空间几何体的结构特征及三视图和直观图教案
一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 多面体的结构特征考点/易错点考点/易错点3 简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．考点/易错点4 平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．考点/易错点5 三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三、例题精析【例题1】【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【答案】B【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．【例题2】【题干】(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为( )A．2 2 B．4C. 3 D．23【答案】D.D【解析】(1)由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A(2)依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是23【例题3】【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D．1＋2【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2【例题4】【题干】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC 的面积．【解析】建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin 45°，所以OC′＝sin 120°sin 45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a.所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.四、课堂运用【基础】1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A ①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：选B 由斜二测画法知B正确．3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而PA＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋22【巩固】1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．2 3 B．3C. 3 D．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 3．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23， ∴S △VBC ＝12×23×23＝6.【拔高】1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A．1 B.32 2C. 2D.3解析：选D 如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A1BC1垂直时，∵面ACD1∥面A1BC1，∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则3a＝2，∴a＝6 3 .∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎪⎫632＝ 3.此时投影面积最大，故D正确．2．已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：8 2π3课程小结1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．课后作业【基础】1．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．3．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋ 3 B．1＋3C．2＋2 3 D．4＋3解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋3.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533. 答案：533【巩固】1．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：32．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)． 解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5. 【拔高】1．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC ＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2.答案：4＋322．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE ∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.∵E为AA1的中点，O为AC的中点，∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．∴OE∥A1C.∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴OE∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD＝a2，SA1B1C1D1＝a22，S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝a22，S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△DC1D1＝12×2a2×32a4＝3a28，∴该多面体的表面积S＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.. .。
教学设计1：8.1 空间几何体的结构特征、三视图和直观图
8.1 空间几何体的结构特征、三视图和直观图1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的形成3.(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半．5．平行投影与中心投影平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线交于一点．1．(人教A版教材习题改编)关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是() A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【解析】根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．【答案】B2．如图7－1－1，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()图7－1－1A．①②B．②③C．②④D．③④【解析】由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两几何体的正视图和侧视图相同，且不与俯视图相同．【答案】C图7－1－23．