1-1行列式的定义
第一章 行列式
第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。
在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。
因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。
全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。
这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。
即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。
第一章行列式第一讲
（2）消去变换法：通过行列的加减使大部分元素变为零，然后进行计算。 例：计算 1 2 3 n x 1 2 n 1 D得
1 x 0 0 D 0 x 1 1 x 0 0 x 1 1 x 0 x 1 x x 1 1 1 1 1 1
a00
a00
....
a00
1 1 1 1 k 1 k .... a1k x1 a1k x2 a1k xn1 k k 0 k 0 k 0 D .... .... .... . n 1 n 1 n 1 n 1 k n 1 k .... an1k xnn 1 k an1k x1 an1k x2 k 0 k 0 k 0 1 1 x1 x2 n 1 ai0 .... .... i0 x1n 1 x2n 1 .... .... .... 1 xn n 1 a (x x ) . i i 0 j 0 1 j i n i .... xnn 1
令右下角的元素1=x+(1-x)将行列式表示为两个行列式之和得
1 x 1 1 0 1 x 0 0 1 x D 0 0 0 x x x
0 1 x 1 1 0 0 1 x 0 0 0 1 x 0 1 x 0 0 0 0 x 1 x x x x
的第i列，则有
三、行列式的计算
（1）提公因子法：将行列式某行(列)的公因子提出来，再进行计算。 例：计算
第1讲行列式
ri krj ci kc j
a11 D a21 an1
a1 j a2 j anj
a1i a2i ani
a1n a2 n ann
a11 ci kc j a21 an1
a1 j a2 j anj
a1i ka1 j a2i ka2 j ani kanj
a1n a2 n ann
例2 计算
1 2 D 0 1
0 1 1 3
1 3 0 4
2 1 1 2
解
1 0 D 0 0
利用性质化成上三角形行列式
0 1 1 3 1 1 0 5 2 5 1 4
1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 5 1 6 2 19
1 0 0 0
0 1 2 1 1 5 31 0 1 6 0 0 31
1 0 0 0
2 1 0 0
4 4 88 10 22
例4 计算
2 1 D 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
解： 这个行列式有一个很特殊的特点：
其每一行的元素之和均为5。
c1 c 3 5 c1 c 2 5
c1 c 4
D
5 5
r4 r1
1 2 1 1
1 1 2 1
计算方法： 对角线法则
主对角线及平行于主对角线的元素的 乘积冠正号。 副对角线及平行于副对角线的元素的 乘积冠负号。
例 1： 计算三阶行列式
解：
注：对角线法只适用于二、三阶行列式。
三、排列与逆序数
定义1 由正整数1，2，……, n 组成的一个
有序数组称为一个n级排列（permutation） n级排列的个数共有 n！种。 即 1，2，……, n 。的全排列。我们关心的是
1_1行列式定义性质与计算
阶下三角形行列式D的值 例3．计算 n 阶下三角形行列式 的值 ． 0 … 0 0 b1 0 … 0 b2 * D= … … … … … 0 bn-1 * * * bn * * * * 解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， 第一行只能取b 第二行只能取 2， ， n-1行只能 第一行只能取 1， 第二行只能取b 第 行只能 不为零的 取bn-1， n 行只能取 n .这样不为零的乘积项只有 第 行只能取b 这样不为零 乘积项只有 b1b2b3 bn， 所以 D = (1)τ(n n-1 21) b1b2b3 bn = (1)
… … … … …
a1n … ain . … ann
如果行列式的某一行(列 的元素为零 的元素为零， 如果行列式的某一行 列)的元素为零，则D＝0. ＝ . 如果D中有两行 列 成比例 成比例， 如果 中有两行(列)成比例，则D=0. 中有两行 .
