高二经典抛物线教案
抛物线的教学设计完整版课件(3)
抛物线的教学设计完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第五章“圆锥曲线”，主要详细讲解抛物线的定义、性质以及应用。
具体包括教材第5.2节“抛物线的标准方程”，5.3节“抛物线的几何性质”，以及5.4节“抛物线的应用”。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义，能够准确描述抛物线的标准方程。
2. 掌握抛物线的几何性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等，并能够运用这些性质解决相关问题。
3. 学会运用抛物线知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导，抛物线几何性质的理解。
2. 教学重点：抛物线的标准方程，抛物线的顶点、对称轴、焦点、准线等几何性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如抛物面天线、篮球投篮轨迹等，引出抛物线的概念。
2. 知识讲解：1) 抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生了解抛物线的形成过程。
2) 抛物线的标准方程：通过几何画板演示抛物线的形成过程，引导学生推导出抛物线的标准方程。
3) 抛物线的几何性质：讲解抛物线的顶点、对称轴、焦点、准线等性质，结合图形进行说明。
3. 例题讲解：讲解教材中典型例题，分析解题思路，引导学生运用抛物线知识解决问题。
4. 随堂练习：布置教材课后练习题，让学生独立完成，及时巩固所学知识。
六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹。
2. 标准方程：y^2=4ax（焦点在原点，对称轴为x轴）或x^2=4ay （焦点在原点，对称轴为y轴）。
3. 几何性质：1) 顶点：抛物线的最高点（或最低点）。
2) 对称轴：抛物线的对称轴，垂直于准线。
3) 焦点：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
4) 准线：与对称轴平行，与焦点距离相等的直线。
高中数学抛物线教案
高中数学抛物线教案
教学目标：
1. 能够理解抛物线的定义和特点；
2. 能够求解抛物线的顶点、焦点、焦距等相关参数；
3. 能够应用抛物线知识解决实际问题。
教学重点：
1. 抛物线的标准方程；
2. 抛物线的顶点、焦点和焦距；
3. 抛物线的相关实际问题。
教学难点：
1. 利用给定的抛物线方程求解相关参数；
2. 解决实际问题时的抽象思维能力。
教学准备：
1. 投影仪、电脑或手写板；
2. 教材、讲义、课件；
3. 实例题目。
教学过程：
一、引入：
1. 引导学生回顾抛物线的定义和特点；
2. 提出学生熟悉的实际例子，如抛物线反射问题或者悬挂问题，引发学生兴趣。
二、讲解：
1. 讲解抛物线的标准方程及与二次函数的关系；
2. 讲解抛物线的顶点、焦点、焦距、对称轴等相关概念；
3. 解析求解抛物线的顶点、焦点和焦距的方法。
三、练习：
1. 给学生提供一些抛物线的相关例题，让学生自行求解；
2. 给学生布置一些实际问题，让学生应用抛物线知识解决。
四、总结：
1. 总结抛物线的相关知识点和解题方法；
2. 强调学生在学习数学知识时要注重实际应用。
五、作业：
1. 布置相关的抛物线练习题，让学生巩固知识点；
2. 提出实际问题，要求学生应用所学知识解决。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握抛物线的相关知识，能够正确求解抛物线的参数和应用抛物线知识解决实际问题。
教师也应该注意引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
人教版高中数学抛物线教案
人教版高中数学抛物线教案
主题：抛物线
教材版本：人教版高中数学
教学内容：抛物线的基本概念和性质
教学目标：
1. 了解抛物线的定义和基本特征；
2. 熟练掌握抛物线的标准方程；
3. 能够解决与抛物线相关的问题。
教学重点和难点：
重点：抛物线的标准方程和性质。
难点：能够灵活运用抛物线的性质解决问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师介绍抛物线的概念，引出本课要学习的内容。
二、讲解（15分钟）
1. 抛物线的定义和形状；
2. 抛物线的标准方程；
3. 抛物线的焦点、准线和顶点。
三、练习（20分钟）
1. 让学生在纸上绘制抛物线，并编写标准方程；
2. 给学生一些练习题，让他们独立解决问题。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的要点，强调抛物线的重要性和应用。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，鼓励学生在家里复习和巩固所学知识。
※教学结束※
教学反思：
本节课通过讲解抛物线的定义、性质和标准方程，帮助学生更好地理解抛物线的基本概念。
但是在练习环节，部分学生遇到了困难，需要更多的实践和巩固。
下次课程将设计更多的
练习题，加深学生对抛物线的理解和掌握。
2024年抛物线教学设计抛物线教案
