22.2.2 一元二次方程的解法 公式法
17 由4m 17 0, 得m . 4
17 当m 时, b 2 4ac 0, 4 则原方程有两个相等的实数解.
思考题 2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解 : a 0,当b 2 4ac 0时, 方程的根为 : b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a
又 x1 x2 ,
b b 2 4ac b b 2 4ac , 2a 2a b b 2 4ac b b 2 4ac 即 , 2a 2a
b 0, 此时ac 0,
当b 0, ac 0时, 原方程的两根互为相反数.
这是收获的
随堂 练习
a 2, b 4, c 5 b 2 4ac 16 40 56 0
4 56 4 2 14 x 2 2 4
a 3, b 1, c 2 b 2 4ac 1 24 25 0
1 25 1 5 x 23 6
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解: xHale Waihona Puke =?, x2=?这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
三、当 b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。
当 b2-4ac＞0时，一元二次 方程有两个不相等的实数根。 当 b2-4ac＜0时，一元二次 方程没有实数根。 四、计算一定要细心，尤其是 计算b2-4ac的值和代入公式时， 符号不要弄错。
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
( x +
∴当b2-4ac≥0 时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方 求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2, b=5, c= -3, ① ② ③ (a≠0, b2-4ac≥0) = 4、写出方程的解： x1=?, x2=? 程的一般步骤：
2
b 4ac 9 6 3 0
2
1 9 1 3 x 2 2 4 1 x1 1, x2 . 2
3 3 x 2
3 3 3 3 x1 , x2 . 2 2
随堂 练习
2
2.用公式法解下列方程：
(4)4x2-3x+2=0
1 (3) x 2 x 0 2 解: 1 a , b 2 , c 2 b 2 4ac 2 2 0
时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 若 b2-4ac≥0 得
(a≠0)
求根公式 : X=
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写
出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
. x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 2 4ac 8 8 0
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.
x2 =
.
x1 1 6 , x2 1 6
做一做
1.用公式法解下列方程：
(2)x2+x-6=0
(3)3x2-6x-2=0
解: a 1, b 1, c 6 b 4ac 1 24 25 0
2
解: a 3, b 6, c 2 b 4ac 36 24 60 0
x2+2x=-½ , (x+1)2=½
2 2 2 2 , x1 , x2 . 2 2
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以a, 得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
2
1 25 1 5 x 2 2
6 60 3 15 x 23 3
3 15 3 15 x1 , x2 3 3
x1 2, x2 3.
做一做
1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0 解:
(5)6t2 -5 =13t
解 : 6t 2 13t 5 0 a 6, b 13, c 5 b 2 4ac 169 120 289 0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系 数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( ) 2= )2 -q
4. 用直接开平方法解方程:(x+
用配方法解一元二次方程: 2x2+4x+1=0
( 2 ) 0 2 0 x 2 2
解: a 4, b 3, c 2 b 2 4ac 9 32 23 0
方程没有实数根.
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
2 x1 x2 . 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= =
即
x1= - 3 ,
x2=
④
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0
2 14 2 14 x1 , x2 . 2 2
2 x1 1, x2 . 3
思考题 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
解 : a 1, b 2m 1, c m 2 4, b 2 4ac ( 2m 1) 2 4( m 2 4) 4m 2 4m 1 4m 2 16 4m 17
即 x1=2,
x2= -
当 b2-4ac=0 时，一 元二次方程有两个相等 的实数根。
随堂 练习 (1)2x2-x-1=0 解:
2.用公式法解下列方程： (2)x2+1.5=-3x
a 2, b 1, c 1 b 2 4ac 1 8 9 0
解 : x 3x 1.5 0 a 1, b 3, c 1.5
x
b
例4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b2 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
2
( 3 ) 4 32 x 2 2
x1 32 , x2 2 32 . 2
0 12 2 3 x 2 2
x1
3 , x2 3.
3.用公式法解下列方程： 3 2 1 (4) x x 1 0 (3)x(2x-4)=5-8x 2 2 解 : 2x 4x 5 0 解 : 3x x 2 0
P45, 习题22.2: 4.