《线性代数》
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结束
1.3 n 阶行列式
n 阶行列式定义
定义3 定义 符号
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a 2n a nn
元素
ai j
列标
行标
称为n阶行列式 它表示代数和 阶行列式， 阶行列式
∑ ( 1)
《线性代数》
τ ( j1 j 2 ... j n )
… 0 … 0 … 0 = a11a22a33 ann. … … … ann … a1n … a2n … a3n = a11a22a33 ann . … … … ann … 0 … 0 … 0 = a11a22a33 ann . … … … ann
1.排列,行列式的定义_546406555
11
a 2 2 a1 2 a 2 1 0
时, 得
x1
b1 a 2 2 a 1 2 b 2 a11a 22 a12 a 21
， x2
a 1 1 b 2 b1 a 2 1 a11a 22 a12 a 21
.
由方程组的四个系数确定, 定义
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21
故方程组的解为:
x1
D1 D
1, x 2
D2 D
2, x3
D3 D
1.
11
问题 怎样定义 n 阶行列式?
三、排列与排列的逆序数以及行列式的定义 定义1 由 1, 2, …, n 组成的有序数组称为一个 n 阶排列, 一般 记为: j1 j2 jn . 例如 12…n 是一个 n 阶排列, 叫自然排列, 有多少 n 阶排列? 定义2 在一个排列 j1 j2 jn中如果一个大数排在小数前面, 则 这两个数构成一个逆序. 一个排列的逆序总数叫逆序数, 记为:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
(1)
x1 , x 2 ,, xn 表示
st
偶排列 t 个
例如
2112, 132231, 213123, 321312
14
a11 a21
a11 a21 a31
a12 a22
a12 a22 a32
a11a22 a12a 21 (1) (12 ) a11a22 (1) ( 21) a12 a21 ,
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
线性代数1-1 二、三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式的计算
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
(1)沙路法 D a 21
a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则
x 2 3,
有否统一的公式？
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
(6)
a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标 行标
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
1.定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
1-1矩阵的基本概念及运算
作业2
2.
即 AB AC× B C.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
这属于特例，称之 为“可交换矩阵”。
4. 单位矩阵——如同数和乘法中的 1
单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对 角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素 全都为0, 即
一般的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX B
a11 a12
这里,
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1 b1
a2n
X
2 0
5 T 1
4 2 5
2
0
1
1 2 3 4 2
0
1
0 2
0
2 1 3 5 1
A BT = AT BT .
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2) 数乘矩阵的运算规律
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
特殊矩阵
特殊矩阵
零矩阵：所有元素全等于零的矩阵。 矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。
经济数学基础线性代数之第1章行列式
第一单元 行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．二、内容讲解行列式 行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。
即2153-称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用ija 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，512=a ，121-=a ，222=a ．再看一个算式075423011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素423=a ，531=a又如1321403011320---，是一个四阶行列式．而11a 的代数余子式为()07421111111--=-=+M A代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．()43011322332-=-=+M A问题思考：元素ija 的代数余子式ijA 是如何定义的？ 代数余子式ijA 由符号因子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ijji ijM A +-=1三、例题讲解例题1：计算三阶行列式542303241---=D分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．解：()()()5233145430112111---⋅-+--⋅=++D ()42031231--⋅++7212294121=⋅+⋅+⋅=四、课堂练习计算行列式hg f ed c b a D 00000004=利用n 阶行列式的定义选择答案．将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了．4D =⋅-⋅+11)1(a h f ed c 00+41)1(+-⋅b 000g f ed c ⋅五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A（1）210834021-- （2）3405122010141321---2．计算下列行列式（1）622141531-- （2）612053124200101---3．设00015413010212014=D（1）由定义计算4D ；（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开； （3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开；（4）按第四行展开．1．（1）1021)1(32--+ （2）305120121)1(32---+2．（1）20 （2）243．（1）1 （2）1 （3）1 （4）1第二单元 行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．二、内容讲解 行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为TD ．如987654321=D ,963852741T =D1．行列式的行、列交换，其值不变．如264536543-==这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如243656543-=-=3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b a dc ba333=注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上2113-- 5513-=注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关系？