春季-固体物理-第四章习题解答参考解析PPT精品课件
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固体物理习题解答 ppt课件
设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径， V表示晶胞体积，则致密度为
n 4r3
x 3 V
(1) 简单立方
a 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 2r,V a3
晶胞内包含一个原子，所以有： (2) 体心立方
x
4 (a)3
32
a3
6
任意一个原子球有8个最近邻，若原子
Vc
ac 3 2
单位体积内原子数（即密度）为
1 Vc
六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为
Vs a
3 2
a
3
c
/
6
3 a2c 4
1
3
a2 8
2
a
4 3
2 a3 2
因为密度不变，所以
1 Vc
1 Vs
即：
ac3 / 2
2 a3 2
1
a ac / 2 6 0.377nm
r h3b3
)
(
r a1 h1
r a3 h3
)
r h1b1
r ga1 h1
h3
r b3
r ga3 h3
0
同理可证
v uuur Kh1h2h3 CB 0
v 所以晶面族（h1h2h3）与和倒格矢 Kh1h2h3 正交
v K h1h2 h3
2.6 试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系 2.8 试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第 二布里渊区。
第一章 习题
1.1 何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇 菲格子。
答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。
n 4r3
x 3 V
(1) 简单立方
a 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 2r,V a3
晶胞内包含一个原子，所以有： (2) 体心立方
x
4 (a)3
32
a3
6
任意一个原子球有8个最近邻，若原子
Vc
ac 3 2
单位体积内原子数（即密度）为
1 Vc
六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为
Vs a
3 2
a
3
c
/
6
3 a2c 4
1
3
a2 8
2
a
4 3
2 a3 2
因为密度不变，所以
1 Vc
1 Vs
即：
ac3 / 2
2 a3 2
1
a ac / 2 6 0.377nm
r h3b3
)
(
r a1 h1
r a3 h3
)
r h1b1
r ga1 h1
h3
r b3
r ga3 h3
0
同理可证
v uuur Kh1h2h3 CB 0
v 所以晶面族（h1h2h3）与和倒格矢 Kh1h2h3 正交
v K h1h2 h3
2.6 试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系 2.8 试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第 二布里渊区。
第一章 习题
1.1 何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇 菲格子。
答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。
固体物理课件
e 2 晶体中有3N个振动模 晶体中有 个振动模 C = k ( ∑ B k T ) (eℏω j / kBT − 1)2 V 1） 爱因斯坦模型 ） j =1 B 假设N个原子构成的晶体 个原子构成的晶体， 假设 个原子构成的晶体，
所有的原子以相同的频率 ω0振动 2） 德拜模型 ） 以连续介质的弹性波来代表格 波，将晶格看作是各向同性的 连续介质
V (r + R) = V (r )
布洛赫定理
具有晶格周期性时， 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波 函数满足薛定谔方程 ℏ2 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2m —— 方程的解具有以下性质
ψ ( r + Rn ) = e ik ⋅R ψ ( r )
ω = 2
−
− i (ωt − naq )
2
β
m
ω
aq sin m 2
−π a
β
π π < q ≤ a a
q=
µn = µn+ N 2π
Na
× h —— h为整数 为整数
π a o 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
能量本征值 ε n = ( n q + 1 ) ℏ ω q
q
晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 系统能量本征值
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
模型 运动方程 试探解
m µ n = − β (µ n − µ n−1 ) − β (µ n − µ n+1 )
..
