的投影和正交分解
向量的投影是指一个向量在另一个向量上的映射，正交分解将一个向量拆分为在另一个向量上的投影和 与之正交的部分。这些概念有助于我们理解向量的复杂性质。
高一数学平面向量知识点复习ppt公开课获奖课件
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
第8页
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
第14页
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
第12页
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
第6页
例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
第8页
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
第14页
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
第12页
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
第6页
例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
平面向量复习课件
平面向量复习基本知识点与经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.