函数的零点复习公开课
合集下载
2025届高中数学一轮复习课件《利用导数研究函数的零点》ppt
高考一轮总复习•数学
第14页
所以 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当 a ＞0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． (2)由(1)知 f′(x)＝ex－a. 当 a≤1 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增且 f′(x)＞0 恒成立，从而 f(x)单调递增． f(0)＝0，所以函数 f(x)在区间(0,1)上不存在零点． 当 a≥e 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减且 f′(x)＝ex－a＜0，从而 f(x)单调递减． f(0)＝0，所以函数 f(x)在区间(0,1)上不存在零点． 当 1＜a＜e 时，函数 f(x)在区间(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，
第23页
高考一轮总复习•数学
第24页
∴存在 m∈12，1，使得 f′(m)＝0，得 em＝m1 ，故 m＝－ln m，当 x∈(0，m)时，f′(x)<0， f(x)单调递减，
当 x∈(m，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f(m)＝em－ln m＋2sin α＝m1 ＋m＋2sin α＞2＋2sin α≥0， ∴函数 f(x)无零点．
高考一轮总复习•数学
第12页
又 hπ2＝π2＞0，hπ4＝
22·π4－
22·eπ4
＝
22π4－eπ4
＜0，
由零点存在定理及 h(x)的单调性，得 h(x)在π4，π2上存在一个零点．
综上，h(x)在－π2，0∪0，π2内的零点个数为 2，即 F(x)在－π2，0∪0，π2内的零点
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《利用导数研究函数的零点》课件
即x－y－3＝0.
(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点，求a的取值范围.
①当 a≤0 时，f′(x)＝ax－ 1x<0， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意； ②当 a>0 时，由 f(x)＝aln x－2 x＝0 可得2a＝lnxx， 令 g(x)＝lnxx，其中 x>0，则直线 y＝2a与曲线 y＝g(x)的图象在(0,16] 内有两个交点，
即 g(x)在π2，π上单调递减，又 gπ2＝1>0，g(π)＝－π<0， 则存在 m∈π2，π，使得 g(m)＝0， 且当 x∈π2，m时，g(x)>g(m)＝0， 即 f′(x)>0，则 f(x)在π2，m上单调递增， 当x∈(m，π]时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0， 则f(x)在(m，π]上单调递减，
由图可知，当 ln 2≤2a<2e，
即 e<a≤ln22时， 直线 y＝2a与曲线 y＝g(x)的图象在(0,16]内有 两个交点，
即f(x)在(0,16]上有两个零点， 因此，实数 a 的取值范围是e，ln22.
题型三 构造函数法研究函数的零点
例3 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值. (1)求a； [切入点：求f(x)，g(x)的最小值] (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝ f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从 左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
又 f π2＝π2－1>0，f(π)＝－1<0， 所以f(x)在(m，π]上有且只有一个零点， 综上，函数y＝f(x)在[0，π]上有2个零点.
思维升华
苏教版必修第一册8.1.1函数的零点课件
C D
【方法技能】解决函数零点问题的两种方法 （1）代数法： 若方程f（x）＝0可解，其实数解就是函数y＝f（x）的零点. （2）几何法： 若方程f（x）＝0难以直接求解，将其改写为g（x）- h（x）＝0，进一步改写为g（x）＝h（x），在 同一坐标系中分别作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，两图象交点的横坐标就是函数y＝f（x）的零 点，两图象交点的个数就是函数y＝f（x）零点的个数.
（k1<k2），则x1，x2的散布范围与系数之间的关系有以下几种情形：
根的散布
图象
条件
x1<x2<k
k<x1<x2
根的散布 x1<k<x2 x1，x2∈ （k1，k2）
图象
x1，x2有且 仅有一个在 （k1，k2）内
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a<0）的根的散布情况可类似得到.
条件 f（k）<0
【解题通法】根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数的取值 范围. （2）分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化为求函数值域的问题加以解决. （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合 思想求解.
三、判断零点所在区间
例 3 方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（A ）
A.（2，3）
B.（3，4）
C.（0，1）
D.（4，5）
【分析】构造函数f （x）＝2x+ln x-6，然后利用零点存在定理可判断出方程6-2x＝ ln x的根所在的区 间. 【解析】由6-2x＝ln x，得2x+ln x-6＝0，构造函数f（x）＝2x+ln x-6. ∵ f（2）＝ln 2-2<0，f（3）＝ln 3>0，∴ f（2）f（3）<0， ∴ 由零点存在定理可知，函数f（x）在区间（2，3）上至少有一个零点. 又∵ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ f（x）在区间（2，3）上至多有一个零点， 【∴方函法数技f能（】x）判断在函区数间零（点2所，在3区）间上的有方唯法一和零步骤点.即方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.