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？ 2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？
鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次
方程吗？
试一试，考考你的同学吧！
13 289 13 17 t 2 6 12 5 1 t1 , t 2 . 2 3
a 4, b 6, c 0 b 4ac 36 0 36 0
2
6 36 6 6 x 2 4 8
3 x1 , x2 0. 2
例2 用公式法解方程： x2 – x =0
3.用公式法解下列方程： 1 2 (2)x2+4x+8=4x+11 (1) x 3 x 0 4 2 解: 解: x 3 0
1 a 1, b 3 , c 4 b 2 4ac 3 1 4 0
随堂 练习
a 1, b 0, c 3 b 4ac 0 12 12 0
解 : x 2x 5 0
2
解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 .
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22.2.2公式法
第二十二章
一元二次方程
22.2降次—— 解一元二次方程
22.2.2公式法
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者：河北省藁城市增村中学 王志敏
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次 项，另一边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半 的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根.
1.必做题：
教科书第37页练习第1题（2）（4）（6）； 第2 题. 教科书第42页习题22.2第4、5题. 2.选做题： 教科书第43页习题22.2第14题.
2 2
(2)当b 4ac 0时，
2
方程有两个相等的实数 根，
b x1 x2 . 2a
2 b 4ac 2 (3)当b 4ac＜0时， ＜0. 2 4a
因此方程无实数根 .
一般地，式子 b 4ac叫做方程
2
ax2 bx c 0(a 0)根的判别式， 通常用希腊字母 Δ表示，即Δ b 4ac.
2
2.利用求根公式解一元二次方程的方 法叫做公式法.
例2.解下列方程.
(1) x 4 x 7 0; 解：a 1, b 4, c 7
2
Δ b 4ac (4) 4 1 (7) 44 ＞0 (4) 44 x 2 1 x1 2 11, x2 2 11.
1.推导求根公式
b c 解：方程两边都除以 a, 得x x 0. a a b c 2 移项 , 得x x . a a b b 2 c b 2 2 配方 , 得x x ( ) ( ) . a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 即： (x ) . 2 2a 4a
一元二次方程
22.2降次—— 解一元二次方程
22.2.2公式法
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者：河北省藁城市增村中学 王志敏
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次 项，另一边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半 的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根.
1.必做题：
教科书第37页练习第1题（2）（4）（6）； 第2 题. 教科书第42页习题22.2第4、5题. 2.选做题： 教科书第43页习题22.2第14题.
2 2
(2)当b 4ac 0时，
2
方程有两个相等的实数 根，
b x1 x2 . 2a
2 b 4ac 2 (3)当b 4ac＜0时， ＜0. 2 4a
因此方程无实数根 .
一般地，式子 b 4ac叫做方程
2
ax2 bx c 0(a 0)根的判别式， 通常用希腊字母 Δ表示，即Δ b 4ac.
2
2.利用求根公式解一元二次方程的方 法叫做公式法.
例2.解下列方程.
(1) x 4 x 7 0; 解：a 1, b 4, c 7
2
Δ b 4ac (4) 4 1 (7) 44 ＞0 (4) 44 x 2 1 x1 2 11, x2 2 11.
1.推导求根公式
b c 解：方程两边都除以 a, 得x x 0. a a b c 2 移项 , 得x x . a a b b 2 c b 2 2 配方 , 得x x ( ) ( ) . a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 即： (x ) . 2 2a 4a
22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟 成绩： ）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是 ，求根公式是 。
2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得 ，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。
3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。
4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 。
2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（ ）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。
公式法解一元二次方程
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
2．作业：课本P42习题22．2第5（2）（4）（6），10题
（教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．学生独立完成作业，教师批改、总结．）
板书设计
22.2.2公式法解一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0
x1= ，x2=
例题：
教学反思
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学方法
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
教与学活动活动
修改与建议
一、复习引入【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
3x2+6x-5=0
（复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．）
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
（鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．）
【练习】不解方程，判断下列方程根的情况
（1）3x2+x-1=0 (2)x2+4=4x (3)2x2+6=3x
例1．用公式法解下列方程．
∴x1= ，x2=
（在教师的引导下，学生回答，教师板书其中一个，其余学生板书）
三、反馈练习教材P37练习第1题．
（学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取六名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
四、小结与作业
1．问题：本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
2．作业：课本P42习题22．2第5（2）（4）（6），10题
（教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．学生独立完成作业，教师批改、总结．）
板书设计
22.2.2公式法解一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0
x1= ，x2=
例题：
教学反思
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学方法
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
教与学活动活动
修改与建议
一、复习引入【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
3x2+6x-5=0
（复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．）
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
（鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．）
【练习】不解方程，判断下列方程根的情况
（1）3x2+x-1=0 (2)x2+4=4x (3)2x2+6=3x
例1．用公式法解下列方程．
∴x1= ，x2=
（在教师的引导下，学生回答，教师板书其中一个，其余学生板书）
三、反馈练习教材P37练习第1题．
（学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取六名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
四、小结与作业
1．问题：本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？
一元二次方程的解法
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
1
1
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项系数与常数项
2
7
②交叉相乘，和相加为一次项系数
1
③检验确定，横写因式
1 7 6
试一试：
3x 4 x - 15 ( x 3)(3x 5)
方法叫做配方法.