一维晶格振动 一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β
《固体物理习题》课件
晶体对称性
晶体的对称性及其在材料 性质中的重要性。
晶体点群
晶格的点群对称性及其分 类。
三、半导体物理
1
pn结和二极管
2
研究pn结的形成过程和二极管的工
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作原理。
3
半导体的本征性质
探索半导体的本性和特点，如导电性 和能带结构。
MOSFET
理解金属氧化物半导体场效应晶体管 的构造和工作原理。
四、导体物理
《固体物理习题》PPT课 件
固体物理习题PPT课件将带您深入了解固体物理的核心概念和基础知识，通 过互动习题提高学习效果。让我们一起探索这个令人着迷的领域吧！
一、介绍
在这个部分，我们将了解课程的背景、固体物理的知识点，并明确学习的目标。
二、晶体结构
晶格和布拉维格子
晶体的基本结构和布拉维 格子的概念。
1 电子的运动
2 原子的热运动
了解导体中电子的运动方式和载流子导电 机制。
探索原子在导体中的热运动及其对电导的 影响。
3 电子输运
4 金属电导
分析电子在导体中的输运行为和电阻的产 生。
研究金属中电子的自由运动和电导特性。
五、磁性物理
磁矩和磁性基础
深入了解磁矩的概念和磁性物 质的特性。
磁性物质与磁场的相互 作用
探索磁性物质如何与外界磁场 相互作用。
磁性材料
研究不同类型的磁性材料及其 用途。
六、超导物理
超导现象
介绍超导的基本概念和令人惊奇的物理现象。
超导机制
探讨超导的各种机制和理论解释。
超导材料的基本性质
研究超导材料的特性和临界温度。
七、习题
选择题
• 回顾重要的概念和知识点。 • 测试您对固体物理的理解。 • 加强对学习内容的掌握。
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论共34页文档
孤立原子中电子的 势阱
势垒 电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
2m
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
不满带：未填满电子的能带
E
空带：没有电子占据的能带
禁带：不能填充电子的能区
价带：在0k时能被电子占满的最高能
带，对半导体价带通常是慢带
导带：半导体最外面（能量最高）的
一个能带。
空带
禁带体的能带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章 固体的能带
p2 E
能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
第 四 章 固体的能带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称
为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
pentium MMX
势垒 电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
2m
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
不满带：未填满电子的能带
E
空带：没有电子占据的能带
禁带：不能填充电子的能区
价带：在0k时能被电子占满的最高能
带，对半导体价带通常是慢带
导带：半导体最外面（能量最高）的
一个能带。
空带
禁带体的能带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章 固体的能带
p2 E
能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
第 四 章 固体的能带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称
为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
pentium MMX
固体物理学：第四章 第二节 平面波法
V(K4 K2)
V (K4 K3)
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波叠加 ，得到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出 100个能量本征值:
n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且 通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
其缺点是收敛较慢，特别是对于靠近原子核的芯电 子，为了展开这些震荡厉害的芯电子，需要非常多的 平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
上面波函数还可以写成上面波函数还可以写成写成狄拉克符号形式写成狄拉克符号形式其中其中kk平面波平面波所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加
第四章 能带论
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定 平面波的数目，相当于给定一个电子的最大 动能。由此我们可以定义一个平面波的截断 能量(cut-off energy):