高三数学一轮复习专题-函数的零点课件
1 ln x ln2 x
由g(x) 0
当x 0 时，g(x) 0 当x 1 时，g(x) 当x 1 时，g(x) 当x 时，g(x) 作出直线y a 与曲线y g(x)
当 e a 0 时，函数没有零点
得 xe
当a 0 或a e 时，函数只有 1 个零点 当a e 时，函数有 2 个零点
解：题意等价为不等式
h(x) 在(0, ) 上递增
a x ln x x 2 x 0 恒成立 x 1
令g(x) x ln x x 2 x 1
又 h(0.5) 0 h(1) 0 x0 (0.5,1) 使得h(x0) 0
即 x0 ln x0 0
y g(x)
则g(x)
x
2 ln (x 1)2
B.(0, 1) e
C.(e, )
D.(1 , ) e
解：由f (x) 0 变形得2ax ln 2 ln x
kx 1 ln k ln x
如图由直线y 2ax ln 2 与 曲线y ln x有两个交点
得 0 2a 2 e
由ekk22a
解之得2a 2 e
得 2x ln 2 ln x e
ya
x 1
1 1 ln x
h(x) h(1) 0 即g(x) 0
则g(x)
x (x 1)2
(x 0, x 1)
lim g(x) 1
x1
g(x) 在(0,1) (1, ) 递减
令h(x) 1 1 ln x (x 0) x
作出直线y a 和曲线y g(x)
如图知 选BC
例5.已知函数f (x) ln x ax2 (2 a)x 1 满足x 0 ，f (x) 0 恒成立，
解：方程 f (x) 0 变为
函数的零点高三一轮复习公开课
函数的零点 高三一轮专项复习
请完成下表，并思考二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0) 的图象与x轴的交点和零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c (a>0)的 图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) 零点 (x1,0) 无交点 无
x1 , x2
x1
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也 就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
A．(－1,0) C．(1,2) B．(0,1) D．(2,3)
c)
链接高考
例2
问题二：判断函数零点的个数
x2＋2x－3，x≤0 函数 f(x)＝ －2＋ln x，x＞0 B．1
的零点个数为( )
A．0
C．2
D．3
1、(2012·北京高考)函数 f(x)＝x
A．0 C．2
1 2
1 x － 的零点的个数为( 2
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝
f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断
的一条曲线？是否一定满足f(a)·f(b)＜0？
【提示】 不一定．如图所示，函数都有零点，但不连续
或不满足f(a)·f(b)＜0.
链接高考
问题一：确定函数零点所在的区间
例1、设f(x)＝ex＋x－4，Hale Waihona Puke 函数f(x)的零点位于区间(B
)
B．1 D．3
链接高考
问题三：函数零点的综合应用
• 例3 若函数f(x)＝ 2x-a x≤0 • ln x x＞0 • 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ________.
请完成下表，并思考二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0) 的图象与x轴的交点和零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c (a>0)的 图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) 零点 (x1,0) 无交点 无
x1 , x2
x1
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也 就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
A．(－1,0) C．(1,2) B．(0,1) D．(2,3)
c)
链接高考
例2
问题二：判断函数零点的个数
x2＋2x－3，x≤0 函数 f(x)＝ －2＋ln x，x＞0 B．1
的零点个数为( )
A．0
C．2
D．3
1、(2012·北京高考)函数 f(x)＝x
A．0 C．2
1 2
1 x － 的零点的个数为( 2
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝
f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断
的一条曲线？是否一定满足f(a)·f(b)＜0？
【提示】 不一定．如图所示，函数都有零点，但不连续
或不满足f(a)·f(b)＜0.
链接高考
问题一：确定函数零点所在的区间
例1、设f(x)＝ex＋x－4，Hale Waihona Puke 函数f(x)的零点位于区间(B
)
B．1 D．3
链接高考
问题三：函数零点的综合应用
• 例3 若函数f(x)＝ 2x-a x≤0 • ln x x＞0 • 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ________.
函数的零点问题课件高三数学二轮复习
12
所以函数h(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0， 当0<x<1时，h(x)>0，则g′(x)>0， 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，h(x)<0，则g′(x)<0， 所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)极大值＝g(1)＝1， 当x→＋∞时，g(x)→0，且g(x)>0， 当x→0时，g(x)→－∞， 由题意可知，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，如图所示. 由图可知，0<a<1，故实数a的取值范围是0<a<1.