拓展1
例、用配方法解下列方程：
(1)
(2)
x 6x 7 0
2
2 x 3x 1 0
2
请归纳配方法解一元 二次方程的步骤
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方 法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无解。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零（化成一般式） 。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘 积。 3o至少 有一个一次因式为零，得到两 个一元一次方程。 一元一次方程的解就是原方程的 4o两个 解。
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式 的乘积 x－2=0或x+4=0 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的 ∴ x1=2 ,x2=-4 解
• 补充： • 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
1、方程x2- 4=0，这个方程可以化成x2 = 4，所以方程的根 x1=2，x2= - 2
22.2.2公式法
1 x 4 x 7 0; 2 2 2 x 2 2 x 1 0; 2 3 5 x 3x x 1; 2 4 x 17 8 x
2
随堂练习
请同学们马上完成课本12页第1题.（限时10分钟） 请同学们核对答案：
32 32 , x2 1 x1 2, x2 3 2 x1 2 2 3 15 3 15 3 , x2 3 x1 4 x1 0, x2 3 3 2 2 14 2 14 , x2 5 x1 3, x2 3 6 x1 2 2
2 b 4ac （2） b2－4ac=0，此时 =0，由得，方程有两个相等的实数根 2 4a
x1 x 2
b ; 2a
2 b 2 4ac b x ﹤0，而x取任何实 （3）b2－4ac=0，此时 4a 2 ﹤0，由可知 2a
b 数都不能使 x ﹤0，因此方程无实数根 2a
当堂测试
1
1、下列方程中，有两个不等实数根的是（ 2 B． A．
D）
x 3x 8
2
C．
7 x 14 x 7 0
9 m 2
D．
x 5x 10 x2 7 x 5x 3
2
2、当m满足
时，关于x的方程
x2－4x+m－
1 2
= 0有两个
不相等的实数根．
3、如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数 1 k 且k 0 根，那么k的取值范围是 . 4
2
ax bx c 0 a 0
2
有两个相等的实数根； 无实数根； 我们可以不解 方程判断出根 的情况！
解一元二次方程(公式法)课件
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）有两个相等的实数根．
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）无实数根．
2．求根公式
ax2 bx c 0(a 0) ax2 bx c 0(a 0)
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
方程右边的值有哪些情况呢？ 从而方程的解的个数及解的情况又 如何呢？说说你的想法。
因为a≠0,4a2＞0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 有两个不相等的实数根．
x1 b
x b b2 4ac 2a
3．知识归纳
方程 ax2 bx c 0(a 0)
x b b2 4ac 2a
x1
x2
b ; 2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根. 3、代入求根公式 : x b b2 4ac ；
1.探究新知
问题：我们知道，任意一个一元 二次方程都可以转化为一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
你能用配方法得出它的解吗？试试看！
解： 移项，得 ax2 bxc
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b
2
2a
c a
b
2
课件：22.2.2一元二次方程解法 配方法 (共12张PPT)
一元二次方程的解法
配方法
知识回顾：
一元二次方程的解法
上节课我们主要学习了哪两种解一元二次 方程的方法?我们应该如何选择合适的解法? (1) 直接开平方法 当左边是一个完全平方形式，而右边 是一个非负常数时，用直接开平方法非常 简单; (2) 因式分解法
当右边为零，而左边可以分解因式时， 可以用因式分解法.