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而 为相对于平均势的起伏
用| k+K h’>齐次方程
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考04第四章 晶体结构中的缺陷
第四章 晶格结构中的缺陷4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为sB k T s n Ne μ−=其中s μ是形成一个空位所需要的能量。
证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为!()!s !s s N P N n n =− 由于s μ个空位的出现，熵的改变[]!ln lnln ()ln()ln ()!!B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n Δ===−−−−− 晶体的自由能变化为 []ln ()ln()ln s s s s B s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=−Δ=−−−−−s要使晶体的自由能最小B ()ln 0s s s sT n F u k T n N ⎡⎤⎛⎞∂Δ=+=⎜⎟⎢⎥∂−⎣⎦⎝⎠n 整理得s B k T s s n e N n μ−=− 在实际晶体中，由于,s n N <<s s s n n N N n ≈−，得到 sB k T s n Ne μ−=4.2 铜中形成一个肖托基缺陷的能量为1.2eV ，若形成一个间隙原子的能量为4eV ，试分别计算1300K 时肖托基缺陷和间隙原子数目，并对二者进行比较。
已知，铜的熔点是1360K 。
解：（王矜奉4.2.4）根据《固体物理学》4-8式和4-10式，肖托基缺陷和间隙原子数目分别为 s B k T s n Neμ−= 11B k T n Ne μ−= 得19231.21.61051.38101300 2.2510sB k T s n Ne NeN μ−−××−−−××===× 191231.2410161.381013001 3.2110B k T n Ne Ne N μ−−××−−−××===×4.3 设一个钠晶体中空位附近的一个钠原子迁移时，必须越过0.5eV 的势垒，原子振动频率为1012Hz 。
固体物理习题答案PPT课件
上述八个矢量的垂直平分面，形成了第一布里渊 区。
5 解： A2 b c,B 2 c a,C 2 a b
V c
V c
V c
V A (B C ) (2)3( b c )[ c ( a ) ( a b )] V c
A (B C )(A C )B (A B )C
6解：当 KCl 取 ZnS 结构时，晶体总相互作用
能为 utotN(zeRR q2)
已知：N=6.023*1023/mol, ρ=0.326埃，αZnS=1.6381,（见P103) 为NaCl结构时，Zλ=2.05*10-8erg, Z=6 当为ZnS 结构时，Z=4, Zλ=（4/6）*2.05*10-8erg
设ZnS 结构时，其晶格常数与NaCl结构相同， （为原子最近邻距离）
即 a=6.294埃（见P20，图20配位数为6，参见表10，表11， a=2*1.33+1.81=6.2埃），31/2a/4=2.72埃（为原子最近邻距
离）
u to 6 . 0 t 1 2 2 [ 3 0 6 4 2 2 . 0 1 5 8 e 0 0 2 . 3 . 7 2 2 1 . 6 6 2 . ( 3 7 4 . 8 1 8 2 1 8 0 1 0 e 1 5 0 0 ) 3 ] s 1 u . 8 K 5/ m 3 C
第二章 习题答案
3解:
（c)衍射先只出现在同时满足以下二个方程的方
向上：（1）acosθ1=nλ,(2) bcosθ2=mλ
(
a,b
为二个方向矢量）
所以在二个锥面的交线上出现衍射极大。当底板
//原子面时，衍射花样为二个锥面的交线与底板
的交点。
（d）反射式低能电子衍射(LEED)中，只有表面 层原子参与衍射，故为二维衍射，衍射点的周期 大小与晶体表面原子排列方向上周期大小成反比。
5 解： A2 b c,B 2 c a,C 2 a b
V c
V c
V c
V A (B C ) (2)3( b c )[ c ( a ) ( a b )] V c
A (B C )(A C )B (A B )C
6解：当 KCl 取 ZnS 结构时，晶体总相互作用
能为 utotN(zeRR q2)
已知：N=6.023*1023/mol, ρ=0.326埃，αZnS=1.6381,（见P103) 为NaCl结构时，Zλ=2.05*10-8erg, Z=6 当为ZnS 结构时，Z=4, Zλ=（4/6）*2.05*10-8erg
设ZnS 结构时，其晶格常数与NaCl结构相同， （为原子最近邻距离）
即 a=6.294埃（见P20，图20配位数为6，参见表10，表11， a=2*1.33+1.81=6.2埃），31/2a/4=2.72埃（为原子最近邻距
离）
u to 6 . 0 t 1 2 2 [ 3 0 6 4 2 2 . 0 1 5 8 e 0 0 2 . 3 . 7 2 2 1 . 6 6 2 . ( 3 7 4 . 8 1 8 2 1 8 0 1 0 e 1 5 0 0 ) 3 ] s 1 u . 8 K 5/ m 3 C
第二章 习题答案
3解:
（c)衍射先只出现在同时满足以下二个方程的方
向上：（1）acosθ1=nλ,(2) bcosθ2=mλ