答案设n 阶行列式nD ，若将nD 的最后一行轮换到第一行，得另一个n 阶行列式nC ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =n nD 1)1(--问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？ 答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式dc b a 675081004000--.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．解：dc b a 675081004000--=dc b a 670800-=d c ab 60=abcdÀ+2Á我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．例2 计算行列式4977864267984321----分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．解：4977864267984321----497700067984321----= 0例3 计算行列式2211132011342211----分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：2211132011342211---- 2411142010342011---Â+Ã111142010342011----=111134211)1(433-----⨯+1101312104----⨯=1121)1(412----⨯+12)21(4=---=通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．三、课堂练习练习1 若d a a a a a a a a a =333231232221131211，求行列式232221131211313231222333a a a a a a a a a ---利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．练习2 计算行列式540554129973219882310391----由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两À+Á项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．五、课后作业1．计算下列行列式（1）75701510--- （2）253132121-（3） ww w w ww22111 (0≠w ) （4）38790187424321--2．证明（1）0=---------cb b a ac b a a c c b a c c b b a （2）()32211122b a b b a a b ab a -=+1．（1）0 （2） -2 （3） 22)1(--w w （4）02. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．第三单元 行列式的计算一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．二、内容讲解行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明．d c b a =bc ad -1156)1(5232153=+=-⋅-⋅=-一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．75423011--可以按任何一行（列）展开按第一行展开=752300543107421-⨯+⨯+-⨯=02028+-=8 按第三列展开=231107511475230-⨯+--⨯--⨯=0)57(40++-⨯-=8注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．问题：试证 2222222211110000d c b a d c b a d c b a d c dc b a b a =答案左边=222211122222111100)1(00)1(d c b a b a bc d c b a d c d a ++-+-222211)1(d c b a ad +-=222211)1(d c b a cb +--22222222)(d c b a d c b a d c b a cb ad =-==右边三、例题讲解例 计算行列式214200131000211---分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．解：按第三行展开214200131000211---=214100211)1(2021315021)1(14313----⨯+----⨯++=1411)1()1(22121)1(33232--⨯-⨯----⨯++==10)41(2)22(3-=+--⨯-四、课堂练习练习1 计算行列式dcb a 100110011001---根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果．dcb a 100110011001--- =dcd cb a 101011101101-----练习2 计算行列式24524288251631220223------为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á 2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á(-2)”．该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算．注意尽量避免分数运算．21524288251631220223------111042011631212401----五、课后作业1．计算下列行列式：（1）881441221---- （2）4222232222222221À+Á2 Â+Á(-2（3） 4321651065311021 （4）00312007630050131135362432142．计算n阶行列式xaaa x a a a x/media_file/jjsx/4_1/3/khzy/khzy.htm - #1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-3402. ])1[()(1x a n a x n +---第四单元 克拉默法则一、学习目标克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．二、内容讲解克拉默法则设n 个未知数的线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）记行列式nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列的元素njj j a ,,a ,a 21分别换成常数n b ,,b ,b 21而得到的行列式记作jD ．克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式0≠D ，那么它有惟一解D D x D Dx D D x n n ===,,,2211 （2）证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的nx x x ,,,21 中，有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211（3）将（3）中的jD 按第j 列展开， 再注意到j D中第j 列元素的代数余子式和D 中第j 列元素的代数余子式ij A是相同的， 因此有),,2,1(2211n j A b A b A b D njn j j j =+++= （4）把（4）代入（3），有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211(){1121211111n n i i i A b A b A b A b a D+++=()222221212n n i i i A b A b A b A b a ++++…+…()}nn n in i n n in A b A b A b A b a ++++2211把小括弧打开重新组合得(){()()()}i nn in n i n i n in in i i i i i n in i i n in i i b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D=+++++++++++++++++=2211221122222112112211111因由性质6和性质7⎩⎨⎧=≠=+++k i D ki A a A a A a kn in k i k i 02211 故上式等于i b ，即i n in i i b D D a D Da D D a =+++ 2211下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设nn c x c x c x ===,,,2211为方程组（1）的任意一组解．