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图7－1－2所示的一个正方形，则原来的图形是()【解析】根据斜二测画法的规则知，选A.【答案】A4．若某几何体的三视图如图7－1－3所示，则这个几何体的直观图可以是()图7－1－3【解析】根据正视图与俯视图可排除A、C，根据侧视图可排除D.故选B.【答案】B5．(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图7－1－4所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是()图7－1－4【解析】由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.【答案】D(见学生用书第126页)下列结论中正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【思路点拨】根据常见几何体的结构特征，借助于常见的几何模型进行判断．【尝试解答】当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．【答案】D,1．关于空间几何体的结构特征辩析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辩析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．下列说法中正确的是()①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④【解析】用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分才叫棱台，且棱台的侧面是梯形，但并不一定是等腰梯形，故②③错误．【答案】A(2013·潍坊模拟)某四面体的三视图如图7－1－5所示，该四面体四个面的面积中最大的是()图7－1－5A．8B．62C．10 D．82【思路点拨】根据几何体的三视图确定几何体的形状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求各个面的面积确定最大值．【尝试解答】将三视图还原成几何体的直观图，如图所示．由三视图可知，四面体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，8，10，62，所以面积最大的是10.【答案】C1．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．(2013·金华模拟)若某几何体的三视图如图7－1－6所示，则这个几何体的直观图可以是()图7－1－6【解析】 从俯视图看，B 和D 符合，从正视图看D 符合，从侧视图看D 也是符合的，故选D.【答案】 D图7－1－7如图7－1－7所示，四边形A ′B ′C ′D ′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A ′B ′C ′D ′是一直角梯形，A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′⊥C ′D ′，且B ′C ′与y ′轴平行，若A ′B ′＝6，D ′C ′＝4，A ′D ′＝2，求这个平面图形的实际面积．【思路点拨】 逆用斜二测画法得到实际图形，求出相应的边长，进而求出面积． 【尝试解答】 根据斜二测直观图画法规则可知 该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变． 由于C ′B ′＝2A ′D ′＝2 2. 所以CB ＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.,1．画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形．图7－1－8如图7－1－8所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．【解】如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则C′、D′到x′轴的距离为3 2a.∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝62a，由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为6a，∴S△ABC＝12a·6a＝62a2.一条规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．一点注意若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．两个概念1.正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．从近两年高考试题来看，高考的重点是简单几何体与三视图之间的关系以及三视图与实物图之间的相互转化，题型以客观题为主，考查对简单几何体结构特征的掌握及空间想象能力．在画空间几何体的三视图时，忽视轮廓线、边界线或实、虚不分是常见错误．易错辨析之十二画三视图忽视边界线及其实虚致误(2012·陕西高考)将正方体(如图7－1－9(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图7－1－9(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()图7－1－9【错解】错解一由几何体知，AD1是边界线，投影到正方体右侧面上恰为正方形的对角线，故选D.【答案】D错解二由几何体知，AD1、B1C都是边界线，投影到正方体右侧面后恰为正方形的对角线，故选C.【答案】C错因分析：(1)错解一忽视了B1C也是边界线导致错误答案．(2)错解二虽然注意了B1C是边界线，但忽视了其不可视，在左视图中应为虚线，从而造成错误答案．防范措施：(1)在确定边界线时，要先分析几何体由哪些面组成，从而可确定边界线，其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的是我们要在三视图中画出的．(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面与面之间的边界线，再根据是否可视确定实虚．【正解】还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．【答案】B1．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【解析】球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.【答案】D2．(2013·长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()图甲图乙图7－1－10A．(1)，(3) B．(1)，(3)，(4)C．(1)，(2)，(3) D．(1)，(2)，(3)，(4)【解析】若图(2)是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图(2)不合要求；若图(4)是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图(4)不合要求，故选A.【答案】A。
《空间几何体的结构特征及其三视图和直观图》优秀教案