12
当－a＝2，即a＝－2时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点，即函数 h(x)有一个零点； 当－a>2，即a<－2时，函数h(x)有两个零点， 理由如下： 因为h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1＋e－x＋1－a(x2－2x)， 所以h(1)＝2＋a<0，h(2)＝e＋e－1>0， 由函数零点存在定理，知h(x)在(1,2)内有零点. 又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
12
(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数.
12
由h(x)＝0，得f(x)＝g(x)， 因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数， 因为g(x)＝a(x2－2x)(a<0)，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单 调递减区间是(1，＋∞)， 所以当x＝1时，g(x)取最大值g(1)＝－a， 由(1)可知，当x＝1时，f(x)取最小值f(1)＝2， 当－a<2，即－2<a<0时，函数f(x)与g(x)的图象没有交点，即函数h(x) 没有零点；
所以函数h(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0， 当0<x<1时，h(x)>0，则g′(x)>0， 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，h(x)<0，则g′(x)<0， 所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)极大值＝g(1)＝1， 当x→＋∞时，g(x)→0，且g(x)>0， 当x→0时，g(x)→－∞， 由题意可知，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，如图所示. 由图可知，0<a<1，故实数a的取值范围是0<a<1.
12
当－a＝2，即a＝－2时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点，即函数 h(x)有一个零点； 当－a>2，即a<－2时，函数h(x)有两个零点， 理由如下： 因为h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1＋e－x＋1－a(x2－2x)， 所以h(1)＝2＋a<0，h(2)＝e＋e－1>0， 由函数零点存在定理，知h(x)在(1,2)内有零点. 又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
12
(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数.
12
由h(x)＝0，得f(x)＝g(x)， 因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数， 因为g(x)＝a(x2－2x)(a<0)，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单 调递减区间是(1，＋∞)， 所以当x＝1时，g(x)取最大值g(1)＝－a， 由(1)可知，当x＝1时，f(x)取最小值f(1)＝2， 当－a<2，即－2<a<0时，函数f(x)与g(x)的图象没有交点，即函数h(x) 没有零点；
函数的零点--公开课PPT课件
思考：
y
如果x0是二次函数y＝f(x) 的零点，且m<x0<n,那么 f(m)f(n)<0一定成立吗？ -1
1
o 2 3x
函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点， f(a)·f(b)<0吗？
从课本76页“思考”出发，研究课题： 函数的零点与一元二次方程的实根的分布.
1．画出函数y=x2-x-2的图象，并指出函数 y=x2-x-2的零点。 2．证明：（1）函数y=x2+6x+4有两个不 同的零点；
方程f(x) =0的实数根 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
函数的零点不是点
例1．已知函数y=x2-2x-1.
（1）求证：该函数有两个不同的零点; （2）它在区间（(-21,, 13)）上存在零点吗?
y
-1 o 2 3
x
若f(2)·f(3)<0，则二次函数y＝f(x)在区间 (2，3)上存在零点.
若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x) 在区间(a，b)上有零点.
y y
a
a
ob x
o
bx
零点存在性的一种判定方法
y
y
a
o
bx
ao
x
b
一般地，若函数y＝f(x)在区间 [a，b]上的图象是一条不间断的曲线， 且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间 (a，b)上有零点.
例2.求证：函数f(x)=x3+x2+1在区间 （-2，-1）上存在零点. 证明：因为f(-2)=-3＜0，
（2）函数f(x)=x3+3x-1在区间（0，1）上 有零点。
一般地，我们把使函数y＝ f(x) 的值为0 的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
函数的零点 优质课件
然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实
数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，
即mf(0) <0，即m<0.故选B.
• [答案] B
• 分类讨论思想、函数与方程思想是高考着重 考查的两种数学思想，它们在本题的求解过 程中体现得淋漓尽致，还要注意函数的零点 有变号零点和不变号零点，如本题中的x＝1
似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．
• 能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？
• 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0， f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
• 1. f(x)＝0
• 想一想：提示：由于三者之间有等价关系， 因此，在研究函数零点、方程的根及图象交 点问题中，当从正面研究较难入手时，可以 转化为其等价的另一易入手的问题处理，如 研究含有绝对值、分式、指数、对数等较复 杂的方程问题，常转化为两熟悉函数图象的 交点问题研究．
函数与方程
• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
• 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数．
• 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
• 1个熟记口诀
• 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中 点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异 号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
• 3. 图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画 两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
课前自主导学
• 1. 函数的零点 • (1)函数零点的定义 • 对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． • (2)几个等价关系 • 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：利用导数研究函数的零点课件北师大版
解 (1)f'(x)=(x+1)ex-acos x,
①若a≤0,当x∈[0,π]时,-a≥0,sin x≥0,f(x)=xex+(-a)sin x≥0,
当且仅当x=0时取等号,可见,a≤0符合题意.
