高中数学 3-2-1 几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1
学法指导：对于三种函数增长的几点说明： (1)对于幂函数 y＝xn，当 x＞0，n＞0 时，y＝xn 才是增函 数，当 n 越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是 a＞1，又它们的图 象关于 y＝x 对称，从而可知，当 a 越大，y＝ax 增长越快；当 a 越小，y＝logax 增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞ 1)．
思路方法技巧
1
[例 1] 表：
x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 2 5 26 32 10 4.322
考查函数模型的增长差异
四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下
10 101
15 226
20 401
25 626
30 901
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 5.322 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
个变量的增加值最大，则该变量关于 x 呈指数函数变化．
[解析]
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开 始变化，变量 y1，y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速率不 同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可 知变量 y2 关于 x 呈指数函数变化．
函数 性质 图象 单调性
y＝a (a>1)
x
y＝ logax(a>1)
y＝xn(n>0)
递增
递增
递增
增长速度
越来越快
越来越慢
n>1，越来越快； 0<n<1，越来越慢
图象变化
随 x 的增大 随 x 的增大 n>1 时，越来越陡； 逐渐变陡 逐渐变缓 0<n<1 时，越来越缓
结论
总会存在一个 x0， 使得当 x>x0 时， 就有 logax<xn<ax
规律总结：解决本题的关键是如何确定变量间的关系 是指数函数关系， 不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值， 还要看函数值的变化趋势.
自主预习
一次函数模型 1．我们常见的几种函数模型为_____________、正比例
二次函数模型、指数函数模型 函数和反比例函数模型、______________________________、
对数函数模型、幂函数模型 _________________________、分段函数模型．
2．指数函数、对数函数和幂函数模型
3.指数函数、对数函数、幂函数的衰减差异 对于函数 y＝ax(0<a<1)， n(n<0)， y＝x y＝logax(0<a<1)在(0， ＋∞)上尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在 同一个“档次”上． 随着 x 的增大， 函数 y＝ax(0<a<1)的衰减速度会越来越慢， 并且远远小于函数 y＝xn(n<0)的衰减速度， 但是它们的函数值 始终大于 0；而对于函数 y＝logax(0<a<1)，衰减速度也是越来 越慢，并且当 x>1 时，函数值小于 0，会越来越小． 因此， 总会存在一个 x0， 使得当 x>x0 时， 就有 logax<xn<ax.
x 7 8 9 10
2x 128 256 512 1 024
x2 49 64 81 100
2x＋7 21 23 25 27
log2x 2.807 3 3.170 3.322
试问：(1)随着 x 的增大，各函数的函数值有什么共同的 变化趋势？ (2)各函数增长速度快慢有什么不同？
[解析]
(1)随着 x 的增大，各函数的函数值都在增大．
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 40 6.322 50 6.644 60 6.907
2 4.322 5.322 5.907
关于 x 呈指数函数变化的变量是________．
[答案]
y2
[分析]
从表格观察函数值 y1，y2，y3，y4 的增加值，哪
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中 f(x) ＝2x 的增长速度最快，而且越来越快；其次为 f(x)＝x2，增长 的幅度也在变大；而 f(x)＝2x＋7 增长速度不变；增长速度最 慢的是 f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
第三章
函数的应用
第三章
3．2 函数模型及其应用
第三章
3．2.1 几类不同增长的函数模型
课前自主预习 基础巩固训练 方法警示探究 思路方法技巧
能力强化提升
建模应用引路
课前自主预习
温故知新
(0，＋∞) 1．对数函数 f(x)＝log2x，在其定义域____________上是 增 ____ (填“增”或“减”)函数．
新课引入 1859 年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲 的牧草茂盛，而且没有天敌，兔子的数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的 兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了大量的牧草，草原的 载畜率大大降低，这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种 方法消灭这些兔子，但一直没有多大效果，直到 20 世纪 50 年代，科学家采用一种叫载液瘤的病毒杀死了百分之九十的 野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
(3)指数函数与幂函数，当 x＞0，n＞0，a＞1 时，可能开 始时有 xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当 x 大于某一个 确定值 x0 后，就一定有 ax＞xn.