于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111 （5）用j A 1，j A 2，…j n A 分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得++++11221111)(c A a A a A a nj n j j +++++j nj nj j j j j c A a A a A a )(2211n nj nn j n j n c A a A a A a )(2211++++ njn j j A b A b A b +++= 2211根据性质6和性质7，上式即为),,2,1(n j D c D j j ==因为0≠D ，所以),,2,1(n j DD c j j ==克拉默法则有以下两个推论：推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ， 那么 它只有零解．推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0=D ． 问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案 不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．三、例题讲解例 利用克拉默法则解下列方程组⎩⎨⎧-=-=+-7526432121x x x x分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式()()24535243⨯--⨯-=--=D 07815≠=-= 且257461-=--=D ，972632=--=D ，所以7211-==D D x ，7922==D D x四、课堂练习k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=++0211321321321x x x x kx x kx x x对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À(-1)”．这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解．所以，先求系数行列式的值．2111111--=kk Dkk k k --++2211011五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-12 142 23232121x x x x x x x 2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+-+=---=+++422222837432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x 1．31=x ，42=x ，233-=x ，2. 21-=x ，3352=x ，2103=x ，204-=x。
1-1,2,3 行列式
9
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个 、 、 三个数字， 三个数字 没有重复数字的三位数？ 没有重复数字的三位数？ 解 百位 种放法, 十位 种放法 个位 种放法 百位:3种放法 十位:2种放法 个位:1种放法 种放法, 种放法. 种放法 共有3× × 种放法. 共有 ×2×1=6种放法 种放法
排列的逆序数，奇偶排列. 3. 排列的逆序数，奇偶排列. 4. n 阶行列式定义. 阶行列式定义.
19
b1 a12 D1 b2 a22 x1 = , = D a11 a12 a21 a22
a11 b1 D2 a21 b2 x2 = . = D a11 a12 a21 a22
5
例1 求解二元线性方程组
3 x1 − 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1.
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
15
下三角行列式
a11 a21 L 0 a22 L 0 0 L L L L 0 0 = a11a22 L ann . L
an1 an 2
an 3 L ann
λ1
对角行列式
λ2
O
= λ1λ2 L λn ;
λn
16
0 0 计算对角行列式 0 4
解 展开式中项的一般形式是
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7
6
二、三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
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4 −1 7
3+1 = ( − 1) 1 A31 = (−1) M 31 3
1 2
2 0
解
D = a11 A11 + a12 A12 + a14 A13 + a14 A14 = 2 × 11 + 4 × (−11) + (−1) × 11 + 7 × 0 = −33
0 L a21 a22 L 例7 计算下三角行列式 M M an1 an 2 L
3+1
a 4 2 × 1× = a − 4. 1 a
2 4 −1 7
例 6 求D =
0 1 1 3
1 2
2 0
1 0 −1 5
中元素a31的余子式和代数余子式，
并计算该行列式的值.
解
2 4 −1 7
0 1 1 2 =1 M 31 = 1 0 −1 5 3 1 3 2 0
3+1
4 −1 7 1 2 2 0
−3 −5 3
练习 算行列式 D = 0 7 解 按第1行展开，得
−1 0 7 2
−1 0 0 0 0 −1 D = −3 +3 +5 7 2 7 2 7 7
= 27.
有没更简便的方法呢？
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a11 a12 D= , a21 a22
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
b1 D1 = b2
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
1.1 行列式的定义
二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
(1) (2 )
(1) × a22 : (2) × a12 :
a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 , a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 , 当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组的解为 b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = ， x2 = . a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 （3）
a12 , a22
a11 a12 D= , a21 a22
a11 b1 D2 = . a21 b2
则二元线性方程组的解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 ， x2 = . x1 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 b1 a12 D1 b2 a22 x1 = = , D a11 a12 a21 a22 a11 b1 D2 a21 b2 x2 = = . D a11 a12 a21 a22
元素 a 2 3 的余子式 和代数余子式？
A23 = (− 1)
2+ 3
M 23 = − M 23 .