2024年抛物线教学设计抛物线教案一、教学内容本节课选自人教版高中数学选修22第二章“抛物线及其标准方程”，具体内容包括：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质以及抛物线在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义，能够熟练推导出抛物线的标准方程。
2. 熟悉抛物线的简单几何性质，能够运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，激发学生对数学学习的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：抛物线标准方程的推导以及抛物线几何性质的理解。
教学重点：抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体课件展示生活中的抛物线实例，如抛物线形拱桥、抛物线运动轨迹等，引导学生观察并思考抛物线的特点。
2. 知识讲解（1）抛物线的定义：以一个定点（焦点）为顶点，到该点的距离等于到一条定直线（准线）的距离的所有点的集合。
（2）抛物线的标准方程：y^2=4ax（开口向右），y^2=4ax（开口向左）。
（3）抛物线的简单几何性质：对称性、顶点、焦点、准线等。
3. 例题讲解（1）求抛物线y^2=8x的焦点和准线。
（2）已知抛物线的焦点为（3，0），求抛物线的标准方程。
4. 随堂练习（1）求抛物线y^2=12x的顶点、焦点和准线。
（2）已知抛物线的顶点为（0，4），求抛物线的标准方程。
5. 小结与巩固六、板书设计1. 抛物线的定义2. 抛物线的标准方程y^2=4ax（开口向右）y^2=4ax（开口向左）3. 抛物线的简单几何性质4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目（1）求抛物线x^2=16y的焦点、顶点和准线。
（2）已知抛物线的焦点为（0，3），求抛物线的标准方程。
2. 答案八、课后反思及拓展延伸1. 探讨抛物线在实际问题中的应用，如建筑设计、运动轨迹等。
2. 引导学生研究抛物线与其他圆锥曲线（如椭圆、双曲线）之间的联系与区别。
高中抛物线数学教案
高中抛物线数学教案
主题：抛物线
一、教学目标：
1. 理解抛物线的定义和性质；
2. 掌握抛物线的标准方程及相关计算方法；
3. 熟练运用抛物线相关知识解决实际问题。
二、教学重点和难点：
重点：抛物线的定义、标准方程及相关性质；
难点：抛物线的几何意义及应用问题的解决。
三、教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）
通过展示抛物线的图片和实际应用场景，引导学生了解抛物线的形态和特点。
2. 学习抛物线的定义和性质（15分钟）
讲解抛物线的定义，并介绍抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质，让学生理解抛物线的基本概念。
3. 学习抛物线的标准方程（20分钟）
教师讲解抛物线的标准方程及其推导过程，让学生掌握如何根据给定的抛物线特点确定其标准方程。
4. 练习抛物线相关计算（20分钟）
让学生通过练习题目，熟悉抛物线的计算方法，包括焦点、顶点、焦距等的计算。
5. 解决实际问题（15分钟）
通过实际应用问题的讨论与解答，引导学生灵活运用抛物线知识解决实际问题，并培养学生的数学建模能力。
6. 总结和作业布置（5分钟）
对抛物线相关知识进行总结，并布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。
四、教学手段：
1. 教师讲解；
2. 课堂练习；
3. 实际应用问题讨论。
五、教学反思：
本节课主要围绕抛物线的定义、标准方程及相关计算展开，注重培养学生的问题解决能力和建模能力。
通过实践与讨论，让学生真正理解抛物线的几何意义和应用价值，为他们的数学学习打下坚实基础。
高二数学教案：抛物线教案人教版
人教版抛物线教案
一．教学目的：
１．掌握抛物线的概念．
２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点：
１．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程：
引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。
当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。
）
如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线．
结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，
则焦点Ｆ的坐标为F(2p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－2
p
．
设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝．
∵MF ＝2
2y p x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
， ｄ＝2p x +，
∴2
2y p x +⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-
＝2p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2
=2px(ｐ＞０)
最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象.