学案主人模块函数制作人吴宝军批准人郑敏越制作时间2021年10月日使用时间课时数 2 课题81空间几何体的结构特征及其三视图和直观图要求1．能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测法画出它们的直观图．2．了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．重点三视图题型选择题分值 5 难度一般知识体系自主构建反思高考主线典型题考类型特点描述空间几何体的结构特征评价点1．如图所示的四个几何体，其中判断正确的是（）（1）（2）（3）（4）A．（1）不是棱柱 B．（2）是棱柱C．（3）是圆台 D．（4）是棱锥1考类型特点描述空间几何体的直观图评价点1．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是2考类型特点描述空间几何体的三视图评价点1．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（）A．4πB．2πC．πD．32π2．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱住的侧视图的面积为3、一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是3A、球B、三棱锥 C 、正方体 D 、圆柱典型题自主再现考类型特点描述评价点1考类型特点描述评价点2考类型特点描述评价点3考类型特点描述评价点4 考类型特点描述评价点5考点历年高考真题库1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是A．①是棱台B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱2．（5分）（2021•广东）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A B4 C D23．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）Ａ．Ｂ．433Ｃ．536Ｄ．34．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A）62（B）6（C）62（D）45．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A B C D。
最新必修二1.2.空间几何体的三视图和直观图(教案)
1.2 空间几何体的三视图和直观图教案 A第1课时教学内容：1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图教学目标一、知识与技能1.掌握画三视图的基本技能;2.提高学生的空间想象力.二、过程与方法主要通过亲身实践，动手作图，体会三视图的作用.三、情感、态度与价值观感受空间物体的平面作图原理，体会三视图的奥妙.教学重点、难点教学重点：画出简单组合体的三视图.教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.教学关键：认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球及其组合体的结构特征.教学突破方法：使学生理解三视图的概念的基础上，亲自动手画几何体的三视图，体会三视图的画法．在作图前，要先观察几何体的结构特征，再动手作图.教法与学法导航教学方法：问题教学法，讨论法，练习法.通过提出问题，学生思考并体会几何体三视图的画法.学习方法：自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结.在学生理解三视图概念的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结出得到三视图的画法.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片.学生准备：练习本及铅笔橡皮.教学过程详见下页表格.精品文档教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课1.如何将空间几何体画在纸上，用平面图形来表示.2.我们常用三视图和直观图表示空间几何体.三视图：观察者从三个不同位置观察同一空间几何体而画出的图形.直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体面画出的图形.师：要解决这个问题，我们需要将我们看到的画下来，这就取决于我们怎样去看.生1：我们可从前后角度，左右角度，上下角度看.生2：我们也可站在某一点观察.师：总结空间几何体表示方法，点出主题.让学生发现知识源于实践，又可应用于实践，培养学生应用意识，激发学生学习的激情.探索新知教学中心投影与平行投影.中心投影：光由一点向外散射形成的投影．平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.讨论：三角形在平行投影和中心投影后的结果．师：要学习三视图，首先我们要学习两个知识.中心投影与平行投影生1：联想到棱柱的结构特征，无论是正投影还是斜投影，三角形在平行投影后为结果是与原三角形全等的三角形．生2：三角形在中心投影后得到了一个相似的放大了的三角形.以旧带新，提高知识的系统性和思维的严谨性．探索新知教学柱、锥、台、球的三视图：1.定义三视图：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图.侧视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图.俯视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图.2.观察长方体的三视图.讨论三视图有何基本特征.师：把一空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌．通常，总是选择三种正投影……生：长方体的正视图和侧视图高度一样（等于长方体的高）．俯视图与正视图长度一样（等于长方体的和）．俯视图和侧视图宽度一样（等于长方体的宽）．这个结论可推广到一般简单几何体.我们用“长对正高平齐、宽相等”来概括三视图的基本特征．通过讨论掌握三视图的基本特征，同时通过精炼的语言概括提高学生的记忆效果．精品文档续上表课堂作业1.画出下列空间几何体的三视图．如图1是截去一角的长方体，画出它的三视图.【解析】物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图为图2.精品文档2.由5个小立方块搭成的几何体，其三视图分别如下，请画出这个的几何体（正视图）（俯视图）（右视图）【解析】先画出几何体的正面，再侧面，然后结合俯视图完成几何体的轮廓，如图.3.某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.【解析】（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层.由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间.（2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.楼房大致形状如右图所示.板书展示1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1．情景导入4．三视图2．提出问题5．例题3．平行投影与中心投影的概念俯视图左视图主视图精品文档第2课时教学内容：1.2.3 空间几何体的直观图教学目标一、知识与技能1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图；2.采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点．二、过程与方法通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.三、情感、态度与价值观1.提高空间想象力与直观感受；2.体会对比在学习中的作用；3.感受几何作图在生产活动中的应用.教学重点、难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学关键：掌握斜二测画法及步骤.教学突破方法：本节主要使用启发式和探究式教学．使学生掌握斜二测画法及步骤的基础上，在教师的示例引导下，亲自动手画几何体的直观图，体会斜二测画法.教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法.通过提出问题，学生思考并体会应用斜二测画法画几何体的直观图．在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件具体准确的逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.