[例 1] 下面是 f(x)随 x 的增大而得到的函数值表： x 1 2 3 4 5 6 2x 2 4 8 16 32 64Байду номын сангаасx2 1 4 9 16 25 36 2x＋7 9 11 13 15 17 19 log2x 0 1 1.585 2 2.322 2.585
1x 2．已知函数 f(x)与 g(x)＝(2) 的图象关于 y 轴对称，则满
(0，＋∞) 足 f(x)>1 的 x 的取值范围____________．
3.
某地的水电资源丰富，并且得到了电费 y(元)与用电量 x(度)之间的函数关系如图所示：则月用电量为 100 度时，应
60 交电费______元．
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人教A版数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型
1.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图象（a=2).
x
0.2 0.6 1.0 1.4 y
y=2x 1.149 1.516 2 2.639 5
y=x2 0.04 0.36 1 1.96 4 y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 3
1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … 2
即当x [10,1000时] ，是否有
y log7 x 1 0.25
x
x
令f (x) log7 x+1-0.25x,x [10,1000] 利用计算机作出函数 f (x) 的图象
由图象可知它是递减的， 因此 f (x) f (10) 0.3167 0,
即 log7 x 1 0.25x
y=2x y=x2 B
从图象看出y=log2x的图象与另外两函数 的图象没有交点，且总在另外两函数图 象的下方，y=x2的图象与y=2x的图象有两 个交点(2，4)和（4，16）.
4 A y=log2x 1 o 1234 x
3.根据图象,分别写出使不等式 log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围.
其中哪个模型能符合公司的要求？
思路分析：
某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖 励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售 利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合 公司要求即可.
高中数学课件
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3.2函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
1.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函 数及幂函数的增长差异; 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不 同增长的函数模型的意义; 3.体会数学在实际问题中的应用价值.
【数学】3.2.1《几类不同增长的函数模型》(新人教A版必修1)PPT优秀课件
作出三个方案的图象看看?
图112-1
我想问
从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天 的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能 把前11天回报的累积值算出来吗?
累计回报表
天数
方案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
12.8
8 40 0
80 10
51.2
25.6
9 40 0
90 10
102.4
51.2
…… …
……
…
…
30 40
0
300 10 214748364.8 107374182.4
我想问 我来说 我想问
根据所列的表格中提供的数据,你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有什 么认识?
方案一每天的回报不变;方案二、三每天的 回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回 报越来越大,比方案二要大得多。
综上所述,模型 ylog7 x1确实符合公司的要
求。
练一练
练习:P98 T1
限时4分钟
探究：你能否仿照前面例题使用的方
法,探索研究幂函数 yxn(n0) .
指数函数 y ax(a1) .
对数函数 ylogax(a1)
在区间(0,+∞)上的增长差异?
结论 一般地,对于指数函数 y ax(a1) 和幂函数 yxn(n0)
通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大
x a 多少,尽管在x的一定变化范围内, x 会小于 n , x a 但由于 x 的增长快于 n 的增长,因此,总存在一
个同样x 0 地,当,对x于对x数0 时函,数就会y有loagax x(axn1)和幂函数
图112-1
我想问
从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天 的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能 把前11天回报的累积值算出来吗?
累计回报表
天数
方案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
12.8
8 40 0
80 10
51.2
25.6
9 40 0
90 10
102.4
51.2
…… …
……
…
…
30 40
0
300 10 214748364.8 107374182.4
我想问 我来说 我想问
根据所列的表格中提供的数据,你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有什 么认识?
方案一每天的回报不变;方案二、三每天的 回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回 报越来越大,比方案二要大得多。
综上所述,模型 ylog7 x1确实符合公司的要
求。
练一练
练习:P98 T1
限时4分钟
探究：你能否仿照前面例题使用的方
法,探索研究幂函数 yxn(n0) .
指数函数 y ax(a1) .
对数函数 ylogax(a1)
在区间(0,+∞)上的增长差异?
