高中数学 1.2极坐标系课件 新人教A版选修4-4
x＝8cos23π＝－4， y＝8sin23π＝4 3.
即点 M 的直角坐标为(－4，4 3)．
精选ppt
10
ρ2＝x2＋y2，
(2)由坐标变换公式 tan
θ＝xy（x≠0），
得 ρ＝ （－ 3）2＋（－1）2＝2 2，
tan
θ＝－ 62＝－3
3 .
∵点 M 在第四象限，ρ＞0，
∴最小正角 θ＝116π.
目
π＜θ≤π)．
链
接
解析：如下图所示：
精选ppt
7
关于极轴的对称点为
π
B2，－
3
.
栏
关于直线 l 的对称点为 C2，23π.
目 链 接
关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
精选ppt
8
点评：点与点的位置关系中，(ρ，θ)关于极点的
对称点为(ρ，θ＋π)，关于直线α＝的对称点为(ρ，
π－θ)，关于极轴的对称点为(ρ，－θ)．
点评：(1)写极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺 序写错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外， 点的极坐标唯一确定．
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6
►变式训练
1．设点 A2，π3 ，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别
求出点 A 关于极轴、直线 l、极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－ 栏
因此，点 M 的极坐标是2
2，116π.
答案：(1)(－4，4 3)
(2)2
2，116π
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栏 目 链 接
11
点评：直角坐标化极坐标时，先求出tan θ的值，再 栏
由直角坐标确定θ所在的象限，然后求出符合条件的 目
极角，一般只要取θ∈[0，2π)就可以了
链 接
精选3π4 化成直角坐标是________．
两点间的距离公式求解．
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15
►变式训练
3．已知两点的极坐标 A3，π2 ，B3，π6 ，求： (1)A、B 两点间的距离；
(2)△AOB 的面积；
栏
目
(3)直线 AB 与极轴正方向所成的角．
链 接
解析：如下图所示：
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16
πππ ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝ 2 － 6 ＝ 3 ，
栏
(2)把点 P 的直角坐标(0，－2)化成极坐标是________．
目 链
接
．(1)(－ 2， 2)
(2)2，3π2
精选ppt
13
例 3 在极坐标系中，已知 A2，π6 ，B2，－π6 ，求 A，B 两 点间的距离．
解析：解法一 如图所示，
栏
目
链
接
π ∵∠AOB＝ 3 ，又 OA＝OB＝2，
∴△ABO 为等边三角形．∴AB 的长度为 2.
1．2 极 坐 标 系
精选ppt
1
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栏 目 链 接
2
1．了解极坐标的基本概念．
2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体 会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置 的区别．
3．能进行极坐标与平面直角坐标的互化．
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3
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栏 目 链 接
4
题型一 坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π， 且各线之间间距相等)．
栏 目 链 接
精选ppt
5
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ表示 OM 的
长度，θ表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M
的极坐标为(ρ，θ)．
解析：A(5，0)，B2，π6 ，C4，π2 ，D5，3π4 ，E(2，π)，
栏 目 链
接
F5，4π3 ，G3.5，5π3 .
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14
解法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直角坐标为
( 3，－1)．
∴A、B 两点间的距离
栏
d＝ ( 3－ 3)2＋[1－（－1）]2＝2.
目 链
接
答案：2
点评：在极坐标系中我们没有定义两点间的距离，我们只要画出
图形便可以得到结果或把两点极坐标转化为直角坐标，用直角坐标的
栏
目
链
接
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9
题型二 极坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)把点 M 的极坐标8，23π化为直角坐标形式是________；
(2)把点 M 的直角坐标( 6，－ 2)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2 栏
目
π)是________．
链
接
解析：(1)由坐标变换公式
x＝ρcos y＝ρsin
θ， θ得
∴△AOB 为正三角形．
栏
(1)A，B 两点间的距离为 3.
目
链
(2)△AOB 的面积 S＝12×3×3sin 60°＝943.
接
(3)直线 AB 与极轴正方向所成的角为π－π6 ＝56π.
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17
析疑难
提
能
力栏 目 链
接
精选ppt
18
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第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
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[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
化简，可得 x2＋y2＝56. 即所求顶点 Q 的轨迹方程为 x2＋y2＝56.
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设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x φ： y′＝μ· y
λ＞0 的作用下， P(x， 点 y)对应点 P′(x′， μ＞0
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
返回
[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
求曲线 C 的方程，并判断其形状．
[解]
x′＝2x， 将 y′＝2y
代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1 中，
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)(2)
2 12
所以线段AB中题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
2π )，则( ) （B）ρ =5,θ =4
（A）ρ =3,θ =4
（C）ρ =5,tanθ = 4
3
（D）ρ =5,tanθ =-
4 3 x 3
【解析】选D.由公式得ρ= x 2 +y2 = 32 +(-4)2 =5, tanθ = y =- 4 ,
θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2,
(A)1 (B)2
)与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3)2 +(1+1)2 =2.
方法二：由点A(2, )与B(2,- )知|OA|=|OB|=2,∠AOB= ,
所以线段AB中题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
2π )，则( ) （B）ρ =5,θ =4
（A）ρ =3,θ =4
（C）ρ =5,tanθ = 4
3
（D）ρ =5,tanθ =-
4 3 x 3
【解析】选D.由公式得ρ= x 2 +y2 = 32 +(-4)2 =5, tanθ = y =- 4 ,
θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2,
(A)1 (B)2
)与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3)2 +(1+1)2 =2.