学习方法：自主探究，自主学习，互动学习，合作交流，动手实践，归纳总结．在学生掌握斜二测画法的基础上，通过实践，熟练掌握应用斜二测画法画几何体的直观图.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）.学生准备：练习本及铅笔橡皮.教学过程精品文档新课师：这些平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，故称为立体图形的直观图.主题探索新知1．水平放置的平面图形的直观图的画法.（1）例1 用斜二测法画水平放置的正六边形的画法：①如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′ =45°.②在图（2）中，以O′为中点，在x′ 轴上取A′D′=AD，在y′ 轴上取M′ N ′ =12MN.以点N ′为中点，画B′C′ 平行于x′ 轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行于x′ 轴，并且等于EF.③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观A′B′C′D′E′F′（图（3））教师用多媒体课件边演示边讲解.学生观察、思考、归纳师：从以上演示我们可以发现画一个水平放置的平面多边形直观图的关键是什么？生：确定多边形顶点的位置.师：请大家尝试归纳平面多边形直观图的基本步骤.生：①选取恰当的坐标系.②画平行线段，截取长度③依次连结各顶点成图（老师板书）师：有哪些注意事项生1：平行于x轴，y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴.多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.探索新知（2）斜二测画法基本步骤.①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或生2：原图中平行于x轴的线段在直观图中保持原长精品文档135°），它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.度不变平行于y 轴的线段长度，为原来的一半.师：在连虚实线的使用等方面予以补充.探索新知2．简单几何体的直观图画法例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的长方体ABCD–A′B′C′D′的直观图.画法：（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN= 4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ =32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段A′A，B′B，C′C，D′D.（4）成图.顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.师：下面我们体会一下，用斜二测画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD、A′B′C′D′的直观图的画法.教师边演示边讲解，学生边观察边思考总结.师：请大家归纳一下直棱柱直观图的画法.生：①画轴②画底画③画侧棱④成图师：有什么注意事项吗？生1：竖直方面保持平行关系和长度关系不变.生2：被遮的部分用虚线.多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.探索新知3．简单组合体画法例 3 已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜二测画法画它的直观图.画法：（1）画轴.如图（1），画x轴、z轴，学生讨论然后简答.生1：这个几何体是一个前后联系加强知识精品文档精品文档使∠xOz =90°.（2）画圆柱的下底面. 在x 轴上取A ，B 两点，使AB 的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB . 选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.（3）在Oz 上截取点O ′，使OO ′ 等于正视图中OO ′ 的长度，过点O ′作平行于轴Ox 的轴O ′x ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.（4）画圆锥的顶点. 在Oz 上截取点P ，使PO ′ 等于正视图中相应的高度.（5）成图. 连接P A ′、PB ′，AA ′，BB ′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图（2））简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底面与圆锥底面相重合. 生2：我们可以先画出上部的圆锥.师：给予肯定然后点拨注意事项.的系统性. 小结1．平面图形斜二测画法. 2．简单几何体斜二测画法. 3．简单组合斜二测画法. 4．注意事项.学生归纳，然后老师补充、完善 小结形成整体思维课堂作业1．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图. 【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE 中，取中心O 为原点，对称轴F A 为y 轴，对点O 与y 轴垂直的是x 轴，分别过B 、E 作GB ∥y 轴，HE ∥y 轴，与x 轴分别交于点G 、H ．画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45°.（2）如图2所示：以点O ′为中点，在x ′轴上取G′H′ = GH ，分别过G′、H′，在x ′轴的上方，作G′B′∥y ′轴，使G′B′ =12GB ；作H′E′∥y′轴，使H′E′ =12HE ；在y′轴的点正视图O ′ O O O′′ O ′ 侧视图俯视图O′上方取O′A′=1 2OA，在点O′下方取O′F′ =12OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′ = CD.（3）连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.2．已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm.用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.【解析】（1）画轴.以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = AB = 6cm，在y轴上取线段GH，使得GH=12AB，再过G、H分别作AB∥EF，CD∥EF，且使得CD的中点为H，AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.（3）画上底面.在z轴上截取线段OO1 = 4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′ = 45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形即所求的正四棱台的直观图（图2）.3．如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =23C1D1 = 2，A1D1精品文档= O′D1 = 1.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1，OC=O′C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1 = 2.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB = 2，CD = 3，直角腰长度为AD = 2.所以面积2322S+=⨯= 5.板书展示1.2.3 空间几何体的直观图1.情景导入2.