结论 一般地,对于指数函数 y ax(a1) 和幂函数 yxn(n0)
通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大
x a 多少,尽管在x的一定变化范围内, x 会小于 n , x a 但由于 x 的增长快于 n 的增长,因此,总存在一
个同样x 0 地,当,对x于对x数0 时函,数就会y有loagax x(axn1)和幂函数
数学必修Ⅰ人教新课标A版3-2-1几类不同增长的函数模型课件(33张)
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用 对数函数模型． (3)幂函数模型 y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n 值越小(n≤1) 时，增长较慢；n 值较大(n>1)时，增长较快.
数学 必修1
第三章 函数的应用
数学 必修1
第三章 函数的应用
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
(3)对数函数模型 对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的 速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数 y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
数学 必修1
第三章 函数的应用
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用__指__数__函__数__(_底__数__a_>_1_)__表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模 型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆 炸．
学案·新知自解
教案爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，变量 y1， y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画 出它们的图象(图略)可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．故填 y2. 答案： y2
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲： y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用 ________作为函数模型．
数学 必修1
第三章 函数的应用
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第三章 函数的应用
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
(3)对数函数模型 对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的 速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数 y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
数学 必修1
第三章 函数的应用
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用__指__数__函__数__(_底__数__a_>_1_)__表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模 型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆 炸．
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教案爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，变量 y1， y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画 出它们的图象(图略)可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．故填 y2. 答案： y2
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲： y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用 ________作为函数模型．
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件2 新人教A版必修1
第三章 函数的应用
3.2.1
几类不同增长
的函数模型(二)
3.2.1几类不同增长的函数模型
探究：
当x > 0时， y = 2 和 y x 的增长差异。
x 2
思考：用什么来刻画一个函数增长快慢呢？
图
3.2.1几类不同增长的函数模型
打个比方： 函数赛跑， 自变量好比时间，函数值就像路程， 快慢的关键就是平均速度 （单位时间内走过的路程）。
但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在
一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
3.2.1几类不同增长的函数模型
结论2：
一般地，对于指数函数y= logax(a>1) 和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得 越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽 管在x的一定范围内， logax可能会大于xn，但由于
随着x的增大，y = 2x 的增长速度越来越快，会超过并远远 大于y = x2的增长速度，而y = log 2 x的增长速度会越来越慢。 当x > 4时，有2x > x 2 > log 2 x。
x
2
它们都是增函数，但增长速度不同，不在同一个“档次”上。
x n
3.2.1几类不同增长的函数模型
源自生活，高于生活，服务生活 ——数学的应用价值
3.2.1几类不同增长的函数模型
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，
尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，
3.2.1
几类不同增长
的函数模型(二)
3.2.1几类不同增长的函数模型
探究：
当x > 0时， y = 2 和 y x 的增长差异。
x 2
思考：用什么来刻画一个函数增长快慢呢？
图
3.2.1几类不同增长的函数模型
打个比方： 函数赛跑， 自变量好比时间，函数值就像路程， 快慢的关键就是平均速度 （单位时间内走过的路程）。
但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在
一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
3.2.1几类不同增长的函数模型
结论2：
一般地，对于指数函数y= logax(a>1) 和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得 越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽 管在x的一定范围内， logax可能会大于xn，但由于
随着x的增大，y = 2x 的增长速度越来越快，会超过并远远 大于y = x2的增长速度，而y = log 2 x的增长速度会越来越慢。 当x > 4时，有2x > x 2 > log 2 x。
x
2
它们都是增函数，但增长速度不同，不在同一个“档次”上。
x n
3.2.1几类不同增长的函数模型
源自生活，高于生活，服务生活 ——数学的应用价值
3.2.1几类不同增长的函数模型
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，
尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，
必修1课件：3.2.1《几类不同增长的函数模型》课件(新人教A版必修1)
一般地， 一般地，对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 和幂函数y=xn 和幂函数
-5
18
16
14
f( x) = x2
10 8
12
g ( x) = 2x
6
h(x)=lo g 2 x
4 2
(n>0)，通过探索可以发 ， 现：
O
-2
5
10
15
20
-4
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少， 上 无论 比 大多少 大多少， 在区间 尽管在x的一定范围内 的一定范围内， 会小x 尽管在 的一定范围内，ax会小 n， 但由于a 的增长快于x 的增长， 但由于 x的增长快于 n的增长，因 此总存在一个x 此总存在一个 0，当x>x0时，就会 有ax>xn.