(
a,b
为二个方向矢量）
所以在二个锥面的交线上出现衍射极大。当底板
//原子面时，衍射花样为二个锥面的交线与底板
的交点。
（d）反射式低能电子衍射(LEED)中，只有表面 层原子参与衍射，故为二维衍射，衍射点的周期 大小与晶体表面原子排列方向上周期大小成反比。
《固体物理基础教程》课件第4章
上一节中我们从大家所熟悉的知识入手，对晶体中电子 运动状态的基本特点有了一个初步的感性认识，从这一节开 始，我们将对固体能带理论中的一些重要理论、方法及结论
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
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eika1
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
k 2 n 1 , n 0 , 1 , 2 , a
在第一布里渊区内，ka，,a得到，
0
2021/3/1
k
a
a
k
a
1
（2）
电子波函数 k(x)ico3sax
k(xa)icos3a(xa)icos3ax3
ico3sxco3sisin3xsin3
一组 (k1,k2代,k表3一) 个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
b1 波矢空间原胞体积，
k N b 1 1 N b 2 2 N b 3 3 N 1 ( 2 ) 3 ( 2 V ) 3
波矢密度，
2021/3/1
k
V
(2 )3
9
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质
电阻率 半导体
价带
0
T1
T2
温度 14
4.5
E (k)m 2 2 8 7 a co k)s a8 1 (co 2 ks ) a (
（1） 由极值条件找到极值点，
d d E k m 2 2 a a sikn ) a a 4 ( si2 k n ) a (0
sikn ) a ( 1 si2 k n)a (sikn ) a ( 1 2 sikn )c a (o k)a s(
i 1,2,3
7
eikNiai 1
kN ia i2h i
k1
2 h1
N1a
k2
2 h2
N2a
k3
2 h3
N3a
(h1 0, 1, 2, ) (h2 0, 1, 2, ) (h3 0, 1, 2, )
若第一布里渊区为
a
,，a得到，
a
ki
a
2021/3/1
8
Ni 2
hi
Ni 2
k 取值个数 NN1N2N3
的振幅具有与晶格相同的周期性，电子在晶体不同原胞中的对应点上出现的几 率相等。
2、共有化运动电子允许存在的本征能量态（电子量子态）不再是原子能级， 而是一系列允许的能带（允带）。允带之间是共有化电子不可具有的能量状态， 称为禁带。
3、一般情况下，每个允带中包含等于晶体原胞数N、间隔非常小的能级（准
连续）。每个能级是共有化电子波矢 的函k 数，在波矢空间中，这种函数关系
k
a
a
扩展布里渊区将不同的能带描绘在波矢空间中的不同的布里渊区内；
简约布里渊区依据波矢具有以倒格矢为周期的平移对称性 E nk G h， 将E n 波k
矢202的1/3取/1k 值限制在第一布里渊区内；
6
V
4.3 试证明三维布拉菲晶格的电子波矢分布密度为 2 3
证明 设三维布拉菲晶格的原胞基矢为
ai
i 1,2,3
N
i
为a
方向原胞数，
i
ai
a
2021/3/1
对应的倒格子基矢为 b 1 b 2 ，b 则3 电子波矢，
k k 1 b 1 k 2 b 2 k 3 b 3
由共有化运动电子波函数的周期性边界条件，
k n r k n r N ia i
得到，
u k n ( r ) e i k r u k n ( r N i a i ) e i k r N i a i
基本原理：
满带中的电子不能导电
没有电子的空带不能导电（因为没有电子）
导体
不满的能带中的电子参与导电
1、原子含奇数个价电子的导体具有不满带、外场下导电良好
Ec
禁带
E
2021/3/1
典型：Na、Cu、K、Li、Ag、Au
10
2、原子含偶数个价电子的导体，价电子填满一个或几个能 带，但满带与空带重叠，外场下具有较好的导电性。
a
a
ico3saxk(x)
eika1
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
在第一布里渊区内，ka，,a得到， k
a
2021/3/1
2
（3） k(x)f(xla) l
Байду номын сангаас
k(xa) f(xala )f(x(l1)a)
l
l
令 l'l，得1到，
k(xa)f(xl'a)f(xl'a)k(x)
2021/3/1
13
半导体
E c 禁带 E
原子含偶数个价电子，能量最高的满带（导带） 和能量最低的空带（价带）之间的禁带宽度较小。 绝对零度下，满带电子不能激发到导带，导电性
E g 为零。当温度高于绝对零度时，随温度提高，价
带空穴和导带电子大量增加，导电性急剧提高。
激发
2021/3/1
导带 激发
以倒格矢为周期。 4、允带每个能级容纳自旋相反的两个电子，一个能带可容纳2N个电子。
2021/3/1
5
4.2 （3）简约布里渊区表示的能带图和扩展布里渊表示的能带图有什么区别？
扩展布里渊区表示法
En k
简约布里渊区表示法
En k
n3
n2
n 1
3 2 0 2 3
k
a aa a a a
l'
l'
e ik a 1 ， k a 2 n， k2 n (n0,1,2,......)