斜二测画法的概念3.例题教案B第1课时教学内容：1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图教学目标1.了解中心投影与平行投影的区别；2.能画出简单空间图形的三视图；3.能识别三视图所表示的空间几何体.教学重点、难点教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图还原或想象出原实际图的结构特征.教学难点：识别三视图所表示的几何体.教学过程：一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的.复习2：简单组合体构成的方式：________________和__________________.二、新课教学探索新知探究1：中心投影和平行投影的有关概念问题：中午在太阳的直射下，地上会有我们的影子；晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？新知1：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面．光由一点向外散精品文档精品文档射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影，否则叫斜投影．思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射是什么投影？试试：在下图中，分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子.结论：中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.探究2：柱、锥、台、球的三视图问题：我们学过的几何体（柱、锥、台、球），为了研究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画呢？能否用平行投影的方法呢？新知2：为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.1. 长方体的三视图.2. 球的三视图（见下页）3.圆柱的三视图4.圆锥的三视图5.组合体的三视图思考：仔细观察上图的三视图，你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能归纳三视图的画法吗?小结：1．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映长度和宽度，侧视图反映宽度和高精品文档度；2. 正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；3. 三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.探究3：简单组合体的三视图问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗?小结：画简单组合体的三视图，要先观察它的结构，是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何体的三视图，最后组合在一起．注意线的虚实.典型例题例1画出下列几何体的三视图．【分析】画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向．一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图．画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线．物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投影规律.【解析】这两个几何体的三视图如下练习：画出下列几何体的三视图．精品文档回顾与反思：通过师生共同画图，学生独立画图，让学生充分掌握画三视图的画法规则和一般步骤，认识到空间图形与其三视图间的对应关系，进而提高学生的空间想象能力.例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）．【分析】该几何体结构较复杂，可先出示其实物模型，引导学生从三个不同角度观察，找出其轮廓线，进而画出其三视图．在画三视图时，可按相应比例来画.练习：如图，E、F分别为正方形的面ADD1A1、BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的正投影不可能为回顾与反思：在完成例2较复杂图形的三视图后，给出的上述练习，实质上是三视图的一个应用．只要从主视图、俯视图和左视图三个方面来着手，就不难解决问题了.例3 某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状．【分析】三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图．主视图反映物体精品文档的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等．左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难得出该几何体的形状.【解析】该几何体为一个正四棱锥.练习：根据物体的三视图（右图）试判断该物体的形状.回顾与反思：在已基本掌握空间几何体的三视图画法后，由三视图来想象其对应空间几何体，旨在进一步提高学生空间想象能力.思考：某建筑由相同的若干个房间组成，该楼三视图如右下图所示，试问：（1）该楼有几层；（2）最高一层的房间在什么位置；（3）该楼可以有多少个房间？三、课堂小结1. 平行投影和中心投影的有关概念；2. 三视图的概念以及空间物体的三视图的画法规则；3. 如何由物体的三视图判断物体的形状.四、课后作业P20.习题1.2 A组1，2，3.第2课时教学内容：1.2.3 空间几何体的直观图教学目标1.掌握斜二测画法及其步骤；2.能用斜二测画法画空间几何体的直观图．教学重点、难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学难点：直观图和三视图的互化.精品文档精品文档教学过程：一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处） 复习1：中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.复习2：物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；画三视图的要点是_____ 、_____ 、______.引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示．用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图．要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法．我们将学习用斜二测画法来画出它们．你知道怎么画吗?二、新课导学 探索新知探究1：水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的？每条边还相等吗？该怎样把这种效果表示出来呢?上面的直观图就是用斜二测画法画出来的. 典型例题例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. （师生共练，注意取点、变与不变→小结：画法步骤）画法：① 如图（1），在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，对称轴MN 所在直线为y 轴，两轴相交于点O ．在图（2）中，画相应的x′ 轴与y′ 轴，两轴相交于点O′，使∠X′O′Y′=45°.② 在图（2）中，以O ′为中点，在x′轴上取A′D′=AD ，在y′轴上取M′N′=21MN ．以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC ；再以M′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF .③ 连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））.新知1：斜二测画法的基本步骤：①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O′X′，O’Y′，使'''=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面；X OY③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X′ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y′ 轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.练习：用斜二测画法画水平放置的正五边形.讨论：把一个圆水平放置，看起来像个什么图形?它的直观图如何画？结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭圆模板来画.探究2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.画法：①画轴．如上图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．精品文档②画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=23cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.③画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm 长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.④成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：x轴，y轴，z轴；它们相交于点O，且45xOy∠=°，90xOz∠=°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x轴的线段保持长度不变，平行于y轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z轴的线段，保持长度不变.例3如下图，已知几何体的三视图（见下页左图），用斜二测画法画出它的直观图.【分析】由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.画法：①画轴．如上图（1），画x轴、z轴，使∠xOz=90°.②画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面.③在Oz上截取点O′，使OO′等于正视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.④画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于正视图中相应的高度.⑤成图．连接P A′，PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图（图⑵）．强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系.精品文档。
空间几何体的三视图和直观图说课稿 教案 教学设计
空间几何体的三视图和直观图示能力）(35分钟)概念中心投影：光由一点向外散射形成的投影.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影.一会找同学分别回答。
刚才几个同学回答的对吗？请讨论修正好，现在我们看多媒体出示《课件2》。
三视图的概念学生看书记忆三视图的概念，教师巡回指导，之后各个学习小组选一名学生代表回答几何体的三视图概念及画法，之后老师出示《课件3》。
.三视图（1）空间几何体的三视图是指几何体的正视图、侧视图、俯视图 .（2）三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从正面、上面、左面观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.（3）三视图的画法规则：俯视图放在正视图的下方，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右边，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.（简称“长对正，高平齐，宽相等”）同学们，看书后学习小组进行讨论回答：空间几何体的三视图是指什么呢？画法规则是什么呢？大家看书后同桌交流一下，一会我指定几名同学回答。
好了，请这一列学生从前到后分别回答问题才的问题。
回答的很好，请看多媒体（出示《课件3》）例题解答学生看导学案完成例题，难度大的小组讨论，完成导学内容，并派代表说出小组结论，教师参与小组讨论指导个别小组或学生并汇总结果并反馈。
之后，老师出示《课件4》的前6张例1．画出下列各几何体的三视图：前面我们学习了几何体三视图的概念，以及画法，接下来大家看导学案的例题并给出解答。
自己先独立思考并解答，做完后小组交流，一会请每个小组的代表说出你们的结论。
（回答后）其他同学又补充的的吗？现在，看多媒体订正自己的答案。
看多媒体（出示课件4）例2．一个几何体的三视图如下,你能分别说出它是什么立体图形吗?答案：（1）、（2）均为正六棱柱巩固提高学生先独立思考完成导学案，之后小组交流老师参与其中指导个别组和学生。
然后教师出示《课件4》的第7、8张，学生与课件内容对比，订正自己思路和步骤。
空间几何体的结构,直观图和三视图 教案
适用学科 适用区域 知识点 教学目标高中数学 人教版区域适用年级 课时时长（分钟）高二 2 课时三视图、画三视图的原则、直观图、斜二测画法的步骤 掌握画三视图的基本技能和方法； 提高学生空间想象力，体会三视图的作用．教学重点 教学难点画出简单组合体的三视图． 识别三视图所表示的空间几何体．【教学建议】 本节重点是认识空间几何体的结构特征．画出空间几何体的三视图、直观图、培养空间 想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。
由空间图形数出其结构特征，由 结构特征想象出空间几何体， 进行空间图形与其三视图的相互转化， 是达到本节课程目标的 重要方法。
本节中的有关概念， 主要采用分析具体实例的共同特点， 再抽象其本质属性空间而得到。
教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后 再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念． 学生在初中学过平面几何， 掌握了大量的平面几何知识， 进行过一定量的逻辑推理训练， 为学习立体几何打下了基础。
但学习立体几何不仅需要较强的逻辑思维能力， 还需要丰富的 空间想象能力。
学生常感到立体几何难学，究其原因主要有几点： （1）消极心理的影响 “代数繁，几何难”，在学生中广为流传，使不少学生还未学习立体几何就已经产生了畏 惧心理，他们对学好立体几何信心不足，对怎样学习心中无底，这种消极心理必然会给学生 造成消极影响. （2）思维定势的影响 受初中所学平面几何时形成的思维定式的束缚，常将平面几何中的概念、定理照搬 照用. （3）缺乏空间想象力 缺乏空间想象力，常将空间问题看成平面问题，作图、识图难。
作图中不知何时该用实 线，何时该用虚线，作出的图形缺乏立体感。
识图中相交、异面分不清，大角、小角分不清， 是否平行、垂直分不清。
【知识导图】第 1 页教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节， 是为了激发学生的学习兴趣， 帮助学生尽快进入学习状 态。
高三数学 7.1空间几何体教案
7.1空间几何体【高考目标定位】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、考纲点击（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