接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础.
例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
⑴ｘ２＝２ｙ：
⑵ｙ２－６ｘ＝０：
例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．。
抛物线教学设计抛物线优质教案
抛物线教学设计抛物线优质教案一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第四章第四节《抛物线》，详细内容包括：1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 抛物线在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程；2. 能够分析抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 学会运用抛物线知识解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线的性质及其在实际问题中的应用；2. 教学重点：抛物线的定义、标准方程及性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：利用多媒体展示抛物线在实际生活中的应用，如篮球投篮、抛物线运动等，引导学生观察并思考抛物线的特点。
2. 例题讲解：（1）抛物线的定义及标准方程；（2）抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；（3）抛物线在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线，并给出理由；（2）求抛物线 y = 2x^2 + 4x + 3 的顶点、对称轴、焦点和准线；（3）已知抛物线的顶点为（1, 3），过顶点的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。
4. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决随堂练习中的问题，教师巡回指导。
六、板书设计1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质；3. 例题解答步骤；4. 随堂练习解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线 y = x^2 + 4x + 5 的顶点、对称轴、焦点和准线；（2）已知抛物线的焦点为（2, 0），求抛物线的标准方程；（3）抛物线 y = 2x^2 + 4x 3 与直线 y = x + 1 相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。
2. 答案：（1）顶点：（2, 9），对称轴：x = 2，焦点：（2, 3），准线：y = 3；（2）抛物线的标准方程：y = 4(x 2)^2；（3）中点C的坐标：（1/2, 7/4）。
抛物线教学设计抛物线教案
抛物线教学设计抛物线教案一、教学内容本节课选自高中数学必修二第三章第四节“抛物线及其性质”。
具体内容包括：抛物线的定义、标准方程、图形及其性质；抛物线焦点、准线的概念及计算；抛物线在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、标准方程、图形及其性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线概念及其计算方法。
3. 能够运用抛物线知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点教学难点：抛物线的焦点、准线概念及其计算方法。
教学重点：抛物线的定义、标准方程、图形及其性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入新课通过展示生活中的抛物线实例（如拱桥、篮球抛物线等），引导学生观察并思考抛物线的特点，激发学习兴趣。
2. 基本概念（1）抛物线的定义：平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹。
（2）抛物线的标准方程：y^2=2px（p>0）。
3. 图形及其性质（1）图形：以焦点为顶点，准线为对称轴的开口图形。
（2）性质：① 对称性：抛物线关于准线对称。
② 顶点：抛物线的最低点（或最高点），即焦点所在点。
③ 焦半径：从焦点到任意一点的线段长度。
④ 准线方程：x=p/2。
4. 焦点、准线计算（1）已知抛物线方程，求焦点、准线。
例如：y^2=8x，求焦点和准线。
解：由y^2=2px，得p=4。
故焦点为(2,0)，准线为x=2。
（2）已知焦点、准线，求抛物线方程。
例如：已知焦点为(2,0)，准线为x=2，求抛物线方程。
解：由焦点到准线的距离为p/2=2，得p=4。
故抛物线方程为y^2=8x。
5. 实际应用（1）篮球运动员投篮时，篮球的轨迹为抛物线，已知篮球筐距离地面3米，求运动员投篮时篮球的最大高度。
（2）已知抛物线y^2=4x，求该抛物线与直线y=x+2的交点坐标。
6. 随堂练习（1）求抛物线y^2=12x的焦点和准线。
高二数学抛物线教学
高二数学抛物线教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以高二数学抛物线为主题，旨在使学生理解抛物线的定义、标准方程及其性质，掌握抛物线与坐标轴的交点、对称轴、焦半径等基本概念。
通过本课程的学习，让学生能够运用抛物线知识解决实际问题，培养他们的逻辑思维能力和空间想象力。
2、教学对象教学对象为高二年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平面几何、三角函数等基础知识，具备一定的数学素养。