a
在第一布里渊区， ka,a
k0
2021/3/1
3
4.2 （1）能带论的基本假设及其物理意义 答：能带论的基本假设 ① 绝热近似——假设相对于共有化运动电子的运动速度，离子实近似固定在
格点上不动，电子系统和离子实系统没有能量交换。 ② 平均场近似（单电子势近似）——假设每个电子所处的周期势相同，与其
它电子、离子实的库仑相互作用只与该电子位置有关。 ③ 周期势场近似——单电子势具有晶格平移周期性
2021/3/1
4
（2）能带论的要点 构成晶体的原子的价电子不再束缚于其原子，而是在晶体中共有化运动。在
单电子近似下，求解共有化电子所满足的薛定谔方程，得到： 1、共有化运动电子的本征波函数是调幅平面波（布洛赫波），本征波函数
Ec
禁带
E
典型：Be、Mg、Zn
2021/3/1
11
半金属
Ec
禁带
E
2021/3/1
原子含偶数个价电子，满带与空 带少量重叠，一个能带几乎填满， 另一个能带有很少电子，导电性比 导体差。
典型：Bi、As、Sb
12
绝缘体
Ec
禁带
Eg
E
原子含偶数个价电子，能量最高的满 带和能量最低的空带之间的禁带宽度很 大。在一般的温度下，满带电子不能激 发到空带中，导电性很差。
4.1 （1） 电子波函数 k(x)sinax
根据布洛赫定理，一维周期势场中的电子波函数，
k(x a ) e ik xk(x )
得到，
k(x a ) s i a n (x a ) s i a n x s ia x n c o c s o a xss in
Ek
s ia x n k(x )
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
k 2 n 1 , n 0 , 1 , 2 , a
在第一布里渊区内，ka，,a得到，
0
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k
a
a
k
a
1
（2）
电子波函数 k(x)ico3sax
k(xa)icos3a(xa)icos3ax3
ico3sxco3sisin3xsin3
一组 (k1,k2代,k表3一) 个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
b1 波矢空间原胞体积，
k N b 1 1 N b 2 2 N b 3 3 N 1 ( 2 ) 3 ( 2 V ) 3
波矢密度，
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k
V
(2 )3
9
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质
电阻率 半导体
价带
0
T1
T2
温度 14
4.5
E (k)m 2 2 8 7 a co k)s a8 1 (co 2 ks ) a (
（1） 由极值条件找到极值点，
d d E k m 2 2 a a sikn ) a a 4 ( si2 k n ) a (0
sikn ) a ( 1 si2 k n)a (sikn ) a ( 1 2 sikn )c a (o k)a s(
i 1,2,3
7
eikNiai 1
kN ia i2h i
k1
2 h1
N1a
k2
2 h2
N2a
k3
2 h3
N3a
(h1 0, 1, 2, ) (h2 0, 1, 2, ) (h3 0, 1, 2, )
若第一布里渊区为
a
,，a得到，
a
ki
a
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8
Ni 2
hi
Ni 2
k 取值个数 NN1N2N3
的振幅具有与晶格相同的周期性，电子在晶体不同原胞中的对应点上出现的几 率相等。
2、共有化运动电子允许存在的本征能量态（电子量子态）不再是原子能级， 而是一系列允许的能带（允带）。允带之间是共有化电子不可具有的能量状态， 称为禁带。
3、一般情况下，每个允带中包含等于晶体原胞数N、间隔非常小的能级（准
连续）。每个能级是共有化电子波矢 的函k 数，在波矢空间中，这种函数关系
k
a
a
扩展布里渊区将不同的能带描绘在波矢空间中的不同的布里渊区内；
简约布里渊区依据波矢具有以倒格矢为周期的平移对称性 E nk G h， 将E n 波k
矢202的1/3取/1k 值限制在第一布里渊区内；
6
V
4.3 试证明三维布拉菲晶格的电子波矢分布密度为 2 3