(2) 4x2 -12x-1 = 0
解: 移项,得 两边除以4，得x2
2
4x2 -12x = 1
1 - 3x = ，配方，得 4
2 2
x2 –2 · x· 2 + 22 = -1+ 22
即:
(x -2)2 =3 x1=2+
3 3 1 3 x 2x 2 2 4 2 3 2 10 (x - ) 即: 2 4
演练
用配方法解下列方程:
(1) 3x2 -6x -1 = 0 解:
1 x 2x 3
2
(2) 2x2–4 = 5x 解:
2
2x2 5x 4 5 25 25 x x 2 2 16 16 5 57 x 4 16 x 5 57 4 4
2
1 2 x 2x 1 1 3 x 12 4 3 x 1 x1 2 3 3
(4)
4x2 -6x
+( )= 4(x -
9 4
4 3 2 4) =(2x
-
3 )2 2
2．用配方法解下列方程：
(1) x2 + 8x –2 = 0 (2) x2 -5x -6 = 0
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程: x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 ) 解: 移项，得 x2 + px = -q 方程左边配方，得 即
配方法
知识回顾：
一元二次方程的解法
上节课我们主要学习了哪两种解一元二次 方程的方法?我们应该如何选择合适的解法? (1) 直接开平方法 当左边是一个完全平方形式，而右边 是一个非负常数时，用直接开平方法非常 简单; (2) 因式分解法
当右边为零，而左边可以分解因式时， 可以用因式分解法.
(2) 4x2 -12x-1 = 0
解: 移项,得 两边除以4，得x2
2
4x2 -12x = 1
1 - 3x = ，配方，得 4
2 2
x2 –2 · x· 2 + 22 = -1+ 22
即:
(x -2)2 =3 x1=2+
3 3 1 3 x 2x 2 2 4 2 3 2 10 (x - ) 即: 2 4
演练
用配方法解下列方程:
(1) 3x2 -6x -1 = 0 解:
1 x 2x 3
2
(2) 2x2–4 = 5x 解:
2
2x2 5x 4 5 25 25 x x 2 2 16 16 5 57 x 4 16 x 5 57 4 4
2
1 2 x 2x 1 1 3 x 12 4 3 x 1 x1 2 3 3
(4)
4x2 -6x
+( )= 4(x -
9 4
4 3 2 4) =(2x
-
3 )2 2
2．用配方法解下列方程：
(1) x2 + 8x –2 = 0 (2) x2 -5x -6 = 0
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程: x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 ) 解: 移项，得 x2 + px = -q 方程左边配方，得 即
22.2解一元二次方程公式法教案
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有广泛的应用，是解决实际问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示一元二次方程在实际中的应用，以及如何运用公式法帮助我们解决问题。
4.增强学生的数据分析观念，通过对判别式Δ的分析，培养学生对数学问题进行深入探讨的能力。
5.激发学生的数学探究精神，鼓励他们通过一元二次方程的学习，探索数学问题的内在规律，培养创新意识。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的综合运用能力和数学思维能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的标准形式及其相关概念，特别是系数a、b、c的作用和意义。
-提供多道练习题，让学生在教师的指导下逐步完成，特别关注符号的准确使用。
（4）对于解的情况的分类讨论，教师可以通过以下方式帮助学生理解：
-通过图形展示，当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ < 0时，抛物线与x轴无交点。
-引导学生思考，为什么在实际情境中，无实数根可能意味着某件事不可行或不存在。
-掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用公式进行计算。
-理解判别式Δ的计算方法及其与方程根的关系，能够根据Δ的值判断根的情况。
-能够将实际问题抽象为一元二次方程，并运用公式法解决。
举例解释：在讲解重点内容时，教师可以通过以下例题进行强调：
（1）方程2x² - 5x + 3 = 0中，指出a、b、c的值及其对应的物理意义。
（2）给定方程的系数，如a = 1, b = -3, c = 2，要求学生直接写出求根公式并计算。
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有广泛的应用，是解决实际问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示一元二次方程在实际中的应用，以及如何运用公式法帮助我们解决问题。
4.增强学生的数据分析观念，通过对判别式Δ的分析，培养学生对数学问题进行深入探讨的能力。
5.激发学生的数学探究精神，鼓励他们通过一元二次方程的学习，探索数学问题的内在规律，培养创新意识。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的综合运用能力和数学思维能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的标准形式及其相关概念，特别是系数a、b、c的作用和意义。
-提供多道练习题，让学生在教师的指导下逐步完成，特别关注符号的准确使用。
（4）对于解的情况的分类讨论，教师可以通过以下方式帮助学生理解：
-通过图形展示，当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ < 0时，抛物线与x轴无交点。
-引导学生思考，为什么在实际情境中，无实数根可能意味着某件事不可行或不存在。
-掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用公式进行计算。
-理解判别式Δ的计算方法及其与方程根的关系，能够根据Δ的值判断根的情况。
-能够将实际问题抽象为一元二次方程，并运用公式法解决。
举例解释：在讲解重点内容时，教师可以通过以下例题进行强调：
（1）方程2x² - 5x + 3 = 0中，指出a、b、c的值及其对应的物理意义。
（2）给定方程的系数，如a = 1, b = -3, c = 2，要求学生直接写出求根公式并计算。
22.2.2公式法-解一元二次方程
2
b 2a
.