此外，学生已经学习了椭圆、双曲线等其他圆锥曲线，对抛物线的学习具有一定的知识储备。
在此基础上，本课程将针对学生的认知特点，采取适当的教学策略，提高他们的学习兴趣和积极性。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程；（2）掌握抛物线的基本性质，如顶点、对称轴、焦半径、准线等；（3）能够运用抛物线知识解决实际问题，如求抛物线与坐标轴的交点、计算焦点到准线的距离等；（4）培养运用数学软件或图形计算器绘制抛物线图像的能力，提高空间想象力；（5）通过抛物线的学习，提高数学逻辑思维能力，为后续圆锥曲线的学习打下基础。
2、过程与方法（1）采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究抛物线的性质和运用；（2）通过实际案例，让学生学会运用抛物线知识解决生活中的问题，培养学以致用的能力；（3）采用小组合作学习，培养学生团队协作能力和交流沟通能力；（4）结合图形和实际操作，帮助学生建立直观的几何观念，提高空间想象力；（5）利用信息技术手段，如数学软件、图形计算器等，辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，激发他们探索数学问题的积极性；（2）通过抛物线学习，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强数学学习的实用性；（3）培养学生勇于面对挑战，克服困难的意志品质，提高解决问题的自信心；（4）强调数学思维的严谨性和逻辑性，培养学生科学、严谨的学习态度；（5）通过团队合作学习，培养学生相互尊重、团结协作的精神，树立正确的价值观。
高中数学《抛物线》 教学设计
抛物线（第1课时）教案一、教学内容分析本节课是人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学选修2-1》第二章“圆锥曲线与方程”的起始课．解析几何的教学，一方面，应从几何角度关注图形，认识图形的几何特征；另一方面，要建立代数方程，用代数工具研究几何性质．在这一章的教学中，我们在引入代数工具研究圆锥曲线之前，让学生首先充分认识图形，尽可能充分地感受并发现几何特征，进而体会解析几何数形结合、几何与代数并重的特点．考虑到抛物线的形状学生比较熟悉，其代数方程形式也相对简单，我们将抛物线作为研究的第一种圆锥曲线．本节课是抛物线的第1课时，也是圆锥曲线这一章的起始课，主要内容是借助几何绘图软件，探索抛物线的轨迹，引出抛物线的定义，直观感受、发现抛物线的几何特征．在这个过程中，学生学习和运用轨迹交点法，提升作图能力，感悟解决问题的策略．我们将在第2，3课时建立坐标系求抛物线的方程、研究性质、完善并证明第一节课发现的几何特征．二、学生情况分析学生在初中阶段学习过一些特殊的轨迹，有一定的作图能力；初步了解几何绘图软件Geogebra，能根据需要进行简单操作．另外，授课班级的学生具有较强的求知欲，思维活跃，能积极参与数学活动和交流讨论．三、教学目标设置根据教学内容，以及学生现有的认知水平和能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.了解抛物线的定义，感知抛物线的几何特征；2.运用轨迹交点法，经历探索抛物线轨迹的过程，提高作图能力和分析问题、解决问题的能力；3.通过合作学习，感受数学探索的快乐．本节课的教学重难点是：依据抛物线的定义画出轨迹．四、教学策略分析本节课以探究合作为主要的学习方式，教学过程分为“复习旧知，提炼作图方法”，“应用方法，合作探索轨迹”，“明确定义，感知几何特征”，“交流总结，提出思考问题”四个环节．为了突破难点，落实重点，采取了以下措施：首先，让学生使用几何绘图软件Geogebra 画出“到两定点距离相等的点的轨迹”，并总结出利用轨迹交点法得到轨迹的基本步骤．其次，在此基础上，再让学生利用软件，用不同方法得出抛物线的完整轨迹．随即，让学生在纸上作出抛物线草图，进一步加深对抛物线的直观认识．最后，让学生分享从中发现的抛物线的几何特征，也为后续课程的学习打好基础．本节课的效果评价以当堂反馈为主，学生通过上台展示分享，体现探索的成果；每位学生在纸上作出抛物线的草图，落实本节课的教学要求．教师还将通过思考题继续激发学生的探究热情．五、教学过程环节一：复习旧知，提炼作图方法预设形式预案设计意图【复习】回顾有关轨迹的问题：（1）平面内，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？(答：以定点为圆心，定长为半径的圆)（2）平面内，到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？(答：平行于这条直线，并和已知直线距离为定长的两条直线)（3）平面内，到两个定点距离相等的点的轨迹是什么？(答：两个定点连线的垂直平分线)【活动一】请利用图形计算器，探索：平面内，到两个定点的距离相等的点的轨迹.1，以A为圆心，r为半径作圆2，以B为圆心，r为半径作圆3，作出两圆交点，即为所求轨迹上的点4，改变r的值，形成轨迹【总结方法】利用轨迹交点法得到轨迹的步骤：当知道轨迹上的点满足的两个条件时，可以采用这样的方法得到轨迹：第一步，作出满足一个条件的点的轨迹教师提问和展示，学生口答．学生在图形计算器上探索，并分享得到轨迹的过程．学生能顺畅回答．教师可适当规范表述．若学生通过找到两点直接连线得轨迹，则提示其思考如何得到更多的点，来验证轨迹是一条直线．通过回顾已认识的一些轨迹，引出要探索的新问题，也为后面问题的解决奠定基础．通过活动一，让学生在操作中学习如何利用轨迹交点法得到轨迹．为后续探索作准备．【活动二】探索：平面内，到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是什么？（如图）Fl预案一：圆与平行线的交点1，作出与定直线平行，且距离为r的两条直线．2，作出以定点为圆心，以r为半径的圆．3，平行线与圆的交点就是所求轨迹上的点．4，改变r的值，追踪点的位置变化，得到轨迹．预案二：中垂线与垂线的交点1.在定直线上任找一点H，以H为垂足作定直线的垂线2.作定点和点H连线的垂直平分线3.垂线和垂直平分线的交点即为所求轨迹上的点4.改变H的位置，追踪点的位置变化，得到轨迹【定义】平面内，与一个定点F和一条定直线l(F l )距离相等的点的轨迹，叫做抛物线．其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．辨析：若定点在定直线上时，则所求轨迹（轨迹为：过定点的已知直线的垂线）不是抛物线【活动三】在纸上画出已知焦点和准线的抛物线．。