a11 a21 D= a31 a41
a12 a22 a32 a42
1+ 2
a13 a23 a33 a43
a14 a24 , a34 a44
元素 a 1 2 的余子式 和代数余子式？ a21 a23 a24
M 12 = a31 a41 a33 a43 a34 , a44
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . 元素 a 4 4 的余子式 和代数余子式？ a11 a12 a13 M 44 = a21 a31 a22 a32
a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a33
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
= a11a22 − a12a21 .
a11 a12
a12 a22
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
若记 系数行列式
a11 a12 D= , a21 a22
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
解
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24.
1 2 3 4
练习
D=
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
=?
解
1 0 D= 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
4 1 = a11 a 22 a 33 a44 = 1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160. 6 8
由方程组的四个系数确定.
定义1.1 由22个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 − a12 a21称为数表（ 4）所确定的二阶 行列式，并记作 a11 D= a21 a11 a21 a12 a22 (5)
即
a12 = a11a22 − a12a21 . a22
1+1
3 -2
3 = (−1) × 2 × + (−1) −2 1 1 −3 −5 3+1 + (−1) × 3 × 4 3
4
3
2+1
× 0×
−3 −5 −2 1
= 53.
a
b
0
例4 a, b满足什么条件时，5 −5 1 ≠ 0？ −b a 0 解
a 5 −b
按行列式的第3列展开，有
b a 0
2+3
行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式 .
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + Λ + a in Ain
(i = 1,2,Λ , n )
2 -3 -5
例3 计算 0 4 3 -2
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 D = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 .列标 a33 行标 a13 a23 a33
三阶行列式的计算 a11 a12 (1)沙路法 D = a21 a31
a22 a32
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
+ + − − − D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13 a22 a31 .
（3）
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
⎧3 x1 + 2 x2 = 1, ⎨ ⎩ x1 + x2 = −2.
解
3 2 = 3 × 1 − 2 × 1 = 1 ≠ 0, D= 1 1
3 1 = −7, D2 = 1 −2
1 2 D1 = = 5, −2 1
D1 = 5, ∴ x1 = D
D2 x2 = = −7. D
a a 例2 设D = ，问： 1 2
（1）当a为何值时，D = 0； （2）当a为何值时，D ≠ 0.
2
a a2 解 D= 1 2
= 2a − a 2 = a (2 − a ), 故
（1）当a =0或a =2时，D = 0； （2）当a ≠ 0且a ≠ 2时，D ≠ 0.
−5 1 = (−1) 0
a b × 1× = −(a 2 + b 2 ). −b a
只有a ≠ 0或b ≠ 0时，才有D ≠ 0.
2 a 4
例5 4 1 a > 0的充分必要条件是什么？ 1 0 0 解 按行列式的第3行展开，有
2 a 4 4 1 a = (−1) 1 0 0 2 a 4 4 1 a > 0的充分必要条件是 | a |> 2. 从而， 1 0 0
3 1
解 按行列式的第1行展开，有 2 -3 -5 4 3 0 3 1+1 1+ 2 0 4 3 = (−1) × 2 × + (−1) × (−3) × 3 1 −2 1 3 -2 1 0 4 1+3 + (−1) × (−5) × 3 −2
= 53.
按行列式的第1列展开，有
2 -3 -5 0 4
= a11 (a22a33 − a23a32 ) + a12 (a23a31 − a21a33 ) + a13 (a21a32 − a22a31 )
= a11
a22 a32
a23 a33
− a12
a21 a23 a31 a33
+ a13
a21 a22 a31 a32
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n − 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
a11
0 0 M ann
解
a22 0 L 0 0 L 0 0 a32 a33 L 0 a21 a22 L 1+1 =(−1) a11 M M M M M M an 2 an 3 L ann an1 an 2 L ann a33 0 L 0 0 a43 a44 L =a11a22 =L = a11a22 Λ ann . M M M an 3 an 4 L ann a11