2022高三统考数学文北师大版一轮：第二章第七节 函数的图像

第七节 函数的图像授课提示：对应学生用书第29页[基础梳理]1．利用描点法作函数图像的基本步骤及流程 (1)基本步骤：列表、描点、连线． (2)流程：①确定函数的定义域； ②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．平移变换y ＝f (x )――――――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )；y ＝f (x )―――――――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b .3．伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax )．y ＝f (x )――――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A （A >0）倍y ＝Af (x )．4．对称变换y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；y ＝f (x )―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 5．翻折变换y ＝f (x )―――――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；y ＝f (x )―――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|．1．一个原则在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则．2．函数对称的重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．(3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图像关于点(a ，b )中心对称．(4)在函数y ＝f (x )中，将x 换为－x ，解析式不变，则此函数图像关于y 轴对称．将y 换成－y ，解析式不变，则此函数图像关于x 轴对称．若将x 换成－x ，y 换成－y ，解析式不变，则此函数图像关于(0，0)对称． 若将x 换成y ，解析式不变，则函数图像关于y ＝x 对称．[四基自测]1．(基础点：用图像表示函数)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图像是( )答案：C2．(基础点：图像的作法)下列图像是函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图像的是( )答案：C3．(易错点：函数值与自变量的对应关系)函数r ＝f (p )的图像如图所示，若只有唯一的p 值与r 对应，则r 的取值范围为________．答案：(3，5]∪(0，2)4．(基础点：利用图像求参数)某函数y ＝f (x )的图像如图，与直线y ＝a 有两个交点时a 的取值范围为________．答案：{a |－2≤a ＜2或a ＝3}授课提示：对应学生用书第30页考点一 作函数的图像挖掘 作已知函数解析式的图像/自主练透 [例] 作出下列函数的图像： (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)；(2)y ＝x ＋2x －1；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.[解析] (1)先化简，再作图． y ＝⎩⎨⎧x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x ＜2，图像如图实线所示．(2)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图像，如图所示．(3)利用函数y ＝log 2x 的图像进行平移和翻折变换，图像如图实线所示．[破题技法] 1.作函数图像，首先确定函数的定义域，对应关系及值域． 方法 解读 适合题型直接法 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出基本初等函数、“对号”函数转化法含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像绝对值函数图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出．对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响能够准确找到基本函数挖掘1巧用特殊点识别函数图像/ 互动探究[例1]若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图像是()[解析]由f(x)－2＝0，得f (x)＝2，则在区间(－∞，0)内，存在点满足f(x)＝2. 对于A，当f(x)＝2时，x＝0，不满足条件．对于B，当f(x)＝2时，无解．对于C，当f(x)＝2时，x＞0，不满足条件．选D.[答案] D挖掘2巧用函数性质识别图像/ 互动探究[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图像大致为()[解析] 法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，则ƒ′(x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减．故选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．故选D. [答案] D(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6，6]的图像大致为( )[解析] ∵y ＝f (x )＝2x32x ＋2－x，x ∈[－6，6]，∴f (－x )＝2（－x ）32－x ＋2x ＝－2x 32－x ＋2x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116∈(7，8)，排除选项A ，D.故选B. [答案] B(3)函数y ＝sin 2x1－cos x 的部分图像大致为( )[解析] 由题意，令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin （－2x ）1－cos （－x ）＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x为奇函数，其图像关于原点对称，故排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π1－cos π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C.[答案] C[破题技法] 1.曲线反映的是两个变量间的对应变化关系，要理清因变量随自变量如何变化．2．合理选用多种方法：特殊点法、函数性质法、图像变换法等，找出各个图像的差异与破绽，进行检验排除而得答案．(1)找特殊点，根据已知函数的解析式，找出函数图像所经过的定点坐标．(2)看变换，将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数对应，得出此函数是由哪个基本初等函数通过怎样的变换而得到的； (3)性质检验法就是根据函数解析式分析函数的相关性质(如定义域、值域、单调性、奇偶性等)排除干扰项，从而确定正确选项的方法．破解此类题的关键点．考点三 函数图像的应用挖掘1 由图像研究函数解析式或性质/ 互动探究[例1] (1)已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的图像关于点(1，2)对称B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C ．函数f (x )的图像上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴D ．函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称[解析] 法一：因为f (x )＝2x x －1＝2x －1＋2，所以函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，排除B ；画出函数f (x )的大致图像如图所示，结合图像排除C 、D.故选A.法二：因为f (x )＋f (2－x )＝2x x －1＋2（2－x ）（2－x ）－1＝2x x －1＋4－2x1－x＝4，所以函数f (x )的图像关于点(1，2)对称，故选A. [答案] A(2)已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝cos 2xxD ．f (x )＝cos xx[解析] 由函数的图像关于原点对称，可知所求的函数是奇函数，由于f (x )＝cos xx 2为偶函数，故排除B ；对于选项A ，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与函数图像不符，故排除A ；对于选项C ，f (π)＝cos 2ππ＝1π＞0，与函数图像不符，故排除C.选D. [答案] D[破题技法] 借助图像研究函数性质；横轴表示自变量的取值，即定义域．纵轴表示函数值的取值即值域，从左向右的变化代表函数单调性的变化． 挖掘2 利用图像求参数或变量的取值 范围/ 互动探究[例2] (1)设x 1，x 2，x 3均为实数，且(12)x 1＝log 2(x 1＋1)，(12)x 2＝log 3x 2，(12)x 3＝log 2x 3，则( )A ．x 1＜x 3＜x 2B ．x 3＜x 2＜x 1C ．x 3＜x 1＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 3[解析] x 1，x 2，x 3分别是函数y ＝(12)x 与y ＝log 2(x ＋1)，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 图像交点的横坐标，作出函数y ＝(12)x ，y ＝log 2(x ＋1)，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 的图像如图所示，由图可得x 1＜x 3＜x 2，故选A.[答案] A(2)已知不等式x －1＜|m －2x |在[0，2]上恒成立，且函数f (x )＝e x －mx 在(3，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(5，＋∞) B ．(－∞，1)∪(5，e 3] C ．(－∞，2)∪(5，e 2] D ．(－∞，2)∪(5，e 3][解析] 不等式x －1＜|m －2x |在x ∈[0，2]上恒成立⇔12(x －1)＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －m 2在x ∈[0，2]上恒成立，令g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －m 2，h (x )＝12(x －1)，画出g (x )和h (x )的图像，如图．由图可知，m 2＜1或m 2＞52， 即m ∈(－∞，2)∪(5，＋∞)；又f (x )＝e x －mx 在(3，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝e x －m ≥0在(3，＋∞)上恒成立， ∴m ≤e 3，综上，m ∈(－∞，2)∪(5，e 3]．故选D. [答案] D[破题技法] 利用图像求参数问题要采取“以静制动”的方法，先固定某个函数图像或某个位置，来制约另一个函数图像或者点的位置，在运动变化过程中求出参数的取值． 挖掘3 求函数的零点(个数)或方程的根/ 互动探究[例3] (2020·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．[解析] 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零点的个数为5.[答案] 5[破题技法] 研究交点或零点问题将函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点转化为两个函数，图像交点的横坐标，y ＝f (x )与y ＝g (x )判定这两个函数的交点的情况，要注意两个函数图像的相对位置．。