高中数学—02—复数的方根与实系数一元二次方程—学生版

一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ①31ω=， ①21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； 复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理图1图2（3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（2）50820028)1i i ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭．【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+．【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．2．计算：（11996= ．（2= ．3．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21nn ωω++，*n ∈N ．2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ．2．，，求的值.3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值．【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？1≠ω13=ω32302ωωω+++Λ（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根．2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．3．已知,0x y ≠且，求20092009()()x y x y x y+++的值.4．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值．5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。

【例15】设复数β满足条件()()31331n n a a ββ++--=+-（其中*n N ∈，3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），当n 为奇数时，动点(),P x y 的轨迹为1C ；当n 为偶数时，动点(),P x y 的轨迹为2C ，且两条曲线都经过点022=++y xy x(D ，求轨迹1C 与的2C 方程【例16】设虚数z 满足100204tm z m z -+=（m 为实常数，0m >且1m ≠，t 为实数）． （1）求z 的值；（2）当*t ∈N ，求所有虚数z 的实部和；（3）设虚数z 对应的向量为OA u u u r （O 为坐标原点），(,)OA c d =u u u r，如0c d ->，求t 的取值范围．【巩固训练】1．若复数z 满足121z z +=-，试判断复数z 在复平面上对应的点的轨迹图形，并求使z 最大时的复数z ．2．已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0482016a a a a ++++g g g 的值。

3．考虑复平面上的正方形，它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程0234=++++s rx qx px x 的四个根，求这种正方形面积的最小值。

4．设复数(,)x yi x y β=+∈R 与复平面上点),(y x P 对应．（1）若β是关于t 的一元二次方程220t t m -+=（m ∈R ）的一个虚根，且2||=β，求实数m 的值； （2）设复数β满足条件a a n n )1(3|3|)1(|3|-+=--++ββ（其中*n ∈N 、常数)3,23(∈a ），当n 为奇数时，动点()P x y 、的轨迹为1C ．当n 为偶数时，动点()P x y 、的轨迹为2C ． 且两条曲线都经过点(2,2)D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点B ()00,0(0)x x >的最小距离不小于332，求实数0x 的取值范围．（1）求解复数的平方根或立方根可以利用待定系数法．（2）对于实系数一元二次方程的问题，第一考虑方程的根的判别式，第二考虑韦达定理，第三考虑已知条件；对于已知条件中有两数和、两数积的条件，可以构造相应的方程，从而求解．1．满足()i i n -+112+()ii n+-112=2n 的最小自然数为( ）A ． 1B ．2C ．3D ．42．已知复数z 满足1=z ，且15=+z z ，则复数z ＝ 3．设复数12,z z 满足112123,33z z z z z =+=-=，则()()2000200021312log z z z z += .4．设12,z z C ∈，已知13z =，25z =，1210z z -=，求12z z +的值.5．若关于x 的方程03222=-++a a ax x 至少有一个模为1的根，求实数a 的值．6．设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．7．若关于的方程有纯虚数根，求的最小值．8．在复数范围内解方程x x x 23623-=+．9．关于x 的二次方程0212=+++m z x z x 中，m z z ,,21均是复数，且，设这个方x 2430x zx i +++=z i z z 20164221+=-课后练习反思总结程的两个根βα,满足72=-βα，求m 的最大值和最小值。