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抛物线教学目标:1、掌握抛物线的定义，标准方程，准线方程，几何性质，焦点弦，最值；2、熟练地运用待定系数法求标准方程，及学会求最值的方法和通经（p 2），焦准距（p ）的解法。
重点：抛物线的定义、标准方程，以及简单的几何性质（尤其是焦点弦的性质）； 难点：抛物线的准线，焦点弦，弦长（尤其是中点弦），焦半径，最值问题。
【教学内容】1、引入：一个数学家、物理学家和工程师，来到了一个农场，这个农场养的鸡生病了，农夫试过了各种方法，兽医也没有办法，一个动物学教授在仔细研究之后建议农夫尝试去请教一下别的科学家。
数学家仔细观察了那些鸡，并且做了一些测量，然后计算了很多次，并且做了大量的统计分析，但是最后他最后得出结论说他没有办法找出那里出了问题。
工程师搬来一大堆各种仪器，让后对鸡进行了了各种测量，包括比较正常的鸡和生病的鸡的重量等等，但是他也没有办法得出任何有用的结论。
最后轮到物理学家了，他只是看了一眼那些鸡就开始计算起来，经过大概一个小时的计算，他终于说：“我已经找到挽救你的鸡的方法了，不过这种方法只对在真空中的球形的鸡有效。
”2、抛物线的基本概念：定义 :平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 3、抛物线的几何性质：1.方程、图形、性质抛 物 线)0(22>=p px y)0(22>-=p px y)0(22>=p py x)0(22>-=p py x定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
{MF M =点M 到直线l 的距离}范围0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤xyO lFxyOlFlFx yOxy O lF对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2p,0) (2p-,0) (0,2p ) (0,2p -) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O离心率 e =1准线 方程 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离 p焦半径11(,)A x y12pAF x =+12pAF x =-+12pAF y =+12p AF y =-+焦 点弦 长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++12()y y p-++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-pBF AF AB BF AF BF AF BF AF 211=⋅=⋅+=+ ox ()22,B x y Fy ()11,A x y切线 方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+2、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为 ；3、抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；【例题讲解】例1 （1）动点P 到点)0,2(F 的距离与它到直线02=+x 的距离相等，求点P 的轨迹方程.（2）求以抛物线x y 42=的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程.练习：1.抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是x 轴,抛物线过点)52,5(-,则抛物线的标准方程是( )A.x y 22-=B.x y 22=C.x y 42-=D.x y 62-=2.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ）(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 3.点M 与点)0,4(F 的距离比它到直线05=+x 的距离小1，求点M 的轨迹方程.例2 已知动圆M 与直线2=y 相切，且与定圆1)3(:22=++y x C 外切，求动圆圆心M的轨迹方程.练习：1.以抛物线x y 82=上的点M 与定点)0,6(A 为端点的线段MA 的中点为P ，求点P 的轨迹方程.2.设),(00y x M 为抛物线y x C 8:2=上一 点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)例3已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积．练习：1.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，l AK ⊥，垂足为K ，若BF BC 2=，且|AF |＝4，则AKF ∆的面积是 ( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3 D ．82.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点B A 、，交其准线l 于点C ，若BC BF 2=，且3=AF 则此抛物线的方程为 ( )A ．x y 232=B ．x y 92=C ．x y 292= D ．