(3)当 b 4 ac＜ 0 时 ， 方 程 无 实 数 根
当 b 4 a c≥ 0 时 ， 方 程 方 程 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）
2 2
的实数根可写为x
b
2
b 4ac
2
的形式，
2a 这 个 式 子 叫 做 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0） 的 求 根 公 式 。
练 习 4 ： 若 方 程 2 x -8 x + m = 0 有 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）
练 习 5： 设 m 是 实 数 ， 求 证 ： 方 程 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = m 有两个不相等的实数根。
2
体验中考
【解析】
奋斗就是生活，人生只有前进. ——巴金
式 子 b 4 a c叫 做 ax + b x + c= 0 （ a ≠ 0 ） 跟 的 判 别 式 ，
2 2
通 常 用 希 腊 字 母 表 示 它 ， 即 b 4 a c.
2
例 题 1:用 公 式 法 求 方 程 2x +7 x=4 的 解 解 ： 原 方 程 可 化 为 2 x + 7 x -4 = 0 , a= 2 ,b = 7 ,c= -4 = b 4 a c 7 4 x 2 -4 = 8 1＞ 0
2
（ 3） 3 x -2 3 x + 1 = 0
2
(4 )4 x x + 1 0
2
例 题 2： 不 解 方 程 ， 判 断 下 列 方 程 的 根 的 情 况 。 (1) x (5 x 2 1) 2 0 (2) x 9 6 x
b 2a
.
(3)当 b 4 ac＜ 0 时 ， 方 程 无 实 数 根
当 b 4 a c≥ 0 时 ， 方 程 方 程 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）
2 2
的实数根可写为x
b
2
b 4ac
2
的形式，
2a 这 个 式 子 叫 做 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0） 的 求 根 公 式 。
练 习 4 ： 若 方 程 2 x -8 x + m = 0 有 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）
练 习 5： 设 m 是 实 数 ， 求 证 ： 方 程 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = m 有两个不相等的实数根。
2
体验中考
【解析】
奋斗就是生活，人生只有前进. ——巴金
式 子 b 4 a c叫 做 ax + b x + c= 0 （ a ≠ 0 ） 跟 的 判 别 式 ，
2 2
通 常 用 希 腊 字 母 表 示 它 ， 即 b 4 a c.
2
例 题 1:用 公 式 法 求 方 程 2x +7 x=4 的 解 解 ： 原 方 程 可 化 为 2 x + 7 x -4 = 0 , a= 2 ,b = 7 ,c= -4 = b 4 a c 7 4 x 2 -4 = 8 1＞ 0
2
（ 3） 3 x -2 3 x + 1 = 0
2
(4 )4 x x + 1 0
2
例 题 2： 不 解 方 程 ， 判 断 下 列 方 程 的 根 的 情 况 。 (1) x (5 x 2 1) 2 0 (2) x 9 6 x
22.2.2公式法解一元二次方程
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0 1.变形:化已知方 解 a 1, b 4, c 7
2 2
△ b 4ac 4 4 1 (7) 44 0. 2.确定系数:用 方程有两个不相等的实数根： a,b,c写出各项系
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
当b 2 4ac 0 b b 2 4ac 2 时，方程有 x . b 4ac 0 . 实数根吗 2a 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a b b 2a 2a
b 0
提高练习
已知方程 2 x 2 7 x c 0, b2 4ac 0, 求c和x的值.
解：
a 2, b 7, c c
又 b 2 4ac 7 2 4 2 c 0
注意：
1.用公式法解一元二次方程的前提是:必须是一般形式的一元二次 方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通 常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。 3.当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两 个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
∴方程无实数根。
结论：当 实数根.
△ b2 4ac＜0