②若 0<a≤1,当 x∈
当 x∈
π
,π
2
π
0, 2
时,f'(x)≥(x+1)e0-acos x≥1-a≥0;
(2)证明:函数g(x)=ln x-f(x)在(0,π)有且只有两个零点.
(1)解 由 f(x)=x-2sin x 得 f'(x)=1-2cos x,x∈(0,π),
令 f'(x)=0,得
当
π
x=3 .
π
0<x< 时,f'(x)<0,此时函数
3
π
当 3 <x<π
f(x)单调递减,
时,f'(x)>0,此时函数 f(x)单调递增,
则 g(x0)>g
π
3
>0,
x0
0
极大值g(x0)
(x0,π)
单调递减
又g
π
6
π
=ln 6
−
π
+1,
6
令 h(x)=ln x-x+1,其中 0<x<1,
则
1
1-
h'(x)= -1= >0,
所以函数 h(x)在(0,1)上单调递增,
则 h(x)<h(1)=0,所以 h
π
6
π
=ln 6
−
π
+1<0,
“利用导数探究函数的零点问题专题讲座”教案讲义
a＞0 (f(x1)为极大值， f(x2)为极小值)
a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值)
一个 两个 三个 一个 两个 三个
f(x1)＜0或f(x2)＞0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＞0且f(x2)＜0 f(x2)＜0或f(x1)＞0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＜0且f(x2)＞0
【巩固练习 3】已知函数 f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线 y＝f(x)在点(0，
2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为－2. (1)求 a；
巩固练习3
(2)证明：当 k＜1 时，曲线 y＝f(x)与直线 y＝kx－2 只有一个交点.
(1)解 f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线 y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为 y＝ax＋2.
(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值
范围.
解 (1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.
令
f′(x)＝0，得
x＝－
22或
x＝
2 2.
因为 f(－2)＝－10，f
－
22＝
2，f
22＝－
2，f(1)＝－1，
所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值为 f
极小值为 h(3) m 6ln 3 15.
几何画板演示
因此， h(x) 的极大值为 h(1) m 7 ， 极小值为 h(3) m 6ln 3 15.
又当 x 0 时， h(x) ；当 x 时， h(x) .
因此， h(x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，
等价于
h( h(
解得 a 1 ，此时， f (x) x3 3x 1 直线 y m与 y f (x) 的图象有三个不同的交点， 等价于函数 g(x) f (x) m 有三个不同的零点.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的零点 高三之一轮专项复习
山东卷 2011年16题 2013年21题 2014年8、20题
2014年全国各地高考卷 2014全国（1）11题 2014四川21题 2014北京18题 2014海南8题 2014辽宁21题 2014江苏13题 2014天津20题
学习目标:
1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根 的存在性及根的个数，从而理解函数的零 点与方程的根的联系;
y
1
-2
-1
o
1
2
3
4x
-1
这堂课我的收获是……
1、我们学到了哪些知识？ 2、我们用到了哪些数学思想？
A 的零点个数是( )
A．4 C．2
B．3 D．1
链接高考
问题三：函数零点的综合应用
(2011·辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ex－x＋ a有零点， 则a的取值范围是________
➢能力拓展提高
1.(2012·湖北高考)函数 f(x)＝xcos x2 在区间[0,4]
上的零点个数为 ( C )
B 在的区间是( )
A．(0,1) C．(2,3)
B．(1,2) D．(3,4)
链接高考
问题二：判断函数零点的个数
B 1、(2012·北京高考)函数
f(x)＝x
1 2
－12x
的零点的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
2、已知函数 f(x)＝xl＋og12x，，xx≤>00，， 则函数 y＝f(f(x))＋1
练习：
y
y
ao
b xa o
C
╳ ╳
√ ╳
y
a ob
x
bx
注意:
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
（1）f (a)·f (b)<0
函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点；
（2）函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点
f (a)·f (b)<0。
（3）函数y=f (x)在单调区间(a,b)内有零点
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：令 xcos x2＝0，
则 x＝0，或 x2＝kπ＋π2， 又 x∈[0,4]，因此 xk＝
kπ＋π2
k＝0,1,2,3,4，共有 6 个零点．
➢能力拓展提高
2.已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1),且f(x)是偶函数,当
x∈[0,1]时,f(x)＝x,若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－ kx－k有4个零点,则实数k的取值范围_0_， __14_．
f(a)·f (b)<0
y
y
y
a
o bx
ao
b xa o
bx
பைடு நூலகம்接高考
c 问题一：确定函数零点所在的区间
1、设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(
)