方法二：由点A(2, )与B(2,- )知|OA|=|OB|=2,∠AOB= ,
人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)
(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P
O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
1.2 极坐标系 课件-高中数学人教A版选修4-4 (共17张PPT)
问题3：已知角 终边上有一点 P(1, 3) 如何 求角 的大小及点P到原点距离？
1.互化条件
(1)极点就是坐标原点; (2)极轴为x的正半轴；
(3)具有相同的单位长度.
M(x,y)
2.互化公式
M(,)
. x
y
cos (为极径，为极角) sin
极坐标
直角坐标 O x
x2 y2
y
X
tan y (x 0)
极点；极轴；长度单位； 角度单位和它的正方向。
[2] 点的直角坐标与极坐标互化？
x y
cos (为极径，为极角) sin
极坐标
直角坐标
x2 y2 tan y (x 0)
x
谢谢各位老师的 聆听！
O
X
这样就建立了一个极坐标系
问题1:类比直角坐标系确定点只需知 道横纵坐标， 那么在极坐标中如何确定一点的位置？
引入距离和方位角
x
二、极坐标的表示方法
(1)极径：对于极坐标平面上任意点M到极点O
的距离|OM|叫点M的极径，用表示，=|OM|
（；2）以极轴为始边旋转到射线OM的角 MOX叫点M的极角，记为MOX，= ;
a(1 sin )
极坐标系
如何确定以下两船 的位置关系呢？
（1）距离： 12海里 （2）方向：
发生故障!!!
拯救船
20º
O
x
云南大学北门
银杏大道
从这往南走100米！
一、极坐标系的建立
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点。
(2)从极点O引一条射线OX，叫做极轴。
(3)选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向（以逆时针方向旋转为 正角）
(3)有序数对（，）就叫做M的极坐标
1.互化条件
(1)极点就是坐标原点; (2)极轴为x的正半轴；
(3)具有相同的单位长度.
M(x,y)
2.互化公式
M(,)
. x
y
cos (为极径，为极角) sin
极坐标
直角坐标 O x
x2 y2
y
X
tan y (x 0)
极点；极轴；长度单位； 角度单位和它的正方向。
[2] 点的直角坐标与极坐标互化？
x y
cos (为极径，为极角) sin
极坐标
直角坐标
x2 y2 tan y (x 0)
x
谢谢各位老师的 聆听！
O
X
这样就建立了一个极坐标系
问题1:类比直角坐标系确定点只需知 道横纵坐标， 那么在极坐标中如何确定一点的位置？
引入距离和方位角
x
二、极坐标的表示方法
(1)极径：对于极坐标平面上任意点M到极点O
的距离|OM|叫点M的极径，用表示，=|OM|
（；2）以极轴为始边旋转到射线OM的角 MOX叫点M的极角，记为MOX，= ;
a(1 sin )
极坐标系
如何确定以下两船 的位置关系呢？
（1）距离： 12海里 （2）方向：
发生故障!!!
拯救船
20º
O
x
云南大学北门
银杏大道
从这往南走100米！
一、极坐标系的建立
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点。
(2)从极点O引一条射线OX，叫做极轴。
(3)选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向（以逆时针方向旋转为 正角）
(3)有序数对（，）就叫做M的极坐标
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
1.2 极坐标和直角坐标的互化第2课时课件(人教A版选修4-4)
(6)因为 cos
p = 12
p = 12
1 + cos 2 p 6 =
p 6 =
2+ 3 = 4 4－2 3 = 8
4+ 2 3 = 8 6－ 2 ， 4
6+ 2 ， 4
1 －cos 2
sinBiblioteka 2－ 3 = 4所以 x = r cos q= 4?
y = r sin q= 4?
6－ 2 6－ 2， 4 p (4, ) 化为直角坐标为 ( 6 + 所以点的极坐标 12
2p 3p ).(3)(3, ). 3 2 3p p (4)(4,－ ).(5)(5,6).(6)(4, ). 2 12 (1)(2,0).(2)(2,
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
x
θ∈［0，2π)，再将点的极坐标表示为(ρ，θ+2kπ),k∈Z.
2.将直角坐标系中点A(-1，-1)化为极坐标为_________. 【解析】设将直角坐标系中点A(-1，-1)化为极坐标为 (ρ,θ),则ρ2=x2+y2=(-1)2+(-1)2=2， 所以 r = 2，
y = 1, 且θ角终边过点(-1，-1)， x 5p 5p 所以 q = 4 + 2kp ，k ? Z, 所以化为极坐标为 ( 2，4 + 2kp ), k ? Z. 5p ( 2 ， + 2kp ), k ? Z 答案： 4
(4)因为 x = r cos q = 4cos(－
3p y = r sin q = 4sin(－ ) = 4, 2 3p (4, － ) 化为直角坐标为(0, 4). 所以点的极坐标 2
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却 有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
M
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
1.2.1《极坐标系的概念》课件(新人教选修4-4).
6
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
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5
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C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
选修4-4 1.2 极坐标系
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A ( 3, ) 6 3 D ( , ) 2 4
B ( 2, ) 2
C (1, ) 2
3 E ( 2, ) 4
例2. 将点M的直角坐标
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
M
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
D
G
5 3
四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况 P
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)