x −1
我们看到， 我们看到，底 为2的指数函 数模型比线性 函数模型增长 速度要快得多。 速度要快得多。
y = 10x
y = 40
4
6
8
10
12
x
图112-1
从每天的回报量来看： 从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 天 方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 天 方案二最多： 天以后， 第9天以后，方案三最多； 天以后 方案三最多；
所以， 所以，当x∈ [10,1000]， ∈ ，
log 7 x +1 < 0.25 x
2010-12-28
对数函数y = log a x(a > 1), 指数函数y = a
n
x
(a > 1)与幂函数y = x (n > 0)在区间(0,+∞) 上都是增函数.
从上节课的两个例子中可以看到， 从上节课的两个例子中可以看到，这三类 函数的增长是有差异的，那么， 函数的增长是有差异的，那么，这种差异 的具体情况到底怎么样呢？ 的具体情况到底怎么样呢？
-5
18
16
14
f( x) = x2
10 8
12
g ( x) = 2x
6
h(x)=lo g 2 x
4 2
(n>0)，通过探索可以发 ， 现：
O
-2
5
10
15
20
-4
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少， 上 无论 比 大多少 大多少， 在区间 尽管在x的一定范围内 的一定范围内， 会小x 尽管在 的一定范围内，ax会小 n， 但由于a 的增长快于x 的增长， 但由于 x的增长快于 n的增长，因 此总存在一个x 此总存在一个 0，当x>x0时，就会 有ax>xn.
x −1
我们看到， 我们看到，底 为2的指数函 数模型比线性 函数模型增长 速度要快得多。 速度要快得多。
y = 10x
y = 40
4
6
8
10
12
x
图112-1
从每天的回报量来看： 从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 天 方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 天 方案二最多： 天以后， 第9天以后，方案三最多； 天以后 方案三最多；
所以， 所以，当x∈ [10,1000]， ∈ ，
log 7 x +1 < 0.25 x
2010-12-28
对数函数y = log a x(a > 1), 指数函数y = a
n
x
(a > 1)与幂函数y = x (n > 0)在区间(0,+∞) 上都是增函数.
从上节课的两个例子中可以看到， 从上节课的两个例子中可以看到，这三类 函数的增长是有差异的，那么， 函数的增长是有差异的，那么，这种差异 的具体情况到底怎么样呢？ 的具体情况到底怎么样呢？
高中数学人教A版必修一课件：3.2.1 几类不同增长的函数模型
【备用例1】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮 才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时) 体温的变化情况的是( )
解析:观察图象A,体温逐渐降低,不合题意;图象B不能反映“下午体温又
解析:几种函数模型中,指数函数增长速度最快,故选D.
3.(函数模型)对于两个变量x,y2x 0 0.9 (B)y=2x (D)y=x2 1 2 2 4.1 C 3 7.9 4 16.2
则x,y间拟合效果最好的曲线方程是(
)
4.(函数模型)若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的关系
式为
答案:y=
.
1 2 x (x>0) 2
课堂探究·素养提升
题型一 图象信息迁移问题 【例1】 如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元) 与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:
(1)通话2分钟,需付电话费 (2)通话5分钟,需付电话费 .
元; 元;
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
【情境导学】
导入 在同一坐标系内观察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x;
(2)y=log2x,y=log3x,y=log4x; (3)y=x2,y=x3,y=x4;
(4)y=2x,y=log2x,y=x2.