2、热点提示1、高考考查的热点是三视图和几何体的结构特征，借以考查空间想象能力；2、以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。
二、空间几何体的表面积与体积1、考纲点击了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；2、热点提示（1）通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力；（2）多与三视图、简单组合体相联系；（3）以选择、填空的形式考查，属容易题。
【考纲知识梳理】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。
各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C。
（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形。
（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台。
2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。
3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。
空间几何体的三视图和直观图教学设计
1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图一、学情分析空间几何体的三视图在初中时候遇到过，高中的学习深度和概括程度比初中时候要求提高，投影是三视图的基础，讲解中心投影和平行投影的时候应结合具体实例。
三视图的学习主要通过学生自己动手实践来完成，这样可以提高学生的空间想象能力和几何直观能力。
学生在学习过程中可能出现以下问题：1、学生在画三视图时对轮廊和棱的实线和虚线分不清楚可能导致作图出现错误。
2、学生在识别三视图时由于空间想象力不足，可能在识别特殊三棱锥和一些简单组合体的三视图时出现障碍3、由于空间想象力的不足，学生在学习三视图中的边长关系时可能难以理解。
二、学习内容分析本节课是普通高中新课程人教版《必修2》第一章第二节第一课时。
三视图利用物体的三个投影来表现空间几何体,是用平面图形表示空间几何体的一种方式。
它能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征,使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构。
本节课的内容包括三视图的形成和三视图的画法。
通过本节的学习,不仅为后续学习直观图奠定基础,同时有利于培养学生空间想象能力、几何直观能力。
尤其是空间想象能力,它是高中阶段数学必修课的一个基本要求。
三视图正是培养和考察学生空间想象能力的一个契机。
新课程改革以来,三视图再次进入高中教材,短短几年已成为高考考查的重点内容之一。
此外,目前在机械制造和工程建设等许多领域,零件图纸、建筑图纸都是三视图,三视图有着广泛的应用。
三、设计思路：教育部《基础教育改革纲要》明确指出：改革过于注重知识传授倾向的过程，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。
倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力。
我校以“诱思探究理论”为指导思想，以“积极学习101种有效教学策略”为方针，坚持以学生的发展为本，把学习的主动权交给学生，把课堂还给学生，让学生的思维插上飞翔的翅膀，充分实现学生的主体性。
空间几何体的结构及其三视图和直观图教案
第八章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图基础知识整合:知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)旋转体的结构特征(3)特殊的四棱柱I ms i底面为平行四边形I—&侧棱垂直于底面I古卫尸亠才并I底面为矩形底面为正方形直平行六面体I --- »|长方体I > I十E込一I侧棱与底面边长相等|十亠耳|I正四棱柱I -------------------- T正方体I2.直观图(1)画法：當用羽斜二测画法.⑵规则①原图形中X轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，*轴、F轴的夹角为国45。
(或135。
)，T轴与疋轴和F轴所在平面丽垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍丙1平行于坐标轴.平行于X 轴和z轴的线段在直观图中保持原长度31不变,平行于y轴的线段长度在直观图中丙变为原来的一半.3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的回生前方、丽正左方、阿正上方观察几何体画出的轮廓线.说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图.(2)三视图的画法①基本要求：画长对正，因高平齐，宽相等.②画法规则：丽正侧一样高,国］正俯一样长,丽侧俯一样宽;重叠的线只画一条，看不到的线画国虚线.1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放責的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.(3)水平放責的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放責的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮扌当的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚” •在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.3.斜二测画法中的“三变”与“三不变”［坐标轴的夹角改变，“三变” ｛与轴平行的线段的长度变为原来的一半，、图形改变.［平行性不改变，“三不变” < 与尤，乙轴平行的线段的长度不改变,、相对位責不改变.4.直观图与原图形面积的关系原图彬(或s原图影= 2&S直观图).「双基自测1.下列结论正确的是()A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B.六条棱长均相等的四面体是正四面体C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 答案B解析 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱 锥，A 错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C 错误；截面平行于底面时， 底面与截面之间的部分才叫圆台，D 错误.2. 如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A. ①② C.②④答案C视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视 图都不相同，故选C.3. —水平放責的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观 图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A. 2羽 C. 4^3 答案D解析 由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的 —组对边长为2.在斜二测画法画岀的直观图中，ZB* O' A' =45。
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 教案