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
2、设函数 y＝x3 与 y＝12x－2 的图象交点为(x0，y0)，则 x0 所
2、会求函数的零点； 3、理解并掌握函数在某个区间上存在零点的判
定方法。 4、结合近几年高考卷出现有关函数零点的试题
巩固本知识点。
知识回顾：
1、函数的零点的定义是什么？
对于函数y=f(x)我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的 零点 。
“零点”是 一个点吗？
注意：零点指的是一个实数。
3、几个等价关系：
方程f(x)＝0有实数根
⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零点 ．
4、函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 ，那么，函数y＝ f(x)在区间(a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使 得__f_(_c_)＝__0__，这个 c 就是方程f(x)＝0的根．
2、请完成下表，并思考二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0) 的图象与x轴的交点和零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 零点
(x1,0),(x2,0) x1 , x2
(x1,0) x1
无交点 无
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数 y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
山东卷 2011年16题 2013年21题 2014年8、20题
2014年全国各地高考卷 2014全国（1）11题 2014四川21题 2014北京18题 2014海南8题 2014辽宁21题 2014江苏13题 2014天津20题
学习目标:
1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根 的存在性及根的个数，从而理解函数的零 点与方程的根的联系;
y
1
-2
-1
o
1
2
3
4x
-1
这堂课我的收获是……
1、我们学到了哪些知识？ 2、我们用到了哪些数学思想？
A 的零点个数是( )
A．4 C．2
B．3 D．1
链接高考
问题三：函数零点的综合应用
(2011·辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ex－x＋ a有零点， 则a的取值范围是________
➢能力拓展提高
1.(2012·湖北高考)函数 f(x)＝xcos x2 在区间[0,4]
上的零点个数为 ( C )
B 在的区间是( )
A．(0,1) C．(2,3)
B．(1,2) D．(3,4)
链接高考
问题二：判断函数零点的个数
B 1、(2012·北京高考)函数
f(x)＝x
1 2
－12x
的零点的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
2、已知函数 f(x)＝xl＋og12x，，xx≤>00，， 则函数 y＝f(f(x))＋1
练习：
y
y
ao
b xa o
C
╳ ╳
√ ╳
y
a ob
x
bx
注意:
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
（1）f (a)·f (b)<0
函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点；
（2）函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点
f (a)·f (b)<0。
（3）函数y=f (x)在单调区间(a,b)内有零点
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：令 xcos x2＝0，
则 x＝0，或 x2＝kπ＋π2， 又 x∈[0,4]，因此 xk＝
kπ＋π2
k＝0,1,2,3,4，共有 6 个零点．
➢能力拓展提高
2.已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1),且f(x)是偶函数,当
x∈[0,1]时,f(x)＝x,若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－ kx－k有4个零点,则实数k的取值范围_0_， __14_．
f(a)·f (b)<0
y
y
y
a
o bx
ao
b xa o
bx
பைடு நூலகம்接高考
c 问题一：确定函数零点所在的区间
1、设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(
)
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
2、设函数 y＝x3 与 y＝12x－2 的图象交点为(x0，y0)，则 x0 所
2、会求函数的零点； 3、理解并掌握函数在某个区间上存在零点的判
定方法。 4、结合近几年高考卷出现有关函数零点的试题
巩固本知识点。
知识回顾：
1、函数的零点的定义是什么？
对于函数y=f(x)我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的 零点 。
“零点”是 一个点吗？
注意：零点指的是一个实数。
3、几个等价关系：
方程f(x)＝0有实数根
⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零点 ．
4、函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 ，那么，函数y＝ f(x)在区间(a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使 得__f_(_c_)＝__0__，这个 c 就是方程f(x)＝0的根．
2、请完成下表，并思考二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0) 的图象与x轴的交点和零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 零点
(x1,0),(x2,0) x1 , x2
(x1,0) x1
无交点 无
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数 y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。