想一想
指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的
(2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小. 解:(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件1 新人教A版必修1
常数函数 没有增长 一次函数 匀速增长 指数型函数 急剧增长
解析法 列表法
函数问题的解
图象法
读懂题意
实际问题 数学问题
抽象概括
（函数模型）
例2:某公司为了实现1000万元的利润目标，准备 制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润 达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的 增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25% ．现有三个奖励模型：
预报和决策
控制和优化
问题2：如何验证 log7 x 1 0.25x
例2:某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25% ．现有三个奖励模型：
40 40 40 40
40
0 0
0 0 0 0 0
10 20
30 40 50 60 70 80 90
…
10 10
0.4
0.8 1.6
10 10 10
10 10 10 … 10
1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
…
3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …
8 9 … 30
例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投 资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问：你会选择哪种投资方案？
日 回 报
回报量
解析法 列表法
函数问题的解
图象法
读懂题意
实际问题 数学问题
抽象概括
（函数模型）
例2:某公司为了实现1000万元的利润目标，准备 制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润 达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的 增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25% ．现有三个奖励模型：
预报和决策
控制和优化
问题2：如何验证 log7 x 1 0.25x
例2:某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25% ．现有三个奖励模型：
40 40 40 40
40
0 0
0 0 0 0 0
10 20
30 40 50 60 70 80 90
…
10 10
0.4
0.8 1.6
10 10 10
10 10 10 … 10
1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
…
3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …
8 9 … 30
例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投 资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问：你会选择哪种投资方案？
日 回 报
回报量
新人教A版必修一3.2.1《几类不同增长的函数模型》ppt课件
第6天
第7天 ……
第 21 天 第 22 天
…… 第 31 天
……
……
1.07374109
…… ……
y 10x 1 x 30, xZ ，单位是万元.
1. 直线 y kx bk 0 模型，其增长特点是
.
y 2x1 1 x 30, xZ ，单位是分.
2.指数函数： y a xa 1 模型，其增长特点是
模型 3：从模型 y=log7x+1 观察，用模型 y=log7x+1 奖励时， 才符合公司的要求
3. 对数函数：y loga xa 1 模型，其增长特点是
.
1．四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表
x 0 5 10 15
20
25
30
y1 5 130 505 1130 2005
问题 2：三种方案所得回报的增长情况
方案一 x/天
y/元 增加量/元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
…
30
方案二 x/天
y/元 增加量/元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
…
30
方案三 x/天
y/元 增加量/元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
…
30
问题 2：三种方案所得回报的增长情况
方案一 x/天
y/元 增加量/元
1
40
2
40
0
3
人教新课标A版《必修1》3.2.1 几类不同增长的函数模型
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的
100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其 “增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得 快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回 报看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一样多，方
来说，兔子这种外来物种缺乏
天敌，导致兔子呈现疯狂的
“指数级” 增长.
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
例1
假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，
这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30
表 格 法
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
y
方案三：������ = ������. ������ × ������������−������ (������ ∈ ������ ∗ 方案二：������ = ������������������(������ ∈ ������ ∗
第三章
函数的应用
§3.2
3.2.1
函数模型及其应用
几类不同增长的函数模型
Байду номын сангаас 学习目标
1.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的 增长差异； 2.结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模 型的意义； 3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.
引入课题
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个 模型是否符合公司要求即可.
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个 模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数 的图象，得到初步的结论再通过具体计算， 确认结果.
2
1 O 200 400 600 800 1000
x
图象 y
8 7 6 5 4 3 y＝log7x＋1 y＝0.25x y＝1.002x y＝5
2
1 O 200 400 600 800 1000
x
解： 借助计算机作出函数y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10,1000] 上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在 直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终 在y＝5的下方，这 y 说明只有按模型 8 y＝0.25x y＝log7x＋1进行 y＝1.002x 7 奖励时才符合公 6 司的要求，下面 y＝5 5 通过计算确认上 y＝log7x＋1 4 述判断. 3 2 1 O 200 400 600 8001000 x
图象 y
8 7 6 5 4 3
2
1 O 200 400 600 800 1000
x
图象 y
8 7 6 5 4 3 y＝5