教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 多面体的结构特征考点/易错点2 旋转体的形成考点/易错点3 简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．考点/易错点4 平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．考点/易错点5 三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三、例题精析【例题1】【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【答案】B【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．【例题2】【题干】(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3【答案】D.D【解析】(1)由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A(2)依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3【例题3】【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋2 B.1＋22C.2＋22D．1＋ 2【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2【例题4】【题干】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC 的面积．【解析】建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin 45°，所以OC′＝sin 120°sin 45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a.所以S△ABC ＝12×a×6a＝62a2.四、课堂运用【基础】1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：选B由斜二测画法知B正确．3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而P A＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 2【巩固】1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()A．2 3 B．3C. 3 D．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 3．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中 VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S△VBC ＝12×23×23＝6.【拔高】1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是()A．1 B.32 2C. 2D. 3解析：选D如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A1BC1垂直时，∵面ACD1∥面A1BC1，∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则3a＝2，∴a＝6 3.∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎪⎫632＝ 3.此时投影面积最大，故D正确．2．已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：82π3课程小结1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．课后作业【基础】1．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC投影在面P AD上，故B正确．3．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3 解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋3.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533. 答案：533【巩固】1．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：32．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)． 解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.【拔高】1．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC ＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2.答案：4＋3 22．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.∵E为AA1的中点，O为AC的中点，∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．∴OE∥A1C.∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴OE∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22，S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a 28，∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.。
高中数学教案之空间几何体的三视图与直观图
.
（ 2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的 交线位置 .
（ 3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都
用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出 . （ 4）要检验画出的三视图是否符合 “长对正、 高平齐、 宽相等 ”的基本特征， 即正、 俯视图长对正； 正、
A. ④③②
B.②①③
C.①②③
D.③②④
分析： 由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；由
于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都
是三角形， 则乙是三棱锥； 由于丙的俯视图是圆， 则该几何体是旋转体， 又因正视图和侧视图均是三角形，
“正视
图 ”，自左向右投影所得的投影图称为 “侧视图 ”，自上向下投影所得的投影图称为 “俯视图 ”用．这三种视图
即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为
“三视图 ”．
教科书从复习初中学过的正方体、 长方体 …… 的三视图出发， 要求学生自己画出球、 长方体的三视图；
接着， 通过 “思考 ”提出了 “由三视图想象几何体 ”的学习任务 .进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中
图9 .对于简单空间几何体的组合体， 一定要认真观察， 先认识它
图 10 答案： 三视图如图 11 所示 .
图 11
思路 2 例 1 （2007 安徽淮南高三第一次模拟，文 16）如图 12 甲所示，在正方体 ABCD — A 1B1C1D 1 中， E、 F 分别是 AA 1、C1D1 的中点， G 是正方形 BCC1B1 的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可 能是图 12 乙中的 ____________.