证明 设三维布拉菲晶格的原胞基矢为
ai
i 1,2,3
N
i
为a
方向原胞数，
i
ai
a
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对应的倒格子基矢为 b 1 b 2 ，b 则3 电子波矢，
k k 1 b 1 k 2 b 2 k 3 b 3
由共有化运动电子波函数的周期性边界条件，
k n r k n r N ia i
得到，
u k n ( r ) e i k r u k n ( r N i a i ) e i k r N i a i
基本原理：
满带中的电子不能导电
没有电子的空带不能导电（因为没有电子）
导体
不满的能带中的电子参与导电
1、原子含奇数个价电子的导体具有不满带、外场下导电良好
Ec
禁带
E
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典型：Na、Cu、K、Li、Ag、Au
10
2、原子含偶数个价电子的导体，价电子填满一个或几个能 带，但满带与空带重叠，外场下具有较好的导电性。
a
a
ico3saxk(x)
eika1
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
在第一布里渊区内，ka，,a得到， k
a
2021/3/1
2
（3） k(x)f(xla) l
Байду номын сангаас
k(xa) f(xala )f(x(l1)a)
l
l
令 l'l，得1到，
k(xa)f(xl'a)f(xl'a)k(x)
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半导体
E c 禁带 E
原子含偶数个价电子，能量最高的满带（导带） 和能量最低的空带（价带）之间的禁带宽度较小。 绝对零度下，满带电子不能激发到导带，导电性
E g 为零。当温度高于绝对零度时，随温度提高，价
带空穴和导带电子大量增加，导电性急剧提高。
激发
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导带 激发
以倒格矢为周期。 4、允带每个能级容纳自旋相反的两个电子，一个能带可容纳2N个电子。
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4.2 （3）简约布里渊区表示的能带图和扩展布里渊表示的能带图有什么区别？
扩展布里渊区表示法
En k
简约布里渊区表示法
En k
n3
n2
n 1
3 2 0 2 3
k
a aa a a a
l'
l'
e ik a 1 ， k a 2 n， k2 n (n0,1,2,......)
a
在第一布里渊区， ka,a
k0
2021/3/1
3
4.2 （1）能带论的基本假设及其物理意义 答：能带论的基本假设 ① 绝热近似——假设相对于共有化运动电子的运动速度，离子实近似固定在
格点上不动，电子系统和离子实系统没有能量交换。 ② 平均场近似（单电子势近似）——假设每个电子所处的周期势相同，与其
它电子、离子实的库仑相互作用只与该电子位置有关。 ③ 周期势场近似——单电子势具有晶格平移周期性
2021/3/1
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（2）能带论的要点 构成晶体的原子的价电子不再束缚于其原子，而是在晶体中共有化运动。在
单电子近似下，求解共有化电子所满足的薛定谔方程，得到： 1、共有化运动电子的本征波函数是调幅平面波（布洛赫波），本征波函数
Ec
禁带
E
典型：Be、Mg、Zn
2021/3/1
11
半金属
Ec
禁带
E
2021/3/1
原子含偶数个价电子，满带与空 带少量重叠，一个能带几乎填满， 另一个能带有很少电子，导电性比 导体差。
典型：Bi、As、Sb
12
绝缘体
Ec
禁带
Eg
E
原子含偶数个价电子，能量最高的满 带和能量最低的空带之间的禁带宽度很 大。在一般的温度下，满带电子不能激 发到空带中，导电性很差。
4.1 （1） 电子波函数 k(x)sinax
根据布洛赫定理，一维周期势场中的电子波函数，
k(x a ) e ik xk(x )
得到，
k(x a ) s i a n (x a ) s i a n x s ia x n c o c s o a xss in
Ek
s ia x n k(x )