x y 32= 例4直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点，P 是线段1P 2P 的中点，直线2l 过P 和抛物线的焦点F ，设直线1l 的斜率为k ．（1）将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ； （2）求出)(k f 的定义域及单调区间．练习：1.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 用一直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与线段FQ 的长分别为q p 、，求qp 11+的值. 2.设P 是抛物线x y 42=上的一个动点．(1)求点P 到点)1,1(-A 的距离与点P 到直线1-=x 的距离之和的最小值；(2)若点)2,3(B ，求PF PB +的最小值例5如图所示：直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、B 两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．例6已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．【过手练习】1.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ）(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 2.抛物线28y x =的焦点坐标是 3.抛物线22x y =的准线方程是__________ 4.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________5.对于抛物线x y 42=上任意一点Q ，点)0,(a P 都满足a PQ ≥，则a 的取值范围是 A ．)0,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．[0，2]D ．（0，2）6.已知圆的方程为422=+y x ，若抛物线过点1(-A , 0)，B (1, 0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程为( )A ．)0(14322≠=+y y xB ．)0(13422≠=+y y xC ．)0(14322≠=+x y x D ．)0(13422≠=+x y x7.若抛物线2y x =上的点P 到直线1x =-的距离为2，则点P 到该抛物线焦点的距离为________。
8.若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为 ( ) A.)42,41(±B.)42,81(±C.)42,41(D.)42,81( 9.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．1510.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A.2 B.3 C.4D. 511.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mn m n+等于（ ） A.12aB.14aC. 2aD.4a【拓展训练】 例7已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于))(,(),,(212211x x y x B y x A <两点，且9=AB .(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．例8已知平面内一动点P 到点)0,1(F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线21,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点A ，B ，2l 与轨迹C 相交于点E D ,，求EB AD ⋅的最小值。
练习：1.若实数12,,32,2-=+≤x yx y x y y x 则且满足的取值范围是_______________ 2.已知点),(y x 在抛物线x y 42=上，则22132x y ++的最小值是___________ 3.已知点Q （4，0）及抛物线y =122x 上一动点P （x ，y ），则y +|PQ |的最小值是【课后作业】1.以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.0222=++x y x B. 022=++x y x C. 022=-+x y x D.0222=-+x y x 2.点P 到点1(,0)2A ，(,2)B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是( ) A ．21 B ．23C ．21或23D ．12-或213.已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点B A 、满足3AF FB =,则弦AB 的中点到准线的距离为________.4.以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．5.已知抛物线,42x y =焦点为F ,)2,2(A ,P 为抛物线上的点,则PF PA +的最小值为_____6.已知点P 是抛物线x y 42=上的点，设点P 到抛物线准线的距离为1d ，到圆1)3()3(22=-++y x 上一动点Q 的距离为212,d d d +则的最小值是_______ .7.如图，已知O 是坐标原点，过点)0,5(P 且斜率为k 的直线l 交抛物线x y 52=于),(11y x M 、),(22y x N 两点. （1）求21x x 和21y y 的值；（2）求证：ON OM ⊥.。